精品解析：福建泉州市石狮市第一中学2026-2027学年高一上学期第一阶段素养检测数学试卷

石狮一中2026-2027学年上学期高一年第一阶段素养检测 数学试题 时间：10月22日 14:30—16:30　　拟稿：涂文基　　复核：林洁冰 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，因为，所以. 又，所以. 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A错误；利用作差比较法，结合不等式性质可逐一判断选项BCD. 【详解】A项，若，，则，故 A错误； B项，若，则， ，，故B正确； C项，若，则， ，，故C错误； D项，若，则，， ，，故D错误. 故选：B. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断内层自变量落在哪一段，再算外层函数值． 【详解】因为，所以． 因为，所以． 4. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各项函数的奇偶性，及在上的单调性． 【详解】对于A，由是奇函数，故A错误； 对于B，由满足，是偶函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，由是偶函数，但在上单调递减，故C错误； 对于D，由既不是奇函数也不是偶函数，故D错误． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称排除AB；再根据当时，，排除D，即可得解 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为， 又，则是奇函数， 其图象关于原点对称排除A，B. 当时，，排除D. 故选：C. 6. ①“,”是“”的充分不必要条件．②，成立的充要条件是．以下结论正确的是（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】B 【解析】 【详解】①若，，则，充分性成立； 但不能推出且（如，），必要性不成立，所以①正确； ②，恒成立，即恒成立， 而在上单调递增，最小值为，故充要条件为，所以②错误． 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】由解集确定及两根，用韦达定理把、用表示，再逐项判断． 【详解】因为的解集为， 所以，且，是方程的两根， 所以，所以． 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，解集为，故C错误； 对于D，由，即，解集为，故D正确． 8. 对一个物体采用“复称法”测量质量： 第一次：物体放在天平左盘，右盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为； 第二次：物体放在天平右盘，左盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为． 现有一架两臂不等长的天平，两盘的自重相同，空载时已经调平．实验人员在该不等臂长的天平上用“复称法”测量某物体的质量，记录数据时直接将两次砝码读数的算术平均数作为该物体的测量记录值．则该记录值与物体真实质量比较，有（ ） A. 记录值小于物体真实质量 B. 记录值大于物体真实质量 C. 记录值等于物体真实质量 D. 不确定两者的大小关系 【答案】B 【解析】 【分析】利用杠杆原理得到两次砝码读数和真实质量的关系，再结合基本不等式比较算术平均数与几何平均数大小. 【详解】设天平两臂长分别为，，由力矩平衡求出真实质量，再与算术平均数比较， 设物体真实质量为，天平左、右两臂长分别为，． 第一次：物体在左盘，砝码右盘，由力矩平衡； 第二次：物体在右盘，砝码左盘，得． 两式相乘得，所以． 而记录值为，由基本不等式，当且仅当时取等号． 因为两臂不等长，所以，故，即记录值大于物体真实质量． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 集合的真子集个数为8 【答案】AC 【解析】 【详解】A项，空集是任何集合的子集，A正确； B项，，B错误； C项，，C正确； D项，含3个元素，其真子集个数为，D错误． 10. 给定函数，，．用表示，中的较大者，即．则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 若，则或 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求出分段点，写出的分段解析式，再逐项分析． 【详解】由得或， 所以当或时；当时． A选项，在上的最小值为，且时，故，A选项正确； B选项，，，，不是偶函数，B选项错误； C选项，时，若或，则，得或（舍去）； 若，则，得，所以或，C选项正确； D选项，在上为（递增），在上为（递增）， 且图象连续，故在上单调递增，D选项正确． 11. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】且 【解析】 【详解】要使函数有意义，需满足，解得且， 故函数的定义域为且. 13. 函数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求根号内二次函数的最大值，再开方即可. 【详解】由得． 因为，当时取最大值， 所以的最大值为． 14. 已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得是偶函数，且在上是减函数，令，则在上是减函数，由等价于，再利用偶函数的性质和函数单调性可得结果 【详解】解：中， 取得， 取得， 取，，得， 所以是偶函数， 设，则，， 所以， 所以在上是减函数， 设，则在上是减函数， 所以 所以 且 ，所以m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】此题考查利用抽象函数的奇偶性和单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、解题过程及演算步骤． 15. 设集合，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合、再根据交集的定义求解即可； （2）即，分类讨论为空集和不为空集两种情况． 【小问1详解】 因为，所以，即，又， 所以． 【小问2详解】 由得． 当，即时，，符合题意； 当时，，需且，解得． 综上，，即的取值范围为． 16. 某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为米，平行于墙的一条边长为米，且． （1）已知所用的篱笆长为60米，设菜地面积为平方米，当为何值时，有最大值？并求出这个最大值． （2）若要围成面积为128平方米的菜地，需要用篱笆长最少是多少米？ 【答案】（1）时最大，最大值为450平方米； （2）最少需要32米 【解析】 【分析】（1）由篱笆两条长为的边和一条长为的边组成，得，把化成关于的二次函数； （2）由用基本不等式求的最小值． 【小问1详解】 篱笆长为，所以， ． 所以当时取最大值，此时，满足， 即当米时有最大值450平方米． 【小问2详解】 由，篱笆长， 当且仅当，即，时取等号，此时，满足， 所以最少需要32米篱笆． 17. 已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）奇函数，定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）设， 则， 因为，，分母大于零，所以， 即在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义即可求解； （2）作差后因式分解，由，，即可求解； （3）由奇偶性与单调性化为，再由定义域即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 又在上单调递增，所以， 由得，由得，由得， 所以不等式的解集为． 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），有恒成立，求的范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）代入解一元二次不等式； （2）因式分解后根据参数分类讨论根的大小，写出解集即可； （3）将不等式转化为，设，由基本不等式即可求解． 【小问1详解】 当时，不等式为，即， 分解得，解得， 所以解集为． 【小问2详解】 因，则， ① 当时，，不等式的解集为； ② 当时，不等式为，其解集为； ③ 当时，，不等式的解集为. 综上可得，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 ， 因为恒成立， 所以原不等式等价于在上恒成立，即， 设，则， 令， 当且仅当时，即时，时，等号成立，则， 故的范围为． 19. 若集合中存在三个元素，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质． 已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合的子集具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：对于的非空子集，集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”． 【答案】（1）集合具有性质． 理由：取，，，则，，为偶数， 三个条件同时满足，故具有性质． （2）因为具有性质，所以中三个元素之和为偶数， 故为奇数，又，所以或或． 若，，此时，不满足； 若，，此时，不满足； 若，，此时，且为偶数，满足性质． 取，，，则，，均属于，且，，互不相同， 所以集合是集合的“期待子集”． （3）①若集合具有性质，则存在，，为偶数，且． 令，，． 因为为偶数，所以，，都是整数；由得， 又，得，， 且，，，故，，互不相同， 又，所以，且，，均属于，故是“期待子集”． ②若是的“期待子集”，则存在互不相同的，使． 记，，，由互不相同知互不相同，且． 不失一般性设，则，即， 又为偶数，所以中三个元素满足性质的三个条件，即具有性质． 综上所述，集合具有性质的充要条件是是的“期待子集”． 【解析】 【分析】（1）在中找出满足三个条件的三个数； （2）由三数之和为偶数确定，再构造，，； （3）两个方向分别构造：由，，解出，，，或由，，得到三个两两之和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石狮一中2026-2027学年上学期高一年第一阶段素养检测 数学试题 时间：10月22日 14:30—16:30　　拟稿：涂文基　　复核：林洁冰 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. ①“,”是“”的充分不必要条件．②，成立的充要条件是．以下结论正确的是（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集是 D. 的解集是 8. 对一个物体采用“复称法”测量质量： 第一次：物体放在天平左盘，右盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为； 第二次：物体放在天平右盘，左盘添加砝码，天平平衡时砝码读数为． 现有一架两臂不等长的天平，两盘的自重相同，空载时已经调平．实验人员在该不等臂长的天平上用“复称法”测量某物体的质量，记录数据时直接将两次砝码读数的算术平均数作为该物体的测量记录值．则该记录值与物体真实质量比较，有（ ） A. 记录值小于物体真实质量 B. 记录值大于物体真实质量 C. 记录值等于物体真实质量 D. 不确定两者的大小关系 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 集合的真子集个数为8 10. 给定函数，，．用表示，中的较大者，即．则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 若，则或 D. 在上单调递增 11. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 13. 函数的最大值为______． 14. 已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、解题过程及演算步骤． 15. 设集合，，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 16. 某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为米，平行于墙的一条边长为米，且． （1）已知所用的篱笆长为60米，设菜地面积为平方米，当为何值时，有最大值？并求出这个最大值． （2）若要围成面积为128平方米的菜地，需要用篱笆长最少是多少米？ 17. 已知函数，． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）求不等式的解集． 18. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），有恒成立，求的范围． 19. 若集合中存在三个元素，，，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质． 已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合的子集具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：对于的非空子集，集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $