精品解析：内蒙古赤峰市三校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

2026-2027学年度上学期高二联考考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A. 20家 B. 10家 C. 15家 D. 25家 【答案】A 【解析】 【分析】确定抽样比，即可得到结果. 【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检（家）. 故选：A. 2. 在如下图给出的频率分布直方图三种分布形态中，关于平均数，众数和中位数的说法正确的是（ ） A. 图1中，中位数平均数众数 B. 图2中，众数中位数平均数 C. 图3中，中位数平均数众数 D. 三个图中，中位数与平均数和众数都大致相等 【答案】B 【解析】 【详解】对于图1，频率分布直方图单峰对称，则中位数平均数众数，故A错误； 对于图2，由频率直方图单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数，故B正确，D错误； 对于图3，由频率直方图单峰不对称且“左拖尾”，最高峰偏右，众数最大， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数小于中位数，所以平均数中位数众数，故C错误. 3. 若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简求出复数，即可判断复数在复平面内对应的点所在象限. 【详解】由可得：， 所以对应的点在第一象限. 故选：A. 4. 样本数据为，，，，，，，，，的第55百分位数为（ ） A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算步骤即可得 【详解】样本共10个已按从小到大排序的数据，即，  ，向上取整为，即第55百分位数是排序后的第6个数据， 为，因此第55百分位数为 5. 已知圆锥的底面半径为2，母线长6，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知圆锥的底面圆半径，母线， 所以圆锥的侧面积为. 6. 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质得到的方差，进而得到标准差. 【详解】的方差为4，故的方差为， 故标准差为. 故选：C 7. 甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 8. 元宵活动中有个游戏为掷骰子，规则是“一局游戏有6次投掷机会，只要能投掷出6点便视为游戏成功，否则，游戏失败”.假设骰子质地均匀则随机玩一局游戏，比较游戏成功与失败的可能性，下列说法正确的是（ ） A. 游戏成功的可能性更大 B. 游戏失败的可能性更大 C. 游戏成功与游戏失败的可能性一样大 D. 游戏成功与游戏失败的可能性无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据一局游戏有6次投掷机会，只要能投掷出6点便视为游戏成功，先利用独立事件的概率求出游戏失败的概率，再利用对立事件的概率求解. 【详解】设游戏失败为事件A， 则， 所以游戏成功的概率是， 所以游戏成功的可能性更大， 故选：A 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是 A. 3件都是红色 B. 3件都是白色 C. 至少有1件红色 D. 有1件白色 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据随机事件定义，结合题意即可判断. 【详解】在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件， 对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件； 对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件， 对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件， 对于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色是随机事件，即D为随机事件， 综上可知，随机事件为AD， 故选：AD. 【点睛】本题考查了随机事件的判断，属于基础题. 10. 对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值是 C. 可能是对立事件 D. 不可能是互斥事件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，因为事件相互独立，所以，故A正确； 对B，因为事件相互独立，所以， 所以当时，取得最大值，为.故B正确； 因为事件独立，且均大于0，所以，即事件一定有同时发生的可能性，故不可能是互斥事件，更不可能是对立事件，故C错误，D正确. 11. 已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（ ）． A. 这组数据最多有4个数据大于7 B. 这组数据最多有4个数据小于7 C. 若这组数据的标准差为2，则 D. 若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过举例判断AB；利用平均数和方差公式计算判断C；根据方差公式及极差的概念即可判断D. 【详解】由题意，，， 所以这组数据最多有3个数据大于7，A错误． 若5个数据都小于7，则平均数不为7，而0，1，2，3，29的平均数为7， 所以这组数据最多有4个数据小于7，B正确． 平均数，设方差为，则， 解得，C正确． ， 要使得5个平方数之和为20，且满足题意，这5个平方数只能为9，1，0，1，9， 即这组数据为4，6，7，8，10， 故这组数据的极差为，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设事件A， B，已知相互独立，则______ 【答案】0.7## 【解析】 【分析】先利用事件的独立性得到，再利用恒等式得到的值即可. 【详解】因为事件A和事件 B相互独立， 所以， 由事件关系的定义可知. 13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 14. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） （1）记事件为“”，求事件的概率； （2）记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用列举法求出基本事件总数，再得到事件的对立事件的事件数，结合古典概型求概率即可； （2）根据题意，利用列举法求出事件的事件数，再结合古典概型求概率即可． 【小问1详解】 由题意可知，所有样本点可表示为，其中，都是，，，中的数， 则样本空间且， 事件：“”，则对立事件：“”， 对立事件， 符合条件的基本事件数， 所以，因此． 【小问2详解】 由（1）可知，样本空间且， 事件表示“能被整除或”， 则事件包含样本点为：，，，，，，，，，，，， 符合条件的基本事件数， 所以. 16. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 . 17. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多辆． （1）求的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前的车为等车，其余为等车，估计等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分不低于80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了辆车，再从辆车里抽取辆车的详细数据进行比对研究，求辆车评分均低于分的概率． 【答案】（1）， （2）87.5分 （3） 【解析】 【分析】（1） 利用频率分布直方图频率之和为 ，结合两组车辆数量差列方程组，解出； （2） 前分数线即第百分位数，先定位百分位数所在区间，再用百分位数公式计算分数线； （3）先分层抽样得到样本，列举所有抽取辆车的基本事件，统计满足条件的事件数，用古典概型求概率. 【小问1详解】 由直方图的数据得，化简得①， 由评分在的快递车比内的多辆，得，化简得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前时的分数线，等价于求第百分位数． 从低分段累计频率：， 第百分位数落在区间， 设分数线为，则，解得， 估计A等车的分数线为87.5分． 【小问3详解】 分层抽样：评分在有辆，评分在有辆， 按比例抽取辆：组：辆，组：辆． 编号：在组的辆车记为；组的辆车记为． 样本空间 找出“两车评分均低于分”的事件（即两车都来自组，不含）：，共种， 两车评分均低于分的概率：． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点． （1）求证：； （2）若为的中点，求三棱锥的体积； （3）若平面，求的长． 【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以． 设，因为，，， 所以．且． 所以，即． 又因为，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直得，再由三角形全等证，根据线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）利用为的中点实现三棱锥的体积转化，即，再根据三棱锥的体积公式计算即得； （3）取中点,利用面面平行的判定定理证明平面平面，再由其性质定理推得，从而得为的中点，借助于直角三角形即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的2倍． 故． 在中，易得，于是． 由三棱锥的高，得; 【小问3详解】 如图，取中点，连接，． 在中，由，，得． 于是，则． 在中，因为，，，所以．故． 又因为平面，平面.故平面． 因为平面，平面，所以平面平面． 又因平面平面，平面平面， 所以．因为为的中点，所以为的中点． 因为底面，底面，所以． 因为，所以． 所以. 19. 在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立． （1）若． ①求甲获得第四名的概率； ②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】（1）①； ②甲总共进行了3场比赛，有四种可能性分别为 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛败获得第二名； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮败获得第三名； 第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮败获得第三名； 所以， 甲获得冠军，有三种可能性分别为 第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军； 所以， 事件和事件同时发生，只有一种可能，即甲连续三场全胜获得冠军， 所以， 因为， 所以事件，相互独立. （2）在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率， 在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率， 因为， 所以当时，，即“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，即两种赛制下甲夺冠的概率一样； 当时，，即“双败淘汰制”对甲夺冠有利. 【解析】 【分析】（1）①结合对立事件和独立事件概率公式求解即可； ②根据事件独立的充要条件，分别计算出三个概率验证等式成立即可. （2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利. 【小问1详解】 ①记“甲获得第四名”为事件，即甲双败，则. ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期高二联考考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A. 20家 B. 10家 C. 15家 D. 25家 2. 在如下图给出的频率分布直方图三种分布形态中，关于平均数，众数和中位数的说法正确的是（ ） A. 图1中，中位数平均数众数 B. 图2中，众数中位数平均数 C. 图3中，中位数平均数众数 D. 三个图中，中位数与平均数和众数都大致相等 3. 若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 样本数据为，，，，，，，，，的第55百分位数为（ ） A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11 5. 已知圆锥的底面半径为2，母线长6，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 36 7. 甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 元宵活动中有个游戏为掷骰子，规则是“一局游戏有6次投掷机会，只要能投掷出6点便视为游戏成功，否则，游戏失败”.假设骰子质地均匀则随机玩一局游戏，比较游戏成功与失败的可能性，下列说法正确的是（ ） A. 游戏成功的可能性更大 B. 游戏失败的可能性更大 C. 游戏成功与游戏失败的可能性一样大 D. 游戏成功与游戏失败的可能性无法比较 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是 A. 3件都是红色 B. 3件都是白色 C. 至少有1件红色 D. 有1件白色 10. 对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值是 C. 可能是对立事件 D. 不可能是互斥事件 11. 已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（ ）． A. 这组数据最多有4个数据大于7 B. 这组数据最多有4个数据小于7 C. 若这组数据的标准差为2，则 D. 若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设事件A， B，已知相互独立，则______ 13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 14. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为，黄色骰子与地面接触的面上的数字为．（先列出样本空间和随机事件再求） （1）记事件为“”，求事件的概率； （2）记事件为“能被整除”，事件为“”，求事件的概率． 16. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 17. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多辆． （1）求的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前的车为等车，其余为等车，估计等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分不低于80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了辆车，再从辆车里抽取辆车的详细数据进行比对研究，求辆车评分均低于分的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点． （1）求证：； （2）若为的中点，求三棱锥的体积； （3）若平面，求的长． 19. 在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立． （1）若． ①求甲获得第四名的概率； ②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $