内蒙古乌海市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

鸟海市第一中学2026-2027学年高二第一次月考卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1,已知i为虚数单位，若复数z满足(1-i)==2,则=() A.1 B.2 C.2 D.2W2 2.在AC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知MBC的面积为S-g+-c),则amC的值为 () A.月 B.1 C.2 D.4 3.如图所示，已知正四棱锥P-ABCD,PE=PC,若AB=a,AD=i,AP=c,则BE 4 等于() A. 3a++3 a+- B.5a-6+5c Q- C 444 444 C. D.3a-63 40-4 B 0-4 4.直线1：(3+m)x+4y=5-3m,1:2x+(5+m)y=8,若直线{与直线l2平行，则=（) A.-1 B.-7 C.-1或-7 D.1或7 5.设，是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若a/p,mca,ncB,则m‖ln B.若a⊥P,mca,ncB,则m1n C.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则&⊥B D.若m‖a,n/la,mcB,ncB,则a1IB 6.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向 下的数字为3或4”，事件N为两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是() A.事件M与事件N不是互斥事件 B。事件M发生的概率为兮 C.事件M与事件N相互独立 D.事件M+N发生的概率为 D 7.如图，圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面直径AB 所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB=PO=2,则直线CD和平面PBC所成角的 D 正弦值为() A月 B专 c.V65 D.22 9 3 8.己知点A(2,-3),B(-3,-2).若直线l:r+y--1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是() A.（U[+o) c. 答案第1页（共14页） 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.（多选)下列说法正确的是() A.直线x+√3y+1=0的倾斜角为150° B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1 C.直线y=r-2a+4恒过定点 D.过点(2,4)并在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y-6=0 10.(多选)已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A若A-石B=牙则6= 63 B.若C是钝角，则sinA>cosB C.若B-平c=2b=3,则满起条件的三角形只有一个 A D.若A=匹，a=2,则△4BC的周长的最大值为6 B Mi C 31 11.（多选)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=A4=2,AB LAC, 点P、Q、MN分别是BB、CC1、A4、BC的中点，则() B A.P、O、MN四点共面 B.线段BC为直三棱柱ABC-ABC外接球的直径 C。三棱锥P-4QN的体积为号 D.直线W与AC所成角余弦值为 3 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.在正四棱台ABCD-AB,C1D中，AB=4,AB,=2,A4=√5，则该棱台的体积为 I3.长方体ABCD-AB,C1D中，A4=AD=1,AB=2,则点D到直线AC的距离等于 14.将直线1：y=2x+1绕其与y轴的交点M逆时针旋转严得直线'，则r与两坐标轴所围成的三角形面积大小为一， 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分) 15.已知△ABC的顶点A(4,-2),边AB上的中线CM所在直线方程为x-3y+5=0,边AC上的高BH所在的直线 方程为2x-y=0. (1)求顶点C的坐标： (2)求直线BC的方程. 答案第2页（共14页） I6.如图，在四棱锥P-ABCD中，己知底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E,F,G分别为线段 AD,BC,PB的中点 G B (I)求证：AG⊥平面PBC; (2)求证：PE∥平面AFG. 17.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)， 第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、 四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. 频率 组距 0.045 b 0.020 o-- 455565758595分数 (1)求a、b的值： (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）： (3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的 概率 答案第3页（共14页） 18.如图，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sn2C=sinB,且AD为BC 边上的中线，AE为∠BAC的角平分线. B D E (I)求cosC及线段BC的长： (2)求△ADB的面积. 19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD中点，PO⊥平面ABCD,PO=√5，AB=2,平面PAB∩ 平面PCD=I. M 0 B (1)求证：1/AB; (2)如图，M∈I且PM=1,求点M到平面PBC的距离； (3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q,在线段PB上是否存在点E,使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦 值为3105？若存在，请确定点z的位置：若不存在，请说明理由 35 答案第4页（共14页） 《2026年10月25日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B & 8 B B B A AC ACD 题号 11 答案 BCD 1.B 【分析】根据复数的除法运算求出？，再根据共轭复数的定义求出z,再根据复数的模的计算公式即可得解 2(1+i) 详解因为0归2，所以名+ =1+i, 所以=1-i,所以=√2. 故选：B. 2.B 【分析】联立三角形面积公式与余弦定理，等量代换化简得到tanC=1. 【详解】因为aMBC的面积为S-寻女+6-c),所以smC-a+b2-c), 4 又.a2+b2-c2=2 bcos C, :.Labsin C=LabcosC, 2 则tanC-1. 3.A 【详解】由PE-PC,得P丽-Pc-PA+AB+B网-AP+AD+B对-a+6-, 所丽=丽-西-示+m-丽-a+6-月-a 4 4.B 【分析】对x,y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出. 【详解】当m=-3时，两条直线分别化为：2y=7,x+y=4,此时两条直线不平行； 当m=-5时，两条直线分别化为：x-2y=10,x=4,此时两条直线不平行； 当m≠-3，-5时， 两条直线分别化为：y=-3+严对5-3m 2 8 4 一X十 5+m5+m, 两条有线平行：3.5 ，解得m=-7. 综上可得：=-7. 故选：B. 5.C 答案第5页（共14页） 6.B 【分析】由互斥事件的定义判断A;由互斥事件加法求概率判断B;根据P(M⌒W)=P(M)P(N)判断C;根据对立 事件的概率求法求M+N发生的概率即可判断D. 【详解】对于A,由M:“第一次向下的数字为3或4与N:两次向下的数字之和为偶数”，而发生M同时N也 有可能发生，故不是互斥事件，A正确： 对于B,由题设知：P0M0=+。 442,B错误： 11111 对于C,因为PMnM=2424,而PW=22+2*2 ×3+×3=,放P0MnN)=P00PW,即事件M与事 件N相互独立，C正确： 对于D,PMUN)=1-PMUN)=1-P(MON), M⌒N表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”， 故PMnW=x+Lx11 42424·所以PM)=名，D正确. 7.B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量，利用空间向量求线面夹角 【详解】点C是底面直径AB所对弧的中点，所以OC⊥AB,建立空间直角坐标系如图所示： D B 则o0.00,P0.0,2,40-10.B(o1.0,CL0.0.D02 可得P5=(@1-2到，2c=10-2,c-,21 PB.i=y-2z=0 设平面PBC的法向量为n=(x,y,),则 PC.i=x-2z=0 令z=1,则x=y=2,可得i=(2,2,1), 设直线CD和平面PBC所成角为O, 可得血6=ko(Dc, Dc列_ 2+1-14 DC 8.A 答案第6页（共14页） 【分析】直线I过定点PQL,),且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA,PB的斜率，从而得出I的斜率-m的 取值范围，即可得解 【详解】设直线l过定点P(x,y),则直线：x+y-m-1=0可写成m(x-1)+y-1=0, ◇仁10 x=1 y=1 ∴.直线l必过定点P1,1). 4, :直线1：x+y-m-1=0与线段AB相交， 由图象知，-m或-加≤4，解得m5或m4, 3 则实数m的取值范围是 -00,- U[4,+0) 4 故选：A 9.AC 【分析】根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可知A正确；将直线方程化为斜截式，即可确定在y轴 上的截距，知B错误；根据直线过定点的求法可知C正确；可将所求直线分为经过原点和不经过原点两类，由此可 得D错误。 详解)对于A,由x+√3y+1=0得：y:V月 3 ,即直线斜率k=- 3 .直线x+√3y+1=0的倾斜角为150°，A正确： 对于B,由y+1=3x得：y=3x-1,则其在y轴上的截距为-1，B错误： 对于C,由y=-2a+4=a(x-2)+4知：直线恒过定点(2,4)，C正确： 对于D,当直线过坐标原点，即直线为y=2x时，其在两坐标轴上截距相等； 当直线不过坐标原点，可设其方程为：x+y=a,∴.a=6,则其方程为：x+y-6=0; ∴过点(2,4)并在两坐标轴上截距相等的直线方程为：y=2x和x+y-6=0,D错误. 故选：AC 10.ACD 【分析】利用正弦定理角化边判断A;利用正弦函数性质判断B;利用正弦定理判断C；利用余弦定理及基本不等 式求解判断D. 答案第7页（共14页） 1 a sinA sinπ 6=2=1 【样解】对FA由正球定理行号血音方，则6=：A正确： 42 对于B,由C是纯角，得A+B<受即0<A<号B<受则mA<n兮，如4<cosB,B错误： 对于C.由c<6,则C<B-开因此满足条件的三角形只有一个，C正确， 对于D,由余弦定理得4=a-+62-2冰cosA=b+eP-旅≥b+c0-32-6+c, 4 b+c≤4，当且仅当b=c=2时取等号，则a+b+c≤6，△ABC的周长的最大值为6，D正确. 故选：ACD 11.BCD 【分析】由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B;利用等体积法求出体积判断C:求出异面直线夹角判断 D 【详解】对于A,直线QNC平面BCCB,点Pe平面BCCB, 而P直线QN,点ME平面BCCB, 因此直线PM与直线QN是异面直线，则P,M,O,N四点不共面，A错误： 对于B,将三棱柱ABC-ABC1补形为正方体，AB,AC,A4为该正方体共点的三条棱， 矩形BCCB,为该正方体对角面，则BC1为三棱柱ABC-ABC1外接球直径，B正确； 对于C,点A到平面BCCB,的距离为√5， 则aw=m青25x1x5-子c正确： 对于D,取AB中点O,连接OM,ON,由N是BC中点，得ON/IAC, 则∠MNO是异面直线MN与AC所成角或其补角， 由己知AC⊥AB,AC⊥A4,AB⌒AA=A,AB,AAC平面ABBA, 所以AC⊥平面ABBA,故ON⊥平面ABBA, 又OMc平面484，于是oN10M,而oN-AC=10M=F+F=万， 则N=VOM+ON-VB,因此cos∠0=ON5 N53,D正确 答案第8页（共14页） A B C Q:A B 12. 28W3 3 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解 【详解】如图，连接AC,BD交于点O,连接AC1,BD,交于点O,连接OO, 过A作AM⊥AC,垂足为M,可知AM为四棱台ABCD-AB,C1D的高， D A A B 则40-4G=×24=E,40-)4C=×5aB=25, 所以4M=4C-4G)=反，4M=A4-AM=V5. 故该棱台的体积为5✉16+4+6x)=285 3 13.35 5 【分析】以向量DA,DC,DD所在方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接DA,作DE垂直AC, 垂足为B,求出向量艺在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点D到直线AC的距离。 【详解】如图，以向量DA,DC,DD所在方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， B 连接DA,作DE垂直AC,垂足为E, 由A(1,0,0),D(0,0,1),C(0,2,0),得AD=(1,0,1),AC=(-1,2,0), 所以AE= AD·AC 15 AC V55 答案第9页（共14页） 又AD=√2，所以点D到直线AC的距离d 135 5 故答案为：35 5 【分析】在直线1：y=2x+1中，令x=0,得M(0,1),设直线l的倾斜角为a,则tan=2,r的倾斜角为a+ 4 利用正切函数两角和公式求得直线'的斜率，从而得'的方程，由此能求出'与两坐标轴所围成的三角形面积. 【详解】在直线1：y=2x+1中，令x=0得y=1,.M(0,1), 直线1：y=2x+1绕其与y轴的交点M逆时针旋转死得直线匕， 设直线l的倾斜角为a,则tana=2,则'的倾斜角为a+4, 的率m用d ∴.1'的方程为y-1=-3x,即3x+y-1=0, 令=0，得x片与精交点坐标为40 ∴.'与两坐标轴所围成的三角形面积为： 5m-方xo4woM-1名 故答案为：6 1 15.(1)C(-2,1) (2)7x-6y+20=0 x+2y=0 【分析】(I)根据直线AC⊥BH得斜率关系，从而得直线AC的方程，联立 x-3y+5=0'解得即可求得C的坐标： (2)设B(m,2m),结合中线CM方程求得m的值，从而得B的坐标，从而求直线BC的斜率，从而得直线BC的方 程 1 【详解】(1)由题意知，AC⊥BH,则kaek=-1,故kAc= 2, 则直线4C的方程为y+2=-(x-4),即x+2y=0, 1 2 x+2y=0 联立 x-3y+5=0'得顶点C(-2,1: (2)设B(m,2m),则中点M的坐标为 将其代入中线CM方程m+4-3m-1)+5=0,得m=4,故B(4,8), 2 答案第10页（共14页） 则kc= 8-17 4+26 所以直线8C的方程为y-1=名x+2).即7x6y420-0 16.(1) 因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥AB, 又PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD,所以PA⊥BC, 因为ABOPA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, AGC平面PAB,所以BC⊥AG, 又PA=AB,G为PB中点，则AG⊥PB, BC,PBC平面PBC,BCOPB=B,所以AG⊥平面PBC. (2) 连接BE交AF于点H,连接GH, ò G ------>D 由四边形ABCD为矩形，E,F分别为AD,BC中点，所以△AHE≌AFHB, 则BH=HE,即H为BE中点，又因为G为BP中点，有GHIIPE, GHc平面AFG,PEE平面AFG,所以PE∥平面AFG, 【分析】(1)先证BC⊥平面PAB,有BC⊥AG,再由AG⊥PB,可证AG⊥平面PBC; (2)连接BE交AF于点H,由△AHE≌△FHB,得H为BE中点，可得GH∥PE,线面平行的判定定理得PE∥平面 AFG 【详解】(1)略 (2)略 17.(1)a=0.005,b=0.025: (2)平均数69.5，第60百分位数71.7： e房 【分析】(1)由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得a,b: (2)根据直方图中各个数字特征的求法运算即可： (3)先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可. 【详解】(1)解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045+0.020+a×10=0.7, 答案第11页（共14页） 解得a=0.005, 所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3， 即(a+b)×10=0.3, 所以b=0.025: (2)解：又频率分布直方图可得众数为70 平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以第60百分位数在第三组，且为65+0,6-03x10≈71,7； 0.45 (3)解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d,第五组志愿者人数为1，设为e, 这5人中选出2人，所有情况有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(仍，d).b,e),(c,d),(c,e),d,e),共有 10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为。？。 105 18.①)cosC=1,BC=6 2)35 8 )利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出©osC三，再利用余弦定理即可求得 2)求出snC华即可求出Sac,利用角平分线性质可推出C松，从面3ca,即可求得答案 3 【详解】(1)由题意在△ABC中，sin2C=sinB,.2 sinCcosC=sinB, 2ccosc=b,b=3,c=6,cosC=, 4 由余弦定理得c0sC=+9-36_ 6a 4a=6(a=- 舍去)，即BC=6 (2在aic,casc-子0，ce (2simc=5 4 六8m4c8smc-3x6 44 ,AE平分∠BAC,.sin∠BAE=sin∠CAE, 由正弦定理得：、BE AB CE AC sin∠BAE sin∠AEB'sin∠CAE sin∠AEC' 其中sin∠AEB=sin∠AEC, “铝-2，则c-88e 3 AD为BC边的中线，SAe=S,d 答案第12页（共14页） 8w-8e及吉e名四四 19.(1) 四边形ABCD为正方形，AB∥CD, 又AB丈平面PCD,CDc平面PCD,∴.AB合平面PCD, 又ABc平面PAB,平面PAB∩平面PCD=I,.I∥AB: R 1 (3) 存在点E,使得直线PQ与平面ABC所成的角的正弦值为3o5 35 ,OA=QB=OC=QD,且平面ABCD为正方形， ∴.点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设Q(0,1,h),则PQ=AQ, 1+(-5)-1+1+2,解得h=5 即c号历-a129) 设PE=PB,元∈[0,1]， E(2,2,5-V5,A正=(2-1,2,3-5），AC=(-2,20), 设平面AEC的法向量为=(x2,y223), A.2=0(2-1)x+2y+(V5-3)32=0 则 ，得 AC元=0-2x+2y=0 令5=V3(2-1),解得为=V3(2-1),52=31-1, 即平面AEC的一个法向量为%=(W5(元-1)，√3(2-)，32-， 设直线PO与平面AEC所成的角为日， PQ乃 5(-y-25(3a- 3 ..sin=cos pO, 3V105 P@网 2W3 35 6(2-1)+(3-) 3 化简得902x1292+46=0,解得1=，2或23 30 :当P酝-p形或P丽=8历时，直线P0与平面4BC所成角的正弦值为305 30 35 【分析】(1)根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离的向量方法，求出结果即可； 答案第13页（共14页） (3)根据线面角的正弦值的向量方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据公式列出方程，求出结果即可. 【详解】(1)略 (2) D -----C N B 如图所示，取BC中点N,连接ON,则ON⊥OA, ,PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,ONC平面ABCD, ∴.PO⊥OA,P0⊥ON, 以O为原点，OA,ON,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则P0,0,V3),B(1,2,0),C(-1,2,0),M0,1,3),A1,0,0), 于是PB=1,2,-5),BC=(-2,0,0),M=(0,-1,0), 设平面PBC的法向量为i=(,片，)， 则 PBi=0组∫x+24-5a=0 BC.n=0 得 ’-2x=0 令片=V3,解得x=0,名=2，即平面PBC的一个法向量为=(0,3,2， ∴.点M到平面PBC的距离为 MP.3 2I √ 7 （3)略 答案第14页（共14页）