2026-2027学年湘教版八年级上册数学期中测试卷（第三套）（考查范围：第一章至第三章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期八年级数学期中测试卷（第三套） 湘教版八年级上册数学（2025 秋版新教材） 考查范围：第一章　因式分解　第二章　分式　第三章　二次根式　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　） A. x²＋4　　　　B. x²－9　　　　C. x²＋6x＋9　　　　D. x²－6x－9 2. 下列分式中，是最简分式的是（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 3. 计算 (－1)²⁰²⁶＋(－1)²⁰²⁷ 的结果是（　　） A. 0　　　　B. 2　　　　C. －2　　　　D. 1 4. 若 x＜2，则 ² 化简的结果是（　　） A. 2－x　　　　B. x－2　　　　C. －2－x　　　　D. x＋2 5. 化简 的结果是（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. a－1 6. 已知 a＋b＝5，ab＝3，则代数式 a³b＋ab³ 的值为（　　） A. 57　　　　B. 28　　　　C. 19　　　　D. 34 7. 分式方程 ＝1 的解是（　　） A. x＝1　　　　B. x＝－1　　　　C. x＝　　　　D. 无解 8. 下列各数中，与 最接近的整数是（　　） A. 2　　　　B. 3　　　　C. 4　　　　D. 5 9. 计算 (－2)³×()⁻² 的结果是（　　） A. －32　　　　B. 32　　　　C. －8　　　　D. 8 10. 观察下列等式：2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，…，则 2²⁰²⁶ 的个位数字是（　　） A. 2　　　　B. 4　　　　C. 6　　　　D. 8 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 分解因式：(x＋2)²－(x－1)²＝＿＿＿＿。 12. 计算：()⁻¹－2²⁰²⁶×2⁻²⁰²⁵＝＿＿＿＿。 13. 若最简二次根式 与 5 是同类二次根式，则 a＝＿＿＿＿。 14. 已知 ＝2，则 ＝＿＿＿＿。 15. 一个长方形的面积是 27 平方米，宽是 米，则它的长是＿＿＿＿米。 16. 对任意不为 0 的实数 a、b，定义运算“◎”：a◎b＝a²b＋ab²，则 2◎3＝＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤） 17.（8 分）(1) 计算：()⁻³＋－(π－3)⁰； (2) 化简：÷。 18.（8 分）分解因式：(1) x²(a－b)＋4(b－a)； (2) 9(a＋b)²－12a(a＋b)＋4a²。 19.（8 分）如图，一个长方形的长为 (x＋2)、宽为 x，它被一条垂直于长边的线分成两部分：左边是一个边长为 x 的正方形，右边是一个长为 2、宽为 x 的长方形。 (1) 用两种不同的方法表示这个长方形的面积； (2) 由 (1) 可以得到怎样的等式？这个等式从左到右的变形属于哪一种整式变形？ (3) 利用 (2) 中的方法分解因式：a²b＋3ab。 20.（8 分）计算：(1) －＋； (2) (－1)²＋(＋1)²。 21.（10 分）甲、乙两组加工同一种零件，甲组每小时比乙组多加工 2 个；甲组加工 90 个零件所用的时间与乙组加工 60 个零件所用的时间相等。 (1) 求甲、乙两组每小时各加工多少个零件； (2) 若甲、乙两组合作（每小时共同加工两组数量之和），加工 150 个零件需要多少小时？ 22.（9 分）如图，一个正方形花坛的面积为 48 平方米，现计划在花坛的四周铺一条宽度处处相同的小路，小路外边缘所围成的图形仍为正方形，小路宽 1 米。 (1) 求花坛的边长（结果化为最简二次根式）； (2) 求小路外边缘所围成的正方形的边长（结果化为最简二次根式）； (3) 求小路的面积（结果化为最简二次根式）。 23.（9 分）为鼓励节约用水，某市实行阶梯水价：每月用水量不超过 12 吨的部分按每吨 3 元收费，超过 12 吨的部分按每吨 4 元收费。 (1) 某家庭 3 月份用水 15 吨，应缴水费多少元？ (2) 某家庭 4 月份用水量超过 12 吨，平均水价为每吨 3.4 元，求该家庭 4 月份的用水量； (3) 某家庭 5 月份缴水费 54 元，求该家庭 5 月份的用水量。 24.（12 分）从下列每个等式中探寻规律： 3²－1²＝8＝8×1；　　5²－3²＝16＝8×2；　　7²－5²＝24＝8×3；　　9²－7²＝32＝8×4；　… (1) 按此规律，第 n 个等式（n 为正整数）用含 n 的式子表示为＿＿＿＿； (2) 利用因式分解说明 (1) 中等式成立的理由； (3) 计算：(3²－1²)＋(5²－3²)＋(7²－5²)＋…＋(101²－99²)。 参考答案与详解 1．【答案】B 【详解】平方差公式 a²－b²＝(a＋b)(a－b) 的特征：两项、符号相反、每项都能写成某个数的平方。 A 只有加法，不符合；C 是三项且中间项为 ＋6x，是完全平方式，用完全平方公式； D 两项符号相同（都带负号的项不成平方差结构），无法直接用公式； B：x²－9＝x²－3²，两项符号相反、都能写成平方，能直接用平方差公式。故选 B。 2．【答案】B 【详解】最简分式：分子与分母没有公因式。 A：＝x，可约分，不是最简； C：x²－4＝(x＋2)(x－2)，与分子有公因式 (x＋2)，约分后等于 ，不是最简； D：10 与 15x 有公因数 5，约分后等于 ，不是最简； B：x＋1 与 x²＋1 没有公因式（x²＋1 不能因式分解），是最简分式。故选 B。 3．【答案】A 【详解】(－1) 的奇次幂等于 －1，偶次幂等于 1。 2026 是偶数，所以 (－1)²⁰²⁶＝1；2027 是奇数，所以 (－1)²⁰²⁷＝－1。 原式＝1＋(－1)＝0。故选 A。 4．【答案】A 【详解】由二次根式的性质：＝|a|（对任意实数 a 成立）。 所以 ²＝|x－2|。 因为 x＜2，所以 x－2＜0，|x－2|＝－(x－2)＝2－x。故选 A。 易错点：直接写成 x－2 就错了——开平方要加绝对值，再根据 x＜2 去掉绝对值符号。 5．【答案】A 【详解】先把分母因式分解：a²－1＝(a＋1)(a－1)（平方差公式）。 分子 (a＋1) 与分母的公因式是 a＋1，约分得 。故选 A。 提醒：约分的前提是把分子、分母都化成积的形式，直接斜线约分是错误的。 6．【答案】A 【详解】先提公因式：a³b＋ab³＝ab(a²＋b²)。 其中 a²＋b²＝(a＋b)²－2ab（由完全平方公式移项得到）。 代入 a＋b＝5、ab＝3：a²＋b²＝25－6＝19， 所以 a³b＋ab³＝3×19＝57。故选 A。 关键：两次转化——先提公因式，再用 (a＋b)² 与 ab 表示 a²＋b²。 7．【答案】A 【详解】去分母（两边同乘 x＋1）：2x＝x＋1，解得 x＝1。 【检验】x＝1 时，x＋1＝2≠0，分母不为 0，是原方程的解。故选 A。 注意：选项 C 的 x＝ 代入后左边 (2×)÷()＝1÷1.5＝≠1，不满足方程。 8．【答案】C 【详解】 介于哪两个整数的平方之间：9＝3²＜15＜16＝4²， 所以 3＜＜4。计算与 3、4 的距离：15 与 16 相差 1，与 9 相差 6， 所以 更接近 4。故选 C。 方法总结“最接近哪个整数”要看被开方数更接近哪个完全平方数。 9．【答案】A 【详解】(－2)³＝－8（负数的奇次幂为负）； ()⁻²＝1÷()²＝1÷()＝4（负整数指数幂：底数取倒数，指数变正）。 原式＝－8×4＝－32。故选 A。 10．【答案】B 【详解】列出 2 的各次幂的个位数字：2，4，8，6，2，4，8，6，…， 个位数字按 2、4、8、6 四个一循环。 2026÷4＝506 余 2，所以 2²⁰²⁶ 的个位数字与 2² 相同，是 4。故选 B。 方法总结尾数循环问题：先找循环节，再用余数定位。 11．【答案】3(2x＋1) 【详解】两项都是平方形式，用平方差公式（把 x＋2 与 x－1 各看成一个整体）： (x＋2)²－(x－1)²＝[(x＋2)＋(x－1)]·[(x＋2)－(x－1)] ＝(2x＋1)×3＝3(2x＋1)。 检验展开 3(2x＋1)＝6x＋3；展开原式＝x²＋4x＋4－(x²－2x＋1)＝6x＋3，一致。 提醒减号后面是整个 (x－1)，去括号时各项都要变号。 12．【答案】1 【详解】()⁻¹＝1÷()＝3； 同底数幂相乘，指数相加：2²⁰²⁶×2⁻²⁰²⁵＝2^(2026－2025)＝2。 原式＝3－2＝1。 13．【答案】3 【详解】同类二次根化简后被开方数完全相同（都是最简二次根式才比较）。 由 2a－1＝a＋2，解得 a＝3。 【检验】a＝3 时，＝，5＝5，被开方数都是 5，是同类二次根式，符合题意。 14．【答案】3 【详解】所求 可拆成 ＋＝＋1。 代入 ＝2：原式＝2＋1＝3。 关键：把“同分母相加”拆开，转化为已知比值 ，避免去解方程。 15．【答案】9 【详解】长＝面积÷宽＝27÷。 分母有理化：27÷＝27÷3（分子分母同乘 ）＝9（米）。 【检验】9×＝9×3＝27，面积相符。 16．【答案】30 【详解】按定义代入：2◎3＝2²×3＋2×3²＝4×3＋2×9＝12＋18＝30。 提醒新定义运算题严格按照定义的公式代入，先算乘方再算乘法。 17．【答案】(1) 11；(2) 【详解】(1) 逐项计算：()⁻³＝1÷()³＝1÷()＝8；＝4；(π－3)⁰＝1（π－3≠0）。 原式＝8＋4－1＝11。 (2) 先把除数与被除式的分母因式分解：a²－6a＋9＝(a－3)²（完全平方公式）。 原式＝(a＋3)÷(a－3)²×（除以一个分式等于乘它的倒数）， 约去公因式 (a＋3) 与一个 (a－3)，得原式＝。 18．【答案】(1) (a－b)(x＋2)(x－2)；(2) (a＋3b)² 【详解】(1) 先统一符号：4(b－a)＝－4(a－b)， 所以原式＝x²(a－b)－4(a－b)＝(a－b)(x²－4)， 再用平方差公式：x²－4＝(x＋2)(x－2)， 所以原式＝(a－b)(x＋2)(x－2)。 易错点(b－a) 与 (a－b) 互为相反数，提取“负公因式”时 4 要变 －4，这一步最容易出错。 (2) 把 (a＋b) 看成一个整体 M，原式即 9M²－12aM＋4a²， 对照完全平方公式：(3M)²－2×3M×2a＋(2a)²＝(3M－2a)²。 代回 M＝a＋b：原式＝[3(a＋b)－2a]²＝(3a＋3b－2a)²＝(a＋3b)²。 【检验】展开 (a＋3b)²＝a²＋6ab＋9b²；展开原式：9(a²＋2ab＋b²)－12a²－12ab＋4a²＝9a²＋18ab＋9b²－12a²－12ab＋4a²＝a²＋6ab＋9b²，一致。 19．【答案】(1) x(x＋2) 或 x²＋2x；(2) x(x＋2)＝x²＋2x，是因式分解；(3) ab(a＋3) 【详解】(1) 方法一（整体看）：长方形长为 (x＋2)、宽为 x，面积为 x(x＋2)； 方法二（部分和）：左边正方形面积为 x×x＝x²，右边长方形面积为 2×x＝2x， 所以面积还可表示为 x²＋2x。 (2) 同一个长方形面积相等，所以 x(x＋2)＝x²＋2x。 从右到左看，它是把多项式 x²＋2x 化成 x 与 (x＋2) 的积，属于因式分解（提公因式法）； 从左到右看是整式乘法。两者方向相反。 (3) 类比 (2)：a²b＋3ab 两项都含公因式 ab， 提公因式得 a²b＋3ab＝ab(a＋3)。 【检验】ab×a＝a²b，ab×3＝3ab，乘回去与原式一致。 方法总结几何图形面积的不同表示方法，是理解“整式乘法与因式分解互逆”的直观模型。 20．【答案】(1) 2；(2) 8 【详解】(1) 先把每个根式化为最简：＝＝4，＝＝5，＝＝3。 三者是同类二次根式，直接合并：4－5＋3＝2。 (2) 分别用完全平方公式展开： (－1)²＝3－2＋1＝4－2；(＋1)²＝3＋2＋1＝4＋2。 相加：(4－2)＋(4＋2)＝8（中间项 ±2 恰好抵消）。 【另法】(a－b)²＋(a＋b)²＝2(a²＋b²)＝2×(3＋1)＝8。 21．【答案】(1) 甲组每小时加工 6 个，乙组每小时加工 4 个；(2) 15 小时 【详解】(1) 设甲组每小时加工 x 个，则乙组每小时加工 (x－2) 个。 由“时间相等”列分式方程：＝。 去分母（两边同乘 x(x－2)）：90(x－2)＝60x， 展开：90x－180＝60x，移项：30x＝180，解得 x＝6。 所以乙组每小时加工 6－2＝4 个。 【检验】x＝6 时，x(x－2)≠0；90÷6＝15 小时，60÷4＝15 小时，时间相等，符合题意。 (2) 两组合作每小时加工 6＋4＝10 个， 加工 150 个需要 150÷10＝15 小时。 22．【答案】(1) 4 米；(2) (4＋2) 米；(3) (16＋4) 平方米 【详解】(1) 花坛是正方形，边长＝面积的算术平方根＝＝＝4 米。 (2) 花坛四周各加宽 1 米，外边缘正方形的边长＝花坛边长＋2×1（两侧各一条路宽）， 即 4＋2 米，已是最简二次根式（4 与 2 不能合并）。 (3) 小路面积＝大正方形面积－花坛面积： 大正方形面积＝(4＋2)²，用完全平方公式展开： (4)²＋2×4×2＋2²＝48＋16＋4＝52＋16。 小路面积＝52＋16－48＝16＋4（平方米）。 【检验】估算：4≈6.93，外边长≈8.93，大正方形面积≈79.7，减 48 得≈31.7； 16＋4≈27.7＋4＝31.7，一致。 易错点外边长是 4＋2 而不是 5（路宽 1 米只加在两侧，两个方向共加 2 米）。 23．【答案】(1) 48 元；(2) 20 吨；(3) 16.5 吨 【详解】(1) 15 吨分两段计费：前 12 吨按每吨 3 元，超过的 3 吨按每吨 4 元。 水费＝12×3＋(15－12)×4＝36＋12＝48 元。 (2) 设 4 月份用水 x 吨（x＞12）。 总水费为 12×3＋4(x－12)＝4x－12（元）。 由“平均水价＝总水费÷用水量”列分式方程：＝3.4。 去分母：4x－12＝3.4x，移项：0.6x＝12，解得 x＝20。 【检验】x＝20＞12，且代入后分母不为 0；水费＝4×20－12＝68 元，平均 68÷20＝3.4 元，符合题意。 所以 4 月份用水 20 吨。 (3) 先判断用水量是否超过 12 吨：若恰好 12 吨，水费＝12×3＝36 元＜54 元， 所以 5 月份用水超过 12 吨。 超出部分的水费＝54－36＝18 元，超出的水量＝18÷4＝4.5 吨， 5 月份用水量＝12＋4.5＝16.5 吨。 【检验】12×3＋4.5×4＝36＋18＝54 元，符合题意。 方法总结阶梯计费问题先“分段”再列式；反求用量时，先用门槛值判断所属段落。 24．【答案】(1) (2n＋1)²－(2n－1)²＝8n；(2) 见详解；(3) 10200 【详解】(1) 观察每个等式的两个底数：3 与 1、5 与 3、7 与 5、…，都是相邻的奇数， 第 n 个等式是 (2n＋1)² 与 (2n－1)² 的差，结果都是 8 的 n 倍。 所以第 n 个等式为 (2n＋1)²－(2n－1)²＝8n。 (2) 用平方差公式分解左边： (2n＋1)²－(2n－1)²＝[(2n＋1)＋(2n－1)]·[(2n＋1)－(2n－1)] ＝4n×2＝8n，等式成立。 (3) 观察求和式：后一项的被减数恰与前一项的减数相同，依次相消： 原式＝(3²－1²)＋(5²－3²)＋(7²－5²)＋…＋(101²－99²) ＝101²－1²（只剩首项的减数与末项的被减数） ＝10201－1＝10200。 【检验】由 (1)，第 n 项等于 8n，故总和＝8×(1＋2＋…＋50)＝8×1275＝10200，一致。 方法总结“相邻相消”的链式求和，抓住“首尾”即可；用规律通项另算一遍可以双向验证。 学科网（北京）股份有限公司 $