微专题13 勾股定理中的构造与转化 训练 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

专题十三勾股定理中的构造与转化培优专题讲与练 一必备知识 勾股定理联系的是同一个直角三角形的三边。一般三角形中，要先根据已知线段选择高，再把 两个直角三角形中的等式相加或相减；求出候选长度以后，还要检查点的位置与原条件。 1勾股定理及其逆定理 在△ABC中，若∠ACB=90°，则AB=AC+BC。这里AB是斜边，不能把任意一条边当作斜 边。 反过来，若AB=AC+BC,则∠ACB=90°。判断直角时，应先核对最大边的平方是否等于另 外两边的平方和。 B 定理从直角得到平方关系；逆定理从平方关系得到直角。 2高、垂足与线段和差 点到直线的距离，是该点到这条直线的垂线段的长度。三角形的高对应的是底边所在直线，垂 足不一定在底边内部。 图中BH⊥AC,H,A,C依次共线，所以HC=HA+AC,不是AC-HA。仍有AB=BH+AH, BC=BH2+CH2。 ⊙ H C 图中两次使用勾股定理时，都含有公共直角边BH。 第1页共20页 3同一面积的两种表示 若BH上AC,AK上BC,则5&c号AG-B-DC~AK,从而ACBH=BC-AK。 换一条底边时，高也必须随之更换；垂足在线段外时面积公式仍然成立。 B A C H 底与高必须配对，不能把一条边和另一条边上的高相乘。 第2页共20页 二典例精讲 共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 母题1在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=V7。求△ABC的面积及点A到直线BC的距离。写出 解答过程。 H 分析 直接向BC作高也能列式，但向长度为3的AC作高，底边分段更简洁。两次勾股中的公共高相 等，得到的方程中平方项抵消。面积求出以后，所求的另一条高由底高乘积相等得到。 解 过B作BH⊥AC于H。若H在CA越过A的延长线上或与A重合，则 BC2-AB=AC+2AC·AH≥9，但实际为7-4=3，矛盾。若H在AC越过C的延长线上或与C重 合，则AB≥AC=3,与AB=2矛盾。因此H在线段AC内部。 设AH=x,则CH=3-x。在两个直角三角形中，BH2=4-x=7-(（3-x)2。展开并消去x,得 6x=6,所以AH=1,BH=V4-1=V3。 因此s6rx3x3-33】 2。 作AK C于K,由同-面积的两种表示，Ck=3,得K23 7 第3页共20页 中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 母题2在△ABC中，M是BC的中点。求证：AB2+AC2=2AM2+BC2。 B M H 分析 一般三角形的中线不一定等于对应边的一半。这里利用的是中点两侧的长度写成和与差，两平 方相加时一次项抵消；它不要求原三角形有直角。 解 过A作AH⊥直线BC于H,记BM=CM=b,MH=X,AH=h。 当H在线段BC上时，BH,CH为b+x,b-x(次序可互换)；当H在线段BC外时，BH,CH为 x+b,x-b(次序可互换)。两种位置均有BH+CH=2b2+2x。 由勾股定理，AB+AC2=2h2+BH2+CH2=2(h2+x2)+2b2。又AM2=h2+x2,BC=2b,所以 AB2+AC2=2AM2+1BC2。 当H与B,C或M重合时，相应的水平线段为0，上述长度平方等式仍直接成立。因此结论适用于 任意非退化的三角形。 第4页共20页 三分类讲练 1等腰条件与斜向直角 底边上的高先给出一组确定长度，再利用另一处直角建立第二个等式。 例1在△ABC中，AB=BC=5,AC=8。点P在线段AC上，且BP⊥BC。求AP。写出解答过 程。 中 分析 底边高能利用等腰条件直接确定。原题的斜向直角则给出另一个平方等式，两个等式一起使用 才能求出底边上的分点。 解答 作BH⊥AC于H。由等腰三角形的性质，AH=CH=4;勾股定理给出BH=25-16=9。 由BP⊥BC,PC2=BP+BC。设AP=x,则PC=8-x,HP=(4-x。不论P在H哪一侧，均有 BP2=9+(4-x2。 所以(8-x=9+(4-x2+25,整理得8x=14,AP=7 49 0子<4，故P在AH内部。此时BP-,PC-需-BP+BC,逆定理保证所求点确实满足 16 垂直条件。 第5页共20页 变式1一1在△ABC中，AB=5,BC=V41,AC=8。直线AC上点P满足BP⊥BC。求AP,并写 出A,P,C的排列顺序。写出解答过程。 B 分析 不等腰时，不能把底边直接平分。先求高足，再以高足为起点设HP,可以用一个正长度统一处 理垂点在A内侧或外侧的情况。 解答 作BH⊥AC于H。若H在A外或与A重合，则BC2-AB≥AC2=64,与41-25=16矛盾；若H在C 外或与C重合，则AB≥AC,也矛盾。因此H在AC内部。 设AH=x。由25-x2=41-(8-x)2得x=3,BH=4,HC=5。 若P在射线HC上（包括H),∠PBC<90°，不能有BP⊥BC。故P在射线HA上且不与H重合。 设HP=t>0,则PC=t+5。 由nC2=BD2+BC,得t+5=+16+41,所以t=5>A=3。故P,A,C依次共线 Ap-93-片 按此长度取点，有PC=BP+BC,由逆定理得BP⊥BC,t唯一，故没有其他位置。 第6页共20页 2面积联系不同的高 同一三角形的面积不随底边选择而改变。先求容易的高，再联系所求的高。 例2在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6。求点B到直线AC的距离；设垂足为D,再求AD。 写出解答过程。 A B C 分析 所求的BD虽在斜向边上，直接求它未必简便。利用三线合一先求AH,再用面积把两条高联系 起来，最后一次勾股即可求AD。 解答 作AH1BC于H。由等腰三角形的性质，BH=3,故AH=V25-9=4,S公Ac 1 ×6×4=12。 作BD L AC于D。由)ACBD=12,得BD=24 在直角三角形ABD中，AD2=AB2-BD'=25-576-49 D5=25,故AD5。 若D在CA越过A的延长线上或与A重合，则BC≥BA2+AC=50,与BC=36矛盾；若D在AC越 过C的延长线上或与C重合，则AB>AC,也矛盾。因此D在线段AC内部。 第7页共20页 变式2-1在等腰△ABC中，AB=AC,BC=6,点B到直线AC的距离为4。求AB。写出解答 过程。 A C H 分析 反向求解时，两条高不必先单独算出。面积把写成s的倍数后，勾股关系只剩一个未知量的 平方；边长为正决定取正根。 解答 作AH⊥BC于H,BD1AC于D,则BH=3,BD=24,设AB=S,AH=h,其中s>0,h>0。 5 由同一面积的两种表示，6h=丝。，所议4 5s。 在直角三角形ABH中，g2=h+9=6)2+9,得s=25。因为s>0,所以AB=5。 25 底边为6、腰长为5的等腰三角形存在，其底边高为4，腰上的高为6×45=24 满足原条 件，故答案可达。 第8页共20页 3中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 例3在△ABC中，M,N分别是AC,AB的中点，且BM=CN。求证：AB=AC。 A M 分析 两个中点分属两条不同的边，不能直接使用三线合一。把两条中线分别换成三边平方，再相 减，就能消去共同边BC。 解答 对中线BM应用母题中的中线平方关系，得AB+BC2=2BM+1AC2。 对中线CN应用同一关系，得AC2+BC'=2CN+号AB。 两式相减，并用BM=CN,得AB2-AC2=AC2-AB),所以号AB-AC2)=0。边长均为正， 故AB=AC。 变式3-1在△ABC中，BC=6,M,N分别是AC,AB的中点，BM=V13,CN=2V10。求证： AB⊥BC。 A 少 M B 分析 两中线不等时不能相减后直接结束。把边长的平方暂记为两个未知量，用一次方程组恢复三边 平方，再用逆定理判定直角。 解答 由中线平方关系，AB2+36=26+号AC,AC2+36=80+号AB。 令u=AB,v=AC2,整理得2u-v=-20,-u+2v=88。由第一个等式得v=2u+20,代入第二个 等式得3u=48,所以u=16,v=52。 于是AB+BC=16+36=52=AC。由勾股定理逆定理，∠ABC=90°，即AB⊥BC。 第9页共20页 4斜边上的高 两个三角形共用一个顶点时，向承载另一顶点的直线作高，把分散的长度放进同一个直角三角 形。 例4在△CDE中，∠DCE=90°，CD=9,CE=12。点A在线段DE内部，△ABC满足 ∠ACB=90,CA-CB,AB=召.且R,D在直线Ac的两。求AD,并证明AB1D. 分析 CA虽能由等腰直角三角形求出，却不能直接与AD放入勾股式。向DE作CH后，CA才成为含 AH的直角三角形的斜边。CH不是用特殊角求出，而是由CDE的面积换高。 解答 由勾股定理，DE=V9+12=15。作CH⊥DE于H。直角三角形的两个锐角均小于90°，故H在 线段DE内部。 用面积换高：DE:CH=CD·CE,所以C=9X2-。在直角三角形CDH中 DH=811296=2名，故HE=48 25 5。 由CA=CB,CA2=号AB=2592。在直角三角形ACH中，AH2=CA2-CH2=1296 25 25 ,所以 AH=36=CH。 5 因为AH>DH且A在线段DE内部，A不可能在DH上，只能在HE内部。故AD=DH+HA=63 又A山HE智，该位置确实在线段内部。 由AH=CH得∠CAH=45°；由CA=CB且∠ACB=90得∠CAB=45°。B,D在AC两侧，而射线 AH与AD相同，故∠BAH=45°+45°=90°。因此AB⊥DE。 第10页共20页 变式4-1在△CDE中，∠DCE=90°，CD<CE。点A在线段DE内部，△ABC满足 ∠ACB=90°，CA=CB,且B,D在直线AC的两侧。求证：AB⊥DE当且仅当 AB·DE=2CD·CE。 B C D AE 分析 把数值结论推广时，真正起作用的是AB等于斜边高的两倍。条件CD小于CE保证DH小于 高，而HE大于高，既排除错误一侧，也保证所求位置可达。 解答 作CH⊥DE于H。H在线段DE内部。设CD=p,CE=q,DE=r,CH=h,则0<p<q,r2=p+q2。 由面积，rh=pq。 由勾股定理，DF=p2-h=￡，故DH=卫；同理证=4。所以DH<h<HE。 先证必要性。若AB⊥DE,因为A,C,H不共线时∠CAB=45°，直线AC与DE所成的锐角为 45°，故△ACH是等腰直角三角形，AH=CH=h。(若A=H,则AC⊥DE,不可能同时有 AB1DE且∠CAB=45°。)于是CA2=2h2,AB2=2CA2=4h2,即AB=2h,故 AB·DE=2rh=2pq。 再证充分性。若ABDE=2CD-CE,由h=P9得AB=2h。所以CA2-=AB=2R, AH2=CA2-h2=h2,即AH=h。 由DH<h<HE及A在线段DE内部，得A只能在HE内，且这样的点确实存在。于是 ∠CAH=45°。由两侧条件，∠BAH=∠BAC+∠CAH=90°，所以AB⊥DE。两方向均已证明。 第11页共20页 5共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 例5在△BCD中，BC=13,BD=15,CD=4。求点B到直线CD的距离。写出解答过程。 分析 不能把示意图中看似钝角当作已知。先用平方差排除高足在线段内或D外，再用HD与HC的 和差关系列式；否则减法的方向可能出错。 解答 作BH⊥直线CD于H。若H在线段CD上（含端点)，则HD-HC≤16，但由勾股定理， HD2-HC=BD2-BC2=225-169=56,矛盾。垂足与端点重合时，相应的零长度等式也直接成 立。 若H在CD越过D的延长线上，则HC>HD,从而BC>BD,也与已知矛盾。因此H在DC越过C 的延长线上。 设HC=x>0,则HD=x+4。两次勾股相减，得225-169=(x+42-x2=8x+16,所以x=5。于是 BH=V132-52=12。 第12页共20页 变式5一1点A,C,D依次在同一直线上，点B不在该直线上。若BD2-BC2=AD-AC2,求证： AB⊥CD。 B B H的、 D C 图2假设位置一：H在射线AC上且H不与A重合（不满足题设平方差等式） 图3假设位置二：H在A外（不满足题设平方差等式） 分析 两组平方差相等，意味着相对于同一直线的水平偏移只能为零。证明时不必把所有区间逐一展 开：正向射线内用差的平方，反向射线用和的平方，就能覆盖全部位置。 解答 作BH⊥直线CD于H,设AC=c>0,CD=d>0。若H=A,结论成立；下面排除其他位置。 若H在射线AC上且H≠A,记AH=x>0。无论H在C,D的哪一侧，均有HC=(x-c2, HD=(x-c-d2。两次勾股相减得BD2-BC2=2cd+d-2dx。 而AD2-AC2=(c+d2-c2=2cd+d,故2dx=0,与d>0,x>0矛盾。 若H在CA越过A的延长线上，仍记AH=x>0,则HC=x+c,HD=x+c+d。于是 BD2-BC2=2cd+d+2dk,与已知此较仍得2dx=0,矛盾。 所以只能有H=A,即AB⊥CD。当垂足与C或D重合时，上述含零长度的等式仍成立，已包括 在第一种情况中。 第13页共20页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=V7。点D在线段AC上，且BD=CD。求AD。写出解答过 程。 B A C HD 分析 等距条件应放进含同一条高的长度平方式中。先恢复高足，再利用未知分点到高足距离的平 方，不必先猜分点在高足哪一侧。 解答 作BH⊥AC于H。若H在A外或与A重合，则BC2-AB≥AC2,矛盾；若H在C外或与C重合，则 AB≥AC,也矛盾。因此H在AC内部。 设AH=u。由4-=7-(3-u2,得u=1,BH=3。 设AD=X,则0≤x≤3，HD2=(x-12。由BD=CD得3+(x-1)2=(3-x2,整理得4x=5,所以 AD= 0号3。此时D-36铝D=3号子，所以0-CD,所得点确实满足条作。 第14页共20页 2.在△ABC中，AB=BC=5,AC=8。点D在线段AC内部，且BD=AD。求CD。写出解答过 程。 D H 分析 等腰条件直接确定公共高，随后只需一次平方抵消。列式时要注意AD与CD分别从哪个端点 量起。 解答 作BH⊥AC于H。由等腰三角形的性质及勾股定理，AH=4,BH=3。 则0<x<8,HD=x-4}。由BD=AD,有X2=9+x-42角 所以CD=8-25=39。所得x在0,8)内，代回有BD'=X,两边长为正，故BD=AD,满足原条 88 件。 3.在△ABC中，AB=13,AC=15,BC=14,M是BC的中点。求AM。写出解答过程。 y M 分析 先确认M确为BC中点，再把三边代入已经证明的关系；一般三角形不能使用斜边中线等于斜 边一半的结论。 解答 由中线平方关系，132+152=2AM2+1×142。 整理得2AM=394-98=296,所以AM=148。长度为正，故AM=2V37。 第15页共20页 4.在△CDE中，∠DCE=90°，CD=9,CE=12。点A在直线DE上，且CA-36。求AD的所 5 有可能值。写出解答过程。 C C D E H A 右图A在ED越过D的延长线上 分析 允许域从线段扩大到整条直线后，AH的同一个正值会对应两个点。外侧的AD应取AH减 DH,不能把带符号的差直接当作距离。 解答 作CH L DE于H。由勾股定理，DE=5由面积，CH=C0C=6,又 DE DH=VCD-CHP27,HE=4 5 在直角三角形ACH中，AH2=CA2-CH2=2592-1296=1296 25 25 25 故AH=36 。 在射线HE上，因为AH<H匹，所以A在HE内部，AD=DH+HA=6。若A在射含 因为AH>HD,所以A在ED越过D的延长线上，AD=AH-DH=9。 这两个位置均存在，代入CA=GH+AH均得到CA=36巨。直线上距H为定长的点只有两处， 5 故无其他答案。 第16页共20页 5.在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10。点D在线段BC上。求AD2+BD·DC的值。写出解 答过程。 A 分析 中点两侧的和与差不仅用于平方相加，也能把两段的乘积写成平方差。这样AD中随D变化的 平方项恰好被抵消，结果与D的位置无关。 解答 作AH⊥BC于H。由等腰三角形的性质，BH=CH=5,由勾股定理得AH=12。 设HD=x,则0≤x≤5。不论D在H哪一侧，BD,DC均为5+x,5-x(次序可交换)，故 BD·DC=25-x2。 由勾股定理，AD=AH+HD2=144+x2(D=H时等式直接成立)。所以 AD2+BD·DC=144+x2+25-x2=169。当D为端点时，其中一个分段为0，等式仍成立。 第17页共20页 五综合提高 1.在等腰△ABC中，AB=BC=S,AC=2b,其中s>b>0。直线AC上的点P满足BP⊥BC。用 s,b表示AP,并确定P相对线段AC的位置。写出解答过程。 B P H A H 左图交点在线段内的情形 右图交点在线段外的情形 分析 先统一求HP,而不先分类AP,可避免三套重复方程。分类只发生在把HP与半底b比较时， 等号情形对应P恰好到达端点A。 解答 作BH⊥AC于H。由等腰三角形的性质，AH=HC=b,BH=s2-b2>0。 若P在射线HC上（包括H),则∠PBC<90°，不满足条件。因此P在射线HA上且P≠H。设 HP=t>0,则PC=b+t,BP=t2+s2-b2。 由BP1BC得PC=BP2+BC2,所以b+t=+2s2-b,整理得bt=-b2,故L=S- b 当b<<V2b时，0<t<b,P在AH内部，AP=b-t=2b-S。 b 当s=V2b时，t=b,P=A,AP=0。当s>V2b时，t>b,P在CA越过A的延长线上， AP=t-b=S*-2b2 b。 对每个s>b>0,上述t均唯一且为正。按此长度在射线HA上取P,计算可得PC=BP+BC, 由勾股定理逆定理，BP⊥BC。因此所有分类均可实现，且没有其他解。 第18页共20页 2.在△BCD中，BC=13,BD=15,CD=4。点I在三角形内部，且到三边所在直线的距离相 等。求这个距离。写出解答过程。 分析 等垂距条件直接联系的是面积，而题目没有给面积。先由三边恢复外高求原面积，再把内部点 分成的三个小三角形面积相加；内点条件保证这里用加法而不是面积差。 解答 作BH⊥直线CD于H。若H在线段CD上（含端点），则HD-HC≤16；但由勾股定理， HD2-HC=BD2-BC=225-169=56,矛盾。垂足与端点重合时，相应的零长度等式也直接成 立。 若H在CD越过D的延长线上，则HC>HD,从而BC>BD,也与已知矛盾。因此H在DC越过C 的延长线上。 设HC=x>0,则HD=x+4。两次勾股相减，得225-169=(x+4)2-x2=8x+16,所以x=5。于是 BH=V132-52=12。 因此S。×4×12=24,设1到三边所在直线的共同距离为r0,连接B,1C,D,分别作I到 BC,BD,CD的垂线，垂足为J,K,L。 因为I在三角形内部，三个小三角形的面积之和恰好等于原三角形面积，所以 ×13r+×15r+×4r=24,得16r=24,所以-是 第19页共20页 3.在等腰△ABC中，AB=AC=5,面积为12。求BC的所有可能值。写出解答过程。 可用恒等式：(u+v)2=u2+v2+2uw,(u-v)2=u2+v2-2w。 A A H 左图半底为4、高为3 右图半底为3、高为4 分析 面积给出半底与高的乘积，勾股给出它们的平方和。借助完全平方恒等式，可先求和、差，再 解两个一次方程组。不能凭一张示意图把半底认定为较长的一条直角边。 解答 作AH⊥BC于H,设BH=CH=x>0,AH=h>0。由勾股定理，x+h=25,由面积， 1×2x×h=12,即xh=12。 因此(x+h2=25+24=49。因为x+h>0,所以x+h=7。同时(x-h2=25-24=1,所以x-h=1或 x-h=-1。 由x+h=7,x-h=1,得x=4,h=3’由x+h=7,x-h=-1,得x=3,h=4。所以BC=2x=8或6。 当半底为4、高为3时，两腰均为V42+32=5,面积为4×3=12；当半底为3、高为4时，两腰 也均为5，面积也为12。两种构形均非退化且满足全部条件。由上述平方关系，x-h只有两个 可能值，故无其他答案。 第20页共20页专题十三勾股定理中的构造与转化培优专题讲与练 一必备知识 勾股定理联系的是同一个直角三角形的三边。一般三角形中，要先根据已知线段选择高，再把 两个直角三角形中的等式相加或相减；求出候选长度以后，还要检查点的位置与原条件。 1勾股定理及其逆定理 在△ABC中，若∠ACB=90°，则AB=AC+BC。这里AB是斜边，不能把任意一条边当作斜 边。 反过来，若AB=AC+BC2,则∠ACB=90°。判断直角时，应先核对最大边的平方是否等于另 外两边的平方和。 B 定理从直角得到平方关系；逆定理从平方关系得到直角。 2高、垂足与线段和差 点到直线的距离，是该点到这条直线的垂线段的长度。三角形的高对应的是底边所在直线，垂 足不一定在底边内部。 图中BH⊥AC,H,A,C依次共线，所以HC=HA+AC,不是AC-HA。仍有AB=BH+AH2, BC2=BH2+CH2 B H A C 图中两次使用勾股定理时，都含有公共直角边BH。 第1页共15页 3同一面积的两种表示 若BH上AC,AK上BC,则5&c号AG-B-DC~AK,从而ACBH=BC-AK。 换一条底边时，高也必须随之更换；垂足在线段外时面积公式仍然成立。 夕 A H 底与高必须配对，不能把一条边和另一条边上的高相乘。 第2页共15页 二典例精讲 共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 母题1在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=V7。求△ABC的面积及点A到直线BC的距离。写出 解答过程。 B 分析 直接向BC作高也能列式，但向长度为3的AC作高，底边分段更简洁。两次勾股中的公共高相 等，得到的方程中平方项抵消。面积求出以后，所求的另一条高由底高乘积相等得到。 解 过B作BH⊥AC于H。若H在CA越过A的延长线上或与A重合，则 BC2-AB=AC2+2AC·AH≥9，但实际为7-4=3，矛盾。若H在AC越过C的延长线上或与C重 合，则AB≥AC=3,与AB=2矛盾。因此H在线段AC内部。 设AH=x,则CH=3-X。在两个直角三角形中，BH=4-x=7-(3-x)2。展开并消去x,得 6x=6,所以AH=1,BH=V4-1=V3。 因此54r分×3x5-3。 2 作AK1G于K.由同-面积的两种表示，CAK=3,得K-3-3. √77 第3页共15页 中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 母题2在△ABC中，M是BC的中点。求证：AB'+AC=2AM+号BC。 B 分析 一般三角形的中线不一定等于对应边的一半。这里利用的是中点两侧的长度写成和与差，两平 方相加时一次项抵消；它不要求原三角形有直角。 解 过A作AH⊥直线BC于H,记BM=CM=b,MH=X,AH=h。 当H在线段BC上时，BH,CH为b+x,b-x(次序可互换)；当H在线段BC外时，BH,CH为 x+b,x-b(次序可互换)。两种位置均有BH+CH=2b2+2x2。 由勾股定理，AB+AC2=2h2+BH2+CH=2(h2+x2)+2b2。又AM2=h2+x2,BC=2b,所以 AB+AC2=2AM+号BC. 当H与B,C或M重合时，相应的水平线段为0，上述长度平方等式仍直接成立。因此结论适用于 任意非退化的三角形。 第4页共15页 三分类讲练 1等腰条件与斜向直角 底边上的高先给出一组确定长度，再利用另一处直角建立第二个等式。 例1在△ABC中，AB=BC=5,AC=8。点P在线段AC上，且BP⊥BC。求AP。写出解答过 程。 B 变式1-1在△ABC中，AB=5,BC=V41,AC=8。直线AC上点P满足BP⊥BC。求AP,并写 出A,P,C的排列顺序。写出解答过程。 第5页共15页 2面积联系不同的高 同一三角形的面积不随底边选择而改变。先求容易的高，再联系所求的高。 例2在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6。求点B到直线AC的距离；设垂足为D,再求AD。 写出解答过程。 变式2-1在等腰△ABC中，AB=AC,BC=6,点B到直线AC的距离为号。求AB。与出解答 过程。 y B 第6页共15页 3中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 例3在△ABC中，M,N分别是AC,AB的中点，且BM=CN。求证：AB=AC。 A N M C 变式3-1在△ABC中，BC=6,M,N分别是AC,AB的中点，BM=√13，CN=2V10。求证： AB⊥BC。 N M B 第7页共15页 4斜边上的高 两个三角形共用一个顶点时，向承载另一顶点的直线作高，把分散的长度放进同一个直角三角 形。 例4在△CDE中，∠DCE=90°，CD=9,CE=12。点A在线段DE内部，△ABC满足 ∠ACB-90,CA=CB,AB=号，且B,D在直线AC的两侧。求D,并证明AB⊥DE, B C AE 变式4-1在△CDE中，∠DCE=90°，CD<CE。点A在线段DE内部，△ABC满足 ∠ACB=90°，CA=CB,且B,D在直线AC的两侧。求证：AB⊥DE当且仅当 AB·DE=2CD·CE。 B C及 AE 第8页共15页 5共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 例5在△BCD中，BC=13,BD=15,CD=4。求点B到直线CD的距离。写出解答过程。 B 变式5-1点A,C,D依次在同一直线上，点B不在该直线上。若BD2-BC2=AD2-AC2,求证： AB⊥CD. 第9页共15页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=V7。点D在线段AC上，且BD=CD。求AD。写出解答过 程。 B y C D 2.在△ABC中，AB=BC=5,AC=8。点D在线段AC内部，且BD=AD。求CD。写出解答过 程。 夕 C D 第10页共15页 3.在△ABC中，AB=13,AC=15,BC=14,M是BC的中点。求AM。写出解答过程。 A M C 4.在△CDE中，∠DCE=90°，CD=9,CE=12。点A在直线DE上，且CA=36V2。求AD的所 5 有可能值。写出解答过程。 第11页共15页 5.在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10。点D在线段BC上。求AD2+BD·DC的值。写出解 答过程。 A B 第12页共15页 五综合提高 1.在等腰△ABC中，AB=BC=s,AC=2b,其中s>b>0。直线AC上的点P满足BP⊥BC。用 s,b表示AP,并确定P相对线段AC的位置。写出解答过程。 B C 图示仅为一种位置 第13页共15页 2.在△BCD中，BC=13,BD=15,CD=4。点I在三角形内部，且到三边所在直线的距离相 等。求这个距离。写出解答过程。 B 第14页共15页 3,在等腰△ABC中，AB=AC=5,面积为12。求BC的所有可能值。写出解答过程。 可用恒等式：(u+v2=u+v+2uw,（u-v=u2+v2-2w。 第15页共15页 专题十三 勾股定理中的构造与转化 培优专题讲与练 一 必备知识 勾股定理联系的是同一个直角三角形的三边。一般三角形中，要先根据已知线段选择高，再把两个直角三角形中的等式相加或相减；求出候选长度以后，还要检查点的位置与原条件。 1 勾股定理及其逆定理 在中，若则这里是斜边，不能把任意一条边当作斜边。 反过来，若则判断直角时，应先核对最大边的平方是否等于另外两边的平方和。 定理从直角得到平方关系；逆定理从平方关系得到直角。 2 高、垂足与线段和差 点到直线的距离，是该点到这条直线的垂线段的长度。三角形的高对应的是底边所在直线，垂足不一定在底边内部。 图中依次共线，所以不是仍有 图中两次使用勾股定理时，都含有公共直角边 3 同一面积的两种表示 若则从而 换一条底边时，高也必须随之更换；垂足在线段外时面积公式仍然成立。 底与高必须配对，不能把一条边和另一条边上的高相乘。 二 典例精讲 共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 母题1 在中，求的面积及点到直线的距离。写出解答过程。 分析 直接向BC作高也能列式，但向长度为3的AC作高，底边分段更简洁。两次勾股中的公共高相等，得到的方程中平方项抵消。面积求出以后，所求的另一条高由底高乘积相等得到。 解 过作于若在越过的延长线上或与重合，则但实际为矛盾。若在越过的延长线上或与重合，则与矛盾。因此在线段内部。 设则在两个直角三角形中，展开并消去得所以 因此 作于由同一面积的两种表示，得 中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 母题2 在中，是的中点。求证： 分析 一般三角形的中线不一定等于对应边的一半。这里利用的是中点两侧的长度写成和与差，两平方相加时一次项抵消；它不要求原三角形有直角。 解 过作直线于记 当在线段上时，为（次序可互换）；当在线段外时，为（次序可互换）。两种位置均有 由勾股定理，又所以 当与或重合时，相应的水平线段为0，上述长度平方等式仍直接成立。因此结论适用于任意非退化的三角形。 三 分类讲练 1 等腰条件与斜向直角 底边上的高先给出一组确定长度，再利用另一处直角建立第二个等式。 例1 在中，点在线段上，且求写出解答过程。 分析 底边高能利用等腰条件直接确定。原题的斜向直角则给出另一个平方等式，两个等式一起使用才能求出底边上的分点。 解答 作于由等腰三角形的性质，勾股定理给出 由设则不论在哪一侧，均有 所以整理得 故在内部。此时逆定理保证所求点确实满足垂直条件。 变式1－1 在中，直线上点满足求并写出的排列顺序。写出解答过程。 分析 不等腰时，不能把底边直接平分。先求高足，再以高足为起点设HP，可以用一个正长度统一处理垂点在A内侧或外侧的情况。 解答 作于若在外或与重合，则与矛盾；若在外或与重合，则也矛盾。因此在内部。 设由得 若在射线上（包括不能有故在射线上且不与重合。设则 由得所以故依次共线， 按此长度取点，有由逆定理得唯一，故没有其他位置。 2 面积联系不同的高 同一三角形的面积不随底边选择而改变。先求容易的高，再联系所求的高。 例2 在等腰中，求点到直线的距离；设垂足为再求写出解答过程。 分析 所求的BD虽在斜向边上，直接求它未必简便。利用三线合一先求AH，再用面积把两条高联系起来，最后一次勾股即可求AD。 解答 作于由等腰三角形的性质，故 作于由得 在直角三角形中，故 若在越过的延长线上或与重合，则与矛盾；若在越过的延长线上或与重合，则也矛盾。因此在线段内部。 变式2－1 在等腰中，点到直线的距离为求写出解答过程。 分析 反向求解时，两条高不必先单独算出。面积把h写成s的倍数后，勾股关系只剩一个未知量的平方；边长为正决定取正根。 解答 作于于则设其中 由同一面积的两种表示，所以 在直角三角形中，得因为所以 底边为6、腰长为5的等腰三角形存在，其底边高为4，腰上的高为满足原条件，故答案可达。 3 中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 例3 在中，分别是的中点，且求证： 分析 两个中点分属两条不同的边，不能直接使用三线合一。把两条中线分别换成三边平方，再相减，就能消去共同边BC。 解答 对中线应用母题中的中线平方关系，得 对中线应用同一关系，得 两式相减，并用得所以边长均为正，故 变式3－1 在中，分别是的中点，求证： 分析 两中线不等时不能相减后直接结束。把边长的平方暂记为两个未知量，用一次方程组恢复三边平方，再用逆定理判定直角。 解答 由中线平方关系， 令整理得由第一个等式得代入第二个等式得所以 于是由勾股定理逆定理，即 4 斜边上的高 两个三角形共用一个顶点时，向承载另一顶点的直线作高，把分散的长度放进同一个直角三角形。 例4 在中，点在线段内部，满足且在直线的两侧。求并证明 分析 CA虽能由等腰直角三角形求出，却不能直接与AD放入勾股式。向DE作CH后，CA才成为含AH的直角三角形的斜边。CH不是用特殊角求出，而是由CDE的面积换高。 解答 由勾股定理，作于直角三角形的两个锐角均小于故在线段内部。 用面积换高：所以在直角三角形中，故 由在直角三角形中，所以 因为且在线段内部，不可能在上，只能在内部。故又该位置确实在线段内部。 由得由且得在两侧，而射线与相同，故因此 变式4－1 在中，点在线段内部，满足且在直线的两侧。求证：当且仅当 分析 把数值结论推广时，真正起作用的是AB等于斜边高的两倍。条件CD小于CE保证DH小于高，而HE大于高，既排除错误一侧，也保证所求位置可达。 解答 作于在线段内部。设则由面积， 由勾股定理，故同理所以 先证必要性。若因为不共线时直线与所成的锐角为故是等腰直角三角形，（若则不可能同时有且于是即故 再证充分性。若由得所以即 由及在线段内部，得只能在内，且这样的点确实存在。于是由两侧条件，所以两方向均已证明。 5 共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 例5 在中，求点到直线的距离。写出解答过程。 分析 不能把示意图中看似钝角当作已知。先用平方差排除高足在线段内或D外，再用HD与HC的和差关系列式；否则减法的方向可能出错。 解答 作直线于若在线段上（含端点），则但由勾股定理，矛盾。垂足与端点重合时，相应的零长度等式也直接成立。 若在越过的延长线上，则从而也与已知矛盾。因此在越过的延长线上。 设则两次勾股相减，得所以于是 变式5－1 点依次在同一直线上，点不在该直线上。若求证： 图2 假设位置一：H在射线AC上且H不与A重合（不满足题设平方差等式） 图3 假设位置二：H在A外（不满足题设平方差等式） 分析 两组平方差相等，意味着相对于同一直线的水平偏移只能为零。证明时不必把所有区间逐一展开：正向射线内用差的平方，反向射线用和的平方，就能覆盖全部位置。 解答 作直线于设若结论成立；下面排除其他位置。 若在射线上且记无论在的哪一侧，均有两次勾股相减得 而故与矛盾。 若在越过的延长线上，仍记则于是与已知比较仍得矛盾。 所以只能有即当垂足与或重合时，上述含零长度的等式仍成立，已包括在第一种情况中。 四 分层练习 迁移运用 1. 在中，点在线段上，且求写出解答过程。 分析 等距条件应放进含同一条高的长度平方式中。先恢复高足，再利用未知分点到高足距离的平方，不必先猜分点在高足哪一侧。 解答 作于若在外或与重合，则矛盾；若在外或与重合，则也矛盾。因此在内部。 设由得 设则由得整理得所以 此时所以所得点确实满足条件。 2. 在中，点在线段内部，且求写出解答过程。 分析 等腰条件直接确定公共高，随后只需一次平方抵消。列式时要注意AD与CD分别从哪个端点量起。 解答 作于由等腰三角形的性质及勾股定理， 设则由有解得 所以所得在内，代回有两边长为正，故满足原条件。 3. 在中，是的中点。求写出解答过程。 分析 先确认M确为BC中点，再把三边代入已经证明的关系；一般三角形不能使用斜边中线等于斜边一半的结论。 解答 由中线平方关系， 整理得所以长度为正，故 4. 在中，点在直线上，且求的所有可能值。写出解答过程。 右图 A在ED越过D的延长线上 分析 允许域从线段扩大到整条直线后，AH的同一个正值会对应两个点。外侧的AD应取AH减DH，不能把带符号的差直接当作距离。 解答 作于由勾股定理，由面积，又 在直角三角形中，故 若在射线上，因为所以在内部，若在射线上，因为所以在越过的延长线上， 这两个位置均存在，代入均得到直线上距H为定长的点只有两处，故无其他答案。 5. 在等腰中，点在线段上。求的值。写出解答过程。 分析 中点两侧的和与差不仅用于平方相加，也能把两段的乘积写成平方差。这样AD中随D变化的平方项恰好被抵消，结果与D的位置无关。 解答 作于由等腰三角形的性质，由勾股定理得 设则不论D在H哪一侧，均为（次序可交换），故 由勾股定理，（时等式直接成立）。所以当D为端点时，其中一个分段为0，等式仍成立。 五 综合提高 1. 在等腰中，其中直线上的点满足用表示并确定相对线段的位置。写出解答过程。 左图 交点在线段内的情形 右图 交点在线段外的情形 分析 先统一求HP，而不先分类AP，可避免三套重复方程。分类只发生在把HP与半底b比较时，等号情形对应P恰好到达端点A。 解答 作于由等腰三角形的性质， 若在射线上（包括H），则不满足条件。因此在射线上且设则 由得所以整理得故 当时，在内部， 当时，当时，在越过的延长线上， 对每个上述均唯一且为正。按此长度在射线HA上取P，计算可得由勾股定理逆定理，因此所有分类均可实现，且没有其他解。 2. 在中，点在三角形内部，且到三边所在直线的距离相等。求这个距离。写出解答过程。 分析 等垂距条件直接联系的是面积，而题目没有给面积。先由三边恢复外高求原面积，再把内部点分成的三个小三角形面积相加；内点条件保证这里用加法而不是面积差。 解答 作直线于若在线段上（含端点），则但由勾股定理，矛盾。垂足与端点重合时，相应的零长度等式也直接成立。 若在越过的延长线上，则从而也与已知矛盾。因此在越过的延长线上。 设则两次勾股相减，得所以于是 因此设I到三边所在直线的共同距离为连接分别作到的垂线，垂足为 因为在三角形内部，三个小三角形的面积之和恰好等于原三角形面积，所以得所以 3. 在等腰中，面积为求的所有可能值。写出解答过程。 可用恒等式： 左图 半底为4、高为3 右图 半底为3、高为4 分析 面积给出半底与高的乘积，勾股给出它们的平方和。借助完全平方恒等式，可先求和、差，再解两个一次方程组。不能凭一张示意图把半底认定为较长的一条直角边。 解答 作于设由勾股定理，由面积，即 因此因为所以同时所以或 由得由得所以或 当半底为4、高为3时，两腰均为面积为当半底为3、高为4时，两腰也均为5，面积也为12。两种构形均非退化且满足全部条件。由上述平方关系，只有两个可能值，故无其他答案。 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题十三勾股定理中的构造与转化培优专题讲与练 一必备知识 勾股定理联系的是同一个直角三角形的三边。一般三角形中，要先根据已知线段选择高，再把 两个直角三角形中的等式相加或相减；求出候选长度以后，还要检查点的位置与原条件。 1勾股定理及其逆定理 在△ABC中，若∠ACB=90°，则AB=AC+BC。这里AB是斜边，不能把任意一条边当作斜 边。 反过来，若AB=AC+BC2,则∠ACB=90°。判断直角时，应先核对最大边的平方是否等于另 外两边的平方和。 A B 定理从直角得到平方关系；逆定理从平方关系得到直角。 2高、垂足与线段和差 点到直线的距离，是该点到这条直线的垂线段的长度。三角形的高对应的是底边所在直线，垂 足不一定在底边内部。 图中BH⊥AC,H,A,C依次共线，所以HC=HA+AC,不是AC-HA。仍有AB=BH+AH, BC2=BH2+CH2。 H A C 图中两次使用勾股定理时，都含有公共直角边BH。 第1页共15页 3同一面积的两种表示 若BH⊥AC,AK⊥BC,则SA=号ACB1=号BCAK,从而ACBH=BCAK。 换一条底边时，高也必须随之更换；垂足在线段外时面积公式仍然成立。 夕 H 底与高必须配对，不能把一条边和另一条边上的高相乘。 第2页共15页 二典例精讲 共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 母题1在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=V7。求△ABC的面积及点A到直线BC的距离。写出 解答过程。 B H 分析 直接向BC作高也能列式，但向长度为3的AC作高，底边分段更简洁。两次勾股中的公共高相 等，得到的方程中平方项抵消。面积求出以后，所求的另一条高由底高乘积相等得到。 解 过B作BH⊥AC于H。若H在CA越过A的延长线上或与A重合，则 BC2-AB=AC2+2AC·AH≥9，但实际为7-4=3，矛盾。若H在AC越过C的延长线上或与C重 合，则AB≥AC=3,与AB=2矛盾。因此H在线段AC内部。 设AH=x,则CH=3-x。在两个直角三角形中，BH=4-x2=7-（3-x)2。展开并消去x2,得 6x=6,所以AH=1,BH=V4-1=/3。 因此52m×3×93=35. 2 作AK1C手K。由同一面积的两种表示，万5CK=2’得AK=心=3V21 7-7 第3页共15页 中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 母题2在△ABC中，M是BC的中点。求证：AB+AC2=2AM+号BC2。 A B M A 分析 一般三角形的中线不一定等于对应边的一半。这里利用的是中点两侧的长度写成和与差，两平 方相加时一次项抵消；它不要求原三角形有直角。 解 过A作AH⊥直线BC于H,记BM=CM=b,MH=X,AH=h。 当H在线段BC上时，BH,CH为b+x,b-x(次序可互换)；当H在线段BC外时，BH,CH为 x+b,x-b(次序可互换)。两种位置均有BH+CH=2b2+2x2。 由勾股定理，AB+AC2=2h2+BH2+CH2=2(h2+x2)+2b2。又AM2=h2+x2,BC=2b,所以 AB+AC2=2AM2+1BC2。 当H与B,C或M重合时，相应的水平线段为O,上述长度平方等式仍直接成立。因此结论适用于 任意非退化的三角形。 第4页共15页 三分类讲练 1等腰条件与斜向直角 底边上的高先给出一组确定长度，再利用另一处直角建立第二个等式。 例1在△ABC中，AB=BC=5,AC=8。点P在线段AC上，且BP⊥BC。求AP。写出解答过 程。 B 变式1-1在△ABC中，AB=5,BC=V41,AC=8。直线AC上点P满足BP⊥BC。求AP,并 写出A,P,C的排列顺序。写出解答过程。 第5页共15页 2面积联系不同的高 同一三角形的面积不随底边选择而改变。先求容易的高，再联系所求的高。 例2在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6。求点B到直线AC的距离；设垂足为D,再求 AD。写出解答过程。 A 变式2-1在等腰△ABC中，AB=AC,BC=6,点B到直线AC的距离为兰.求AB。写出解答 过程。 A B 第6页共15页 3中线与边长的平方 中点使两段底边相等；两次勾股相加后，含位置的一次项相消。 例3在△ABC中，M,N分别是AC,AB的中点，且BM=CN。求证：AB=AC。 A N M 变式3-1在△ABC中，BC=6,M,N分别是AC,AB的中点，BM=V13,CN=2V10。求证： AB⊥BC。 M B C 第7页共15页 4斜边上的高 两个三角形共用一个顶点时，向承载另一顶点的直线作高，把分散的长度放进同一个直角三角 形。 例4在△CDE中，∠DCE=90°，CD=9,CE=12。点A在线段DE内部，△ABC满足 ∠ACB=90,CA=CB,AB=,且B,D在直线AC的两侧。求AD,并证明AB⊥DE。 5 B C A E 变式4一1在△CDE中，∠DCE=90°，CD<CE。点A在线段DE内部，△ABC满足 ∠ACB=90°，CA=CB,且B,D在直线AC的两侧。求证：AB⊥DE当且仅当 AB·DE=2CD·CE。 B C及 E 第8页共15页 5共高与平方差 高足可能在线段外。两次勾股的平方差既能求高，也能反过来确定高足。 例5在△BCD中，BC=13,BD=15,CD=4。求点B到直线CD的距离。写出解答过程。 B 变式5-1点A,C,D依次在同一直线上，点B不在该直线上。若BD2-BC=AD-AC,求证： AB⊥CD。 第9页共15页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=2,AC=3,BC=V7。点D在线段AC上，且BD=CD。求AD。写出解答 过程。 B C D 2.在△ABC中，AB=BC=5,AC=8。点D在线段AC内部，且BD=AD。求CD。写出解答过 程。 A C 第10页共15页 3.在△ABC中，AB=13,AC=15,BC=14,M是BC的中点。求AM。写出解答过程。 A B M 4.在△CDE中，∠DCE=90,CD=9,CE=12。点A在直线DE上，且CA=36臣。求AD的所 5 有可能值。写出解答过程。 第11页共15页 5.在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10。点D在线段BC上。求AD+BD·DC的值。写出解 答过程。 A 第12页共15页 五综合提高 1.在等腰△ABC中，AB=BC=s,AC=2b,其中s>b>0。直线AC上的点P满足BP⊥BC。用 s,b表示AP,并确定P相对线段AC的位置。写出解答过程。 B C 图示仅为一种位置 第13页共15页 2.在△BCD中，BC=13,BD=15,CD=4。点I在三角形内部，且到三边所在直线的距离相 等。求这个距离。写出解答过程。 B 第14页共15页 3.在等腰△ABC中，AB=AC=5,面积为12。求BC的所有可能值。写出解答过程。 可用恒等式：(u+v2=u+v2+2uw,(u-v}=u2+v2-2uw。 第15页共15页