第三章函数的概念与性质单元卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

章末综合检测卷(三) 时间:120分钟　满分:150分　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A.(1,4) B.(1,4] C.(-∞,1)∪(1,4) D.(-∞,1)∪(1,4] 2.已知函数f(x)=(m3+a)xma+1+a是幂函数,则f(m+a)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知函数f(x)=则f(f(-2))=(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 4.下列从集合A到集合B的对应关系中,y是x的函数的是(　　) A.A=B=R,对应关系f:x→y= B.A=B=R,对应关系f:x→y= C.A=B=[0,+∞),对应关系f:x→y= D.A=B=R,对应关系f:x→y2=x 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上为减函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)<f(-1)<f(0) B.f(2)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(0)<f(2) D.f(0)<f(-1)<f(2) 6.函数f(x)=的图象为(　　) 7.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(0,+∞) C.(-∞,0) D. 8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,著名的狄利克雷函数定义域在R上的解析式可表示为:f(x)=下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为(　　) ①狄利克雷函数为偶函数;②狄利克雷函数为奇函数;③狄利克雷函数值域为[0,1];④对于任意x∈R,均有f(f(-x))=1;⑤狄利克雷函数的图象可以通过列表描点法画出;⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点. A.①③④⑥ B.②③⑤ C.①④ D.①④⑥ 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y= B.y=-x+1 C.y=-x3 D.y=-x|x| 10.已知函数f(x)=的图象经过点,,则正确的是(　　) A.m=1 B.n=-2 C.曲线y=f(x)关于y轴对称 D.不等式f(x-1)>f(3-2x)的解集为x∈ 11.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则(　　) A.y=f(x)g(x)为奇函数 B.y=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递减 C.y=f(g(x))在(-∞,0)上单调递增 D.y=f(x)g(x)的值域为R 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知f(x)=x2+b,x∈[1-2a,a]是偶函数,则实数a的值为　　　.  13.设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0.若f(2)=0,则不等式≥0的解集为　 .  14.已知函数f(x)=对于任意两个不相等的实数x1,x2∈R,都有不等式<0成立,则实数a取值范围为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=. (1)证明:f(x)是奇函数. (2)根据定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 16.(15分)若函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2-3x+1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m有解,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)画出函数f(x)的图象,并写出单调区间; (3)若y=f(x)与y=m有3个交点,求实数m的取值范围. 18.(17分)某航空集团引进了一条发动机装配流水线,已知在一个季度内这条流水线装配的发动机数量x(台)与销售收入y(万元)之间满足函数关系:y=ax2+bx(a,b为常数),且满足下表: 数量x(台) 5 10 销售收入y(万元) 1 050 2 000 (1)若这家航空集团希望在一个季度内利用这条流水线使销售收入不少于6 000万元,那么它在该季度内至少要装配多少台发动机? (2)若这家航空集团希望在一个季度内利用这条流水线使销售收入最大,那么它在该季度内要装配多少台发动机?并求出销售收入的最大值. 19.(17分)已知函数f(x)= (1)若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,求实数a的取值范围; (2)当a>-1时,记f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合检测卷(三) 时间:120分钟　满分:150分　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A.(1,4) B.(1,4] C.(-∞,1)∪(1,4) D.(-∞,1)∪(1,4] 解析　D　要使函数f(x)=有意义,则满足解得x≤4且x≠1, 所以定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 2.已知函数f(x)=(m3+a)xma+1+a是幂函数,则f(m+a)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析　C　因为函数f(x)=(m3+a)xma+1+a是幂函数,所以解得所以f(x)=x,所以f(m+a)=f(1)=1. 3.已知函数f(x)=则f(f(-2))=(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析　D　f(-2)=(-2)2=4,则f(f(-2))=f(4)=3. 4.下列从集合A到集合B的对应关系中,y是x的函数的是(　　) A.A=B=R,对应关系f:x→y= B.A=B=R,对应关系f:x→y= C.A=B=[0,+∞),对应关系f:x→y= D.A=B=R,对应关系f:x→y2=x 解析　C　对于A,因为0∈A,但是没有意义,0在B中无对应的元素,A不符合题意;对于B,因为对于任意一个实数x,当x<0时,无意义,B不符合题意;对于C,任意一个实数x≥0,≥0,因此同时满足任意性和唯一性,C符合题意;对于D,当x=1时,y=±1,不满足函数值的唯一性,D不符合题意. 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上为减函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)<f(-1)<f(0) B.f(2)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(0)<f(2) D.f(0)<f(-1)<f(2) 解析　A　因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1),因为f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,2>1>0,所以f(2)<f(1)<f(0),故f(2)<f(-1)<f(0). 6.函数f(x)=的图象为(　　) 解析　D　f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),它关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,排除A,B;当x≠0时,f(x)=>0,排除C;经检验,D符合题意. 7.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(0,+∞) C.(-∞,0) D. 解析　A　因为函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,所以解得0≤a≤. 8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,著名的狄利克雷函数定义域在R上的解析式可表示为:f(x)=下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为(　　) ①狄利克雷函数为偶函数;②狄利克雷函数为奇函数;③狄利克雷函数值域为[0,1];④对于任意x∈R,均有f(f(-x))=1;⑤狄利克雷函数的图象可以通过列表描点法画出;⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点. A.①③④⑥ B.②③⑤ C.①④ D.①④⑥ 解析　C　由于f(x)=设任意x∈Q,则-x∈Q,f(-x)=1=f(x),设任意x∉Q,则-x∉Q,f(-x)=0=f(x),总之,对于任意实数,f(-x)=f(x)恒成立,所以狄利克雷函数为偶函数,故①正确、②错误;函数f(x)=的值域为{0,1},故③错误;当x∈Q时,-x∈Q,可得f(f(-x))=f(1)=1,当x∉Q时,-x∉Q,f(f(-x))=f(0)=1,所以对于任意x∈R,均有f(f(-x))=1,故④正确;因为在两个有理数之间有无数个无理数,在两个无理数之间有无数个有理数,故狄利克雷函数的图象不可以通过列表描点法画出,故⑤错误;取A(0,1),B,C,此时△ABC为等边三角形,故⑥错误. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y= B.y=-x+1 C.y=-x3 D.y=-x|x| 解析　CD　A选项,y=是奇函数,但在 (-∞,0),(0,+∞)上分别递减,不是在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减,A选项错误;B选项,y=-x+1是非奇非偶函数,B选项错误;C选项,y=-x3是奇函数,且在R上单调递减,C选项正确;D选项,y=-x|x|是奇函数,当x≥0时,y=-x2,y=-x|x|在(0,+∞)上单调递减,则y=-x|x|在R上单调递减,D选项正确. 10.已知函数f(x)=的图象经过点,,则正确的是(　　) A.m=1 B.n=-2 C.曲线y=f(x)关于y轴对称 D.不等式f(x-1)>f(3-2x)的解集为x∈ 解析　AC　由题意可得f(1)==,f(2)==,解得故选项A正确,选项B错误;由f(x)=,其定义域为R关于原点对称,且f(-x)===f(x),∴f(x)为偶函数,即曲线y=f(x)关于y轴对称,故选项C正确;由函数解析式可知:f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f(x)为偶函数,故f(x-1)>f(3-2x)等价于|x-1|<|3-2x|,两边平方可得(x-1)2<(3-2x)2,解得x∈∪(2,+∞),故选项D错误. 11.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则(　　) A.y=f(x)g(x)为奇函数 B.y=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递减 C.y=f(g(x))在(-∞,0)上单调递增 D.y=f(x)g(x)的值域为R 解析　ABD　由题图知,y=f(x)定义域为R,是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;y=g(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是奇函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递增.对于A,y=f(x)g(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又因为f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x),所以y=f(x)g(x)是奇函数,故A正确;对于B,由题图知,y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,y=g(x)在(0,+∞)上单调递增,y=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递减,故B正确;对于C,∀x1,x2∈(-∞,0),x1<x2,由图象知g(x1)>0,g(x2)>0,因为g(x)在(-∞,0)上单调递增,所以0<g(x1)<g(x2),又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(g(x1))>f(g(x2)),即y=f(g(x))在(-∞,0)上单调递减,故C错误;对于D,记f(x)与x轴交于点(±a,0),与y轴交于点(0,b),由题图可知,当x从-a趋近于0时,f(x)的函数值从0趋近于b,g(x)的函数值从一个定值趋近于+∞,所以f(x)g(x)的值从0趋近于+∞,即f(x)g(x)的值可以取到[0,+∞),又f(x)g(x)为奇函数,所以y=f(x)g(x)的值域为R,故D正确. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知f(x)=x2+b,x∈[1-2a,a]是偶函数,则实数a的值为　　　.  答案　1 解析　因为f(x)=x2+b是偶函数,则其定义域关于原点对称, 所以1-2a+a=0,解得a=1. 13.设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0.若f(2)=0,则不等式≥0的解集为　 .  答案　(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析　由题意可得f(x)在(0,+∞)上单调递减. 因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减. 由≥0可得=≥0,即≤0, 则或 又因为f(-2)=-f(2)=0, 所以不等式≥0的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞). 14.已知函数f(x)=对于任意两个不相等的实数x1,x2∈R,都有不等式<0成立,则实数a取值范围为　　　　.  答案　[-7,-5] 解析　因为对于任意两个不相等的实数x1,x2∈R,都有不等式<0成立,所以函数y=f(x)在R上为减函数,又因为当x≤a时,f(x)=|x2+4x-5|=|(x+5)(x-1)|, 作出y=|x2+4x-5|的图象,如图所示.由此可得函数在(-∞,-5)和(-2,1)上单调递减,又因为当x>a时,f(x)=ax-33,且函数在R上为减函数, 所以解得-7≤a≤-5. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=. (1)证明:f(x)是奇函数. (2)根据定义证明f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 证明　(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)任取x1>x2>0, 则f(x1)-f(x2)=- =(x1-x2). 因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,x1x2>0, 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(0,+∞)上单调递增. 16.(15分)若函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2-3x+1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m有解,求实数m的取值范围. 解　(1)∵2f(x)-f(-x)=x2-3x+1,∴2f(-x)-f(x)=(-x)2-3(-x)+1=x2+3x+1, 联立方程组 解得f(x)=x2-x+1. (2)由题意,x2-x+1>2x+m在[-1,1]上有解,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上有解. 令g(x)=x2-3x+1-m=--m,其对称轴为直线x=, ∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)max=g(-1)=1+3+1-m>0,∴m<5. 故实数m的取值范围为(-∞,5). 17.(15分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)画出函数f(x)的图象,并写出单调区间; (3)若y=f(x)与y=m有3个交点,求实数m的取值范围. 解　(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0; 当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. 综上,f(x)= (2)图象如图所示, 单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞);单调递减区间为(-1,1). (3)若y=f(x)与y=m有3个交点,由(2)中图象可知,-1<m<1, 即实数m的取值范围是(-1,1). 18.(17分)某航空集团引进了一条发动机装配流水线,已知在一个季度内这条流水线装配的发动机数量x(台)与销售收入y(万元)之间满足函数关系:y=ax2+bx(a,b为常数),且满足下表: 数量x(台) 5 10 销售收入y(万元) 1 050 2 000 (1)若这家航空集团希望在一个季度内利用这条流水线使销售收入不少于6 000万元,那么它在该季度内至少要装配多少台发动机? (2)若这家航空集团希望在一个季度内利用这条流水线使销售收入最大,那么它在该季度内要装配多少台发动机?并求出销售收入的最大值. 解　(1)根据题意,对于y=ax2+bx, 当x=5时,y=1 050;当x=10时,y=2 000. 代入公式得 解得a=-2,b=220,∴y=-2x2+220x. 设这家航空集团在一个季度内至少要装配x台发动机,才能使这条流水线的销售收入不少于6 000万元,则-2x2+220x≥6 000, 化简得x2-110x+3 000≤0, 解得50≤x≤60. ∴至少要装配50台发动机. (2)y=-2x2+220x=-2(x2-110x)=-2(x-55)2+6 050. 当x=55时,ymax=6 050. 故要装配55台发动机才能使销售收入在一个季度内最大,最大值为6 050万元. 19.(17分)已知函数f(x)= (1)若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,求实数a的取值范围; (2)当a>-1时,记f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 解　(1)当x<0时,f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,0)上单调递增, 当x≥0时,f(x)=x2-2x在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 因此函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1],[0,1],单调递增区间为[-1,0),[1,+∞), 函数f(x)在[a,a+2]上单调,显然区间[a,a+2]的长度为2,因此[a,a+2]⊆(-∞,-1]或[a,a+2]⊆[1,+∞), 则a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1, 所以实数a的取值范围是{a|a≤-3,或a≥1}. (2)当a>-1时,a+2>1,由(1)知, 当-1<a≤1时,1<a+2≤3,此时g(a)=f(x)min=f(1)=12-2×1=-1, 当a>1时,f(x)在区间[a,a+2]上单调递增,则g(a)=f(x)min=f(a)=a2-2a, 所以g(a)= 学科网（北京）股份有限公司 $