微专题07 倍角条件下的等角构造 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

专题七倍角条件下的等角构造培优专题讲与练 一必备知识 一个角是另一个角的两倍，提示的不只是一条角平分线。平分大角可以直接得到等角；复制小 角可以使第三个角相等；已有高线或角平分线时，还能借全等把倍角移到一个等腰三角形中。 先看目标需要把哪条线段搬到哪里，再选择构造。 1倍角、等腰与线段位置 若∠C=2∠B,则平分∠C后得到的每个角都等于∠B;若把一个∠B复制到另一个顶点，也可 能与原角一起组成等腰三角形。等角必须属于同一个三角形，才能得到相应的等边。 若三角形中∠C=2∠B,由∠A=180°-3∠B>0,得到0<∠B<60°、0<∠C<120°。倍角条件 允许∠C为锐角、直角或钝角，但不允许达到120°。 构造截点前常要比较两边。下述结论可由等腰性质和外角定理得到：在同一三角形中，较长的 边所对的角较大，反之亦然。 证明 如图，在△YZ中，若XY>XZ,在Y上取T,使XT=XZ。则∠XZT=∠XTZ。由三角形外角定 理，∠XTZ=∠XYZ+∠TZY,故∠XZY=∠XYZ+2∠TZY>∠XYZ。 反过来，若∠XZY>∠YZ,则Y既不能等于XZ(否则两角相等)，也不能小于XZ(否则按 刚证的结论两角大小相反)，所以XY>XZ。 比较结论只用于同一个三角形。 2选择构造的三个入口 已有高线：在底边直线上取关于垂足等距的点，利用两个直角和公共高作SAS全等。 已有角平分线：在角的两边截取等长，以公共角平分线作SAS全等。 没有合适的全等条件：先平分大角或复制小角，检查能否直接形成等腰。 A 线段的和差由点序决定；垂足在边内与边外要分别处理。 第1页共19页 二典例精讲 例题在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D。求证：BC=AC+2CD。 A 分析 目标中出现2CD,而高线已经给出，故把CD复制到D的另一侧。全等负责把AC搬成AE,倍角 负责把AE再搬到底边上的BE。 解 设∠ABC=B,则∠ACB=2B。两底角都是锐角，所以D在BC内部。由2B>B及前述比较结论， AB>AC,勾股定理给出BD2=AB-AD2>AC2-AD=CD2,故BD>CD。 在DB上取E,使DE=DC,连接AE。此时点序为B,E,D,C。 在△ADE和△ADC中， DE=DC ∠ADE=∠ADC=90 AD=AD △ADE兰△ADC(SAS)。 故AE=AC,∠AED=∠ACD=2B。因EB与ED反向，∠AEB=180°-2B。在△ABE中， ∠BAE=B=∠ABE,所以BE=AE=AC。 最后按点序相加：BC=BE+ED+DC=AC+2CD。 第2页共19页 三分类讲练 1平分大角与复制小角 先使两个角真正落在同一个三角形内，再用等角对等边。 例1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,M为BC中点。求证： DM⊥BC。 A D B C M 第3页共19页 变式1-1点A,P在直线BC的两侧，△ABC与△PBC分别满足∠ACB=2∠ABC、 ∠PCB=2∠PBC。CD,CE分别平分∠ACB,∠PCB,且D在AB上、E在PB上。已知BC=12, CD=10,CE=3V5,求DE。 y D E 第4页共19页 例2在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°。点E在线段BC上，且BE=AC。求证：AE=BE。 A E B 第5页共19页 变式2-1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。若在线段BC内部存在点E,使AE=BE=AC,求 ∠ACB的取值范围；并证明在所得范围内，这样的点E存在且唯一。 A B 第6页共19页 2高线复制与边角关系 高线两侧先复制等角，再处理内外点序；反向可从长度、面积或平方关系找回倍角。 例3在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,且∠ACB为钝角。AD垂直于直线BC,垂足为D,M为 BC的中点。求证：AC=2MD。 BMC 第7页共19页 变式3-1本题不提供图形。在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=13。点A到直线BC的距离 为12，求BC的所有可能值。 第8页共19页 3内外角平分线上的截长补短 沿角平分线的两边取等长，以SAS搬运角与边；内分截长、外分补短，逆向先由边差恢复等 腰。 例4在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AD平分∠BAC,交BC于D。求证：AB=AC+CD。 A B 第9页共19页 变式4-1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。延长BA至F,AD平分∠CAF,交射线BC于D,其 中C在B,D之间。求证：BD等于△ABC的周长。 C 第10页共19页 4隐藏倍角与连续等腰 由总角关系、角平分或外角找出真正的二倍角；必要时连续构造两个等腰三角形。 例5在△ABC中，∠ABC=3∠ACB。AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为 E,交AC于F。 (1)求证：BF=CF,(2)求证：AC-AB=2BE。 F A HE D 第11页共19页 变式5-1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为E,交线段AC内 部于F。若AC-AB=2BE,求证：∠ABC=3∠ACB。 四分层练习 基础巩固 1.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D,且BD=3CD。求△ABC的三个内角。 y B 第12页共19页 2.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD平分∠BAC,交BC于D,且AD=BD。求∠BAC。 y B D C 第13页共19页 迁移运用 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD为∠BAC的内角平分线，交BC于D,AE为相应的外角 平分线，交BC的延长线于E,点序为B,D,C,E。M为DE中点。求证：DM=AB,CM=AC。 A E M D °B 第14页共19页 4.在△ABC中，AC=10,BC=22,S△ABc=88,且∠ACB为锐角。求证：∠ACB=2∠ABC。 y B 5.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,且S△ACD=S△BCD·求∠ACB。 ry D 第15页共19页 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,且AB=AC+CD。求证：∠ACB=2∠ABC。 A B D 第16页共19页 五综合提高 1.在△ABC中，BC=10,∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,设CD=X。 (1)求x的取值范围；（2)证明该范围内的每个值都能实现。 A D B 第17页共19页 2.在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c。 (1)已知∠ACB=2∠ABC,证明c2=b(a+b), (2）在第(1)问条件下，AB=12,AC=8,求BC, (3)在另一个三角形中，三边满足c2=b(a+b),证明∠ACB=2∠ABC。 A B 第18页共19页 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=2,M为BC的中点。求AM的最大值，并求取到最大 值时三角形的三个内角。 A B M 第19页共19页专题七倍角条件下的等角构造培优专题讲与练 一必备知识 一个角是另一个角的两倍，提示的不只是一条角平分线。平分大角可以直接得到等角；复制小 角可以使第三个角相等；已有高线或角平分线时，还能借全等把倍角移到一个等腰三角形中。 先看目标需要把哪条线段搬到哪里，再选择构造。 1倍角、等腰与线段位置 若∠C=2∠B,则平分∠C后得到的每个角都等于∠B:若把一个∠B复制到另一个顶点，也 可能与原角一起组成等腰三角形。等角必须属于同一个三角形，才能得到相应的等边。 若三角形中∠C=2∠B,由∠A=180°-3∠B>0,得到0<∠B<60°、0<∠C<120°。倍角条件 允许∠C为锐角、直角或钝角，但不允许达到120°。 构造截点前常要比较两边。下述结论可由等腰性质和外角定理得到：在同一三角形中，较长的 边所对的角较大，反之亦然。 证明 如图，在△YZ中，若Y>XZ,在Y上取T,使XT=XZ。则∠XZT=∠XTZ。由三角形外角 定理，∠XTZ=∠XYZ+∠TZY,故∠XZY=∠XYZ+2∠TZY>∠XYZ。 反过来，若∠XZY>∠YZ,则Y既不能等于XZ(否则两角相等)，也不能小于XZ(否则按 刚证的结论两角大小相反)，所以Y>XZ。 比较结论只用于同一个三角形。 2选择构造的三个入口 已有高线：在底边直线上取关于垂足等距的点，利用两个直角和公共高作SAS全等。 已有角平分线：在角的两边截取等长，以公共角平分线作SAS全等。 没有合适的全等条件：先平分大角或复制小角，检查能否直接形成等腰。 线段的和差由点序决定；垂足在边内与边外要分别处理。 第1页共19页 二典例精讲 例题在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D。求证：BC=AC+2CD。 A B 分析 目标中出现2CD,而高线已经给出，故把CD复制到D的另一侧。全等负责把AC搬成AE,倍角 负责把AE再搬到底边上的BE。 解 设∠ABC=B,则∠ACB=2B。两底角都是锐角，所以D在BC内部。由2B>B及前述比较结 论，AB>AC:勾股定理给出BD=AB2-AD>AC2-AD2=CD,故BD>CD。 在DB上取E,使DE=DC,连接AE。此时点序为B,E,D,C。 在△ADE和△ADC中， DE=DC ∠ADE=∠ADC=90 AD=AD △ADE≌△ADC(SAS). 故AE=AC,∠AED=∠ACD=2B。因EB与ED反向，∠AEB=180°-2B。在△ABE中， ∠BAE=B=∠ABE,所以BE=AE=AC。 最后按点序相加：BC=BE+ED+DC=AC+2CD。 第2页共19页 三分类讲练 1平分大角与复制小角 先使两个角真正落在同一个三角形内，再用等角对等边。 例1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D;M为BC中点。求证： DM⊥BC。 D B C M 第3页共19页 变式1一1点A,P在直线BC的两侧，△ABC与△PBC分别满足∠ACB=2∠ABC、 ∠PCB=2∠PBC。CD,CE分别平分∠ACB,∠PCB,且D在AB上、E在PB上。已知BC=12, CD=10,CE=3V5,求DE。 A D E 第4页共19页 例2在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°。点E在线段BC上，且BE=AC。求证：AE=BE。 A E B 第5页共19页 变式2-1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。若在线段BC内部存在点E,使AE=BE=AC,求 ∠ACB的取值范围；并证明在所得范围内，这样的点E存在且唯一。 A B 第6页共19页 2高线复制与边角关系 高线两侧先复制等角，再处理内外点序；反向可从长度、面积或平方关系找回倍角。 例3在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,且∠ACB为钝角。AD垂直于直线BC,垂足为D,M为 BC的中点。求证：AC=2MD。 BM C 第7页共19页 变式3-1本题不提供图形。在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=13。点A到直线BC的距离 为12，求BC的所有可能值。 第8页共19页 3内外角平分线上的截长补短 沿角平分线的两边取等长，以SAS搬运角与边；内分截长、外分补短，逆向先由边差恢复等 腰。 例4在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AD平分∠BAC,交BC于D。求证：AB=AC+CD。 A 第9页共19页 变式4-1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。延长BA至F,AD平分∠CAF,交射线BC于D, 其中C在B,D之间。求证：BD等于△ABC的周长。 C B 第10页共19页 4隐藏倍角与连续等腰 由总角关系、角平分或外角找出真正的二倍角；必要时连续构造两个等腰三角形。 例5在△ABC中，∠ABC=3∠ACB。AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为 E,交AC于F。 (1)求证：BF=CF;(2)求证：AC-AB=2BE。 C F A 第11页共19页 变式5-1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为E,交线段AC 内部于F。若AC-AB=2BE,求证：∠ABC=3∠ACB。 A AE D 四分层练习 基础巩固 1.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D,且BD=3CD。求△ABC的三个内角。 y B 第12页共19页 2.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD平分∠BAC,交BC于D,且AD=BD。求∠BAC。 A D 第13页共19页 迁移运用 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD为∠BAC的内角平分线，交BC于D;AE为相应的外角 平分线，交BC的延长线于E,点序为B,D,C,E。M为DE中点。求证：DM=AB,CM=AC。 A E M C D B 第14页共19页 4.在△ABC中，AC=10,BC=22,SAABC=88,且∠ACB为锐角。求证：∠ACB=2∠ABC。 y B 5.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,且S△ACD=SABCD。求 ∠ACB。 y D 第15页共19页 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,且AB=AC+CD。求证：∠ACB=2∠ABC。 A 。B D 第16页共19页 五综合提高 1.在△ABC中，BC=10,∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,设CD=X。 (1)求x的取值范围；(2)证明该范围内的每个值都能实现。 A D C 第17页共19页 2.在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c。 (1)已知∠ACB=2∠ABC,证明c2=b(a+b): (2）在第（1)问条件下，AB=12,AC=8,求BC: (3)在另一个三角形中，三边满足c2=b(a+b),证明∠ACB=2∠ABC。 A B 第18页共19页 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=2,M为BC的中点。求AM的最大值，并求取到最大 值时三角形的三个内角。 A C B M 第19页共19页专题七倍角条件下的等角构造培优专题讲与练 一必备知识 一个角是另一个角的两倍，提示的不只是一条角平分线。平分大角可以直接得到等角；复制小 角可以使第三个角相等；已有高线或角平分线时，还能借全等把倍角移到一个等腰三角形中。 先看目标需要把哪条线段搬到哪里，再选择构造。 1倍角、等腰与线段位置 若∠C=2∠B,则平分∠C后得到的每个角都等于∠B:若把一个∠B复制到另一个顶点，也 可能与原角一起组成等腰三角形。等角必须属于同一个三角形，才能得到相应的等边。 若三角形中∠C=2∠B,由∠A=180°-3∠B>0,得到0<∠B<60°、0<∠C<120°。倍角条件 允许∠C为锐角、直角或钝角，但不允许达到120°。 构造截点前常要比较两边。下述结论可由等腰性质和外角定理得到：在同一三角形中，较长的 边所对的角较大，反之亦然。 证明 如图，在△YZ中，若Y>XZ,在Y上取T,使XT=XZ。则∠XZT=∠XTZ。由三角形外角 定理，∠XTZ=∠XYZ+∠TZY,故∠XZY=∠XYZ+2∠TZY>∠XYZ。 反过来，若∠XZY>∠YZ,则Y既不能等于XZ(否则两角相等)，也不能小于XZ(否则按 刚证的结论两角大小相反)，所以Y>XZ。 比较结论只用于同一个三角形。 2选择构造的三个入口 已有高线：在底边直线上取关于垂足等距的点，利用两个直角和公共高作SAS全等。 已有角平分线：在角的两边截取等长，以公共角平分线作SAS全等。 没有合适的全等条件：先平分大角或复制小角，检查能否直接形成等腰。 线段的和差由点序决定；垂足在边内与边外要分别处理。 第1页共21页 二典例精讲 例题在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D。求证：BC=AC+2CD。 A B 分析 目标中出现2CD,而高线已经给出，故把CD复制到D的另一侧。全等负责把AC搬成AE,倍角 负责把AE再搬到底边上的BE。 解 设∠ABC=B,则∠ACB=2B。两底角都是锐角，所以D在BC内部。由2B>B及前述比较结 论，AB>AC:勾股定理给出BD=AB2-AD>AC2-AD2=CD,故BD>CD。 在DB上取E,使DE=DC,连接AE。此时点序为B,E,D,C。 在△ADE和△ADC中， DE=DC ∠ADE=∠ADC=90 AD=AD △ADE≌△ADC(SAS). 故AE=AC,∠AED=∠ACD=2B。因EB与ED反向，∠AEB=180°-2B。在△ABE中， ∠BAE=B=∠ABE,所以BE=AE=AC。 最后按点序相加：BC=BE+ED+DC=AC+2CD。 第2页共21页 三分类讲练 1平分大角与复制小角 先使两个角真正落在同一个三角形内，再用等角对等边。 例1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D;M为BC中点。求证： DM⊥BC。 D B M 分析 先平分题面的较大角，使两个相等角落在同一个三角形内。得到BD=CD后，中点条件才可与 SSS配合生成垂直。 解答 设∠ABC=B。由角平分线，∠BCD=B=∠CBD,故BD=CD。 在△BDM和△CDM中， BD=CD BM=CM DM=DM △BDM≌△CDM(SSS)。 所以∠BMD=∠CMD。两角互补，故都为90°，即DM⊥BC。 第3页共21页 变式1一1点A,P在直线BC的两侧，△ABC与△PBC分别满足∠ACB=2∠ABC、 ∠PCB=2∠PBC。CD,CE分别平分∠ACB,∠PCB,且D在AB上、E在PB上。已知BC=12, CD=10,CE=3V5,求DE。 D E 力 分析 不能从图上直接把DE当作高。先证明两个倍角三角形中的等腰，再说明两条中垂线是同一直 线，最后按两侧位置拼接长度。 解答 取BC的中点M,连接DM,EM。由倍角及角平分，∠BCD=∠CBD、∠BCE=∠CBE,故 BD=CD、BE=CE。 在△BDM和△CDM中， BD=CD BM=CM DM=DM △BDM≌△CDM(SSS)· 因此DM⊥BC。同理，△BEM≌△CEM(SSS),EM⊥BC。过M的垂线唯一，所以 D,M,E共线。由于D,E在BC两侧，M在线段DE内部。 BM=CM=6。勾股定理给DM=V102-62=8、EM=V(3V5)2-62=3。所以DE=DM+EM=11。 第4页共21页 例2在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°。点E在线段BC上，且BE=AC。求证：AE=BE。 A E(F) B 分析 题面没有高线或角平分线。先在A处复制小角，使△ABF等腰；倍角再使△AFC等腰，最后以 同一射线上距离相等确认辅助点就是题设点。 解答 设∠ABC=β。由0<2B<90°，有0<B<45°，而∠BAC=180°-3B>B。 在∠BAC内部作射线AF,使∠BAF=B,交BC于F。由于射线严格在角内部，F在线段BC内 部。 在△ABF中，∠BAF=∠ABF=B,所以AF=BF。又∠AFB=180°-2B,故 ∠AFC=2B=∠ACF,所以AF=AC。 于是BF=AF=AC=BE。E,F在同一射线BC上，到B的距离相等，所以E=F。因此AE=BE。 第5页共21页 变式2一1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。若在线段BC内部存在点E,使AE=BE=AC,求 ∠ACB的取值范围；并证明在所得范围内，这样的点E存在且唯一。 A E(F) 分析 先从假定存在的小等腰获得必要角域，再在这个角域内复制小角构造所需点。存在性与唯一性 是两个独立步骤。 解答 先求必要条件。若这样的E存在，由AE=AC,得∠AEC=∠ACE=∠ACB。由于△AEC不退 化，2∠ACB<180°，所以0<∠ACB<90°。 再证明充分性。设∠ABC=B,其中0<B<45°。则∠BAC=180°-3B>B,可在∠BAC内部作射 线AF,使∠BAF=B。它与BC相交于内部点F。 在△ABF中，∠BAF=∠ABF=B,所以AF=BF,∠AFB=180°-2B。故 ∠AFC=2B=∠ACF,从而AF=AC。因此取E=F就有AE=BE=AC。 最后，在射线BC上，到B的距离等于固定长度AC的点至多有一个，故满足要求的内点E唯一。 第6页共21页 2高线复制与边角关系 高线两侧先复制等角，再处理内外点序；反向可从长度、面积或平方关系找回倍角。 例3在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,且∠ACB为钝角。AD垂直于直线BC,垂足为D,M为 BC的中点。求证：AC=2MD。 BMC 分析 先把2MD拆成BC+2CD,再寻找能表示这条整段的辅助点。外部垂足下复制的是补角，不能照 搬母题中的角式。 解答 设∠ABC=B。因为∠ACB为钝角，所以点序为B,C,D。延长CD至E,使DE=DC,连接 AE。 在△ADC和△ADE中， DC=DE ∠ADC=∠ADE=90 AD=AD △ADC≌△ADE(SAS)。 于是AE=AC,∠AED=∠ACD=180°-2B。点B,C,D,E依次共线，所以∠AEB=180°-2B: 从而∠BAE=B=∠ABE,BE=AE=AC。 由于M为BC中点，2MD=2(MC+CD)=BC+2CD=BE=AC。 第7页共21页 变式3一1本题不提供图形。在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=13。点A到直线BC的距离 为12，求BC的所有可能值。 A D B E 分析 高与斜边只能确定到垂足的距离，不能确定垂足在边内还是边外。列出两个候选值后，还要反 向构造验证都满足倍角。 解答 过A作AD⊥BC于D。由勾股定理，CD=132-12=5。因为∠ABC<60°，D不在B的外侧；又 CD>0,故只须分D在BC内部与C外侧两种情形。 若D在BC内部，在DB上取E,使DE=DC。由全等得AE=AC,再由倍角得BE=AE,于是 BC=AC+2CD=23。 若点序为B,C,D,延长CD至E,使DE=DC。同样由全等与等腰得到BE=AC,于是 BC=AC-2CD=3。 两值均能实现：先作直角三角形ACD,其中AD=12,CD=5;取C关于D的对称点E,则 AE=13。在直线CE上分别按B,E,D,C或B,C,D,E的顺序取BE=13。两图的△ABE均为等腰， 结合△ADC≌△ADE及补角关系，都给出∠ACB=2∠ABC。 第8页共21页 3内外角平分线上的截长补短 沿角平分线的两边取等长，以SAS搬运角与边；内分截长、外分补短，逆向先由边差恢复等 腰。 例4在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AD平分∠BAC,交BC于D。求证：AB=AC+CD。 分析 目标是边的差AB-AC。把较短的AC截到AB上后，差成为BE;角平分线的SAS将CD搬成 DE,倍角再给BE=DE。 解答 设∠ABC=B。由∠ACB>∠ABC,得AB>AC。在AB上取E,使AE=AC,连接DE。 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED≌△ACD(SAS)。 所以DE=CD,∠AED=∠ACD=2B。因A,E,B依次共线，∠BED=180°-2B;又 ∠EBD=B,故∠BDE=B,BE=DE=CD。 于是AB=AE+EB=AC+CD。 第9页共21页 变式4-1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。延长BA至F,AD平分∠CAF,交射线BC于D, 其中C在B,D之间。求证：BD等于△ABC的周长。 E F 分析 外角平分不再截去AB的一段，而要沿BA延长。把两边之和变成BE后，最后还需加上BC才得到 整段BD。 解答 在射线AF上取点E,使AE=AC,连接DE。 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED≌△ACD(SAS)。 设∠ABC=B。由全等，DE=CD,∠AED=∠ACD=180°-2B。又B,A,E依次共线，故 ∠BED=180°-2B,∠EBD=B,从而∠BDE=B,BE=DE。 所以CD=DE=BE=AB+AE=AB+AC,BD=BC+CD=BC+AB+AC。 第10页共21页 4隐藏倍角与连续等腰 由总角关系、角平分或外角找出真正的二倍角；必要时连续构造两个等腰三角形。 例5在△ABC中，∠ABC=3∠ACB。AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为 E,交AC于F。 (1)求证：BF=CF;（2)求证：AC-AB=2BE。 分析 不要平分题面中的三倍角。已有角平分线和垂线时，先计算90-<A,就会出现真正有用的 二倍角。 解答 设∠ACB=y,则∠ABC=3y,∠BAC=180°-4y,其中0<y<45°。两射线AB,AC关于AD对 称，垂直于AD的直线BF与射线AC相交，且E在B,F之间。 在△ABE和△AFE中， ∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF=90 △ABE≌△AFE(ASA)。 因此AF=AB,BE=EF。又∠ABC>∠ACB给出AC>AB,故F在AC内部。 (1)∠AFB=90-∠FAE=90-号180-4y)=2y。所以∠BFC=180°-2y。在△BCF中， ∠FBC=y=∠BCF,故BF=CF。 (2)AC-AB=AC-AF=CF=BF=BE+EF=2BE. 第11页共21页 变式5-1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为E,交线段AC 内部于F。若AC-AB=2BE,求证：∠ABC=3∠ACB。 C F A 分析 先把长度差变成CF,再把二倍垂距变成BF，得到的等腰首先提供辅助角二倍关系，最后才回 到大三角形。 解答 由∠BAE=∠FAE、公共边AE及两个直角，得△ABE≌△AFE(ASA),所以AF=AB, EF=BE。 题设给CF=AC-AF=AC-AB=2BE=BF。设∠ACB=Y,则等腰△BCF中∠CBF=y, ∠BFC=180-2y。 因为A,F,C依次共线，∠AFB=2y,所以∠FAE=90°-2y。由角平分线，∠BAC=180°-4y。 故∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=3Y。 第12页共21页 四分层练习 基础巩固 1.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D,且BD=3CD。求△ABC的三个内角。 A E 分析 底边上三比一的条件先变成斜边与直角边二比一，再恢复角；不能把底边比直接当作角的比。 解答 在DB上取E,使DE=DC,连接AE。两个直角三角形ADE,ADC由SAS全等，所以AE=AC。 由倍角与补角关系，△ABE为等腰，BE=AE=AC。 因此AC=BE=BD-DE=2CD。在直角三角形ACD中，CD等于斜边的一半，故∠CAD=30°， ∠ACB=60。进而∠ABC=30,∠BAC=90。 2.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD平分∠BAC,交BC于D,且AD=BD。求∠BAC. B C D 分析 现有等腰已经给出所需等角，直接列内角和即可，不必再截长或补短。 解答 设∠ABC=B。由AD=BD,得∠BAD=∠ABD=B。 因AD平分∠BAC,所以∠BAC=2B;又∠ACB=2B,从而5B=180°，B=36°。故 ∠BAC=72。 第13页共21页 迁移运用 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD为∠BAC的内角平分线，交BC于D;AE为相应的外角 平分线，交BC的延长线于E,点序为B,D,C,E。M为DE中点。求证：DM=AB,CM=AC。 分析 两种截补分别给出边差与边和，中点把它们组合成单独一条边。先证明M在C的哪一侧，再写 CM的减法。 解答 在AB上取X,使AX=AC,连接DX。由角平分线和SAS,△AXD≌△ACD,故DX=CD。设 ∠ABC=B,则∠AXD=2B,∠XBD=∠BDX=B,所以BX=DX=CD,即CD=AB-AC。 在BA的延长线上取Y,使AY=AC,连接EY。同理△AYE≌△ACE(SAS),EY=CE。又 ∠BYE=180°-2B、∠YBE=B,故BY=EY,从而CE=AB+AC。 于是DE=DC+CE=2AB,DM=号DE=AB,因为CE>CD,M在CE内部；所以 CM=DM-DC=AB-(AB-AC)=AC. 第14页共21页 4.在△ABC中，AC=10,BC=22,S△Ac=88,且∠ACB为锐角。求证：∠ACB=2∠ABC。 y E 分析 面积先给高，勾股再给垂足位置，之后才有可用于等腰的两条等长边。逆向过程不能预先套用 倍角关系式。 解答 过A作AD⊥BC于D。由面积得AD=2;8=8。勾股定理给出cD=102-g=6。因∠ACB为锐 22 角，D在射线CB上；又CD<BC,故点序为C,D,B,BD=I6。 在DB上取E,使DE=DC=6,连接AE。由AD公共、两个直角及DE=DC,得 △ADE≌△ADC(SAS),故AE=AC=10,∠AED=∠ACD。 又BE=BD-DE=16-6=10=AE。设∠ABC=B,则∠BAE=B,∠AEB=180°-2B。因EB与 ED反向，∠ACB=∠AED=2B。 第15页共21页 5.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,且S△ACD=SABCD·求 ∠ACB。 分析 面积先给出角平分线的落点是边的中点；倍角形成第一个等腰，再借等长传递形成第二个等 腰，最终确定角度。 解答 两三角形以AD,BD为底，共用C到直线AB的高。由面积相等，得AD=BD。 设∠ABC=B。由倍角与角平分，∠BCD=∠ACD=B。在△BCD中，∠CBD=B=∠BCD,故 BD=CD。所以AD=CD。 等腰△ACD给∠CAD=∠ACD=B,于是∠BAC=∠ABC=B、∠ACB=2B。由内角和， 4B=180°，故∠ACB=90°。 第16页共21页 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,且AB=AC+CD。求证：∠ACB=2∠ABC。 分析 倍角尚未得到，不能先用于求角。先从边差恢复BE=DE,再从等腰的两个底角恢复二倍关 系。 解答 由AB=AC+CD>AC,可在AB上取点E,使AE=AC,连接DE。 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED≌△ACD(SAS)。 故DE=CD,∠AED=∠ACD。又BE=AB-AE=AB-AC=CD=DE,所以∠EBD=∠BDE。 设∠ABC=B。由等腰△BDE,∠BED=180°-2B;于是∠ACB=∠AED=180°-∠BED=2B。 第17页共21页 五综合提高 1.在△ABC中，BC=10,∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,设CD=X。 (1)求x的取值范围；(2)证明该范围内的每个值都能实现。 O D M B M 分析 先从等腰得到必要范围，再反过来按给定长度构造等腰三角形。构造出D还不够，必须验证两 条射线能交成非退化的原三角形。 解答 设∠ABC=B,则∠BAC=180°-3B>0,故0<B<60°。由角平分线，∠BCD=∠CBD=B,所以 BD=CD=X。由三角形两边之和大于第三边，2x>10,即x>5。 在△BCD中，∠BDC=180°-2B>B=∠BCD。由概念页已证明的角边比较结论，BC>BD=x, 即x<10。所以5<x<10。 反过来，任取5<x<10。取BC=10及其中点M,过M作垂线，在其一侧取D,使 MD=Vx-25>0。连接BD,CD,勾股定理给BD=CD=X。设∠CBD=∠BCD=B。 为证明B<60',在BC内部取T,使BT=BD=X,连接DT。等腰△BDT给∠BDT=18O-P。因 为DT在∠BDC内部，所以180)-E<180°-2B,整理得B<60°。 在BC的D侧作射线CA，使CD在∠BCA内部且∠DCA=B。因为B+2B<180°，射线CA与射线 BD交于有限点A。射线CA位于CD远离CB的一侧，所以交点在D外侧。所得三角形三个角为 B,2B,180°-3B,均为正，且CD平分∠ACB,CD=x。 因此范围内每个值均能实现。x=5会使△BCD退化，x=10会使B=60°、∠A=0°，均不能取。 第18页共21页 2.在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c。 (1)已知∠ACB=2∠ABC,证明c2=b(a+b): (2)在第(1)问条件下，AB=12,AC=8,求BC; (3)在另一个三角形中，三边满足c2=b(a+b),证明∠ACB=2∠ABC。 A B 分析 两条勾股等式相减可消去共同的高。逆向时，平方关系先决定投影长度及反射点的位置，再恢 复小等腰与倍角；不能预先使用待证角关系。 解答 (1)作AH⊥直线BC于H。设∠ABC=B,则0<B<60°，所以H在射线BC上。 若∠C<90°，H在BC内部，记CH=t。在直线BC上取C关于H的对称点E,连接AE。 在△AHE和△AHC中， HE=HC ∠AHE=∠AHC=90 AH=AH △AHE≌△AHC(SAS)。 所以AE=AC=b、∠AEH=2B。E在H的B侧。若E=B,则AB=AC,两底角相等，与 ∠C=2∠B>0矛盾；若B在EH内部，则△ABE中∠ABE=180°-B、∠AEB=2B,两角之和大 于180°，也矛盾。因此点序确为B,E,H,C。 于是∠AEB=180°-2B,∠BAE=B,所以BE=AE=b,Q=b+2t。由勾股定理相减， c2-b2=BH2-CH2=(a-t)2-t2=a(a-2t)=ab, 若∠C>90°，点序为B,C,H。记CH=t,延长CH到E,使HE=HC,连接AE。由同样的SAS 全等，AE=AC=b,∠AEB=∠ACH=180°-2B。所以∠BAE=B,BE=AE=b,即b=a+2t。 勾股相减给c2-b2=(a+t2-t2=a(a+2t)=ab。 若∠C=90°，则∠B=45,a=b,勾股定理给c2=a+b2=b(a+b)。三种情形均得到 c2=b(a+b)。 (2）144=8(BC+8),解得BC=10. 第19页共21页 (3)仍作AH⊥直线BC于H。由c2=b2+ab>b2,有c>b。若H在B外侧，则 b2=AH+(BH+a)P>AH2+BH2=c2,矛盾；H=B也会给b2=c2+a2>c2,故H在射线BC上且 H≠B。 若H在BC内部，记CH=t。勾股相减得ab=(a-t2-t=a(a-2t),故b=a-2t>0。于是 BH=a-t>t,可在HB内部取E使HE=HC=t。由SAS有AE=AC=b;而BE=a-2t=b,所以 AE=BE。设∠ABC=B,等腰给∠BAE=B,∠AEB=180°-2B。点序为B,E,H,C,故 ∠AEH=2B;由全等，∠ACB=∠ACH=∠AEH=2B。 若H在C外侧，记CH=t。勾股相减得ab=(a+tP-t=a(a+2t),故b=a+2t。延长CH到E,使 HE=HC=t。由SAS,AE=AC=b;而BE=a+2t=b,所以AE=BE。设∠ABC=B,则 ∠AEB=180°-2B。全等给∠ACH=∠AEH=∠AEB=180°-2B,从而∠ACB=2B。 若H=C,则勾股与已知给a+b2=b2+ab,故a=b>0。原三角形是等腰直角三角形， ∠C=90°=2∠B。逆命题的三种位置也全部成立。 第20页共21页 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=2,M为BC的中点。求AM的最大值，并求取到最大 值时三角形的三个内角。 D ME C(D 分析 中线本身没有固定长度，但它在底边上的投影MD固定。将目标的平方拆成高的平方与这个定 长的平方，再检查上界何时真正取到。 解答 过A作AD⊥直线BC于D。先证明MD=1。设∠ABC=B。当∠ACB为锐角时，D在BC内部， 且由AB>AC及勾股得BD>CD。取E∈DB,使DE=DC;由SAS,△ADE≌△ADC,得 AE=AC、∠AED=2B,从而∠BAE=B,BE=AE=2。于是BC=2+2CD, MD=MC-CD=BC-CD=1。 当∠ACB为钝角时，点序为B,C,D。延长CD至E,使DE=DC。由同样的SAS得AE=AC, ∠AEB=180°-2B,故BE=AE=2。于是BC+2CD=2,MD=MC+CD=号BC+CD=1. 2 当∠ACB=90时，∠ABC=45°，故BC=AC=2;此时D=C,也有MD=MC=1。 由勾股定理，AM=AD+MD=AD2+1。又AD+CD=AC=4(D=C时等式直接成立)，所 以AM=5-CD2≤5，即AM<V5. 等号成立当且仅当CD=0,即D=C。这时∠C=90°，∠B=45°，∠A=45°。取AC=BC=2的等 腰直角三角形即可实现，故最大值确为5。 第21页共21页专题七倍角条件下的等角构造培优专题讲与练 一必备知识 一个角是另一个角的两倍，提示的不只是一条角平分线。平分大角可以直接得到等角；复制小 角可以使第三个角相等；已有高线或角平分线时，还能借全等把倍角移到一个等腰三角形中。 先看目标需要把哪条线段搬到哪里，再选择构造。 1倍角、等腰与线段位置 若∠C=2∠B,则平分∠C后得到的每个角都等于∠B;若把一个∠B复制到另一个顶点，也可 能与原角一起组成等腰三角形。等角必须属于同一个三角形，才能得到相应的等边。 若三角形中∠C=2∠B,由∠A=180°-3∠B>0,得到0<∠B<60°、0<∠C<120°。倍角条件 允许∠C为锐角、直角或钝角，但不允许达到120°。 构造截点前常要比较两边。下述结论可由等腰性质和外角定理得到：在同一三角形中，较长的 边所对的角较大，反之亦然。 证明 如图，在△YZ中，若XY>XZ,在Y上取T,使XT=XZ。则∠XZT=∠XTZ。由三角形外角定 理，∠XTZ=∠XYZ+∠TZY,故∠XZY=∠XYZ+2∠TZY>∠XYZ。 反过来，若∠XZY>∠YZ,则Y既不能等于XZ(否则两角相等)，也不能小于XZ(否则按 刚证的结论两角大小相反)，所以XY>XZ。 比较结论只用于同一个三角形。 2选择构造的三个入口 已有高线：在底边直线上取关于垂足等距的点，利用两个直角和公共高作SAS全等。 已有角平分线：在角的两边截取等长，以公共角平分线作SAS全等。 没有合适的全等条件：先平分大角或复制小角，检查能否直接形成等腰。 A 线段的和差由点序决定；垂足在边内与边外要分别处理。 第1页共21页 二典例精讲 例题在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D。求证：BC=AC+2CD。 A 分析 目标中出现2CD,而高线已经给出，故把CD复制到D的另一侧。全等负责把AC搬成AE,倍角 负责把AE再搬到底边上的BE。 解 设∠ABC=B,则∠ACB=2B。两底角都是锐角，所以D在BC内部。由2B>B及前述比较结论， AB>AC,勾股定理给出BD2=AB-AD2>AC2-AD=CD2,故BD>CD。 在DB上取E,使DE=DC,连接AE。此时点序为B,E,D,C。 在△ADE和△ADC中， DE=DC ∠ADE=∠ADC=90 AD=AD △ADE兰△ADC(SAS)。 故AE=AC,∠AED=∠ACD=2B。因EB与ED反向，∠AEB=180°-2B。在△ABE中， ∠BAE=B=∠ABE,所以BE=AE=AC。 最后按点序相加：BC=BE+ED+DC=AC+2CD。 第2页共21页 三分类讲练 1平分大角与复制小角 先使两个角真正落在同一个三角形内，再用等角对等边。 例1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,M为BC中点。求证： DM⊥BC。 A D : B M 分析 先平分题面的较大角，使两个相等角落在同一个三角形内。得到BD=CD后，中点条件才可与 SSS配合生成垂直。 解答 设∠ABC=B。由角平分线，∠BCD=B=∠CBD,故BD=CD。 在△BDM和△CDM中， BD=CD BM=CM DM=DM △BDM兰△CDM(SSS)。 所以∠BMD=∠CMD。两角互补，故都为90°，即DM⊥BC。 第3页共21页 变式1一1点A,P在直线BC的两侧，△ABC与△PBC分别满足∠ACB=2∠ABC ∠PCB=2∠PBC。CD,CE分别平分∠ACB,∠PCB,且D在AB上、E在PB上。已知BC=12, CD=10,CE=3V5,求DE。 A D M B E P 分析 不能从图上直接把DE当作高。先证明两个倍角三角形中的等腰，再说明两条中垂线是同一直 线，最后按两侧位置拼接长度。 解答 取BC的中点M,连接DM,EM。由倍角及角平分，∠BCD=∠CBD、∠BCE=∠CBE,故 BD=CD、BE=CE。 在△BDM和△CDM中， BD=CD BM=CM DM-DM △BDM=△CDM(SSS)。 因此DM⊥BC。同理，△BEM三△CEM(SSS),EM⊥BC。过M的垂线唯一，所以D,M,E 共线。由于D,E在BC两侧，M在线段DE内部。 BM=CM=6。勾股定理给DM=V102-62=8、EM=V(3V52-62=3。所以DE=DM+EM=11。 第4页共21页 例2在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°。点E在线段BC上，且BE=AC。求证：AE=BE。 A B E(F) 分析 题面没有高线或角平分线。先在A处复制小角，使△ABF等腰；倍角再使△AFC等腰，最后以 同一射线上距离相等确认辅助点就是题设点。 解答 设∠ABC=B。由0<2B<90°，有0<B<45,而∠BAC=180-3B>B。 在∠BAC内部作射线AF,使∠BAF=B,交BC于F。由于射线严格在角内部，F在线段BC内 部。 在△ABF中，∠BAF=∠ABF=阝，所以AF=BF。又∠AFB=180°-2B,故 ∠AFC=2B=∠ACF,所以AF=AC。 于是BF=AF=AC=BE。E,F在同一射线BC上，到B的距离相等，所以E=F。因此AE=BE。 第5页共21页 变式2-1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。若在线段BC内部存在点E,使AE=BE=AC,求 ∠ACB的取值范围；并证明在所得范围内，这样的点E存在且唯一。 A E(F) 分析 先从假定存在的小等腰获得必要角域，再在这个角域内复制小角构造所需点。存在性与唯一性 是两个独立步骤。 解答 先求必要条件。若这样的E存在，由AE=AC,得∠AEC=∠ACE=∠ACB。由于△AEC不退 化，2∠ACB<180,所以0<∠ACB<90。 再证明充分性。设∠ABC=B,其中0<B<45°。则∠BAC=180°-3B>B,可在∠BAC内部作射 线AF,使∠BAF=B。它与BC相交于内部点F。 在△ABF中，∠BAF=∠ABF=B,所以AF=BF,∠AFB=180°-2B。故 ∠AFC=2B=∠ACF,从而AF=AC。因此取E=F就有AE=BE=AC。 最后，在射线BC上，到B的距离等于固定长度AC的点至多有一个，故满足要求的内点E唯一。 第6页共21页 2高线复制与边角关系 高线两侧先复制等角，再处理内外点序；反向可从长度、面积或平方关系找回倍角。 例3在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,且∠ACB为钝角。AD垂直于直线BC,垂足为D,M为 BC的中点。求证：AC=2MD。 BMC 分析 先把2MD拆成BC+2CD,再寻找能表示这条整段的辅助点。外部垂足下复制的是补角，不能照 搬母题中的角式。 解答 设∠ABC=B。因为∠ACB为钝角，所以点序为B,C,D。延长CD至E,使DE=DC,连接AE。 在△ADC和△ADE中， DC=DE ∠ADC=∠ADE=90 AD=AD △ADC=△ADE(SAS)。 于是AE=AC,∠AED=∠ACD=180°-2B。点B,C,D,E依次共线，所以∠AEB=180°-2B, 从而∠BAE=B=∠ABE,BE=AE=AC。 由于M为BC中点，2MD=2(MC+CD)=BC+2CD=BE=AC。 第7页共21页 变式3-1本题不提供图形。在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=13。点A到直线BC的距离 为12，求BC的所有可能值。 A C E 分析 高与斜边只能确定到垂足的距离，不能确定垂足在边内还是边外。列出两个候选值后，还要反 向构造验证都满足倍角。 解答 过A作AD1BC于D。由勾股定理，CD=V132-12=5。因为∠ABC<60°，D不在B的外侧；又 CD>0,故只须分D在BC内部与C外侧两种情形。 若D在BC内部，在DB上取E,使DE=DC。由全等得AE=AC,再由倍角得BE=AE,于是 BC=AC+2CD=23。 若点序为B,C,D,延长CD至E,使DE=DC。同样由全等与等腰得到BE=AC,于是 BC=AC-2CD=3。 两值均能实现：先作直角三角形ACD,其中AD=12,CD=5)取C关于D的对称点E,则 AE=13。在直线CE上分别按B,E,D,C或B,C,D,E的顺序取BE=13。两图的△ABE均为等腰， 结合△ADC三△ADE及补角关系，都给出∠ACB=2∠ABC。 第8页共21页 3内外角平分线上的截长补短 沿角平分线的两边取等长，以SAS搬运角与边；内分截长、外分补短，逆向先由边差恢复等 腰。 例4在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AD平分∠BAC,交BC于D。求证：AB=AC+CD。 分析 目标是边的差AB-AC。把较短的AC截到AB上后，差成为BE;角平分线的SAS将CD搬成 DE,倍角再给BE=DE。 解答 设∠ABC=B。由∠ACB>∠ABC,得AB>AC。在AB上取E,使AE=AC,连接DE。 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED兰△ACD(SAS)· 所以DE=CD,∠AED=∠ACD=2B。因A,E,B依次共线，∠BED=180°-2B;又∠EBD=B, 故∠BDE=B,BE=DE=CD。 于是AB=AE+EB=AC+CD。 第9页共21页 变式4一1在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。延长BA至F,AD平分∠CAF,交射线BC于D,其 中C在B,D之间。求证：BD等于△ABC的周长。 E 、 F D C 分析 外角平分不再截去AB的一段，而要沿BA延长。把两边之和变成BE后，最后还需加上BC才得到 整段BD。 解答 在射线AF上取点E,使AE=AC,连接DE。 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED=△ACD(SAS)。 设∠ABC=B。由全等，DE=CD,∠AED=∠ACD=180°-2B。又B,A,E依次共线，故 ∠BED=180°-2B,∠EBD=B,从而∠BDE=B,BE=DE。 所以CD=DE=BE=AB+AE=AB+AC,BD=BC+CD=BC+AB+AC。 第10页共21页 4隐藏倍角与连续等腰 由总角关系、角平分或外角找出真正的二倍角；必要时连续构造两个等腰三角形。 例5在△ABC中，∠ABC=3∠ACB。AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为 E,交AC于F。 (1)求证：BF=CF,（(2)求证：AC-AB=2BE。 F 分析 不要平分题面中的三倍角。已有角平分线和垂线时，先计算90一)<A,就会出现真正有用的 二倍角。 解答 设∠ACB=y,则∠ABC=3y,∠BAC=180°-4y,其中0<y<45°。两射线AB,AC关于AD对 称，垂直于AD的直线BF与射线AC相交，且E在B,F之间。 在△ABE和△AFE中， ∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF=90 △ABE兰△AFE(ASA)。 因此AF=AB,BE=EF。又∠ABC>∠ACB给出AC>AB,故F在AC内部。 (1)∠AFB=90-∠FAE=90-号180-4y)=2y.所以∠BFC=180-2y。在△BCF中， ∠FBC=Y=∠BCF,故BF=CF。 (2）AC-AB=AC-AF=CF=BF=BE+EF=2BE。 第11页共21页 变式5一1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BF⊥AD,垂足为E,交线段AC内 部于F。若AC-AB=2BE,求证：∠ABC=3∠ACB。 C F A 3 分析 先把长度差变成CF,再把二倍垂距变成BF,得到的等腰首先提供辅助角二倍关系，最后才回 到大三角形。 解答 由∠BAE=∠FAE、公共边AE及两个直角，得△ABE兰△AFE(ASA),所以AF=AB, EF=BE。 题设给CF=AC-AF=AC-AB=2BE=BF。设∠ACB=y,则等腰△BCF中∠CBF=Y, ∠BFC=180°-2y。 因为A,F,C依次共线，∠AFB=2y,所以∠FAE=90°-2y。由角平分线，∠BAC=180°-4y。 故∠ABC=180-∠BAC-∠ACB=3y。 第12页共21页 四分层练习 基础巩固 1.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC<90°，AD⊥BC于D,且BD=3CD。求△ABC的三个内角。 y B 分析 底边上三比一的条件先变成斜边与直角边二比一，再恢复角；不能把底边比直接当作角的比。 解答 在DB上取E,使DE=DC,连接AE。两个直角三角形ADE,ADC由SAS全等，所以AE=AC。 由倍角与补角关系，△ABE为等腰，BE=AE=AC。 因此AC=BE=BD-DE=2CD。在直角三角形ACD中，CD等于斜边的一半，故∠CAD=30°， ∠ACB=60°。进而∠ABC=30°，∠BAC=90°。 2.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD平分∠BAC,交BC于D,且AD=BD。求∠BAC。 B D 分析 现有等腰已经给出所需等角，直接列内角和即可，不必再截长或补短。 解答 设∠ABC=B。由AD=BD,得∠BAD=∠ABD=B。 因AD平分∠BAC,所以∠BAC=2B;又∠ACB=2B,从而5B=180°，B=36。故∠BAC=72。 第13页共21页 迁移运用 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。AD为∠BAC的内角平分线，交BC于D,AE为相应的外角 平分线，交BC的延长线于E,点序为B,D,C,E。M为DE中点。求证：DM=AB,CM=AC。 M 分析 两种截补分别给出边差与边和，中点把它们组合成单独一条边。先证明M在C的哪一侧，再写 CM的减法。 解答 在AB上取X,使AX=AC,连接DX。由角平分线和SAS,△AXD兰△ACD,故DX=CD。设 ∠ABC=B,则∠AXD=2B,∠XBD=∠BDX=B,所以BX=DX=CD,即CD=AB-AC。 在BA的延长线上取Y,使AY=AC,连接EY。同理△AYE兰△ACE(SAS),EY=CE。又 ∠BYE=180°-2B、∠YBE=B,故BY=EY,从而CE=AB+AC。 于是DE=DC+CE=-2AB,DM=号DE=AB。因为CE>CD,M在CE内部；所以 CM=DM-DC=AB-（AB-AC)=AC。 第14页共21页 4.在△ABC中，AC=10,BC=22,SAAc=88,且∠ACB为锐角。求证：∠ACB=2∠ABC。 y E 分析 面积先给高，勾股再给垂足位置，之后才有可用于等腰的两条等长边。逆向过程不能预先套用 倍角关系式。 解答 过A作AD⊥BC于D,由面积得AD=2:88=8。勾股定理给出CD=V1O2-g=6。因∠ACB为锐 22 角，D在射线CB上；又CD<BC,故点序为C,D,B,BD=I6。 在DB上取E,使DE=DC=6,连接AE。由AD公共、两个直角及DE=DC,得△ADE兰△ADC (SAS),故AE=AC=10,∠AED=∠ACD。 又BE=BD-DE=16-6=10=AE。设∠ABC=B,则∠BAE=B,∠AEB=180°-2B。因EB与ED 反向，∠ACB=∠AED=2B。 第15页共21页 5.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,且SAACD=S△BcD。求∠ACB。 A 分析 面积先给出角平分线的落点是边的中点；倍角形成第一个等腰，再借等长传递形成第二个等 腰，最终确定角度。 解答 两三角形以AD,BD为底，共用C到直线AB的高。由面积相等，得AD=BD。 设∠ABC=B。由倍角与角平分，∠BCD=∠ACD=B。在△BCD中，∠CBD=B=∠BCD,故 BD=CD。所以AD=CD。 等腰△ACD给∠CAD=∠ACD=B,于是∠BAC=∠ABC=B、∠ACB=2B。由内角和， 4B=180°，故∠ACB=90°。 第16页共21页 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,且AB=AC+CD。求证：∠ACB=2∠ABC。 分析 倍角尚未得到，不能先用于求角。先从边差恢复BE=DE,再从等腰的两个底角恢复二倍关系。 解答 由AB=AC+CD>AC,可在AB上取点E,使AE=AC,连接DE。 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD △AED兰△ACD(SAS)。 故DE=CD,∠AED=∠ACD。又BE=AB-AE=AB-AC=CD=DE,所以∠EBD=∠BDE。 设∠ABC=B。由等腰△BDE,∠BED=180°-2B,于是∠ACB=∠AED=180°-∠BED=2B。 第17页共21页 五综合提高 1.在△ABC中，BC=10,∠ACB=2∠ABC。CD平分∠ACB,交AB于D,设CD=X。 (1)求x的取值范围；(2)证明该范围内的每个值都能实现。 A D D M T B M 分析 先从等腰得到必要范围，再反过来按给定长度构造等腰三角形。构造出D还不够，必须验证两 条射线能交成非退化的原三角形。 解答 设∠ABC=阝，则∠BAC=180°-3B>0,故0<B<60°。由角平分线，∠BCD=∠CBD=B,所以 BD=CD=X。由三角形两边之和大于第三边，2x>10,即x>5。 在△BCD中，∠BDC=180°-2B>B=∠BCD。由概念页已证明的角边比较结论，BC>BD=x, 即x<10。所以5<x<10。 反过来，任取5<x<10。取BC=10及其中点M,过M作垂线，在其一侧取D,使 MD=Vx-25>0。连接BD,CD,勾股定理给BD=CD=X。设∠CBD=∠BCD=B。 为证明B<60°，在BC内部取T,使BT=BD=X,连接DT。等腰△BDT给∠BDT=180-。因为 2 DT在∠BDC内部，所以180)-B<180°-2B,整理得B<60。 2 在BC的D侧作射线CA,使CD在∠BCA内部且∠DCA=B。因为B+2B<I80°，射线CA与射线 BD交于有限点A。射线CA位于CD远离CB的一侧，所以交点在D外侧。所得三角形三个角为 B,2B,180°-3B,均为正，且CD平分∠ACB,CD=x。 因此范围内每个值均能实现。x=5会使△BCD退化，x=10会使B=60°、∠A=0°，均不能取。 第18页共21页 2.在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c。 (1)已知∠ACB=2∠ABC,证明c2=b(a+b), (2）在第（1)问条件下，AB=12,AC=8,求BC, (3)在另一个三角形中，三边满足c2=b(a+b),证明∠ACB=2∠ABC。 A B 分析 两条勾股等式相减可消去共同的高。逆向时，平方关系先决定投影长度及反射点的位置，再恢 复小等腰与倍角；不能预先使用待证角关系。 解答 （1)作AH⊥直线BC于H。设∠ABC=B,则0<B<60°，所以H在射线BC上。 若∠C<90°，H在BC内部，记CH=t。在直线BC上取C关于H的对称点E,连接AE。 在△AHE和△AHC中， HE=HC ∠AHE=ㄥAHC=90 AH=AH △AHE=△AHC(SAS)。 所以AE=AC=b、∠AEH=2B。E在H的B侧。若E=B,则AB=AC,两底角相等，与 ∠C=2∠B>0矛盾；若B在EH内部，则△ABE中∠ABE=180°-B、∠AEB=2B,两角之和大 于180°，也矛盾。因此点序确为B,E,H,C。 于是∠AEB=180°-2B,∠BAE=B,所以BE=AE=b,a=b+2t。由勾股定理相减， c2-b2=BH2-CH2=(a-t)2-t2=a(a-2t)=abo 若∠C>90°，点序为B,C,H。记CH=t,延长CH到E,使HE=HC,连接AE。由同样的SAS全 等，AE=AC=b,∠AEB=∠ACH=180°-2B。所以∠BAE=B,BE=AE=b,即b=a+2t。勾股 相减给c2-b2=(a+t-t2=a(a+2t)=ab。 若∠C=90°，则∠B=45°，a=b,勾股定理给c2=a2+b2=b(a+b)。三种情形均得到 c2=b(a+b)。 (2）144=8(BC+8),解得BC=10。 (3)仍作AH⊥直线BC于H。由c2=b2+ab>b2,有c>b。若H在B外侧，则 b2=AH+(BH+a}2>AH+BH2=c2,矛盾；H=B也会给b2=c2+a2>c2,故H在射线BC上且 H≠B。 第19页共21页 若H在BC内部，记CH=t。勾股相减得ab=(a-tP-t=a(a-2t),故b=a-2t>0。于是 BH=a-t>t,可在HB内部取E使HE=HC=t。由SAS有AE=AC=b;而BE=a-2t=b,所以 AE=BE。设∠ABC=B,等腰给∠BAE=B,∠AEB=180°-2B。点序为B,E,H,C,故 ∠AEH=2B)由全等，∠ACB=∠ACH=∠AEH=2B。 若H在C外侧，记CH=t。勾股相减得ab=(a+t)2-t=a(a+2t),故b=a+2t。延长CH到E,使 HE=HC=t。由SAS,AE=AC=b;而BE=a+2t=b,所以AE=BE。设∠ABC=B,则 ∠AEB=180°-2B。全等给∠ACH=∠AEH=∠AEB=180°-2B,从而∠ACB=2β。 若H=C,则勾股与已知给a+b2=b+ab,故a=b>0。原三角形是等腰直角三角形， ∠C=90°=2∠B。逆命题的三种位置也全部成立。 第20页共21页 3.在△ABC中，∠ACB=2∠ABC,AC=2,M为BC的中点。求AM的最大值，并求取到最大 值时三角形的三个内角。 ME C(D 分析 中线本身没有固定长度，但它在底边上的投影MD固定。将目标的平方拆成高的平方与这个定 长的平方，再检查上界何时真正取到。 解答 过A作AD⊥直线BC于D。先证明MD=1。设∠ABC=B。当∠ACB为锐角时，D在BC内部，且 由AB>AC及勾股得BD>CD。取E∈DB,使DE=DC;由SAS,△ADE三△ADC,得 AE=AC、∠AED=2B,从而∠BAE=B,BE=AE=2。于是BC=2+2CD, MD=MC-CD=2BC-CD=1。 当∠ACB为钝角时，点序为B,C,D。延长CD至E,使DE=DC。由同样的SAS得AE=AC, ∠AEB=180-2B,故BE=AE=2.于是BC+2CD=2,MD=MC+CD=号BC+CD=1。 当∠ACB=90时，∠ABC=45°，故BC=AC=2;此时D=C,也有MD=MC=1。 由勾股定理，AM2=AD2+MD=AD2+1。又AD+CD2=AC2=4(D=C时等式直接成立)，所 以AM2=5-CD≤5，即AM≤V5。 等号成立当且仅当CD=0,即D=C。这时∠C=90°，∠B=45°，∠A=45°。取AC=BC=2的等 腰直角三角形即可实现，故最大值确为√5。 第21页共21页