精品解析：广东广州市东江外语实验学校2026-2027学年度第一学期10月限时作业九年级数学

2026-2027学年度第一学期10月限时作业 九年级数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 5. 如图，抛物线交x轴于（－2，0）、（4，0）两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图像的对称轴是直线x＝1 B. 当x1时，y随x的增大而减小 C. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2和4 D. 当－2x4时，y0 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 3或－3 D. 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值与（　　） A. 时的函数值相等 B. 时的函数值相等 C. 时的函数值相等 D. 时的函数值相等 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若是二次函数，则_______． 12. 方程的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为_____． 13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 15. 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是______________． 16. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），抛物线对称轴x＝﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD＝MC，连接AC、BC、AD、BD，小明根据图象写出下列结论：①a﹣b＝0：②当﹣2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0；其中正确的是______（填序号）． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 某景区2025年接待游客约万人次，预计2026年、2027年游客量持续增长．若今、明两年的年平均增长率相同，设为，且到2027年该景区游客量将达到万人次，求这两年的年平均增长率． 19. 抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点，与y轴、x轴分别交于点B和点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）结合函数图象，当时，x的取值范围为_______________． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 21. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 22. 已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 23. 某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； （3）若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 24. 我们定义：解为整数的方程为“完美”方程． （1）一元一次方程：（）为“完美”方程，求整数的值； （2）已知关于的方程：（，且为整数）是“完美”方程，且整数使关于的不等式组有解且有个整数解，求整数的值． 25. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． （1）求出该二次函数的解析式． （2）已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． （3）如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期10月限时作业 九年级数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 2. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系，即可得出方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：D． 4. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 5. 如图，抛物线交x轴于（－2，0）、（4，0）两点，则下列判断中，错误的是（ ） A. 图像的对称轴是直线x＝1 B. 当x1时，y随x的增大而减小 C. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2和4 D. 当－2x4时，y0 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对称轴为直线x==1，正确，故本选项不符合题意； B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； C、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2和4正确，故本选项不符合题意； D、应为当-2＜x＜4时，y＞0，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. －3 C. 3或－3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）排除不符合条件的 得到最终结果. 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得或 ∵ 原方程是关于的一元二次方程 ∴ 二次项系数 , 即 ∴. 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，准确求出函数值是关键．通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴ ∴ 故选：B 8. 已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值与（　　） A. 时的函数值相等 B. 时的函数值相等 C. 时的函数值相等 D. 时的函数值相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题． 可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，代入求出y，再分别把每项数代入求出y，看看y值是否相等即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称， 若，则， 若，则， 所以， 代入二次函数的解析式得：， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，明确题意、利用二次函数的性质以及数形结合的思想是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下，则， 对称轴为，即， 抛物线与y轴交在正半轴，， 故，故①正确， 抛物线的对称轴是，则，故，故②正确； ∵与轴的一个交点坐标为， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，所以③正确； ∵当时，此时，即该函数取得最大值， ∴点在该抛物线上，则，故正④确； ∵由图象可得，抛物线的顶点的纵坐标大于4， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确． 综上，正确的有①②③④⑤，共5个． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若是二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 12. 方程的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为_____． 【答案】10或11 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 解得：，， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 15. 如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是______________． 【答案】2 【解析】 【详解】：根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影=S正方形=×2×2=2．故答案为2 16. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），抛物线对称轴x＝﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD＝MC，连接AC、BC、AD、BD，小明根据图象写出下列结论：①a﹣b＝0：②当﹣2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0；其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由对称轴x＝﹣，可得到a＝b，即可判断①；根据图象及二次函数与x轴交点可直观判断②；由A、B关于对称轴对称，得AM＝BM，再结合已知条件可判断③；当x＝﹣3时，y＜0即可判断④． 【详解】解：∵该抛物线对称轴为直线x＝， ∴，即a＝b， ∴a﹣b＝0，故①正确； ∵抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B(1，0)，且开口向下， ∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，故②正确； ∵点A、B关于对称轴x＝﹣对称， ∴AM＝BM， 又MD＝MC，且CD⊥AB， ∴四边形ACBD为菱形，故③正确； 当x＝-3时，y＜0，即y＝9a﹣3b+c＜0，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决本类题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 原方程因式分解可得：， 开平方得， 移项得， ，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 则， 所以，． 18. 某景区2025年接待游客约万人次，预计2026年、2027年游客量持续增长．若今、明两年的年平均增长率相同，设为，且到2027年该景区游客量将达到万人次，求这两年的年平均增长率． 【答案】这两年的年平均增长率为 【解析】 【分析】以2027年游客量为等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解． 【详解】解：由题意得 解得，（舍去）． 答：这两年的年平均增长率为． 19. 抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点，与y轴、x轴分别交于点B和点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）结合函数图象，当时，x的取值范围为_______________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合． （1）根据题意，设抛物线解析式为 把代入，计算求出即可； （2）令，求出，作轴于D，结合的面积，计算即可； （3）先求出抛物线与x轴的交点，根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线图象顶点， ∴设抛物线解析式为 ， 把代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时， ， ∴． 作轴于D， 如图． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：令，即， 解得或， 由函数图象得，当时，x的取值范围为， 故答案为：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：在中，，，， ∴ ， ∴无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解k． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根为， ∴在中，，， ， 解得，， 由（1）可知无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根， 的值为1或． 21. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先对二次函数配方，再求出顶点、坐标轴交点，最后描点画出抛物线； （2）利用二次函数图像，观察图像在轴上方对应的自变量范围，再在指定自变量区间找到顶点处最大值，看区间端点的函数值，判断能否取到，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象略 【小问2详解】 由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，． 22. 已知二次函数，其中为常数． （1）若，求此函数图象的顶点坐标； （2）当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 23. 某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； （3）若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 【答案】（1） （2），售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得函数关系式，再得出的取值范围即可； （2）根据利润（每件的售价每件的成本）月销售量可得与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可； （3）先求出的取值范围，再根据二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得：， 解得， ∴， ∵该产品的成本为元/件， ∴，即， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为400， 答：与之间的函数关系式为，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元； 【小问3详解】 解：∵该产品的成本为元/件，物价部门规定该产品售价不得高于元/件， ∴， ∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，随的增大而增大， 将代入得：， 解得或， ∵商店要求月销售利润不低于元，即， ∴． 24. 我们定义：解为整数的方程为“完美”方程． （1）一元一次方程：（）为“完美”方程，求整数的值； （2）已知关于的方程：（，且为整数）是“完美”方程，且整数使关于的不等式组有解且有个整数解，求整数的值． 【答案】（1）整数的值为、、、 （2）整数的值为 【解析】 【分析】（1）解方程后，根据“完美”方程的解为整数，得到整数的值； （2）解分式方程，根据“完美”方程的定义和已知条件得到的取值范围，解一元一次不等式组，根据有个整数解得到的取值范围，进而根据是整数确定的值，并代入上面的取值范围验证，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由解得， 由题意可知，是整数，是整数， 的值为、、、； 【小问2详解】 解：解方程得， 分式方程是“完美”方程， 是整数，且，解得：， 是偶数，即为偶数， ， ，解得：， 解不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有解且有个整数解， 不等式组的整数解为：，，， ， ， 为整数， 的值为， 将代入得是整数，且满足，，且是偶数， 的值为． 25. 如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． （1）求出该二次函数的解析式． （2）已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． （3）如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 【答案】（1） （2）①P点横坐标为或或或；②或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，则，进而得到，根据，进行求解即可；②根据，结合二次函数的性质，进行求解即可； （3）根据题意，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过B、C两点，当时，，当时，， ， 将，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ①设，则， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ，， ， ， 解得或或或， P点横坐标为或或或； ②∵， 当时，或， ∴当时，， ∴， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，， ∴当时，随的增大而增大， 综上：或； 【小问3详解】 将抛物线的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分的解析式为． 直线l向上平移n个单位长度，得到直线 当直线经过点A或与只有一个交点时，直线与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线经过点时，，解得： ②当与只有一个交点时， 只有一组公共解， 即方程中判别式等于0， ，解得： 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $