微专题11 三角形折叠中的位置关系与分类讨论 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

专题十一三角形折叠中的位置关系与分类讨论培优专题讲与练 一必备知识 折叠先给出对应点、对应边和对应角，再由落点的位置决定线段相加还是相减。出现直角、等 腰或落在一条直线上时，应列全可能的位置，并逐一检查折痕是否真的与指定边相交。 1折叠的等距、等角和垂直 沿直线AD折叠，使C与E重合，则A,D保持不动，AC=AE,DC=DE,∠CAD=∠DAE, ∠ACD=∠AED。 若C≠E,折痕AD垂直平分CE;若C本来在折痕上，则它不移动，不能再把退化的CE当作线段 使用。 证明 折叠前后的两个三角形完全重合，所以△ACD兰△AED。设H=AD∩CE,由折叠对应可知 CH=EH且∠AHC=∠AHE=90。 反过来，若两个不同点A,D分别满足AC=AE、DC=DE,且C≠E,则A,D都在CE的垂直平分 线上，直线AD就是可把C折到E的折痕。 等距方程只给候选位置；还要检查折痕与边的交点和题目允许的点域。 2中点给出的第三条等长线段 若M是AB的中点，D不在直线AB上，且MD=MA=MB,则AD⊥BD。 M 证明 连接MD。设∠MAD=∠MDA=X,∠MBD=∠MDB=y。因为M在AB内部，DM在∠ADB内 部，所以∠ADB=x+y。由△ADB内角和，2(x+y)=180°，得∠ADB=90°。 折叠时若A折到直线BC上的D,折痕经过AB的中点M,便有MD=MA=MB。因此D=B,或D 是A到直线BC的垂足。两个候选可能重合；即使候选不同，也须检查折痕能否交另一边的内 部。 这个结论由等腰三角形的底角相等得到，不需要圆的知识。 第1页共19页 3直角三角形的斜边中点 在R△ADB中，∠ADB=90°，M是斜边AB的中点，则MD=MA=MB=IAB。 M B 证明 延长DM至K,使MK=MD。在△AMK和△BMD中， AM=BM ∠AMK=∠BMD MK=MD △AMK≡△BMD(SAS)。 所以AK=BD,∠MAK=∠MBD,故AK‖BD,从而∠DAK=90°。在△DAK和△ADB中， DA=AD ∠DAK=∠ADB=90 AK=DB △DAK兰△ADB(SAS)。 故DK=AB,MDDK-号AB=MM=MB. 21 倍长中线把中点条件变成两组可直接使用的全等条件。 第2页共19页 二典例精讲 折叠的对应关系 用等距与对应直角把折叠转成直角三角形。 例题在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD折 叠，点C的对应点E在线段AB上。求CD。写出解答过程。 0 分析 把折叠得到的直角放到含已知边的三角形中。未知长度虽然出现两次，平方展开后同次项消 去，只需解一元一次方程。 解 折叠使A+A,C~E,D~D,所以AE=AC=6,DE=DC,∠AED=∠ACD=90°。由勾股定 理，AB=10,所以BE=10-6=4。 设CD=x,则DE=x,BD=8-X。在Rt△BDE中，(8-x2=x2+42,化简得64-16x=16,所以 X=3。 所得0<3<8，符合D在线段BC内部的条件。因此CD=3。 第3页共19页 三分类讲练 1直角与垂直的位置 先排除不可能的边或顶点，再逐项求解与回验。 例1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD折 叠，点C的对应点为E,线段AE与线段BC交于F。当△EFD为非退化直角三角形时，求CD的所 有可能值。写出解答过程。 D F(H) B 分析 先用不变的锐角排除E,再分别检查F和D。方程得到的数必须回到原线段上，特别是等腰直 角三角形的两侧位置不能只画一个就省略另一个。 解答 BC=5。折叠得AE=4,DE=DG,且∠FED=∠AED=∠ACB为锐角，因此直角只能在F或 D.作A1BC于H,由面积得A1-号，由勾股得CH- 5 ⑥若∠EFD=90,则F=H,HE=4←号-8，设CD=t,在直角三角形E班D中 -9-:+,解得：=2。此时D在CH内部，且A5=AC.DE=DG,故沿AD确能把C折到 E。 ②若∠EDF=90°，则DE⊥BC。折叠使AD平分DC,DE形成的直角，故△AHD为等腰直角三角 形，HD=A1-号，若D在H的B侧，则CD9BC,舍去：故CD-9号-专 555 取CD=号，此时折后的E在BC的与A异侧，DE⊥BC,且DE=号线段AE穿过DH内部，交点厂 既在DC内部又不与D重合，故此位置可达。综上，CD=2或号： 第4页共19页 变式1-1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD 折叠，点C的对应点为E。直线AE与直线BC交于F。当△EFD为非退化直角三角形时，求CD的 所有可能值，并指出各情况下F在线段BC上还是其延长线上。写出解答过程。 C F D D F(H) B 分析 从线段放宽为直线后，F可能落到AE的反向延长线上。于是E处的角未必仍是原来的锐角，但 仍不能成为直角；要重新检查射线方向和点域。 解答 BC=-5,作AH1BC于H,由面积与勾股得AI-吕，CH-号.折叠给AE=3.DE=DC. ∠FED是∠ACB或其补角，均不为直角，故直角只能在F或D。 ①直角在F时，F=H。若E在射线AH上，则HE=号设CD=x,由X=(x-号+(，得x=1。 若E在射线AH的反向延长线上，则证-号，同理得x=9>BC,舍去。CD=1时，A2=AC. DE=DC,折叠成立，F=H在BC内部。 ②直角在D时，DEBG,折叠给∠ADH=45,所以HD=AH=号.D在H的C侧会给 D-号号0，不成立：在B侧则cD-号吕-号<5。 =5-5 取此D折叠后，DE⊥BC且E,A在BC同侧。设∠ACB=y。在AB上取AK=AC,则 ∠ACK=45°<y<90°。又∠CAD=135°-Y,所以射线AE越过AB外侧，而反向射线AF位于AC外 侧，∠CAF=2y-90°，且0<∠CAF<y。故AF与BC越过C的延长线相交，交点不与D重合。此 支可达。 第5页共19页 例2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D在线段AC内部，将△ABD沿BD折 叠，点A的对应点为E。若直线AC与△BDE的一条边所在直线垂直，求AD的所有可能值。写出 解答过程。 分析 垂直条件指向三条边中的哪一条并未给定，必须逐条分类。落点在线上还可能处于两个相反方 向，需用长度关系再筛选。 解答 AB=10,折叠得BE=10、DE=DA。若AC⊥BD,则BD只能与BC重合，导致D=C,不合题 意。 若AC⊥DE,由折叠对应角，BD平分射线DA,DE所成的角。因D在AC内部，∠BDA为钝角， DE只能指向AC的下方；设∠CDB=0,则180°-0=90°+0，得0=45°。所以CD=BC=6, AD=2。此时折叠确使DE⊥AC。 若AC⊥BE,则E在直线BC上。BE=10;若E在从C经过B的射线上且越过B,则CE=16>AD, 与DE=AD矛盾。故E在BC越过C的延长线上，CE=4。设CD=x,由x2+4=(8-x2,得x=3, AD=5。 后一位置满足BA=BE=10、DA=DE=5,所以BD确为AE的垂直平分线；D在AC内部。综上， AD=2或5。 第6页共19页 变式2-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8。点D在线段AC内部，将△ABD沿BD 折叠，点A的对应点为E。若直线AC与△BDE的一条边所在直线垂直，求AD的所有可能值。写 出解答过程。 B 分析 交换长短直角边不是为了重新算一遍，而是使等腰直角分支越出线段。保留一支的原因是点 域，不是漏掉另一条边。 解答 AB=BE=10。AC1BD会使D=C,舍去。若AC1DE,由对应角可得∠CDB=45°，故 CD=BC=8>AC,此支不成立。 若AC⊥BE,则E在直线BC上。越过B的候选使CE=18>AD,不成立；只能在越过C的延长线 上，CE=2.设CD=X,则X+2=(6-x,得x=号，故AD=9。 3 此时0<CD<6,且M=BE=10.DA=DE-号，直线BD能把A折到E,唯一解成立。 第7页共19页 2中点与直线上的落点 重合、边内和延长线上的位置都要服从题目给定的点域。 例3在△ABC中，∠B=105°，∠C=35°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D与B重合）。求∠DNC的所有可能值。写出解 答过程。 A A M D B C B(D) C 分析 只按图中延长线位置计算会漏掉D与B重合的折叠。中点把无限多个落点缩成至多两个，再逐 一检查折痕是否穿过AC内部。 解答 ∠A=40°，折叠给MD=MA=MB。由知识准备，D=B,或D为A到直线BC的垂足，已经穷尽落 点。 ①D=B时，AN=BN,所以∠ABN=40°，∠ANB=100°，∠DNC=80°。因40°<105°，在∠ABC 内部作与BA夹40°的射线，交AC于内部点N;此时AN=BN,而MA=MB,故MN确能把A折到 B。 ②D为垂足时，由∠B>90知D在CB越过B的延长线上。折痕MN⊥AD,故MN‖BC。因此 ∠MNA=35°，折叠得∠MND=35°，∠MNC=145°，所以∠DNC=110°。 存在性：在直线BC上取该垂足D,△ADB为直角三角形，斜边中点M满足MA=MD,因此过M 且平行BC的直线为AD的垂直平分线，并交AC内部于N,折叠成立。综上有80°或110°。 第8页共19页 变式3-1在△ABC中，∠B=60°，∠C=35°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D与B重合）。求∠DNC的所有可能值。写出解 答过程。 A 分析 等距条件列出的B仍是落点候选，但相应折痕不能穿过AC内部。筛选的是折痕交边条件，而 不只是D是否在线上。 解答 ∠A=85。由MD=MA=MB及知识准备，候选仍为D=B或D为A到BC的垂足。 若D=B,则AN=BN,从而∠ABN=∠BAN=85。但N在AC内部要求∠ABN<∠ABC=60°， 矛盾。 垂足D在BC内部。过M平行BC的直线交AC内部于N,由直角三角形斜边中点性质可知它正是 AD的垂直平分线，因此折叠可达。∠DNC=180°-2∠C=110°。 第9页共19页 3等腰条件的两种身份 指定一边为腰，仍有两条不同的相等关系。 例4在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6。点E在线段AB内部，点F在线段BC上 （允许F=C,不允许F=B)。沿EF折叠△BEF,使B的对应点D落在线段AC上。若△AED为 非退化等腰三角形，且DE为腰，求AD的所有可能值。写出解答过程。 B B E E C(D) H C(F) H D 分析 指定DE为腰仍有两种相等关系。两支分别把D或F推到顶点C,是否允许这些端点，直接决 定答案是否保留。 解答 由30°直角三角形性质，BC=3,AC=3V3。折叠给DE=BE。以DE为腰有DE=AE与DE=AD两 种情况。 D若DE=AB,则AE=BE=3.作EH1AC于H,有EH=号，A1-3y 。由ED=3及勾股 HD=3V3,所以D=A或D=C。D=A使三角形退化，舍去；D=C时AD=3V3。取F为BC中 点，EB=EC、FB=FC,故EF确能把B折到C。 ②若DE=AD=X,则∠AED=∠EAD=30°，∠ADE=120°。作EH⊥AC于H,此时D在A,H之 间。由30直角三角形性质，DH=交，EH=-3 ,所以AE=2EH=V3X。由AE+BE=6且 BE=DE=x,得(3+1)x=6,故x=3(V3-1)。 此时CD=3V3-3(V3-1)=3=CB,所以∠BCD的角平分线能把B折到D,它与AB内部的交点为 E,而折痕与BC的交点恰为F=C。两个候选都符合允许的端点条件。 第10页共19页 变式4-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6。点E,F分别在线段AB,BC内 部。沿EF折叠△BEF,使B的对应点D落在线段AC上。若△AED为非退化等腰三角形，且DE 为腰，求AD的所有可能值。写出解答过程。 B C(D) A H 分析 这次并未禁止像点D落在顶点，却禁止折痕端点F落在顶点；必须把两种端点身份区分开。 解答 由30°直角三角形性质，BC=3,AC=3V3。折叠给DE=BE。以DE为腰有DE=AE与DE=AD两 种情况。 ①苦DE=AE,则AE=B5=-3,作EH上AC于H,有I=号，A-3.由ED=3及勾股， 2 HD=3Y3,所以D=A或D=C。D=A使三角形退化，舍去：D=C时AD=3V3。取F为BC中 2 点，EB=EC、FB=FC,故EF确能把B折到C。 ②若DE=AD=x,则∠AED=∠EAD=30°，∠ADE=120°。作EH⊥AC于H,此时D在A,H之 间。由30直角三角形性质，DH=受，EH=Sx,所以AE=2EH=V3x,由AE+B5=6且 BE=DE=x,得(V3+1)x=6,故x=3(V3-1)。 DE=AD这一支给CD=CB=3,所以B,D的垂直平分线经过C,它与直线BC的唯一交点为C,不 满足F在线段BC内部，必须舍去。 DE=AE这一支给D=C,E,F分别为AB,BC的中点，两个折痕端点都在边内，符合题意。因此 只有AD=3V3。 第11页共19页 4折叠与中点条件 把中点提供的等长，与折叠提供的等长连起来。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D,E分别在线段AC,BC内部，沿DE折 叠△DCE,使C的对应点F落在AB内部。若D是AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF。 B E O A 分析 中点与折叠把DA、DC、DF连成等长链，从而把角追踪的入口放在等腰三角形ADF中。 解答 折叠得DC=DF,且∠DFE=90°。因为D是AC中点，所以DA=DF。设∠A=a,则 ∠DA=a,∠FDA=180-2a。 由A,D,C共线，∠CDF=2a。折痕DE平分∠CDF,所以∠EDF=a,∠DEF=90°-a。 A,F,B共线，且∠DFE=90°，所以∠BFE=90°-∠DFA=90°-=∠DEF。 第12页共19页 变式5-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D,E分别在线段AC,BC内部，沿 DE折叠△DCE,使C的对应点F落在AB上。若F是AB的中点，(1)求证：AD+BE=DE2, (2)求BE。写出解答过程。 K E D 分析 中点由折痕端点变为像点后，单纯追角不再直接得到平方关系。倍长DF把AF=BF转成全等， 再把三条目标线段移到同一个直角三角形。 解答 延长DF至K,使FK=FD。在△AFD和△BFK中， AF=BF ∠AFD=∠BFK FD=FK △AFD兰△BFK(SAS)· 所以BK=AD,∠BK=∠FAD=∠A。由∠ABC+∠A=90°，且BK在∠ABC外侧，得 BK⊥BC。 折叠给EF⊥DF,在△EFD和△EFK中， FD=FK ∠EFD=∠EFK=90 EF=EF △EFD=△EFK(SAS). 所以EK=ED。在Rt△EBK中，BE+BK=EK2,即AD+BE=DE2。 作FH⊥BC于H,连接FC。AB=10,F是斜边中点，故FC=FB=5。等腰三角形FBC的底边高 也是中线，所以BH=CH=3,再由勾股定理得FH=4。设CE=X,由折叠EF=EC=x,在直角三 角形EH中，=44(×-3，解得x吾，所以E= 6。 第13页共19页 四分层练习 迁移运用 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4。点D在线段BC内部，沿AD折叠，使B落在直 线AC上、位于C外侧的点E处。求△ACD的面积。写出解答过程。 夕 D 分析 折点在延长线上时，AE是AC与CE的和；一组等长把BD替换成DE,仍在直角三角形中求 解。 解答 AB=5,折叠得AE=5、DE=DB。因A,C,E依次共线，CE=AE-AC=2。 设cD-X,则D6=4-X,由勾殷定理得+2=4-X,解得x号所以5m方×3×是是 249 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点M在线段AB内部，将△ACM沿CM折叠， 使A落到D。线段CD与AB交于N,且CD⊥AB。求DN。写出解答过程。 D 小 N A 分析 这里垂直边已经明确，无须分类。先把折后的整段长度还原，再用同一个三角形的两种面积表 示求出其中一段。 解答 AB=10。利用△ABC的面积， 2ABCN=AC-BC,所以CN-2 折叠得CD=CA=8,且N在线段CD上，所以DN=CD-CN=8-24=16 55 第14页共19页 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P为AC的一个三等分点。沿DE折叠 △BDE,使B与P重合，其中D,E分别在线段AB,BC内部。求BE的所有可能值。写出解答过 程。 A y P D E B E B 分析 三等分点有两个，二者距C的长度不同，不能只按图选离C较近的一个。 解答 设CP=t、CE=x。折叠给EP=EB=16-x,由勾股定理，x+t=(16-x2,所以 +32 BE=16-X=8 P为三等分点，因此t=4或A。分别代入得BE=号或10。 两种情况下E均在BC内部。BA=20>PA,而BB=0<PB,所以A,B在BP垂直平分线的两侧，线 段AB与该中垂线有唯一内部交点D。又EB=EP,故直线DE就是这条中垂线，确能把B折到P。 4.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D=B)。求∠DNC。写出解答过程。 A M B(D) 分析 直角边界下，顶点B与垂足重合，不能把同一个折叠位置计为两个。 解答 折叠给MD=MA=MB。因为MB⊥BC,若D≠B,则由勾股定理MD=MB+BD>MB,矛盾。 因此D=B。 ∠A=60°，且AN=BN,所以∠ANB=60°，∠DNC=120°。过M平行BC的直线是AB的垂直平分 线，并交AC内部，故这一位置存在。 第15页共19页 5.在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D在线段BC上（允许端点）。求∠DNC的所有可能值。写出解答过程。 y A M M B D C B(D) 分析 落点从整条直线限制到线段，并不一定只剩一解；这次垂足移入线段，而顶点重合的折叠仍合 法。 解答 ∠A=60°，由MD=MA=MB,D=B或D是A到BC的垂足。因为B,C均为锐角，垂足在BC内 部。 D=B时，AN=BN,所以∠DNC=2∠A=120°。因60°<75°，射线BN可在∠ABC内部与AC相 交，这一折叠存在。 D为垂足时，斜边中点性质保证M在AD的垂直平分线上，折痕过M平行BC,交AC内部。于是 ∠DNC=180-2∠C=90°。两种位置均满足D在线段BC上。 6.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6。AD⊥BC于D。折叠纸片，使A与D重合，折 痕与AD交于G。求AG。写出解答过程。 分析 折痕上的G是原点与像点连线的中点；不要把高AD误认为折痕本身。 解答 BC=10。由面积，BC·AD=ABAC,故AD=24 。 折痕垂直平分AD,所以AG=AD=号. 5 第16页共19页 五综合提高 1.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10,BC=6。点D在线段AC内部，点F在线段AB内部。 将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E;再将原来的△ADF沿DF翻折，使A也落到E。求 ∠BEF和AF。写出解答过程。 B A 分析 先从共同像点读出DC=DE=DA,自己找出中点；再利用两次角的对应合成目标直角，最后把 等长代入勾股。 解答 两次折叠分别给DE=DC、DE=DA,故DA=DC,即D是AC中点。由斜边中点性质， DB=DA=DC=5;由勾股定理，AB=8,且BE=BC=6。 设∠DAB=∠DBA=日。因为BC<AB,所以0<45°，也可在AB上取BK=BC,用等腰直角三角形 BCK直接比较锐角。第一折叠使E位于AB的与C异侧。在等腰三角形BDE中， ∠BED=∠DBE=90°-0，第二次折叠给∠DEF=∠DAF=0。 射线ED位于EB,EF之间，故∠BEF=(90°-0)+0=90°。这一位置也可从折痕确定：DC,DA反 向，两折痕分别平分DC,DE与DA,DE的角，所以BD⊥DF,而∠BDA=180°-20>90°，从D 作BD的垂线并朝向DA一侧，正与BA内部相交于F。 折叠给EF=AP。设AF=X,则BF=8-X,在△BEF中，(8-x=6+X,解得x子 回验：取D为中点，按BD折C得到E,再按上述方法取F。在△ADF和△EDF中， DA=DE ∠ADF=∠EDF DF=DF △ADF兰△EDF(SAS)。 因此沿DF确能把A折到E,且0<乙<8，两次折叠可同时实现。 4 第17页共19页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P在直线AC上，且CP=8。沿DE折叠 △BDE,使B与P重合，其中D,E分别必须在线段AB,BC内部。求BE,并确定所有符合条件的 P的位置。写出解答过程。 A E 分析 同一勾股方程不能区分P在C的哪一侧。长度相同不代表两条折痕都穿过指定边内部，必须单 独回验。 解答 设CE=X。折叠给EP=EB=16-x,由勾股定理，x2+82=(16-x2,解得x=6,所以BE=10。 点P有两个距离候选：一个在AC内部，一个在AC越过C的延长线上。内部候选满足 AP=4<AB=20,而BB<PB,所以BP垂直平分线穿过AB内部，所得D合法；E也在BC内部， 故可折叠。 外部候选满足AP=12+8=20=AB,因此A已在BP垂直平分线上。E也在这条中垂线上，唯一折 痕为AE,它与AB的交点只能为A,不满足D在AB内部，故舍去。 第18页共19页 3.在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P在射线CA上，且CP=20。沿一条 直线折叠纸片，使B落到P。求折痕与三角形边界的两个交点分别位于哪两条边上，并求折痕与 直线AC的交点E到C的距离。写出解答过程。 B 分析 不预先规定折痕端点所在边，需要学生主动检验三条边。先在BC上得到的负数不是方程算 错，而是提示折痕已经改穿另一条边。 解答 折痕是BP的垂直平分线。若它与线段BC相交于F,设CF=x,则FB=16-X、FP=x2+202。由 FB=FP,有16-xP=x+40,解得x=-号，不在0≤X≤16内。因此折痕不穿过边BC。 在射线CA上取E,令CE=y,且0<y<12。有EP=20-y、EB2=162+y2。令EP=EB,得 (20-yP=256+y,解得y-号，确满足0<y<12,因此E在AC内部。 AP=8<AB=20,而BB<PB,所以A,B在BP垂直平分线的两侧，折痕与AB有唯一内部交点D。 因此折痕穿过AB,AC的内部，而不穿过BCCE=号.D,E均到B,P等距，故沿D5确能把B折 到P。 第19页共19页专题十一三角形折叠中的位置关系与分类讨论培优专题讲与练 一必备知识 折叠先给出对应点、对应边和对应角，再由落点的位置决定线段相加还是相减。出现直角、等 腰或落在一条直线上时，应列全可能的位置，并逐一检查折痕是否真的与指定边相交。 1折叠的等距、等角和垂直 沿直线AD折叠，使C与E重合，则A,D保持不动，AC=AE,DC=DE,∠CAD=∠DAE, ∠ACD=∠AED。 若C≠E,折痕AD垂直平分CE,若C本来在折痕上，则它不移动，不能再把退化的CE当作线段 使用。 证明 折叠前后的两个三角形完全重合，所以△ACD三△AED。设H=AD∩CE,由折叠对应可知 CH=EH且∠AHC=∠AHE=90。 反过来，若两个不同点A,D分别满足AC=AE、DC=DE,且C≠E,则A,D都在CE的垂直平分 线上，直线AD就是可把C折到E的折痕。 等距方程只给候选位置；还要检查折痕与边的交点和题目允许的点域。 2中点给出的第三条等长线段 若M是AB的中点，D不在直线AB上，且MD=MA=MB,则AD⊥BD。 D B 证明 连接MD。设∠MAD=∠MDA=x,∠MBD=∠MDB=y。因为M在AB内部，DM在∠ADB内 部，所以∠ADB=x+y。由△ADB内角和，2(x+y)=180,得∠ADB=90°。 折叠时若A折到直线BC上的D,折痕经过AB的中点M,便有MD=MA=MB。因此D=B,或D 是A到直线BC的垂足。两个候选可能重合；即使候选不同，也须检查折痕能否交另一边的内 部。 这个结论由等腰三角形的底角相等得到，不需要圆的知识。 第1页共14页 3直角三角形的斜边中点 在：△ADB中，∠ADB=90,M是斜边AB的中点，则MD=MA=MB=AB。 -------K M D B 证明 延长DM至K,使MK=MD。在△AMK和△BMD中， AM=BM ∠AMK=∠BMD MK=MD △AMK兰△BMD(SAS)。 所以AK=BD,∠MAK=∠MBD,故AK‖BD,从而∠DAK=90°。在△DAK和△ADB中， DA-AD ∠DAK=∠ADB=90 AK=DB △DAK=△ADB(SAS)。 故DK=AB,MD-2DK=2AB=MA=MB。 倍长中线把中点条件变成两组可直接使用的全等条件。 第2页共14页 二典例精讲 折叠的对应关系 用等距与对应直角把折叠转成直角三角形。 例题在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD折 叠，点C的对应点E在线段AB上。求CD。写出解答过程。 E D 分析 把折叠得到的直角放到含已知边的三角形中。未知长度虽然出现两次，平方展开后同次项消 去，只需解一元一次方程。 解 折叠使A+A,C·E,D+D,所以AE=AC=6,DE=DC,∠AED=∠ACD=90°。由勾股定 理，AB=10,所以BE=10-6=4。 设CD=x,则DE=x,BD=8-x。在Rt△BDE中，（8-x2=x2+42,化简得64-16x=16,所以 X=3。 所得0<3<8，符合D在线段BC内部的条件。因此CD=3。 第3页共14页 三分类讲练 1直角与垂直的位置 先排除不可能的边或顶点，再逐项求解与回验。 例1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD折 叠，点C的对应点为E,线段AE与线段BC交于F。当△EFD为非退化直角三角形时，求CD的所 有可能值。写出解答过程。 变式1-1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD 折叠，点C的对应点为E。直线AE与直线BC交于F。当△EFD为非退化直角三角形时，求CD的 所有可能值，并指出各情况下F在线段BC上还是其延长线上。写出解答过程。 第4页共14页 例2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D在线段AC内部，将△ABD沿BD折 叠，点A的对应点为E。若直线AC与△BDE的一条边所在直线垂直，求AD的所有可能值。写出 解答过程。 变式2-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8。点D在线段AC内部，将△ABD沿BD 折叠，点A的对应点为E。若直线AC与△BDE的一条边所在直线垂直，求AD的所有可能值。写 出解答过程。 第5页共14页 2中点与直线上的落点 重合、边内和延长线上的位置都要服从题目给定的点域。 例3在△ABC中，∠B=105°，∠C=35°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D与B重合）。求∠DNC的所有可能值。写出解 答过程。 变式3-1在△ABC中，∠B=60°，∠C=35°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D与B重合）。求∠DNC的所有可能值。写出解 答过程。 第6页共14页 3等腰条件的两种身份 指定一边为腰，仍有两条不同的相等关系。 例4在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6。点E在线段AB内部，点F在线段BC上 (允许F=C,不允许F=B)。沿EF折叠△BEF,使B的对应点D落在线段AC上。若△AED为 非退化等腰三角形，且DE为腰，求AD的所有可能值。写出解答过程。 变式4-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6。点E,F分别在线段AB,BC内 部。沿EF折叠△BEF,使B的对应点D落在线段AC上。若△AED为非退化等腰三角形，且DE 为腰，求AD的所有可能值。写出解答过程。 第7页共14页 4折透与中点条件 把中点提供的等长，与折叠提供的等长连起来。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D,E分别在线段AC,BC内部，沿DE折 叠△DCE,使C的对应点F落在AB内部。若D是AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF。 B D 变式5-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D,E分别在线段AC,BC内部，沿 DE折叠△DCE,使C的对应点F落在AB上。若F是AB的中点，（1)求证：AD+BE=DE2, (2)求BE。写出解答过程。 B E R D 第8页共14页 四分层练习 迁移运用 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4。点D在线段BC内部，沿AD折叠，使B落在直 线AC上、位于C外侧的点E处。求△ACD的面积。写出解答过程。 B D A 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点M在线段AB内部，将△ACM沿CM折叠， 使A落到D。线段CD与AB交于N,且CD⊥AB。求DN。写出解答过程。 D B M A 第9页共14页 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P为AC的一个三等分点。沿DE折叠 △BDE,使B与P重合，其中D,E分别在线段AB,BC内部。求BE的所有可能值。写出解答过 程。 4.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D=B)。求∠DNC。写出解答过程。 第10页共14页 5.在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D在线段BC上（允许端点）。求∠DNC的所有可能值。写出解答过程。 6.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6。AD⊥BC于D。折叠纸片，使A与D重合，折 痕与AD交于G。求AG。写出解答过程。 第11页共14页 五综合提高 1.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10,BC=6。点D在线段AC内部，点F在线段AB内部。 将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E;再将原来的△ADF沿DF翻折，使A也落到E。求 ∠BEF和AF。写出解答过程。 C D 第12页共14页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P在直线AC上，且CP=8。沿DE折叠 △BDE,使B与P重合，其中D,E分别必须在线段AB,BC内部。求BE,并确定所有符合条件的 P的位置。写出解答过程。 第13页共14页 3.在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P在射线CA上，且CP=20。沿一条 直线折叠纸片，使B落到P。求折痕与三角形边界的两个交点分别位于哪两条边上，并求折痕与 直线AC的交点E到C的距离。写出解答过程。 第14页共14页 专题十一 三角形折叠中的位置关系与分类讨论 培优专题讲与练 一 必备知识 折叠先给出对应点、对应边和对应角，再由落点的位置决定线段相加还是相减。出现直角、等腰或落在一条直线上时，应列全可能的位置，并逐一检查折痕是否真的与指定边相交。 1 折叠的等距、等角和垂直 沿直线折叠，使与重合，则保持不动， 若折痕垂直平分若本来在折痕上，则它不移动，不能再把退化的当作线段使用。 证明 折叠前后的两个三角形完全重合，所以设由折叠对应可知且 反过来，若两个不同点分别满足且则都在的垂直平分线上，直线就是可把折到的折痕。 等距方程只给候选位置；还要检查折痕与边的交点和题目允许的点域。 2 中点给出的第三条等长线段 若是的中点，不在直线上，且则 证明 连接设因为在内部，在内部，所以由内角和，得 折叠时若折到直线上的折痕经过的中点便有因此或是到直线的垂足。两个候选可能重合；即使候选不同，也须检查折痕能否交另一边的内部。 这个结论由等腰三角形的底角相等得到，不需要圆的知识。 3 直角三角形的斜边中点 在中，是斜边的中点，则 证明 延长至使在和中， （SAS）。 所以故从而在和中， （SAS）。 故 倍长中线把中点条件变成两组可直接使用的全等条件。 二 典例精讲 折叠的对应关系 用等距与对应直角把折叠转成直角三角形。 例题 在中，点在线段内部，将沿折叠，点的对应点在线段上。求写出解答过程。 分析 把折叠得到的直角放到含已知边的三角形中。未知长度虽然出现两次，平方展开后同次项消去，只需解一元一次方程。 解 折叠使所以由勾股定理，所以 设则在中，化简得所以 所得符合在线段内部的条件。因此 三 分类讲练 1 直角与垂直的位置 先排除不可能的边或顶点，再逐项求解与回验。 例1 在中，点在线段内部，将沿折叠，点的对应点为线段与线段交于当为非退化直角三角形时，求的所有可能值。写出解答过程。 分析 先用不变的锐角排除E，再分别检查F和D。方程得到的数必须回到原线段上，特别是等腰直角三角形的两侧位置不能只画一个就省略另一个。 解答 折叠得且为锐角，因此直角只能在或作于由面积得由勾股得 ①若则设在直角三角形中，解得此时在内部，且故沿确能把折到 ②若则折叠使平分形成的直角，故为等腰直角三角形，若在的侧，则舍去；故 取此时折后的在的与异侧，且线段穿过内部，交点既在内部又不与重合，故此位置可达。综上，或 变式1－1 在中，点在线段内部，将沿折叠，点的对应点为直线与直线交于当为非退化直角三角形时，求的所有可能值，并指出各情况下在线段上还是其延长线上。写出解答过程。 分析 从线段放宽为直线后，F可能落到AE的反向延长线上。于是E处的角未必仍是原来的锐角，但仍不能成为直角；要重新检查射线方向和点域。 解答 作于由面积与勾股得折叠给是或其补角，均不为直角，故直角只能在或 ①直角在时，若在射线上，则设由得若在射线的反向延长线上，则同理得舍去。时，折叠成立，在内部。 ②直角在时，折叠给所以在的侧会给不成立；在侧则 取此折叠后，且在同侧。设在上取则又所以射线越过外侧，而反向射线位于外侧，且故与越过的延长线相交，交点不与重合。此支可达。 例2 在中，点在线段内部，将沿折叠，点的对应点为若直线与的一条边所在直线垂直，求的所有可能值。写出解答过程。 分析 垂直条件指向三条边中的哪一条并未给定，必须逐条分类。落点在线上还可能处于两个相反方向，需用长度关系再筛选。 解答 折叠得若则只能与重合，导致不合题意。 若由折叠对应角，平分射线所成的角。因在内部，为钝角，只能指向的下方；设则得所以此时折叠确使 若则在直线上。若在从经过的射线上且越过则与矛盾。故在越过的延长线上，设由得 后一位置满足所以确为的垂直平分线；在内部。综上，或 变式2－1 在中，点在线段内部，将沿折叠，点的对应点为若直线与的一条边所在直线垂直，求的所有可能值。写出解答过程。 分析 交换长短直角边不是为了重新算一遍，而是使等腰直角分支越出线段。保留一支的原因是点域，不是漏掉另一条边。 解答 会使舍去。若由对应角可得故此支不成立。 若则在直线上。越过的候选使不成立；只能在越过的延长线上，设则得故 此时且直线能把折到唯一解成立。 2 中点与直线上的落点 重合、边内和延长线上的位置都要服从题目给定的点域。 例3 在中，是的中点，在线段内部。沿折叠使的对应点落在直线上（允许与重合）。求的所有可能值。写出解答过程。 分析 只按图中延长线位置计算会漏掉D与B重合的折叠。中点把无限多个落点缩成至多两个，再逐一检查折痕是否穿过AC内部。 解答 折叠给由知识准备，或为到直线的垂足，已经穷尽落点。 ①时，所以因在内部作与夹的射线，交于内部点此时而故确能把折到 ②为垂足时，由知在越过的延长线上。折痕故因此折叠得所以 存在性：在直线上取该垂足为直角三角形，斜边中点满足因此过且平行的直线为的垂直平分线，并交内部于折叠成立。综上有或 变式3－1 在中，是的中点，在线段内部。沿折叠使的对应点落在直线上（允许与重合）。求的所有可能值。写出解答过程。 分析 等距条件列出的B仍是落点候选，但相应折痕不能穿过AC内部。筛选的是折痕交边条件，而不只是D是否在线上。 解答 由及知识准备，候选仍为或为到的垂足。 若则从而但在内部要求矛盾。 垂足在内部。过平行的直线交内部于由直角三角形斜边中点性质可知它正是的垂直平分线，因此折叠可达。 3 等腰条件的两种身份 指定一边为腰，仍有两条不同的相等关系。 例4 在中，点在线段内部，点在线段上（允许不允许沿折叠使的对应点落在线段上。若为非退化等腰三角形，且为腰，求的所有可能值。写出解答过程。 分析 指定DE为腰仍有两种相等关系。两支分别把D或F推到顶点C，是否允许这些端点，直接决定答案是否保留。 解答 由直角三角形性质，折叠给以为腰有与两种情况。 ①若则作于有由及勾股，所以或使三角形退化，舍去；时取为中点，故确能把折到 ②若则作于此时在之间。由直角三角形性质，所以由且得故 此时所以的角平分线能把折到它与内部的交点为而折痕与的交点恰为两个候选都符合允许的端点条件。 变式4－1 在中，点分别在线段内部。沿折叠使的对应点落在线段上。若为非退化等腰三角形，且为腰，求的所有可能值。写出解答过程。 分析 这次并未禁止像点D落在顶点，却禁止折痕端点F落在顶点；必须把两种端点身份区分开。 解答 由直角三角形性质，折叠给以为腰有与两种情况。 ①若则作于有由及勾股，所以或使三角形退化，舍去；时取为中点，故确能把折到 ②若则作于此时在之间。由直角三角形性质，所以由且得故 这一支给所以的垂直平分线经过它与直线的唯一交点为不满足在线段内部，必须舍去。 这一支给分别为的中点，两个折痕端点都在边内，符合题意。因此只有 4 折叠与中点条件 把中点提供的等长，与折叠提供的等长连起来。 例5 在中，点分别在线段内部，沿折叠使的对应点落在内部。若是的中点，求证： 分析 中点与折叠把DA、DC、DF连成等长链，从而把角追踪的入口放在等腰三角形ADF中。 解答 折叠得且因为是中点，所以设则 由共线，折痕平分所以 共线，且所以 变式5－1 在中，点分别在线段内部，沿折叠使的对应点落在上。若是的中点，（1）求证：（2）求写出解答过程。 分析 中点由折痕端点变为像点后，单纯追角不再直接得到平方关系。倍长DF把AF=BF转成全等，再把三条目标线段移到同一个直角三角形。 解答 延长至使在和中， （SAS）。 所以由且在外侧，得 折叠给在和中， （SAS）。 所以在中，即 作于连接是斜边中点，故等腰三角形的底边高也是中线，所以再由勾股定理得设由折叠在直角三角形中，解得所以 四 分层练习 迁移运用 1. 在中，点在线段内部，沿折叠，使落在直线上、位于外侧的点处。求的面积。写出解答过程。 分析 折点在延长线上时，AE是AC与CE的和；另一组等长把BD替换成DE，仍在直角三角形中求解。 解答 折叠得因依次共线， 设则由勾股定理得解得所以 2. 在中，点在线段内部，将沿折叠，使落到线段与交于且求写出解答过程。 分析 这里垂直边已经明确，无须分类。先把折后的整段长度还原，再用同一个三角形的两种面积表示求出其中一段。 解答 利用的面积，所以 折叠得且在线段上，所以 3. 在中，点为的一个三等分点。沿折叠使与重合，其中分别在线段内部。求的所有可能值。写出解答过程。 分析 三等分点有两个，二者距C的长度不同，不能只按图选离C较近的一个。 解答 设折叠给由勾股定理，所以 为三等分点，因此或分别代入得或 两种情况下均在内部。而所以在垂直平分线的两侧，线段与该中垂线有唯一内部交点又故直线就是这条中垂线，确能把折到 4. 在中，是的中点，在线段内部。沿折叠使的对应点落在直线上（允许求写出解答过程。 分析 直角边界下，顶点B与垂足重合，不能把同一个折叠位置计为两个。 解答 折叠给因为若则由勾股定理矛盾。因此 且所以过平行的直线是的垂直平分线，并交内部，故这一位置存在。 5. 在中，是的中点，在线段内部。沿折叠使的对应点在线段上（允许端点）。求的所有可能值。写出解答过程。 分析 落点从整条直线限制到线段，并不一定只剩一解；这次垂足移入线段，而顶点重合的折叠仍合法。 解答 由或是到的垂足。因为均为锐角，垂足在内部。 时，所以因射线可在内部与相交，这一折叠存在。 为垂足时，斜边中点性质保证在的垂直平分线上，折痕过平行交内部。于是两种位置均满足在线段上。 6. 在中，于折叠纸片，使与重合，折痕与交于求写出解答过程。 分析 折痕上的G是原点与像点连线的中点；不要把高AD误认为折痕本身。 解答 由面积，故 折痕垂直平分所以 五 综合提高 1. 在中，点在线段内部，点在线段内部。将沿翻折，点的对应点为再将原来的沿翻折，使也落到求和写出解答过程。 分析 先从共同像点读出DC=DE=DA，自己找出中点；再利用两次角的对应合成目标直角，最后把等长代入勾股。 解答 两次折叠分别给故即是中点。由斜边中点性质，由勾股定理，且 设因为所以也可在上取用等腰直角三角形直接比较锐角。第一折叠使位于的与异侧。在等腰三角形中，第二次折叠给 射线位于之间，故这一位置也可从折痕确定：反向，两折痕分别平分与的角，所以而从作的垂线并朝向一侧，正与内部相交于 折叠给设则在中，解得 回验：取为中点，按折得到再按上述方法取在和中， （SAS）。 因此沿确能把折到且两次折叠可同时实现。 2. 在中，点在直线上，且沿折叠使与重合，其中分别必须在线段内部。求并确定所有符合条件的的位置。写出解答过程。 分析 同一勾股方程不能区分P在C的哪一侧。长度相同不代表两条折痕都穿过指定边内部，必须单独回验。 解答 设折叠给由勾股定理，解得所以 点有两个距离候选：一个在内部，一个在越过的延长线上。内部候选满足而所以垂直平分线穿过内部，所得合法；也在内部，故可折叠。 外部候选满足因此已在垂直平分线上。也在这条中垂线上，唯一折痕为它与的交点只能为不满足在内部，故舍去。 3. 在纸片中，点在射线上，且沿一条直线折叠纸片，使落到求折痕与三角形边界的两个交点分别位于哪两条边上，并求折痕与直线的交点到的距离。写出解答过程。 分析 不预先规定折痕端点所在边，需要学生主动检验三条边。先在BC上得到的负数不是方程算错，而是提示折痕已经改穿另一条边。 解答 折痕是的垂直平分线。若它与线段相交于设则由有解得不在内。因此折痕不穿过边 在射线上取令且有令得解得确满足因此在内部。 而所以在垂直平分线的两侧，折痕与有唯一内部交点因此折痕穿过的内部，而不穿过均到等距，故沿确能把折到 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题十一三角形折叠中的位置关系与分类讨论培优专题讲与练 一必备知识 折叠先给出对应点、对应边和对应角，再由落点的位置决定线段相加还是相减。出现直角、等 腰或落在一条直线上时，应列全可能的位置，并逐一检查折痕是否真的与指定边相交。 1折叠的等距、等角和垂直 沿直线AD折叠，使C与E重合，则A,D保持不动，AC=AE,DC=DE,∠CAD=∠DAE, ∠ACD=∠AED。 若C≠E,折痕AD垂直平分CE:若C本来在折痕上，则它不移动，不能再把退化的CE当作线段 使用。 证明 折叠前后的两个三角形完全重合，所以△ACD≌△AED。设H=AD∩CE,由折叠对应可知 CH=EH且∠AHC=∠AHE=90。 反过来，若两个不同点A,D分别满足AC=AE、DC=DE,且C≠E,则A,D都在CE的垂直平分 线上，直线AD就是可把C折到E的折痕。 等距方程只给候选位置；还要检查折痕与边的交点和题目允许的点域。 2中点给出的第三条等长线段 若M是AB的中点，D不在直线AB上，且MD=MA=MB,则AD⊥BD。 M D B 证明 连接MD。设∠MAD=∠MDA=X,∠MBD=∠MDB=y。因为M在AB内部，DM在∠ADB内 部，所以∠ADB=x+y。由△ADB内角和，2(x+y)=180°，得∠ADB=90°。 折叠时若A折到直线BC上的D,折痕经过AB的中点M,便有MD=MA=MB。因此D=B,或D 是A到直线BC的垂足。两个候选可能重合；即使候选不同，也须检查折痕能否交另一边的内 部。 第1页共15页 这个结论由等腰三角形的底角相等得到，不需要圆的知识。 第2页共15页 3直角三角形的斜边中点 在RE△ADB中，∠ADB=90',M是斜边AB的中点，则MD=MA=MB=子AB。 B 证明 延长DM至K,使MK=MD。在△AMK和△BMD中， AM=BM ∠AMK=∠BMD MK=MD △AMK≌△BMD(SAS)。 所以AK=BD,∠MAK=∠MBD,故AK‖BD,从而∠DAK=90°。在△DAK和△ADB中， DA=AD ∠DAK=∠ADB=90 AK=DB △DAK≌△ADB(SAS)。 DK=AB,MD-7 DK-AB-MA-MB. 倍长中线把中点条件变成两组可直接使用的全等条件。 第3页共15页 二典例精讲 折叠的对应关系 用等距与对应直角把折叠转成直角三角形。 例题在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD折 叠，点C的对应点E在线段AB上。求CD。写出解答过程。 E D B 分析 把折叠得到的直角放到含已知边的三角形中。未知长度虽然出现两次，平方展开后同次项消 去，只需解一元一次方程。 解 折叠使A+A,C+E,D+D,所以AE=AC=6,DE=DC,∠AED=∠ACD=90°。由勾股 定理，AB=10,所以BE=10-6=4。 设CD=X,则DE=x,BD=8-X。在Rt△BDE中，（8-x}2=x2+4,化简得64-16x=16,所以 X=3。 所得0<3<8，符合D在线段BC内部的条件。因此CD=3。 第4页共15页 三分类讲练 1直角与垂直的位置 先排除不可能的边或顶点，再逐项求解与回验。 例1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4。点D在线段BC内部，将△ACD沿AD折 叠，点C的对应点为E,线段AE与线段BC交于F。当△EFD为非退化直角三角形时，求CD的 所有可能值。写出解答过程。 变式1-1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3。点D在线段BC内部，将△ACD沿 AD折叠，点C的对应点为E。直线AE与直线BC交于F。当△EFD为非退化直角三角形时，求 CD的所有可能值，并指出各情况下F在线段BC上还是其延长线上。写出解答过程。 第5页共15页 例2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D在线段AC内部，将△ABD沿BD折 叠，点A的对应点为E。若直线AC与△BDE的一条边所在直线垂直，求AD的所有可能值。写出 解答过程。 变式2一1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8。点D在线段AC内部，将△ABD沿 BD折叠，点A的对应点为E。若直线AC与△BDE的一条边所在直线垂直，求AD的所有可能 值。写出解答过程。 第6页共15页 2中点与直线上的落点 重合、边内和延长线上的位置都要服从题目给定的点域。 例3在△ABC中，∠B=105°，∠C=35°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D与B重合）。求∠DNC的所有可能值。写出解 答过程。 变式3-1在△ABC中，∠B=60°，∠C=35°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D与B重合）。求∠DNC的所有可能值。写出解 答过程。 第7页共15页 3等腰条件的两种身份 指定一边为腰，仍有两条不同的相等关系。 例4在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6。点E在线段AB内部，点F在线段BC 上（允许F=C,不允许F=B)。沿EF折叠△BEF,使B的对应点D落在线段AC上。若△AED 为非退化等腰三角形，且DE为腰，求AD的所有可能值。写出解答过程。 变式4-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6。点E,F分别在线段AB,BC内 部。沿EF折叠△BEF,使B的对应点D落在线段AC上。若△AED为非退化等腰三角形，且DE 为腰，求AD的所有可能值。写出解答过程。 第8页共15页 4折叠与中点条件 把中点提供的等长，与折叠提供的等长连起来。 例5在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D,E分别在线段AC,BC内部，沿DE折 叠△DCE,使C的对应点F落在AB内部。若D是AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF。 的 E D A 变式5-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点D,E分别在线段AC,BC内部，沿 DE折叠△DCE,使C的对应点F落在AB上。若F是AB的中点，（1)求证：AD+BE=DE: (2)求BE。写出解答过程。 B E D A 第9页共15页 四分层练习 迁移运用 1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4。点D在线段BC内部，沿AD折叠，使B落在 直线AC上、位于C外侧的点E处。求△ACD的面积。写出解答过程。 B D A 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6。点M在线段AB内部，将△ACM沿CM折 叠，使A落到D。线段CD与AB交于N,且CD⊥AB。求DN。写出解答过程。 D B N力 M A 第10页共15页 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P为AC的一个三等分点。沿DE折叠 △BDE，使B与P重合，其中D,E分别在线段AB,BC内部。求BE的所有可能值。写出解答过 程。 4.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MWN折叠 △AMN,使A的对应点D落在直线BC上（允许D=B)。求∠DNC。写出解答过程。 第11页共15页 5.在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°。M是AB的中点，N在线段AC内部。沿MN折叠 △AMN,使A的对应点D在线段BC上（允许端点）。求∠DNC的所有可能值。写出解答过 程。 6.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6。AD⊥BC于D。折叠纸片，使A与D重合， 折痕与AD交于G。求AG。写出解答过程。 第12页共15页 五综合提高 1.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10,BC=6。点D在线段AC内部，点F在线段AB内部。 将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E;再将原来的△ADF沿DF翻折，使A也落到E。求 ∠BEF和AF。写出解答过程。 C D B E 第13页共15页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P在直线AC上，且CP=8。沿DE折叠 △BDE,使B与P重合，其中D,E分别必须在线段AB,BC内部。求BE,并确定所有符合条件的 P的位置。写出解答过程。 第14页共15页 3.在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，AC=12,BC=16。点P在射线CA上，且CP=20。沿- 条直线折叠纸片，使B落到P。求折痕与三角形边界的两个交点分别位于哪两条边上，并求折痕 与直线AC的交点E到C的距离。写出解答过程。 第15页共15页