3.4 函数的应用(一) 培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用(一) 　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. 2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 知识点一　一次函数模型 [例1]　为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式; (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 　 1.在用函数刻画实际问题时,除了用函数解析式刻画外,函数图象也能够发挥很好的作用,因此,应注意提高读图的能力. 2.一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线,求解时,要注意待定系数法的应用. 1.某小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米4元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米,如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过　　　　平方米.  知识点二　二次函数模型 [例2]　某商品进货单价为40元,若销售单价为50元,可卖出50个,如果销售单价每涨1元,销售量就减少1个. (1)为使利润不少于500元,销售单价应控制在什么范围? (2)此商品的最佳销售单价为多少元时能获得最大利润?最大利润为多少元? 　利用二次函数求最值的方法及注意点 1.方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. 2.注意点:取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 2.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为10 000辆,本年度为适应市场需求,计划适度增加投入成本,提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)投入成本增加的比例多大时,本年度预计的年利润最大?最大值是多少? 知识点三　分段函数模型 [例3]　某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品,已知该产品的成本为每件40元,销售单价y(元)与日销售量x(件)的对应关系如下表所示(销售单价不低于成本且不高于100元且变量y与变量x成一次函数关系): 销售单价y(元) 50 60 日销售量x(件) 100 80 该平台为了促进销售,决定当销售单价不超过65元时,向商家提供每件2元的物流补贴;当销售单价超过65元时,不再提供补贴.设该产品的商家日利润为w(元). (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)求w与x之间的函数关系式; (3)当销售单价y为多少元时,日利润w最大?最大日利润是多少元? 应用分段函数时的三个注意点 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,然后比较,最后下结论. 3.为了保护水资源,提倡节约用水,某市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表: 每户每月用水量 水价(元/立方米) 不超过16立方米部分 3 超过16立方米但 不超过24立方米部分 4 超过24立方米部分 6 一户居民本月的用水量为x(单位:立方米),费用为y元. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若该户本月缴纳的水费为64元,求此户居民本月用水量. 1.知识清单: 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b (a,b,α为常数,a≠0) 2.方法归纳:配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区:函数的实际应用问题易忽略函数的定义域. 1.据调查,某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次,其中电动车存车费是每辆一次2元,自行车存车费是每辆一次1元.若该天自行车存车量为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是(　　) A.y=x+400(0≤x≤400) B.y=x+800(0≤x≤400) C.y=-x+400(0≤x≤400) D.y=-x+800(0≤x≤400) 2.“叫花鸡”又称“富贵鸡”,是闻名四海的佳肴,以其鲜美、香喷、酥嫩著称.某店铺制作了300只“叫花鸡”,若每只“叫花鸡”的定价是40元,则均可被卖出;若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N*)元,则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12 495元,则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为(　　) A.48元 B.49元 C.51元 D.50元 3.生物活动小组的同学们观察某植物生长,得到该植物高度y(单位:cm)与观察时间x(单位:天)的关系,并画出如图所示的图象(CD∥x轴),该植物最高的高度是(　　) A.50cm B.20cm C.16cm D.12cm 4.旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为10 000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在20或20以下,飞机票每人收费800元;若旅游团的人数多于20,则实行优惠方案,每多一人,机票费每张减少10元,但旅游团的人数最多为75,则该旅行社可获得的最大利润为　　　　　元.  1.某企业为了鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每个月用水量不超过15吨,按每吨3元收费;每个月用水量超过15吨,超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元,则小王10月份的实际用水量为(　　) A.18吨 B.20吨 C.22吨 D.24吨 2.小嘉销售一批肉粽,每个肉粽的最低售价为10元.若按最低售价出售,每天能卖出40个;若每个肉粽的售价每提高1元,日销售量将减少2个.那么小嘉一天能获得的最大收入是(　　) A.440元 B.450元 C.460元 D.470元 3.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 有一智能公司员工十月份工资、薪金所得 18 000元,则该员工十月份应缴纳个税为(　　) A.990元 B.1 190元 C.1 490元 D.2 190元 4.“空气质量指数AQI”是定量描述空气质量状况的无量纲指数,当AQI大于200时表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　) A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.9小时 5.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间 x(min)的关系,下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x 6.某商场在节日期间举行促销活动,规定:①若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;②若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠;③若所购商品标价超过500元,其500元内(含500元)的部分按第②条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标价为　　　　元.  7.用一根长为12 m的绳子围成一个矩形,设矩形的一边长为x m. (1)所围成的矩形面积S能否大于8 m2?若能,求出x的取值范围;若不能,请说明理由. (2)求所围成矩形的面积S的最大值. 8.某公司共有60位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30人,则每人收取培训费1 000元;若参加培训的员工人数超过30人,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x,此次培训的总费用为y元. (1)求出y与x之间的函数解析式; (2)公司此次培训的总费用最多需要多少元? 9.某公司租地建仓库,已知仓库每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　) A.5 km处 B.4 km处 C.3 km处 D.2 km处 10.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为(　　) A.p=96V B.p= C.p= D.p= 11.某商店销售A,B两款商品,利润(单位:元)分别为y1=-x2+19x和y2=6x,其中x(x∈N)为销量(单位:袋),若本周销售两款商品一共20袋,则能获得的最大利润为　　　　元.  12.经调研发现:某优质品种石榴树的单株产量L(单位:千克)与施肥量x(单位:千克)满足函数关系:L(x)=且单株石榴树的肥料成本投入为30x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为15x元.已知这种石榴的市场售价为25元/千克,且销路畅通供不应求,记该石榴树的单株利润为f(x)(单位:元). (1)求f(x)的函数解析式; (2)当单株施肥量为多少千克时,该石榴树的单株利润最大?最大利润是多少? 13.某信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密的方法是英文的a,b,c,…,z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3,…,26这26个自然数.通过变换公式:f(x)= 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变换成q,5→=3,即e变换成c.按上述规定,若将明文译成的密文是shxc,则原来的明文是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4　函数的应用(一) 　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. 2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 知识点一　一次函数模型 [例1]　为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式; (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. (1)由图可知,y1与通话时间x成一次函数,y2与通话时间x成正比例函数,设出函数解析式,代入点的坐标得答案. (2)当两种卡的收费相等时,可求出x值,用通话时间小于此值或大于此值,判断哪种卡便宜. 解　(1)由图象设y1=k1x+30(k1≠0),y2=k2x(k2≠0), 把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+30,y2=k2x,得k1=,k2=. ∴y1=x+30(x≥0),y2=x(x≥0). (2)令y1=y2,即x+30=x,则x=90. 当x=90时,y1=y2,两种卡收费一致; 当0≤x<90时,y1>y2,使用便民卡便宜; 当x>90时,y1<y2,使用如意卡便宜. 　 1.在用函数刻画实际问题时,除了用函数解析式刻画外,函数图象也能够发挥很好的作用,因此,应注意提高读图的能力. 2.一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线,求解时,要注意待定系数法的应用. 1.某小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米4元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米,如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过　　　　平方米.  答案　80 解析　设李明家的建筑面积为x平方米,选择两种方案所需缴纳的供暖费分别为y1,y2元,按照方案(1),李明家需缴纳供暖费y1=60×4=240(元);按照方案(2),李明家需缴纳供暖费y2=3x(元).由题意得3x≤240,解得x≤80,所以李明家的建筑面积最多不超过80平方米. 知识点二　二次函数模型 [例2]　某商品进货单价为40元,若销售单价为50元,可卖出50个,如果销售单价每涨1元,销售量就减少1个. (1)为使利润不少于500元,销售单价应控制在什么范围? (2)此商品的最佳销售单价为多少元时能获得最大利润?最大利润为多少元? (1)根据“利润=销售量×单件利润”列出关系,解不等式,可求价格的取值范围. (2)利用配方法求二次函数的最大值. 解　(1)设此商品的销售单价为x元,利润为y元, 则y=[50-(x-50)](x-40)=-x2+140x-4 000, 由-x2+140x-4 000≥500,解得50≤x≤90. 故为使利润不少于500元,销售单价应控制在50元到90元. (2)因为y=-(x-70)2+900, 故当此商品的最佳销售单价为70元时能获得最大利润,最大利润为900元. 　利用二次函数求最值的方法及注意点 1.方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. 2.注意点:取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 2.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为10 000辆,本年度为适应市场需求,计划适度增加投入成本,提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)投入成本增加的比例多大时,本年度预计的年利润最大?最大值是多少? 解　(1)y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×10 000(1+0.6x)=200(-3x2+x+10),0<x<1. (2)函数y=200(-3x2+x+10)的图象开口向下,对称轴为直线x=. ∴当x=时,y取得最大值. ∴投入成本增加的比例为时,本年度预计的年利润最大,最大值是万元. 知识点三　分段函数模型 [例3]　某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品,已知该产品的成本为每件40元,销售单价y(元)与日销售量x(件)的对应关系如下表所示(销售单价不低于成本且不高于100元且变量y与变量x成一次函数关系): 销售单价y(元) 50 60 日销售量x(件) 100 80 该平台为了促进销售,决定当销售单价不超过65元时,向商家提供每件2元的物流补贴;当销售单价超过65元时,不再提供补贴.设该产品的商家日利润为w(元). (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围; (2)求w与x之间的函数关系式; (3)当销售单价y为多少元时,日利润w最大?最大日利润是多少元? (1)设出一次函数关系,利用待定系数法求出解析式,并求出自变量的范围. (2)利用给定关系,结合(1)的结论分段求解. (3)分段求出最大值,再比较大小即得. 解　(1)由题,设y=kx+b(k≠0), 由表中数据可得 解得 所以y=-x+100,由40≤y≤100,得40≤-x+100≤100,得0≤x≤120, 所以所求函数关系为y=-x+100,0≤x≤120. (2)由(1),y=-x+100,0≤x≤120. 当y≤65,即70≤x≤120时,w=(y-40)x+2x=x+2x=-x2+62x, 当65<y≤100,即0≤x<70时,w=(y-40)x=x=-x2+60x, 所以所求函数关系为 w= (3)当0≤x<70时,w=-x2+60x=-(x-60)2+1 800≤1 800,当且仅当x=60时,等号成立; 当70≤x≤120时,w=-x2+62x=-(x-62)2+1 922在[70,120]上单调递减, 则当x=70时,函数取得最大值1 890, 而1 800<1 890,因此当x=70,即y=65时,函数取得最大值1 890, 所以当销售单价y为65元时,日利润w取得最大值1 890元. 应用分段函数时的三个注意点 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,然后比较,最后下结论. 3.为了保护水资源,提倡节约用水,某市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表: 每户每月用水量 水价(元/立方米) 不超过16立方米部分 3 超过16立方米但 不超过24立方米部分 4 超过24立方米部分 6 一户居民本月的用水量为x(单位:立方米),费用为y元. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若该户本月缴纳的水费为64元,求此户居民本月用水量. 解　(1)当x∈[0,16]时,y=3x, 当x∈(16,24]时,y=4(x-16)+48=4x-16, 当x∈(24,+∞)时,y=6(x-24)+80=6x-64, 综上所述,y关于x的函数解析式为 y= (2)由(1)可知,当x∈[0,16]时,y≤48, 当x∈(16,24]时,48<y≤80, 当x∈(24,+∞)时,y>80, 因此当月缴纳的水费为64元时,用水量x∈(16,24], 所以4x-16=64,解得x=20(立方米), 答:此户居民本月用水量为20立方米. 1.知识清单: 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b (a,b,α为常数,a≠0) 2.方法归纳:配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区:函数的实际应用问题易忽略函数的定义域. 1.据调查,某存车处(只存放自行车和电动车)在某天的存车量为400辆次,其中电动车存车费是每辆一次2元,自行车存车费是每辆一次1元.若该天自行车存车量为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是(　　) A.y=x+400(0≤x≤400) B.y=x+800(0≤x≤400) C.y=-x+400(0≤x≤400) D.y=-x+800(0≤x≤400) 解析　D　因为自行车存车量为x辆次,所以电动车存车量为(400-x)辆次,所以y=x+2×(400-x)=-x+800(0≤x≤400),故选D. 2.“叫花鸡”又称“富贵鸡”,是闻名四海的佳肴,以其鲜美、香喷、酥嫩著称.某店铺制作了300只“叫花鸡”,若每只“叫花鸡”的定价是40元,则均可被卖出;若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N*)元,则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12 495元,则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为(　　) A.48元 B.49元 C.51元 D.50元 解析　D　根据题意可得(40+x)(300-5x)>12 495,整理得x2-20x+99<0,解得9<x<11,又x∈N*,所以x=10,该店铺的“叫花鸡”每只定价应为40+10=50(元). 3.生物活动小组的同学们观察某植物生长,得到该植物高度y(单位:cm)与观察时间x(单位:天)的关系,并画出如图所示的图象(CD∥x轴),该植物最高的高度是(　　) A.50cm B.20cm C.16cm D.12cm 解析　C　设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),∵经过点A(0,6),B(30,12),∴解得所以直线AC的解析式为y=x+6(0≤x≤50),由题中图象可知,当x=50时,该植物最高,此时y=×50+6=16. 4.旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为10 000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在20或20以下,飞机票每人收费800元;若旅游团的人数多于20,则实行优惠方案,每多一人,机票费每张减少10元,但旅游团的人数最多为75,则该旅行社可获得的最大利润为　　　　　元.  答案　15 000 解析　设旅游团的人数为x,每张飞机票的价格为y元,旅行社可获得的利润为W元. 则当0≤x≤20时,y=800; 当20<x≤75时,y=800-10(x-20)=-10x+1 000. ∴当0≤x≤20时,W=800x-10 000,为一次函数,函数值随x的增加而增大,当x=20时,取得最大值,且Wmax=800×20-10 000=6 000(元). 当20<x≤75时,W=(-10x+1 000)x-10 000=-10x2+1 000x-10 000=-10(x-50)2+15 000,为二次函数,当x=50时取得最大值,且Wmax=15 000(元). ∵15 000>6 000,∴该旅行社可获得的最大利润为15 000元. 1.某企业为了鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每个月用水量不超过15吨,按每吨3元收费;每个月用水量超过15吨,超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元,则小王10月份的实际用水量为(　　) A.18吨 B.20吨 C.22吨 D.24吨 解析　B　小王10月份的实际用水量为×(70-15×3)+15=20(吨). 2.小嘉销售一批肉粽,每个肉粽的最低售价为10元.若按最低售价出售,每天能卖出40个;若每个肉粽的售价每提高1元,日销售量将减少2个.那么小嘉一天能获得的最大收入是(　　) A.440元 B.450元 C.460元 D.470元 解析　B　设每个肉粽的售价提高x元,则售价为(10+x)元,日销售量为(40-2x)个.收入y=(10+x)(40-2x)=-2x2+20x+400.因为二次函数y=-2x2+20x+400的图象开口向下,当x=-=5时,y取得最大值.此时最大收入为(10+5)×(40-2×5)=15×30=450(元). 3.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 有一智能公司员工十月份工资、薪金所得 18 000元,则该员工十月份应缴纳个税为(　　) A.990元 B.1 190元 C.1 490元 D.2 190元 解析　B　收入是18 000元,根据缴纳个税规定分四段,第一段5 000元不缴税;第二段 3 000元缴税为3 000×3%=90;第三段9 000元缴税为9 000×10%=900;第四段1 000元缴税为1 000×20%=200.所以该职工10月份应缴纳个税为:90+900+200=1 190(元). 4.“空气质量指数AQI”是定量描述空气质量状况的无量纲指数,当AQI大于200时表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　) A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.9小时 解析　C　因为y=令-10t+280≤200,解得t≥8,此时8≤t≤12;令56-24≤200,解得t≤16,此时12<t≤16.综上,8≤t≤16.所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 5.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间 x(min)的关系,下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x 解析　BD　在A中,甲在公园休息的时间是10 min,所以只走了50 min,A错误;由题中图象知,B正确;甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,D正确. 6.某商场在节日期间举行促销活动,规定:①若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;②若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠;③若所购商品标价超过500元,其500元内(含500元)的部分按第②条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标价为　　　　元.  答案　2 000 解析　由题意知,若该家电大于200元但不超过500元,优惠的钱数最多为(500-200)×(1-0.9)=30元,因为该家电优惠330元,所以该家电一定超过500元,设该家电在商场的标价为x元,则优惠的钱数为300×(1-0.9)+(x-500)×(1-0.8)=330,解得x=2 000,故该件家电在商场标价为2 000元. 7.用一根长为12 m的绳子围成一个矩形,设矩形的一边长为x m. (1)所围成的矩形面积S能否大于8 m2?若能,求出x的取值范围;若不能,请说明理由. (2)求所围成矩形的面积S的最大值. 解　(1)设矩形的一边长为x m,则矩形的另一边长为(6-x) m, 故矩形的面积S=x(6-x)=-x2+6x(0<x<6), 假设所围成的矩形面积S大于8 m2, 则-x2+6x>8,解得2<x<4, 所以所围成矩形的面积能大于8 m2,x的取值范围是{x|2<x<4}. (2)由(1)可知S=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9, 所以当x=3时,S取最大值为9, 即当矩形的一边长为3 m时,所围成矩形的面积S的最大值为9 m2. 8.某公司共有60位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构进行培训.培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费;另一部分是给培训机构缴纳的培训费.若参加培训的员工人数不超过30人,则每人收取培训费1 000元;若参加培训的员工人数超过30人,则每超过1人,人均培训费减少20元.设公司参加培训的员工人数为x,此次培训的总费用为y元. (1)求出y与x之间的函数解析式; (2)公司此次培训的总费用最多需要多少元? 解　(1)当0≤x≤30,x∈N时,y=400x+1 000x=1 400x; 当30<x≤60,x∈N时,y=400x+[1 000-20(x-30)]·x=-20x2+2 000x, 故y= (2)当0≤x≤30,x∈N时, y≤1 400×30=42 000,此时x=30; 当30<x≤60,x∈N时, y≤-20×502+2 000×50=50 000,此时x=50. 综上所述,公司此次培训的总费用最多需要50 000元. 9.某公司租地建仓库,已知仓库每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　) A.5 km处 B.4 km处 C.3 km处 D.2 km处 解析　A　设仓库到车站的距离为x km,由题意得y1= ,y2=k2x,其中x>0.当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,故y1+y2= +x≥2=8,当且仅当 = x,即x=5时,等号成立,故选A. 10.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为(　　) A.p=96V B.p= C.p= D.p= 解析　D　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设p=(k≠0),由图象可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=,解得k=96,故p=,故选D. 11.某商店销售A,B两款商品,利润(单位:元)分别为y1=-x2+19x和y2=6x,其中x(x∈N)为销量(单位:袋),若本周销售两款商品一共20袋,则能获得的最大利润为　　　　元.  答案　162 解析　设该商店销售A商品x袋,则B商品(20-x)袋, 所以可获得的利润y=-x2+19x+6(20-x)=-x2+13x+120=-+, 因为x∈[0,20],x∈N,所以当x=6或x=7时,利润最大,最大利润为162元. 12.经调研发现:某优质品种石榴树的单株产量L(单位:千克)与施肥量x(单位:千克)满足函数关系:L(x)=且单株石榴树的肥料成本投入为30x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为15x元.已知这种石榴的市场售价为25元/千克,且销路畅通供不应求,记该石榴树的单株利润为f(x)(单位:元). (1)求f(x)的函数解析式; (2)当单株施肥量为多少千克时,该石榴树的单株利润最大?最大利润是多少? 解　(1)当0≤x≤2时,f(x)=25(3x2+18)-30x-15x=75x2-45x+450, 当2<x≤5时,f(x)=25×-30x-15x=-45x, 故f(x)= (2)①当0≤x≤2时,f(x)=75x2-45x+450=75+, 所以当x=2时,f(x)取最大值为f(2)=660(元). ②当2<x≤5时,f(x)=-45x=-45x=1 170-, 而+45(x+1)≥2=450, 当且仅当=45(x+1),即x=4时,等号成立, 所以f(x)=1 170-≤1 170-450=720(元), 因为720>660,故当单株施肥量为4千克时,该石榴树的单株利润最大,最大利润是720元. 13.某信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密的方法是英文的a,b,c,…,z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3,…,26这26个自然数.通过变换公式:f(x)= 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变换成q,5→=3,即e变换成c.按上述规定,若将明文译成的密文是shxc,则原来的明文是　　　　.  答案　love 解析　∵明文译成的密文是shxc, 设密文s对应的明文为α,则f(α)=19, 若=19,则α=37>26,不符合要求, 若+13=19,则α=12,即s对应的明文为l, 同理可以确定出h对应的明文为o,x对应的明文为v,c对应的明文为e, ∴原来的明文是love. 学科网（北京）股份有限公司 $