精品解析：广东湛江市霞山区南海学校2026～2027学年 上学期九年级数学第一次学情自测

2026—2027学年度第一学期第一次教学质量检测 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是（ 　） A. B. C. D. 3. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 13. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 14. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 15. 二次函数的函数图象如图,点位于坐标原点,点在y轴的正半轴上,点在二次函数位于第一象限的图象上,,, 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,则的斜边长为____________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算：． 17. 解方程：x2﹣6x﹣4＝0． 18. 如图，四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是 ； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 20. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 21. 惠东县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同． （1）求平均每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22. 【提出问题】小芳在观看排球比赛时发现排球被垫起后，沿弧线运动，那么排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？对此，她和同学小宛一起进行了探究． 【分析问题】经实地测量，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系．测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表（近似值精确到0.01），并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2 2.44 2.71 2.8 2.71 2.24 2 【解决问题】 （1）请在如图的平面直角坐标系中画出排球的运行轨迹； （2）根据表格数据和所画轨迹形状，可知y与x近似满足的函数关系式为___________； （3）通过计算，判断小宛这次发球能否过网； （4）小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，排球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界(排球压线属于没出界)，求击球高度的取值范围． 23. 已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； （3）点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次教学质量检测 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：选项：方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项：方程是一元二次方程； 选项：方程未知数最高次数为，不是一元二次方程； 选项：方程不是整式方程，不是一元二次方程． 2. “小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法逐项判定即可． 【详解】A. 由，故A选项符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D.，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 3. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案． 【详解】解：A、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确； B、 ，故该项错误； C、方差为，故该项错误； D、中位数为10，故该项错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，正确理解各定义及计算公式是解题的关键． 4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 5. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线顶点式的性质判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为． ∴，抛物线开口向上，A错误． 对称轴为直线，B正确． 顶点坐标为，C错误． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，随的增大而增大，D错误． 6. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出，，，结合勾股定理求出边长，进而计算周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别将各点的横坐标代入求出相应的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：． ， ， ． ∵． ∴． 8. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 9. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程的解对应二次函数中时的值， 由表格可知，当时，；当时，； ∴方程的一个解的范围是． 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质以及中点的定义可得，即；再分、两种情况求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由勾股定理得， ，即； 当时，如图，，， ，即， 观察选项可知选B符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 13. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 14. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 15. 二次函数的函数图象如图,点位于坐标原点,点在y轴的正半轴上,点在二次函数位于第一象限的图象上,,, 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,则的斜边长为____________. 【答案】20 【解析】 【分析】先计算出△A0B1A1 ；△A1B2A2 ；△A2B3A3的边长，推理出斜边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A9B10A10的边长． 【详解】∵等腰三角形A0B1A1，A0为原点；∴y＝x； ∵y＝x，y＝x2, ∴B1的坐标为（1,1）,则A1的坐标为（0,2）； ∴A0A1＝2; ∵A1的坐标为（0,2），斜率k＝1, ∴直线A0B：y＝x＋2 ∴B2（2，4）, ∴A1A2＝4； ∵A2坐标为（6,0）, 等腰三角形A2B3A3 ；∴直线A2B3：y＝x＋6； ∴B3坐标为（3,9），则A2A3＝6； 综上，由此可以推断出△A9B10A10的斜边为20. 【点睛】本题考查的是二次函数的定义和图像，熟练掌握这两点是解题的关键. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、绝对值、二次根式的性质、实数的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先利用零次幂、绝对值、二次根式的性质化简，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：x2﹣6x﹣4＝0． 【答案】，． 【解析】 【详解】解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即， 开方得x﹣3=±， ∴，． 18. 如图，四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是 ； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 【答案】（1）94；94 （2）89.5 （3）200 【解析】 【分析】（1）求众数：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以统计“豆包”得分中各数值出现的频次即可得到．求中位数：先根据扇形统计图计算得分C组的占比，再计算A、B、C、D四组的人数，结合C组的具体数据，将的20个得分从小到大排序后，取第10和第11个数据的平均数得到． （2）法一：求“豆包”得分的第一四分位数：因为20个数据的第一四分位数位置为，所以将排序后的“豆包”得分取第5和第6个数据的平均数即可．法二：豆包20个数据的中位数是第10、第11个数的平均数，前10个数的中位数是第5、第6个数的平均数，计算求解即可得． （3）估计非常满意的用户数量：先计算样本中“豆包”得分在的频率，再用总用户数1000乘以该频率得到估计值． 【小问1详解】 解：观察豆包的20个得分，94一共出现了5次，出现次数最多， ∴． 总共有20个用户得分，中位数是排序后第10、第11个数据的平均数． 根据扇形图，A组占、B组占， ∴A组有个数据，B组有个数据，前两组共6个数据； ∵C组有6个数据， ∴排序后第7到第12个数据都属于C组，第10、11个数据是C组的最后两个94和94， 剩余的第13到20个数据属于D组． 将得分从小到大排序后，第10个数据是94，第11个数据是94， 因此中位数． 【小问2详解】 解：法一：20个数据的位置为， 第一四分位数是排序后第5个和第6个数据的平均数． 豆包得分已经从小到大排列，第5个数据是89，第6个数据是90， 因此． 法二：∵豆包20个数据的第10、第11个数都是93， 前10个数中第5、第6个数分别是89、90， ∴前10个数的中位数是， ∴． 【小问3详解】 解：抽取的20个豆包用户中，得分在的共有4个，占比为． ∴1000名用户中非常满意的数量为． 20. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 【答案】（1） （2）①是“邻根方程”；②或 【解析】 【分析】（1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）①先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义．②根据“邻根方程” 的定义，建立关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 两根和为，两根积为， 一元二次方程为； 【小问2详解】 解： ①， 解得． ， 是“邻根方程”． ②， ． ∵关于的方程是“邻根方程”， 或． 解得或． 21. 惠东县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同． （1）求平均每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？ 【答案】（1） （2）每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 【解析】 【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据两次连续降价后，售价由每千克50元变为每千克32元，列出方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，每天盈利为W元，则每天销售千克，再根据利润每千克利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意，得：， 解得：（舍）或， ∴每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，每天盈利为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22. 【提出问题】小芳在观看排球比赛时发现排球被垫起后，沿弧线运动，那么排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？对此，她和同学小宛一起进行了探究． 【分析问题】经实地测量，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系．测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表（近似值精确到0.01），并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2 2.44 2.71 2.8 2.71 2.24 2 【解决问题】 （1）请在如图的平面直角坐标系中画出排球的运行轨迹； （2）根据表格数据和所画轨迹形状，可知y与x近似满足的函数关系式为___________； （3）通过计算，判断小宛这次发球能否过网； （4）小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，排球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界(排球压线属于没出界)，求击球高度的取值范围． 【答案】（1） 解：轨迹如图； （2） （3）能 （4） 【解析】 【分析】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据图中描的点进行连线即可； （2））根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可； （3））将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （4）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，则进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，设与的函数关系式为， 将代入关系式，得， 解得， 经检验其它数据也满足上述关系， ． 【小问3详解】 解：当时，， 这次发球能过网． 【小问4详解】 解：当时，抛物线的解析式为， 设击球高度，则平移距离为， 平移后的抛物线的解析式为， ，当时，， ， ， 当时，， ， 答：击球高度的取值范围是． 23. 已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； （3）点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】（1），， （2） （3）点的坐标为，这个最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【小问1详解】 解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $