2026-2027学年湘教版八年级上册数学期中测试卷（第一套）（考查范围：第一章至第三章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期八年级数学期中测试卷（第一套） 湘教版八年级上册数学（2025 秋版新教材） 考查范围：第一章　因式分解　第二章　分式　第三章　二次根式　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. (x＋2)(x－3)＝x²－x－6　　　　B. x²－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x C. x²－6x＋9＝(x－3)²　　　　D. x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 2. 把多项式 6a²b－9ab²＋3ab 分解因式，结果是（　　） A. 3ab(2a－3b)　　　　B. 3ab(2a－3b＋1) C. 3a(2ab－3b²＋b)　　　　D. 3ab(2a²－3b) 3. 要使分式 有意义，则 x 满足（　　） A. x≠3　　　　B. x≠－3　　　　C. x≠±3　　　　D. x≠9 4. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物。将 0.0000025 用科学记数法表示为（　　） A. 2.5×10⁻⁶　　　　B. 25×10⁻⁷　　　　C. 2.5×10⁻⁵　　　　D. 0.25×10⁻⁵ 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 6. 如图，用一个边长为 a＋b 的大正方形分成四块拼成，根据图形的面积关系可以得到（　　） A. (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²　　　　B. (a－b)²＝a²－2ab＋b² C. a²－b²＝(a＋b)(a－b)　　　　D. a²＋2ab＋b²＝(a＋b)(a－b) 7. 下列运算中，正确的是（　　） A. a⁻²·a³＝a⁻⁶　　　　B. (a⁻¹)⁻²＝a² C. a⁰＝0（a≠0）　　　　D. (－1)⁻¹＝1 8. 若式子 ＋ 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A. x≥3　　　　B. x＞3　　　　C. x≠3　　　　D. x≥3 且 x≠3 9. 把分式方程 ＝ 化为整式方程，正确的是（　　） A. 2x＝3(x－1)　　　　B. 2x＝3x－1 C. 2(x－1)＝3x　　　　D. 2x＝3 10. 估计 的大小，其值应在（　　） A. 3 和 4 之间　　　　B. 4 和 5 之间　　　　C. 5 和 6 之间　　　　D. 6 和 7 之间 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 分解因式：2x²－18＝＿＿＿＿。 12. 若分式 的值为 0，则 x＝＿＿＿＿。 13. 计算：－＝＿＿＿＿。 14. 将 －0.0000307 用科学记数法表示为＿＿＿＿。 15. 已知 x＋y＝4，xy＝2，则 x²y＋xy² 的值为＿＿＿＿。 16. 已知 －＝，则 的值为＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤） 17.（8 分）(1) 分解因式：① x³－6x²＋9x； ② (m＋n)²－4mn。 (2) 计算：(－)×＋()²。 18.（8 分）先化简，再求值：[－]÷，其中 x＝1。 19.（8 分）如图是一个代数式运算的程序框图（输入的 x 使每一步运算都有意义）。 (1) 求第①步的运算结果（化为最简分式）； (2) 求该程序输出的结果（用含 x 的代数式表示，化为最简分式）； (3) 是否存在输入的 x 值，使输出的结果等于 1？请说明理由。 20.（8 分）已知 x＝＋2，y＝－2。 (1) 求 x＋y、x－y、xy 的值； (2) 求 － 的值。 21.（9 分）甲、乙两地相距 120 km，一辆货车从甲地出发驶往乙地。货车出发 1 小时后，一辆小汽车也从甲地沿同一路线驶往乙地，小汽车的速度是货车的 1.5 倍，结果两车恰好同时到达乙地。 (1) 求货车每小时行驶多少千米； (2) 若小汽车比货车晚出发 40 分钟，其余条件不变，要使两车仍同时到达乙地，货车每小时应行驶多少千米？ 22.（9 分）阅读下列材料，并完成任务： 我们把形如 a²＋2ab＋b² 或 a²－2ab＋b² 的多项式叫做完全平方式，它可以写成 (a＋b)² 或 (a－b)² 的形式。完全平方式有一个重要性质：它的值是非负数。利用这一性质，可以解决许多问题。 (1) 若 x²＋6x＋k 是完全平方式，则 k＝＿＿＿＿； (2) 已知 x²＋y²－4x＋6y＋13＝0，求 x＋y 的值； (3) 试说明：无论 a 取何值，代数式 a²－4a＋7 的值总不小于 3。 23.（10 分）已知关于 x 的分式方程 ＋1＝。 (1) 若该方程有增根，求增根和 m 的值； (2) 若该方程的解为正数，求 m 的取值范围。 24.（12 分）某校开展“图书漂流”活动，准备购买甲、乙两种笔记本作为奖品。已知用 480 元购买甲种笔记本的数量与用 400 元购买乙种笔记本的数量相同，且每本甲种笔记本比每本乙种笔记本贵 2 元。 (1) 求甲、乙两种笔记本每本的价格； (2) 学校计划购买两种笔记本共 100 本，要求购买乙种笔记本不少于 60 本、甲种笔记本不少于 25 本，且总费用不超过 1060 元，问共有几种购买方案？ (3) 在 (2) 的条件下，哪种方案总费用最低？最低总费用是多少元？ 参考答案与详解 1．【答案】C 【详解】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的变形。 A 是整式乘法，方向相反；B、D 的右边都不是纯粹的积（还含有加减项），不是因式分解； C 用完全平方公式把多项式化成了 (x－3)² 这个积的形式，故选 C。 易错点：判断因式分解抓住两条——对象是多项式、结果是若干整式的乘积。 2．【答案】B 【详解】确定公因数：系数 6、9、3 的最大公约数是 3；字母取各项都含有的最低次幂 a·b， 所以公因式为 3ab。逐项除以 3ab：6a²b÷3ab＝2a，－9ab²÷3ab＝－3b，3ab÷3ab＝1。 所以 6a²b－9ab²＋3ab＝3ab(2a－3b＋1)。注意：最后一项 3ab 提公因式后剩下 1，不能漏掉， A 漏了这一项；C 只提出 3a 没提尽；D 把字母次数取错。故选 B。 3．【答案】C 【详解】分式有意义的条件是分母不等于 0。x²－9≠0， 由平方根的意义，x²≠9，即 x≠3 且 x≠－3，也就是 x≠±3。故选 C。 易错点：x²－9＝0 时 x＝±3 两个值都要排除，只排除 x＝3 会漏解。 4．【答案】A 【详解】用科学记数法表示绝对值小于 1 的正数：写成 a×10⁻ⁿ 的形式，其中 1≤a＜10， n 等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的 0）。 0.0000025 中第一个非零数字 2 前面共有 6 个 0，所以 0.0000025＝2.5×10⁻⁶。故选 A。 B 中 25 不满足 1≤a＜10；C、D 的指数算错。 5．【答案】B 【详解】最简二次根式要满足两条：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ＝2，可再开方，排除 A；＝2，可再开方，排除 C； 的被开方数是小数（即含分母）， 可化为 ÷2，排除 D； 中 15＝3×5，不含平方因数，不能再化简。故选 B。 6．【答案】A 【详解】大正方形的边长为 a＋b，所以大正方形面积为 (a＋b)²（整体看）。 从部分看，大正方形被分成四块：边长为 a 的正方形（面积 a²）、边长为 b 的正方形（面积 b²）， 以及两个长为 a、宽为 b 的长方形（面积都是 ab）。 由整体面积等于各部分面积之和，得 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²。故选 A。 方法总结：同一个图形的面积用两种方式表示，就能得到一个恒等式，这是验证乘法公式的常用手段。 7．【答案】B 【详解】整数指数幂的运算性质与正整数指数幂一致：同底数幂相乘指数相加，幂的乘方指数相乘。 A：a⁻²·a³＝a^(－2＋3)＝a，不是 a⁻⁶，错误； B：(a⁻¹)⁻²＝a^(－1)×(－2)＝a²，正确； C：a⁰＝1（a≠0），不是 0，错误；D：(－1)⁻¹＝1÷(－1)＝－1，不是 1，错误。故选 B。 8．【答案】B 【详解】式子有意义需要同时满足两个条件： ①二次根式 有意义：被开方数 2x－6≥0，得 x≥3； ②分式 有意义：分母 x－3≠0，得 x≠3。 综合得 x＞3。故选 B。易错点：x≥3 且 x≠3 就是 x＞3，D 选项表述冗余且容易漏掉化简。 9．【答案】A 【详解】分式方程 ＝ 的最简公分母是 x(x－1)。 方程两边同乘 x(x－1)：左边＝2x，右边＝3(x－1)，所以整式方程为 2x＝3(x－1)。故选 A。 B 把右边的分母只乘了 x；C 把左边也乘了 (x－1)，多乘了一次；D 漏乘。 提醒：去分母时每一项都要乘最简公分母，含常数项也不例外。 10．【答案】C 【详解】估算无理数用夹逼法：找与 30 相邻的两个完全平方数。 因为 25＜30＜36，且 25＝5²、36＝6²，所以 ＜＜，即 5＜＜6。 所以 的值在 5 和 6 之间。故选 C。 11．【答案】2(x＋3)(x－3) 【详解】先提公因式：2x²－18＝2(x²－9)； 再用平方差公式：x²－9＝x²－3²＝(x＋3)(x－3)。 所以 2x²－18＝2(x＋3)(x－3)。提醒：分解必须进行到每个因式都不能再分解为止， 只写 2(x²－9) 没分解完，不得分。 12．【答案】x＝2 【详解】分式的值为 0 需要两个条件同时成立：分子等于 0 且分母不等于 0。 由 x²－4＝0 得 x＝±2；由 x＋2≠0 得 x≠－2。所以 x＝2。 易错点：只看分子得 x＝±2，漏掉检验分母，是本题最常见的丢分原因。 13．【答案】2 【详解】先把各根式化成最简二次根式：＝＝4，＝＝2。 它们是同类二次根式（被开方数都是 3），可以直接合并：4－2＝2。 14．【答案】－3.07×10⁻⁵ 【详解】负数的科学记数法先处理符号再处理数值：|－0.0000307|＝0.0000307， 第一个非零数字 3 前面共有 5 个 0，所以 0.0000307＝3.07×10⁻⁵， 故 －0.0000307＝－3.07×10⁻⁵。注意：负号要写在最前面，不能丢。 15．【答案】8 【详解】x²y＋xy² 两项都含有公因式 xy，提公因式：x²y＋xy²＝xy(x＋y)。 把 x＋y＝4、xy＝2 整体代入：原式＝2×4＝8。 方法总结：不需要求出 x、y 的具体值，把多项式变形为“已知代数式的组合”再整体代入即可。 16．【答案】2 【详解】先通分：－＝－＝。 由 ＝，得 ab 与 (b－a) 的关系：ab÷(b－a)＝1÷()＝2， 即 ＝2。关键：把 与所求 看成互为倒数关系， 倒数相等互推：若两数互为倒数，则乘积为 1；和为定值时倒数的商也可直接倒过来。 17．【答案】(1)① x(x－3)²；② (m－n)²；(2) 8 【详解】(1)① 先提公因式 x：x³－6x²＋9x＝x(x²－6x＋9)， 括号内恰好是完全平方式（x²－6x＋9＝x²－2·3·x＋3²），所以原式＝x(x－3)²。 ② 展开再分组：(m＋n)²－4mn＝m²＋2mn＋n²－4mn＝m²－2mn＋n²， 它是完全平方式，等于 (m－n)²。 另法：把 (m＋n) 看成一个整体，(m＋n)²－4mn 中先用完全平方公式展开再合并，本质相同。 (2) 先化简每个根式：＝2，所以 －＝。 原式＝×＋()²＝3＋5＝8。 【依据】·＝a（a≥0），()²＝a（a≥0），两处都用到了二次根式的这一性质。 18．【答案】原式化简结果为 1÷(x－2)²，当 x＝1 时值为 1 【详解】第一步：因式分解。x²－2x＝x(x－2)，x²－4x＋4＝(x－2)²。 第二步：先算括号内的减法，通分，公分母取 x(x－2)²： (x＋2)÷［x(x－2)］＝(x＋2)(x－2)÷［x(x－2)²］＝(x²－4)÷［x(x－2)²］， (x－1)÷(x－2)²＝x(x－1)÷［x(x－2)²］＝(x²－x)÷［x(x－2)²］， 相减：(x²－4)－(x²－x)＝x－4，所以括号内＝(x－4)÷［x(x－2)²］。 第三步：算除法。除以 等于乘它的倒数： 原式＝(x－4)÷［x(x－2)²］×x÷(x－4)＝1÷(x－2)²。 第四步：代入求值。当 x＝1 时，原式＝1÷(1－2)²＝1÷1＝1。 【检验】x＝1 时，x²－2x＝－1≠0，x²－4x＋4＝1≠0，＝－3≠0，各分母均不为 0，代入有效。 方法总结：分式化简求值按“因式分解—通分—加减—除法变乘法—约分—代入”六步走， 代入前必须检查原式各分母是否为 0。 19．【答案】(1) ；(2) ；(3) 不存在 【详解】(1) 第①步计算 (x²－4)÷(x²＋4x＋4)。 因式分解：x²－4＝(x＋2)(x－2)（平方差公式），x²＋4x＋4＝(x＋2)²（完全平方公式）。 所以第①步＝(x＋2)(x－2)÷(x＋2)²＝（约去一个公因式 x＋2）。 (2) 第②步：÷，除以一个分式等于乘它的倒数， 而 的倒数就是 ，所以第②步结果＝1。 第③步：1－＝－＝。这就是程序输出的结果。 (3) 假设输出结果等于 1，则 ＝1，去分母得 x＋1＝x＋2， 即 1＝2，矛盾，方程无解。所以不存在这样的 x 值，使输出结果等于 1。 【补充】输入的 x 需满足 x≠±2（保证各分母不为 0），在此范围内结论不变。 20．【答案】(1) x＋y＝2，x－y＝4，xy＝1；(2) 8 【详解】(1) 两个二次根式相加减，直接合并： x＋y＝(＋2)＋(－2)＝＋＋2－2＝2； x－y＝(＋2)－(－2)＝－＋2＋2＝4（注意减去 －2 要变号）； xy＝(＋2)(－2)，用平方差公式＝()²－2²＝5－4＝1。 (2) 先通分：－＝x²÷(xy)－y²÷(xy)＝(x²－y²)÷(xy)。 用平方差公式：x²－y²＝(x＋y)(x－y)，所以原式＝(x＋y)(x－y)÷(xy)。 代入 (1) 的结果：原式＝2×4÷1＝8。 方法总结：求 － 这类对称式的值，先化为 (x²－y²)÷(xy)， 再用 x＋y、x－y、xy 三个基本量整体代入，避免把 x、y 的值直接代入反复开方。 21．【答案】(1) 货车每小时行驶 40 千米；(2) 货车每小时应行驶 60 千米 【详解】(1) 设货车每小时行驶 x 千米，则小汽车每小时行驶 1.5x 千米。 货车全程用时 小时；小汽车晚出发 1 小时且同时到达，全程用时 小时。 由“小汽车比货车少用 1 小时”列分式方程：－＝1。 因为 1.5x 是货车速度的 1.5 倍，120÷1.5x＝80÷x，所以方程化为 －＝1， 即 ＝1，解得 x＝40。 【检验】x＝40 时，x(1.5x)≠0；货车用 3 小时，小汽车每小时 60 千米用 2 小时，2＋1＝3，恰好同时到达，符合题意。 所以货车每小时行驶 40 千米。 (2) 设货车每小时行驶 y 千米，则小汽车每小时行驶 1.5y 千米。40 分钟＝ 小时。 列方程：－＝，即 ＝， 去分母（或由 40÷y＝2÷3，得 y＝40÷()）得 y＝60。 【检验】y＝60 时，分母均不为 0；货车用 2 小时，小汽车每小时 90 千米用 小时，＋＝2，同时到达，符合题意。 所以货车每小时应行驶 60 千米。 易错点：40 分钟要化成 小时再参与运算，单位不统一直接列方程是常见错误。 22．【答案】(1) k＝9；(2) x＋y＝－1；(3) 见详解 【详解】(1) x²＋6x＋k 是完全平方式，对照 a²＋2ab＋b²：x 相当于 a，6x 相当于 2ab， 所以 2b＝6，b＝3，k＝b²＝9，即 x²＋6x＋9＝(x＋3)²。 (2) 用分组配方法：x²－4x＋y²＋6y＋13＝0， 把 x²－4x 配上 (4÷2)²＝4，把 y²＋6y 配上 (6÷2)²＝9， 则 (x²－4x＋4)＋(y²＋6y＋9)＋(13－4－9)＝0， 即 (x－2)²＋(y＋3)²＝0。 因为 (x－2)²≥0，(y＋3)²≥0，两个非负数的和为 0，必须每个都等于 0， 所以 x－2＝0 且 y＋3＝0，即 x＝2，y＝－3，故 x＋y＝2＋(－3)＝－1。 (3) 配方：a²－4a＋7＝a²－4a＋4＋3＝(a－2)²＋3。 因为无论 a 取何值，(a－2)²≥0，所以 (a－2)²＋3≥3， 即代数式 a²－4a＋7 的值总不小于 3（当 a＝2 时取得最小值 3）。 方法总结“配方”就是给二次三项式补上“一次项系数一半的平方”，是处理非负性问题的核心手段。 23．【答案】(1) 增根为 x＝2，m＝1；(2) m＜5 且 m≠1 【详解】先去分母：方程两边同乘最简公分母 (x－2)，得 x＋m＋(x－2)＝3， 整理得 2x＝5－m，即 x＝(5－m)÷2。 (1) 分式方程的增根是使最简公分母为 0 的根。这里公分母为 x－2，所以增根只能是 x＝2。 增根虽使原方程无意义，但它是整式方程的根，把 x＝2 代入 2x＝5－m： 2×2＝5－m，得 m＝1。 【检验】当 m＝1 时，x＝(5－1)÷2＝2，而 x＝2 使原方程分母为 0，确实是增根，符合题意。 (2) 方程的解为正数，即 x＝(5－m)÷2＞0，得 5－m＞0，所以 m＜5； 同时分式方程必须有解且不是增根，即 x≠2： 由 (5－m)÷2＝2 得 m＝1，所以 m≠1。 综上，m 的取值范围是 m＜5 且 m≠1。 易错点：只考虑 x＞0 而忘记排除增根对应的 m＝1，是这类题最典型的失分点。 24．【答案】(1) 甲种每本 12 元，乙种每本 10 元；(2) 共 6 种方案；(3) 甲 25 本、乙 75 本时费用最低，最低 1050 元 【详解】(1) 设乙种笔记本每本 x 元，则甲种笔记本每本 (x＋2) 元。 由“480 元买甲种的数量＝400 元买乙种的数量”列分式方程：＝。 去分母（两边同乘 x(x＋2)）：480x＝400(x＋2)， 展开：480x＝400x＋800，移项合并：80x＝800，解得 x＝10。 【检验】x＝10 时，x(x＋2)＝120≠0；480÷12＝40 本，400÷10＝40 本，数量相等，符合题意。 所以乙种每本 10 元，甲种每本 12 元。 (2) 设购买甲种笔记本 a 本，则购买乙种笔记本 (100－a) 本。 三个不等关系逐一列出： ① 乙种不少于 60 本：100－a≥60，得 a≤40； ② 甲种不少于 25 本：a≥25； ③ 总费用不超过 1060 元：总费用＝12a＋10(100－a)＝2a＋1000， 由 2a＋1000≤1060 得 a≤30。 综上：25≤a≤30，a 取整数，所以 a＝25，26，27，28，29，30，共 6 种购买方案： 甲 25 本乙 75 本、甲 26 本乙 74 本、甲 27 本乙 73 本、甲 28 本乙 72 本、甲 29 本乙 71 本、甲 30 本乙 70 本。 (3) 总费用 W＝2a＋1000，W 随 a 的增大而增大，所以 a 取最小值 25 时费用最低： W＝2×25＋1000＝1050 元，即购买甲种 25 本、乙种 75 本时总费用最低，最低为 1050 元。 【检验】甲 25 本乙 75 本满足全部三个条件，费用 12×25＋10×75＝300＋750＝1050 元，不超过 1060 元。 另验甲 30 本乙 70 本时费用＝360＋700＝1060 元，恰好达到上限，与 (2) 吻合。 方法总结分式方程应用题按“设—列—解—验（分母不为 0 且符合实际）—答”五步走； 方案问题先用不等式组确定取值范围，再逐一代入比较目标量。 学科网（北京）股份有限公司 $