第三章 函数的概念与性质（单元测试-培优卷）高一数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A A C A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．11 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）， ；------------------------5分 （2），则， 则， 解得或； ∴不等式解集为或；------------------------11分 （3）由，则，解得或.------------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得；------------------------8分 （2）函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. ------------------------15分 17．(15分) 【详解】（1） 由已知 是定义在 上的奇函数， 可得 ，------------------------3分 又 ，所以 ， 所以的解析式为，.------------------------6分 （2） 设 ，易知 ，，，. 则 则，所以在上单调递增.------------------------9分 又是定义在上的奇函数， 由 可得 所以解得 ，------------------------14分 故原不等式的解集为 .------------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）依题意， .------------------------8分 （2）当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大.------------------------17分 19．(17分) 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为.------------------------5分 （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以.------------------------11分 （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是.------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．下列每组中的两个函数是相同函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数则（      ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 5．已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 8．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 10．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 11．已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足 则的解析式为________. 13．已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 14．定义在上的函数满足： （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的值． 16．设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 18．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 19．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第三章 函数的概念与性质（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．下列每组中的两个函数是相同函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数则（      ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 5．已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 8．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 10．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 11．已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足 则的解析式为________. 13．已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 14．定义在上的函数满足： （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的值． 16．设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 18．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 19．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为. 2．下列每组中的两个函数是相同函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】对于选项A，因为，故A正确； 对于选项B，因为的定义域为，的定义域为， 所以两个函数不是相同函数，故B错误； 对于选项C，因为的定义域为，的定义域为， 所以两个函数不是相同函数，故C错误； 对于选项D，因为的定义域为， 的定义域为，所以两个函数不是相同函数，故D错误. 3．已知函数则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 4．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又因为时，，所以， 所以时，，所以， 从而. 5．已知函数 在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数 在定义域上是增函数，所以， 解得. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的图象关于对称可得，，即， 又因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 当时，，代入得 ， 因此，即. 7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数是增函数 D．当时， 【答案】D 【分析】根据的定义，直接计算可判断A；根据题意，得到可判断B；举反例可判断C；根据题意，得到可判断D. 【详解】对于A，根据题意，，故A错误； 对于B，根据题意，有，即，所以的值域为，故B错误； 对于C，根据题意，，，即，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 8．对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求两条直线的交点把定义域分段，再在每一段上写出对应的表达式，由各段的单调性求最大值. 【详解】由的定义知，取与中较小的那个. 令得，此时两个式子的值都为. 当时，，故， 它在上单调递增，最大值为； 当时，，故， 它在上单调递减，最大值也为. 所以该函数的最大值为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有，从而A错误； 对于B，由图象知其定义域为，值域为，符合题意，从而B正确； 对于C，由图可知，从而定义域为，值域为，符合题意，从而C正确； 对于D，由图，当时，对应有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误. 10．幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 11．已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 【答案】BC 【分析】代入A、B的公共元素，得出函数值为2，结合特征函数定义判断选项A；代入A、B的公共元素，结合特征函数定义判断选项B；因式分解后，仅x属于A但不属于B时函数值为 1，符合A交B补集的特征函数，进而判断选项C；代入不同归属的x求值，验证函数取 1 对应的集合不是交集的补集，判断选项D． 【详解】若，，但特征函数只能取或1，故A错误； ，， 当时，中至少一个为0，， 恰好是的特征函数，故B正确； ， 且时，， 其余情况或，对应集合， 故C正确； 时， 若，， 若，且时，， 若，且时，， 若，且时，， 函数取1对应“只属于A或只属于B”，而包含“既不属于A也不属于B”情况，此时函数值为0，不满足特征函数定义，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足 则的解析式为________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，，求解出 ，再将替换为，得. 【详解】 令，，解得， 将代入已知等式，可得 ， 所以 ，将替换为，得，. 13．已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 14．定义在上的函数满足： （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 【答案】11 【详解】当时，，通过分类讨论易画出该函数图象， 通过图象可知，在上单调递增，在上单调递减，且； ； 对，，有，所以， 当时，，函数在此区间单调递增， 当时，，函数在此区间单调递减， 所以函数在区间上有极大值； 当时，，因此要使，； 当时，即，， 令，解得或（舍去）， 因此集合中的最小元素是11． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)或； (3)或 【详解】（1）， ； （2），则， 则， 解得或； ∴不等式解集为或； （3）由，则，解得或. 16．设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. 【分析】（1）利用函数的奇偶性列式计算即得； （2）利用函数的单调性定义计算判断即可. 【详解】（1）函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得； （2）略 17．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1） 由已知 是定义在 上的奇函数， 可得 ， 又 ，所以 ， 所以的解析式为，. （2） 设 ，易知 ，，，. 则 则，所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数， 由 可得 所以解得 ， 故原不等式的解集为 . 18．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【答案】(1) (2)年产量为100件时获利最大 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【详解】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大. 19．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $