第1章三角形 能力提升自测卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第1章三角形 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．1，2，4 D．2，2，1 2．2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 3．如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 5．某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（     ） A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处 6．如图，在中，，，点D在边上，连接，若，点D到的距离为3，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 9．将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 12．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 13．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 14．如图，四边形中，，，，于，点为边中点，，，则_________ 15．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为______． 16．如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 19．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 20．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 21．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 22．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 23．如图，已知：在中，，点是边的中点，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接、． (1)求证：是直角三角形； (2)延长、交于点，当时，求的度数． 24．在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章三角形 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．1，2，4 D．2，2，1 【答案】D 【分析】判断三条线段能否组成三角形，只需比较两条较短线段的和与最长线段的大小，若和大于最长线段则可组成三角形． 【详解】解：A选项，∵， ∴不能组成三角形，故A不符合题意； B选项，∵， ∴不能组成三角形，故B不符合题意； C选项，∵， ∴不能组成三角形，故C不符合题意； D选项，∵， ∴能组成三角形，故D符合题意． 2．2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【详解】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰， ∴这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 3．如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 4．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 设中，，则，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状． 【详解】解：不妨设中，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴ 三角形为直角三角形． 故选：B． 5．某幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（     ） A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据到三角形三个顶点距离相等这个条件，匹配三角形各线交点的性质判断选项． 【详解】解：∵充电桩到三个出口、、的距离都相等， ∴该点到 三个顶点的距离相等， ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴该点是 三条边的垂直平分线的交点． 6．如图，在中，，，点D在边上，连接，若，点D到的距离为3，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点E，证明平分，即可得到． 【详解】解：过点作于点E， ∵点D到的距离为3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 7．如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 【答案】A 【分析】设的边上的高为，求出的面积为，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 9．将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，得到，然后利用含30度角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，，，平分．所以可证；；．即证得．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积，然后求出四边形的面积等于的面积的一半． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵直角的顶点P是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形；故②④正确； ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积是面积的一半，故⑤正确； ∵，的长度随E、F的位置变化，只有E、F为中点时才相等， ∴一般情况下，故③错误； 故正确的有①②④⑤，共4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 【答案】18 【分析】作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分，， ∴， ∴． 12．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 13．如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 14．如图，四边形中，，，，于，点为边中点，，，则_________ 【答案】 【分析】延长、交于点，连接，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，继而得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求. 【详解】解：延长、交于点，连接， ∵四边形中，，，， ∴，，， ， ∵点为边中点， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴. 15．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即，根据等角对等边得到，根据的周长为21求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为21， ∴， ∴， 即的周长为． 故答案为：． 16．如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)已知，，则的长为__________． 【答案】(1)证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； (2)1 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为8，则点P的坐标是 ． 【答案】(1)如图即为所求， (2)7 (3)或 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可得出结果； （3）设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：； （3）解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 19．如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)30 (2)24 【分析】（1）先根据中线的定义得到的长度，然后根据三角形面积公式解答即可； （2）先根据中线的性质可知，然后根据三角形面积公式，据此即可求得的长． 【详解】（1）解：是的边上的中线，，， ， 的面积为； （2）解：由题意得， ，， ． 20．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且，．, 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 又， ， ． (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 22．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 【答案】(1) 证明：， ， 即． ，， ． 又， ， ． 又， ， ． (2) 证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，已知：在中，，点是边的中点，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接、． (1)求证：是直角三角形； (2)延长、交于点，当时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴， ∴， ∴，， 在中， ∴， 即， ∴， 即， ∴是直角三角形． (2) 【分析】（1）由点是边的中点和翻折得，则，，结合三角形内角和可证，从而可证是直角三角形； （2）由定理可证，从而得，由翻折得，则，是等边三角形，，由直角三角形的两锐角互余得； 本题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）如图延长、交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵沿直线翻折得， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．在中，，，平分，交边于点D，点A与点E关于所在直线对称，连接，延长交于点F．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； (2)证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （2）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $