3.4 函数的应用（一） 讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.4 函数的应用（一） 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 考向01 利用二次函数模型解决实际问题 【例1】某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. (1)求每百台的平均利润函数m(x)； (2)年产量是多少时，工厂不亏本? (3)年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 【答案】(1) (2)台 (3)200台 【详解】（1）设每百台的利润函数为，， . 每百台的平均利润函数. （2）工厂不亏本,即， 解得，又，所以. . 因年产量为整台，故最低不亏本产量向上取整为77台， 所以年产量在台时，工厂不亏本. （3），，， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以年产量是200台时，每百台的平均利润最大. 【对点1】某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． (1)该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ (2)该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 【答案】(1)每月储能处理量为400吨标准电量时，每吨的平均储能运营成本最低 (2)该电站每月可以获利，最大利润45000元． 【分析】（1）先列出每吨的平均储能运营成本，再利用基本不等式解决即可； （2）列出每月的获利与月储能处理量的关系式，再利用二次函数求值域，即可求解. 【详解】（1）根据题意，每吨的平均储能运营成本，， 由基本不等式， 当且仅当吨时，每吨的平均储能运营成本最低是200元. （2）每月的获利，， 化简，因为，所以， 当吨时，可获利45000元. 综上，该电站每月可以获利，最大利润45000元. 考点02 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 考点03 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 考向01 分段函数模型的应用 【例1】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含），票价元; （2）以上，每增加，票价增加元（不足的按计算） 如果某条线路总里程为，请根据题意，写出票价与里程之间的解析式为______ 【答案】 【详解】由题意得，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故票价关于里程之间的关系式为. 【对点1】大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 【答案】(1)（）． (2)8℃. 【分析】（1）结合题意，可先设（），即，结合时，，利用待定系数法可求出k，至此可确定温度随高度变化的函数关系式； （2）依题意可得，，代入（1）中得到的函数关系式，计算可得结论. 【详解】（1）由题意，设（） 即. ∵当时，，∴， 解得， ∴当时，， ∴所求的函数关系式为（）． （2）当，时， （℃）， 即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃. 考点04 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 考向01 分式型函数模型的应用 【例1】现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【对点1】为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为 万元 【分析】（1）先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数即可； （2）利用均值不等式即可求出的最小值及此时的值. 【详解】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理， 即时，，所以，即， 由题意，建造垃圾回收处理站的费用为， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此. （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以时，最小，最小值为万元. 一、单选题 1．已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定公共函数值的取值范围，再利用韦达定理得到和的表达式，将所求乘积转化为关于的函数求值域. 【详解】设，分两段分析： 当时，，其对称轴为，最小值为3，， 故当时，在上有两个不等实根，， 令，即，由韦达定理得. 当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故当时，在上有两个不等实根，， 令即，由韦达定理得. 所以， 由上述得，则. 2．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 令，则，解得或， 函数在闭区间上最小值为，最大值为， 要取到最小值，需对称轴落在区间内，即， 要保证最大值不超过，区间右端点不能大于，即， 解得， 故的取值范围是. 3．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程与方程的实数解分别是， 令， 则函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为， 函数，，的图像如下图所示： 故. 4．2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入的情况进行抽样调查，抽取1000户，按地区确定的标准，情况如下表，本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景．由圆图显示，则中等收入的家庭数量在原有的基础上要增加的百分比和低收入的家庭数量在原有的基础上要降低的百分比分别为（   ） 高收入 中等收入 低收入 125户 400户 475户 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中等收入需增加，则；设低收入家庭数量在原有基础上需降低，则，分别计算即可. 【详解】2005年底，中等收入所占比例为40%，设到2010年需增加，则，，同理，低收入家庭数量在原有基础上需降低，则，则． 5．在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 6．已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， 可得，即函数关于中心对称，所以， . 7．设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，把定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值，再根据临界验证求实数最小值． 【详解】对，，记， 由则，故， 则定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值， 已知就能满足全部值域， 对任意，需满足 已知，解得， 该条件对所有成立，则必有， 当，任意，，落在内，满足条件； 若，可取，此时，与超出，不满足值域； 故实数最小值为． 二、多选题 8．（多选）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（　　） A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 【答案】AC 【分析】先根据三角形的性质得出关系式，进而得到面积关于的二次函数，再求二次函数的最值即可. 【详解】由三角形相似得，得， 矩形铁片的面积， 所以当时，S最大，此时. 故时，取最大值． 9．（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】结合已知条件利用函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据二次函数的性质分析各项即可求解. 【详解】因为 为奇函数， 为偶函数， 所以 ①， ② ， 联立①②可得 ，选项 B 正确； 则 ，选项 A 错误； 结合二次函数性质可得 在上单调递增，在上单调递减， 故在区间在上不单调，选项C错误； 结合二次函数性质可得，当时，函数取得最大值 ，选项 D 正确． 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 三、填空题 11．已知，则函数的最小值为_______________． 【答案】11 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 12．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 13．已知函数，若关于的不等式有解但没有整数解，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】变形得到，令，得到为偶函数，作出的图象，结合特殊点的函数值，得到答案. 【详解】，即，故， 令，因为定义域为R，且， 故为偶函数，， 作出的图象如下： 当时，取得最小值，最小值为，且，， 要想关于的不等式有解但没有整数解，需满足， 故关于的不等式有解但没有整数解，则. 故答案为： 14．已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先把不等式变形为，转化为两个函数图像的位置关系，对参数分三类讨论，根据仅有一个整数解列出边界不等式，最后合并两段取值范围得到答案． 【详解】因为有且只有1个整数解， 则有且只有1个整数解， 因为当时，恒成立， 所以不符合题意； 当时，在同一坐标系中，作出函数与的图象如下图1所示， 则只能有且只有一个整数解1，即， 解得； 当时，在同一坐标系中，作出函数与的图象如下图2所示， 则只能有且只有一个整数解， 则有，即； 当时，由下图3可知，1有无穷多个整数解，不符合题意． 综上，实数的取值范围为：． 15．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【分析】结合函数的图像和值域，函数图象，再分类讨论解的个数，验证边界情况即可求解. 【详解】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 四、解答题 16．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【答案】(1) (2)年产量为100件时获利最大 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【详解】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大. 17．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)（）． 【答案】(1) (2)隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米 【详解】（1）由，车流速度不小于40千米/小时，得. 当时，，符合题意； 当时，，解得； 综上所述，. 车流密度的取值范围为. （2）由，，得. 当 时，，则，当且仅当 时等号成立； 当 时， ， 当且仅当，即时成立. ，的最大值为2424，此时约为75. 隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米． 18．南阳某甜品店应对市场需求生产一种蛋糕，经核算生产该蛋糕每年固定成本为15万元，每生产x千个，需要另外投入成本C(x)万元，其中，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千个)的函数解析式； (2)年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕生产中所获利润最大. 【答案】(1) (2)14千个 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-变动生产成本”，分区间代入给定的成本函数即可求得解析式； （2）分别利用二次函数性质、基本不等式求解两段区间的利润最大值，比较后得到全局最大利润对应的年产量 【详解】（1） （2）当时，， 故当时，此时取到最大值83， 当，时，，当且仅当时取到等号， 由于，故取到最大值83，此时. 19．设，已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)当时，求证：，并指出等号成立的条件； (3)设，若实数满足.求证：. 【答案】(1) (2) 因为 . 而，，故，，. 所以. 所以，当且仅当时取得等号. (3)令，则. 若，则方程化为，故在值域中， 若，则关于的二次方程有实数解，则. 解不等式得：. 因为，记. 则，且的值域为 由可知. 证明： 当时，因为，所以，，则. 当时，由（2）知. 于是， 由，得， 因为，故，所以. 而，在时取得最大值为， 因此，所以. 若等号成立，则需要同时满足下列条件：（i）；（ii）；（iii）. 由（i）（ii）得与（iii）矛盾，故等号不能成立， 因此. 【分析】（1）根据已知有，结合对勾函数的性质求值域； （2）利用作差法、不等式的性质证明不等式，进而确定等号成立条件即可； （3）问题化为关于的方程有实数解，讨论、两种情况，且时，记，从而有，根据已知有，最后应用分类讨论证明不等式. 【详解】（1）若，，，其中，所以. （2）略 （3）略 20．国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.4 函数的应用（一） 知识归纳与题型总结 考点01 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 考向01 利用二次函数模型解决实际问题 【例1】某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为4万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)2万元.市场对此产品的年需求量为500台(即公司的年产量不超过500台)、年销售额(万元)函数为 其中x是产品的年销售量(单位：百台).该工厂实行产销平衡，即年产量等于年销售量. (1)求每百台的平均利润函数m(x)； (2)年产量是多少时，工厂不亏本? (3)年产量是多少时，每百台的平均利润最大? 【对点1】某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． (1)该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ (2)该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 考点02 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 考点03 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 考向01 分段函数模型的应用 【例1】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含），票价元; （2）以上，每增加，票价增加元（不足的按计算） 如果某条线路总里程为，请根据题意，写出票价与里程之间的解析式为______ 【对点1】大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 考点04 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 考向01 分式型函数模型的应用 【例1】现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【对点1】为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 一、单选题 1．已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入的情况进行抽样调查，抽取1000户，按地区确定的标准，情况如下表，本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景．由圆图显示，则中等收入的家庭数量在原有的基础上要增加的百分比和低收入的家庭数量在原有的基础上要降低的百分比分别为（   ） 高收入 中等收入 低收入 125户 400户 475户 A． B． C． D． 5．在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 6．已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（　　） A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 9．（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 三、填空题 11．已知，则函数的最小值为_______________． 12．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 13．已知函数，若关于的不等式有解但没有整数解，则实数的取值范围为___________． 14．已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 15．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题 16．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 17．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)（）． 18．南阳某甜品店应对市场需求生产一种蛋糕，经核算生产该蛋糕每年固定成本为15万元，每生产x千个，需要另外投入成本C(x)万元，其中，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千个)的函数解析式； (2)年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕生产中所获利润最大. 19．设，已知函数，. (1)若，求在上的值域； (2)当时，求证：，并指出等号成立的条件； (3)设，若实数满足.求证：. 20．国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $