微专题09 半角模型中的全等与线段关系 训练 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

专题九半角模型中的全等与线段关系培优专题讲与练 一必备知识 半角条件把一个大角分成两个相等的小角，但这两个小角未必已在合适的三角形中。先利用已 有的等腰、等边或垂直条件搬运一条边，再用半角条件建立第二组全等，常能把折线变成直线 上的和差，或变成直角三角形的三边。 1半角条件与两次全等 如图，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。这时射线 依次为AB,AD,AE,AC,所以∠DAB+∠EAC=45°。两个分散的小角相加，恰好等于中间的半 角。 在BC的A侧作BG⊥BC且BG=CE。第一组全等用于搬运：得到AG=AE,并把∠EAC移到 ∠BAG。第二组全等才用到半角：∠GAD=∠EAD,再配合公共边AD,得到DG=DE。 相等的角必须夹在所用的两条对应边之间；只有一个45°，并不能直接断言两个三角形全等。 2等长之后仍要确定点序 若全等得到MN=NK,且A,N,K依次共线，则NK=AK-AN:若点序是N,A,K,则 NK=AN+AK 若全等得到DG=DE,而∠DBG=90°，才能用DE2=BD+BG。和、差、平方关系来自辅助点 的实际位置，不能只根据图形的外观选择。 M A 作图用于呈现条件；共线、垂直、角的大小与点的先后都要由条件推出。 第1页共13页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。求证：DE2=BD2+CE2。 A E 分析 目标是三个长度的平方关系，适合把它们放进同一个直角三角形。在B处复制CE后，第一组全 等给出AG=AE:半角使两翼角的和也是45°，于是第二组全等把DE搬成DG。 解 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45,故ABG=45°=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90-∠DAE=45。 在△GAD和△EAD中， AG=AE GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD≌△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG2=BD+BG=BD2+CE2。 第2页共13页 三分类讲练 1直角的一半与平方关系 第一次全等搬运一边，第二次全等把目标线段变成直角三角形的斜边。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。已知BD=3,CE=4,S△ADE=15,求S△ABD+S△AEC0 A E 变式1-1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C。若 S△ADE=SAABD2+SAAEC2,求∠DAE。 A B D E 第3页共13页 2点在线的两侧时的和与差 先核实射线次序，再把两次全等得到的等长落到同一直线上。 例2在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线I⊥AB。点D在线段AH 内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。求AE,DE,BD之间 的数量关系，并写出解答过程。 C y B H 变式2一1在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线l⊥AB。点D在线 段HB内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。求AE,DE,BD 之间的数量关系，并写出解答过程。 B H 第4页共13页 3等边三角形内的半角 由等边与角平分线得到120°，再用60把线段拼合。 例3在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段 AC,AB内部，且AM<克AC,AW<AB,∠MDN=60.求证：CM=AN+MN. M B 变式3一1在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M在线段AC内 部，且时AC<AM号AC:点N在射线BA上且在A的外侧.∠MON-60,求CM,MN,AN之间 的数量关系，并写出解答过程。 C M B A 第5页共13页 4等边三角形外的半角 外部等腰顶点提供120°；构造后的直线段对应原来的两段之和。 例4在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线 段AB,AC内部，且∠MDN=60°。求证：MN=BM+CN。 A M B 变式4-1在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分 别在线段AB,AC内部，且∠MDN=60°。已知△ABC的周长为30，求△AMN的周长。 A D 第6页共13页 5一般角中的半角 不依赖特殊图形的名称，直接从等长、垂直和角的二分关系建立两次全等。 例5在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=号∠BAD。已知BE⊥AB,DF⊥AD,求证：EF=BE+DF, 2 D E 变式5一1在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF∠BAD.已知∠ABE+∠ADF=180,求证：EF=BE+DF。 第7页共13页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45。 若AD=AE,BC=12,求∠ADB及DE。 A B E 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线l⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。若AE=3,BD=2,求 AD。 D B 第8页共13页 3.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<号AC,AN<号AB,∠MON=60,且AM=AN。若AB=12,求MN。 M B 4.在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线段 AB,AC内部，且∠MDN=60°。若DM=DN,AB=6,求∠MDB及BM。 A M B D 第9页共13页 5.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=号∠BAD。若∠BAD=90,BE1AB,DF1AD,AB=AD=6,BE=2,DF=3,求 S△AEF· D F E 6.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<AC,AN<AB,且∠M0N=60。若SAw=8,SAaw=3,求SAom C M 第10页共13页 五综合提高 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若BC=12,求DE的最小值，并写出取到最小值时BD,CE的长度。 D E 第11页共13页 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线l⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。线段CE与AD交于P, 且P是CE的中点。若S△AED+S△ADc-S△BCD=16,求S△ABc P D B 第12页共13页 3.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD。已知 ∠ABE+∠ADF=180°，且EF=BE+DF。求证：∠EAF=号∠BAD。 F D E 第13页共13页专题九半角模型中的全等与线段关系培优专题讲与练 一必备知识 半角条件把一个大角分成两个相等的小角，但这两个小角未必已在合适的三角形中。先利用已 有的等腰、等边或垂直条件搬运一条边，再用半角条件建立第二组全等，常能把折线变成直线 上的和差，或变成直角三角形的三边。 1半角条件与两次全等 如图，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。这时射线 依次为AB,AD,AE,AC,所以∠DAB+∠EAC=45°。两个分散的小角相加，恰好等于中间的半 角。 在BC的A侧作BG⊥BC且BG=CE。第一组全等用于搬运：得到AG=AE,并把∠EAC移到 ∠BAG。第二组全等才用到半角：∠GAD=∠EAD,再配合公共边AD,得到DG=DE。 B D 相等的角必须夹在所用的两条对应边之间；只有一个45°，并不能直接断言两个三角形全等。 2等长之后仍要确定点序 若全等得到MN=NK,且A,N,K依次共线，则NK=AK-AN;若点序是N,A,K,则 NK=AN+AK。 若全等得到DG=DE,而∠DBG=90°，才能用DE=BD+BG。和、差、平方关系来自辅助点 的实际位置，不能只根据图形的外观选择。 M A 作图用于呈现条件；共线、垂直、角的大小与点的先后都要由条件推出。 第1页共13页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。求证：DE2=BD+CE2。 A B E 分析 目标是三个长度的平方关系，适合把它们放进同一个直角三角形。在B处复制CE后，第一组全 等给出AG=AE,半角使两翼角的和也是45°，于是第二组全等把DE搬成DG。 解 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG=△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB-侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45。 在△GAD和△EAD中， AG=AE GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD=△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG=BD+BG=BD+CE2。 第2页共13页 三分类讲练 1直角的一半与平方关系 第一次全等搬运一边，第二次全等把目标线段变成直角三角形的斜边。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。已知BD=3,CE=4,S△ADE=15,求SAABD+S△AEC。 A E 变式1一1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C。若 S△ADE2=S△ABD2+S△AEC2,求∠DAE。 A B D 第3页共13页 2点在线的两侧时的和与差 先核实射线次序，再把两次全等得到的等长落到同一直线上。 例2在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线段AH 内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。求AE,DE,BD之间 的数量关系，并写出解答过程。 C A D B H 变式2-1在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线I⊥AB。点D在线 段HB内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与l交于E,连接DE。求AE,DE,BD 之间的数量关系，并写出解答过程。 B H 第4页共13页 3等边三角形内的半角 由等边与角平分线得到120°，再用60把线段拼合。 例3在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，且AMAC,AN<AB,∠MON=60。求证：CM=AN+MN。 C M B 变式3一1在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M在线段AC内 部，且时AC<AM号AC;点N在射线BA上且在A的外侧.∠MON-60,求CM,MN,AN之间 的数量关系，并写出解答过程。 C N B A 第5页共13页 4等边三角形外的半角 外部等腰顶点提供120°；构造后的直线段对应原来的两段之和。 例4在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线 段AB,AC内部，且∠MDN=60°。求证：MN=BM+CN。 A M N 变式4-1在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别 在线段AB,AC内部，且∠MDN=60°。已知△ABC的周长为30，求△AMN的周长。 y D 第6页共13页 5一般角中的半角 不依赖特殊图形的名称，直接从等长、垂直和角的二分关系建立两次全等。 例5在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=∠BAD。已知BE⊥AB,DF⊥AD,求证：EF=BE+DF。 D ② 变式5一1在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=号∠BAD。已知∠ABE+∠ADF=180°，求证：EF=BE+DF。 2 E 第7页共13页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若AD=AE,BC=12,求∠ADB及DE。 A B 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线I⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与l交于E,连接DE。若AE=3,BD=2,求 AD。 D 第8页共13页 3.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<AC,AN<号AB,∠MON=60,且AM=AN。若AB=12,求MN。 M B 4.在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线段 AB,AC内部，且∠MDN=60°。若DM=DN,AB=6,求∠MDB及BM。 A M B D 第9页共13页 5.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=克∠MD.若∠BAD-90,BE⊥AB,DP1AD,AB=AD=6,BE=2,DF=3,求 S△AEF· D E B 6.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<号AC,ANAB,且∠MON=60。若Soa=8,Saw=3,求Som· C M 0 N B 第10页共13页 五综合提高 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若BC=12,求DE的最小值，并写出取到最小值时BD,CE的长度。 y B D E 第11页共13页 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线I⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与l交于E,连接DE。线段CE与AD交于P, 且P是CE的中点。若SAAED+SAADC-SABCD=16,求S△ABc· P D A B 第12页共13页 3.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD。已知 ∠ABE+∠ADF=I80,且EF=BE+DF.求证：∠EA=∠RAD: F D 第13页共13页专题九半角模型中的全等与线段关系培优专题讲与练 一必备知识 半角条件把一个大角分成两个相等的小角，但这两个小角未必已在合适的三角形中。先利用已 有的等腰、等边或垂直条件搬运一条边，再用半角条件建立第二组全等，常能把折线变成直线 上的和差，或变成直角三角形的三边。 1半角条件与两次全等 如图，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。这时射线 依次为AB,AD,AE,AC,所以∠DAB+∠EAC=45°。两个分散的小角相加，恰好等于中间的半 角。 在BC的A侧作BG⊥BC且BG=CE。第一组全等用于搬运：得到AG=AE,并把∠EAC移到 ∠BAG。第二组全等才用到半角：∠GAD=∠EAD,再配合公共边AD,得到DG=DE。 A 相等的角必须夹在所用的两条对应边之间；只有一个45°，并不能直接断言两个三角形全等。 2等长之后仍要确定点序 若全等得到MN=NK,且A,N,K依次共线，则NK=AK-AN,若点序是N,A,K,则 NK=AN+AK。 若全等得到DG=DE,而∠DBG=90°，才能用DE=BD+BG。和、差、平方关系来自辅助点 的实际位置，不能只根据图形的外观选择。 M A 作图用于呈现条件；共线、垂直、角的大小与点的先后都要由条件推出。 第1页共23页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。求证：DE2=BD2+CE。 E 分析 目标是三个长度的平方关系，适合把它们放进同一个直角三角形。在B处复制CE后，第一组全 等给出AG=AE)半角使两翼角的和也是45°，于是第二组全等把DE搬成DG。 解 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45°=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG=△ACE(SAS)· 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45°。 在△GAD和△EAD中， AG-AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD兰△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG=BD+BG=BD+CE2。 第2页共23页 三分类讲练 1直角的一半与平方关系 第一次全等搬运一边，第二次全等把目标线段变成直角三角形的斜边。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。已知BD=3,CE=4,S△ADE=15,求SA ABD+SAAEC· A 分析 先由半角求出中间底边，再用已知面积找公共高，不能把两个侧三角形误认为全等。 解答 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45=∠ACE. 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG=△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90-∠DAE=45。 在△GAD和△EAD中， AG=AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD兰△EAD(SAS)O 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG=BD2+BG=BD+CE。 故DE=5。三个三角形的底边均在BC上，共用从A到BC的高h。由2×5h=15,得h=6。所求面 积和为(3+4)×6=21。 第3页共23页 变式1-1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C。若 SAADE2=SAABD2+SAAEC2,求∠DAE。 A B 分析 未知角时不能先用半角结论。面积平方先还原为长度平方，再以SSS恢复平分直角。 解答 三个三角形共用从A到BC的高h>0。将各面积写成底乘高的一半并约去量，得 DE2=BD+CE2。 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG=△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧。 由勾股定理，DG2=BD+BG2=BD+CE2=DE,故DG=DE。 在△GAD和△EAD中， AG=AE DG=DE AD-AD △GAD兰△EAD(SSS)。 故∠GAD=∠DAE。又∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，射线AD在此角内部， 所以∠DAE=45。 第4页共23页 2点在线的两侧时的和与差 先核实射线次序，再把两次全等得到的等长落到同一直线上。 例2在△ABC中，CA=CB，,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线段AH 内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。求AE,DE,BD之间 的数量关系，并写出解答过程。 B 分析 先用中点确定D和辅助交点F的先后。垂直使第一组全等中的两个角对应，半角再使CD平分构 造出的直角。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45°，且AH=BH=CH。 因为D在AH内部，0<∠ACD<45。所以CE在∠ACB外的CA一侧， 0<∠ACE=45°-∠ACD<45°，E与C在AB同侧。过C作CP⊥CE,取位于∠HCB内部的射线， 交HB于F。因此点序为A,D,H,F,B。 ∠CAE=∠CBF=45°。由CA⊥CB、CE⊥CF以及上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCF △CAE≌△CBF(ASA)· 故CE=CF,AE=BF。CD在直角ECF内部，∠ECD=45°，故∠DCF=45°。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ∠ECD=∠FCD=451 CD=CD △ECD兰△FCD(SAS)。 所以DE=DF,BD=DF+FB=DE+AE。 第5页共23页 变式2-1在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线 段HB内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。求AE,DE,BD 之间的数量关系，并写出解答过程。 分析 当D越过中点，E和辅助点F都改变位置。全等仍成立，而DF由BD-BF变成BD+BF。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45°，且AH=BH=CH。 因为D在HB内部，45°<∠ACD<90°。所以CE在∠ACH内部，0<∠ACE=∠ACD-45<45°。 射线CE与l交于A的另一侧，即E,C在AB两侧。过C作CF⊥CE,取位于∠ACB外的CB一侧的 射线，交射线AB于F。此时点序为A,H,D,B,F。 ∠CAE=∠CBF=135。由两组垂直与上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCF △CAE≌△CBF(ASA)。 故CE=CF,AE=BF。因为CD在直角ECF内部，∠ECD=∠DCF=45。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ㄥECD=∠FCD=45 CD=CD △ECD≌△FCD(SAS)。 所以DE=DF=DB+BF=BD+AE。 第6页共23页 3等边三角形内的半角 由等边与角平分线得到120°，再用60把线段拼合。 例3在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，且AM<AC,AN<号AB,∠MON=60。求证：CM=AN+MN。 分析 先从等边与角平分线中找出OA=OC和120°。把CM搬到AB上，第二次全等便能把MN落在这条 直线上。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△ACO中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO=△ACO(SSS)。 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120°。 在AB上取点K,使AK=CM,连接OK。因为5AC<CM<AC=AB,K在AB内部；又 AN<号AB<AK,点序为A,N,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK兰△OCM(SAS)。 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60°=60°。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=∠KON=60 ON=ON △MON=△KON(SAS)。 所以MN=NK。 由点序，MN=NK=AK-AN=CM-AN,故CM=AN+MN。 第7页共23页 变式3-1在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M在线段AC内 部，且AC<AM<子AC;点N在射线BA上且在A的外侧，∠MON=60。求CM,MN,AN之间 的数量关系，并写出解答过程。 分析 第一次与第二次全等不变，但N越过A后，NK由差变成和。点在延长线上时，不能沿用内点的 减法。 解答 ∠OBC=∠OCB=30,故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△ACO中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO=△ACO(SSS). 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是0A=0C,∠A0C=120。 在AB上取点K,使AK=CM,连接OK。因为0<CM<AB,K在AB内部，点序为N,A,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK=△OCM(SAS). 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60°。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=∠KON=60 ON=ON △MON≌△KON(SAS)。 所以MN=NK。 故MN=NK=NA+AK=AN+CM。 第8页共23页 4等边三角形外的半角 外部等腰顶点提供120°构造后的直线段对应原来的两段之和。 例4在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线 段AB,AC内部，且∠MDN=60°。求证：MN=BM+CN。 M 分析 半角顶点在等边三角形外部，先由30°与60°的相加得到两个直角。沿AC延长复制BM,便能让 第二次全等的对应边成为NC+CE。 解答 由DB=DC及∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°。因为A,D在BC两侧， ∠DBM=∠DCN=30°+60°=90°。 延长AC至E,使CE=BM,连接DE。则∠DCE=90°。 在△DBM和△DCE中， DB=DO ∠DBM=∠DCE=90 BM=CE △DBM兰△DCE(SAS)· 所以DM=DE,∠BDM=∠CDE。射线依次为DB,DM,DN,DC,DE,故 ∠MDE=∠BDC-∠BDM+∠CDE=120,从而∠NDE=60。 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60 DN=DN △MDN兰△EDN(SAS)。 所以MN=NE=NC+CE=CN+BM。 第9页共23页 变式4-1在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别 在线段AB,AC内部，且∠MDN=60°。已知△ABC的周长为30，求△AMN的周长。 M 分析 求周长时，不必分别求出AM,AN,MN。先把MN换成两翼之和，恰好补全两条整边。 解答 由DB=DC及∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°。因为A,D在BC两侧， ∠DBM=∠DCN=30+60°=90°。 延长AC至E,使CE=BM,连接DE。则∠DCE=90°。 在△DBM和△DCE中， DB=DC ∠DBM=∠DCE=90 BM=CE △DBM兰△DCE(SAS)。 所以DM=DE,∠BDM=∠CDE。射线依次为DB,DM,DN,DC,DE,故 ∠MDE=∠BDC-∠BDM+∠CDE=120°，从而∠NDE=60°。 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60 DN=DN △MDN=△EDN(SAS)。 所以MN=NE=NC+CE=CN+BM。 AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC。等边三角形每边为30÷3=10，故所求周长为 20。 第10页共23页 5一般角中的半角 不依赖特殊图形的名称，直接从等长、垂直和角的二分关系建立两次全等。 例5在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=∠BAD,已知BE⊥AB,DF⊥AD,求证：EF=BE+DF, 分析 顶角不必是90°或120°。延长EB复制DF,第一组全等把右边的小角搬到顶角外；两翼角的和 恰好等于中间的半角。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 BE⊥AB,DF⊥AD,所以∠ABG=∠ADF=90°。 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG=△ADF(SAS)。 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF。G,E在直线AB两侧，故 ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE △GAE≡△FAE(SAS)。 故EF=EG=EB+BG=BE+DF。 第11页共23页 变式5-1在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=∠BAD,已知∠ABE+∠ADr=1B0,求证：EF=BE+DF. G 分析 第一组全等需要的是对应夹角相等。两角互补时，延长线产生的外角恰好等于另一端的角，所 以不必要求两角都为直角。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 因为∠ABE+∠ADF=180°，而∠ABG=180°-∠ABE,故∠ABG=∠ADF。 在△ABG和△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG=△ADF(SAS)。 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF。G,E在直线AB两侧，故 ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF, 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE △GAE兰△FAE(SAS)· 故EF=EG=EB+BG=BE+DF。 第12页共23页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若AD=AE,BC=12,求∠ADB及DE。 y 分析 相等的是两条内部斜边，先用等腰和补角求底角，再由全等确认两翼相等。之后用半角平方关 系与整边长度联立。 解答 由AD=AE及∠DAE=45°，得∠ADE=∠AED=67.5°。因为DB,DE反向，所以 ∠ADB=112.5。 在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠ACE=45°，而∠ADB=∠AEC=112.5,故 ∠BAD=∠CAE=22.5。 ∠BAD=∠CAE AB=AC ∠ABD=∠ACE △ABD=△ACE(ASA)· 所以BD=CE。 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45°=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG兰△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45。 在△GAD和△EAD中， AG=AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD兰△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG=BD+BG=BD+CE。 设BD=CE=x>0,则DE=V2x,12=BC=2x+V2x。所以DE=12(V2-1)。 第13页共23页 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与1交于E,连接DE。若AE=3,BD=2,求 AD。 分析 先用两次全等确定和式，再把求出的DE放回题目已有的直角三角形。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45°，且AH=BH=CH。 因为D在HB内部，45°<∠ACD<90°。所以CE在∠ACH内部，0<∠ACE=∠ACD-45<45°。 射线CE与l交于A的另一侧，即E,C在AB两侧。过C作CF⊥CE,取位于∠ACB外的CB一侧的 射线，交射线AB于F。此时点序为A,H,D,B,F。 ∠CAE=∠CBF=135。由两组垂直与上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCF △CAE≌△CBF(ASA)。 故CE=CF,AE=BF。因为CD在直角ECF内部，∠ECD=∠DCF=45。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ㄥECD=∠FCD=45 CD=CD △ECD兰△FCD(SAS)。 所以DE=DF=DB+BF=BD+AE。 DE=BD+AE=5。△AED在A处为直角，因此AD=√DE2-AE=V25-9=4。 第14页共23页 3.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<AC,AN<号AB,∠MON=60,且AM=AN,若AB=12,求MN。 分析 半角给的是三段拼接。附加的等腰与60°使这三段进一步相等，从而确定三等分长度。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△AC0中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO=△ACO(SSS)。 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120。 在AB上取K,使AK=CM。由CM>号AB>AN,点序为A,N,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK=△OCM(SAS)。 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=ㄥKON=60 ON=ON △MON=△KON(SAS)。 所以MN=NK。 所以CM=AN+MN。又∠MAN=60°，AM=AN,故△AMN是等边三角形，AM=AN=MN。于 是12=AC=AM+CM=AM+AN+MN=3MN,得MN=4。 第15页共23页 4.在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线段 AB,AC内部，且∠MDN=60°。若DM=DN,AB=6,求∠MDB及BM。 分析 不能把“斜边与一直角边相等”误写成SAS。先以勾股求出另一条直角边相等，再用SAS求角， 最后识别两个等边三角形。 解答 先由△DBC与等边△ABC得到∠DBM=∠DCN=90°。在这两个直角三角形中，DM=DN、 DB=DC,由勾股定理得BM=DM2-DB=DN2-DC=CN2,故BM=CN。 在△DBM和△DCN中， DB=DC ∠DBM=∠DCN=90 BM=CN △DBM≌△DCN(SAS)。 故∠BDM=∠CDN,两角之和为120°-60°=60°，所以∠MDB=30°。 由DB=DC及∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°。因为A,D在BC两侧， ∠DBM=∠DCN=30+60=90°。 延长AC至E,使CE=BM,连接DE。则∠DCE=90°。 在△DBM和△DCE中， DB=DC ∠DBM=∠DCE=90 BM=CE △DBM兰△DCE(SAS)。 所以DM=DE,∠BDM=∠CDE。射线依次为DB,DM,DN,DC,DE,故 ∠MDE=∠BDC-∠BDM+∠CDE=120°，从而∠NDE=60。 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60 DN=DN △MDN≡△EDN(SAS)。 所以MN=NE=NC+CE=CN+BM。 又DM=DN且∠MDN=60°，所以△DMN为等边三角形。由BM=CN、AB=AC,得AM=AN, 结合∠MAN=60°，△AMN也为等边三角形。因此AM=MN=BM+CN=2BM。 AB=AM+BM=3BM=6,得BM=2。 第16页共23页 5.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=∠BAD,若∠BAD=90,BELAB,DF⊥AD,AB=AD=6,BE=2,DF=3,求 SAAEF· D 分析 目标是面积，不必求出AE,AF。第二次全等把面积搬到△AEG,底边与高都由已知直接得到。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 BE⊥AB,DF⊥AD,所以∠ABG=∠ADF=90°。 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG=△ADF(SAS)。 所以AG=AF,，∠BAG=∠DAF。G,E在直线AB两侧，故 ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE △GAE三△FAE(SAS)。 故EF=EG=EB+BG=BE+DF。 由△GAE兰△AE,两三角形的面积相等。因为E,B,G共线且AB⊥EG,AB=6是△AEG在底 EG上的高。所以56Ar=SAc2+3x6=15。 第17页共23页 6.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<AC,AN<AB,且∠MON=60。若SoaN=8,S。oAw=3,求Some 分析 两组全等不仅转移线段，也转移面积。先把△OCM搬到△OAK,再利用同一直线上的分点作面 积相减。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△ACO中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO=△ACO(SSS)。 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120。 在AB上取K,使AK=CM。由CM>AB>AN,点序为A,N,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK兰△OCM(SAS)。 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=∠KON=60 ON=ON △MON≡△KON(SAS)。 所以MN=NK。 第一组全等给S&OAK=SAOCM=8,第二组全等给SAOK=SAOMN。由于N在AK内部， SAOAK=SA0Aw+SAONK,故SAOMN=8-3=5。 第18页共23页 五综合提高 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若BC=12,求DE的最小值，并写出取到最小值时BD,CE的长度。 A G D 分析 固定整边长度把三段联系起来；半角把其中一段的平方变成另外两段的平方和。平方非负给出 下界后，还必须反向验证等号点真的满足45°条件。 解答 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB-AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG=△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45°。 在△GAD和△EAD中， AG=AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD兰△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG=BD+BG=BD+CE2。 第19页共23页 设BD=x,CE=y,DE=z,则x,y,z>0,x+y+z=12,z2=x2+y2。由(x-y≥0，得 2X+y2x+y。因此222x+y2-2,故2+2=72V2-1 等号成立当且仅当x=y。此时x=y=6(2-V2)。这两个长度均为正，且2x<12,故在BC上按 BD=CE=x取点，确有点序B,D,E,C。所得DE=12-2x=12(V2-1),并满足DE2=BD+CE2。 还须验证所取两点满足半角。仍在B处取BG=CE且BG⊥BC,其中G,A在BC同侧。 在△ABG和△ACE中， AB-AC ∠ABG=∠ACE=45 BG=CE △ABG兰△ACE(SAS)。 故AG=AE,∠BAG=∠CAE。由勾股定理，DG=BD+BG=DE,所以DG=DE。 在△GAD和△EAD中， AG=AE DG=DE AD=AD △GAD兰△EAD(SSS)。 因∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，且∠GAD=∠DAE,得∠DAE=45°。所以 等号位置确实可取，最小值为12(V2-1)。 第20页共23页 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线l⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与1交于E,连接DE。线段CE与AD交于P, 且P是CE的中点。若S△AED+SAADC-S△BCD=16,求S△AB· y 分析 中点不能直接当作中位线使用。先用两个直角三角形的AAS把CP=EP转成两侧高度相等，再 联立半角和式与勾股，最后化简面积差。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45°，且AH=BH=CH。 因为D在HB内部，45°<∠ACD<90°。所以CE在∠ACH内部，0<∠ACE=∠ACD-45°<45°。 射线CE与I交于A的另一侧，即E,C在AB两侧。过C作CF⊥CE,取位于∠ACB外的CB一侧的 射线，交射线AB于F。此时点序为A,H,D,B,F。 ∠CAE=∠CBF=135°。由两组垂直与上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCF △CAE≌△CBF(ASA)。 故CE=CF,AE=BF。因为CD在直角ECF内部，∠ECD=∠DCF=45。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ∠ECD=ㄥFCD=45 CD=CD △ECD=△FCD(SAS)。 所以DE=DF=DB+BF=BD+AE。 第21页共23页 CH⊥AB,AE⊥AB。C,E分居AB两侧，P在CE内部；由于CE位于∠ACH内部，点序为 A,P,H,D,B。 在△CHP和△EAP中， ∠CHP=∠EAP=90 ∠CPH=∠EPA CP=EP △CHP兰△EAP(AAS)。 故AE=CH。设CH=AH=BH=h>0,AD=d,则BD=2h-d,DE=BD+AE=3h-d。由 △ABD的勾股定理，(3h-dP=d+片，整理得8=6hd,所以d-h: 三个给定三角形相对于直线AB的高都为h,故16=h+号4h2h-dh-h-斤-h。因此 5。版×2h×h==16。 第22页共23页 3.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD。已知 ∠ABE+∠ADF=18O°，且EF=BE+DF。求证：∠EAF=∠BAD。 G 分析 角还没有二分时，第二组全等不能使用SAS。先将题设的线段和搬成EG=EF,改用SSS,最 后才恢复半角。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 因为∠ABE+∠ADF=180°，而∠ABG=180°-∠ABE,故∠ABG=∠ADF。 在△ABG和△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG=△ADF(SAS)。 所以AG=AF,，∠BAG=∠DAF。又EG=EB+BG=BE+DF=EF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF EG=EF AE=AE △GAE=△FAE(SSS)。 故∠GAE=∠EAF。由G,E在直线AB两侧， ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF。因此2∠EAF=∠BAD,即 ∠EAF=克∠BAD. 第23页共23页专题九半角模型中的全等与线段关系培优专题讲与练 一必备知识 半角条件把一个大角分成两个相等的小角，但这两个小角未必已在合适的三角形中。先利用已 有的等腰、等边或垂直条件搬运一条边，再用半角条件建立第二组全等，常能把折线变成直线 上的和差，或变成直角三角形的三边。 1半角条件与两次全等 如图，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。这时射线 依次为AB,AD,AE,AC,所以∠DAB+∠EAC=45°。两个分散的小角相加，恰好等于中间的半 角。 在BC的A侧作BG⊥BC且BG=CE。第一组全等用于搬运：得到AG=AE,并把∠EAC移到 ∠BAG。第二组全等才用到半角：∠GAD=∠EAD,再配合公共边AD,得到DG=DE。 A 相等的角必须夹在所用的两条对应边之间；只有一个45°，并不能直接断言两个三角形全等。 2等长之后仍要确定点序 若全等得到MN=NK,且A,N,K依次共线，则NK=AK-AN;若点序是N,A,K,则 NK=AN+AK。 若全等得到DG=DE,而∠DBG=90°，才能用DE=BD+BG2。和、差、平方关系来自辅助点 的实际位置，不能只根据图形的外观选择。 M A 作图用于呈现条件；共线、垂直、角的大小与点的先后都要由条件推出。 第1页共24页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。求证：DE2=BD2+CE。 A E 分析 目标是三个长度的平方关系，适合把它们放进同一个直角三角形。在B处复制CE后，第一组全 等给出AG=AE;半角使两翼角的和也是45°，于是第二组全等把DE搬成DG。 解 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45,故∠ABG=45=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)· 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90-∠DAE=45。 在△GAD和△EAD中， AG-AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD≌△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE2=DG=BD+BG=BD+CE2。 第2页共24页 三分类讲练 1直角的一半与平方关系 第一次全等搬运一边，第二次全等把目标线段变成直角三角形的斜边。 例1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且 ∠DAE=45°。已知BD=3,CE=4,S△ADE=15,求S△ABD+SAAEC· A 分析 先由半角求出中间底边，再用已知面积找公共高，不能把两个侧三角形误认为全等。 解答 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45°. 在△GAD和△EAD中， AG=AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD≌△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE2=DG2=BD+BG2=BD+CE2。 故DE=5。三个三角形的底边均在BC上，共用从A到BC的高h。由×5h=15,得h=6。所求面 积和为23+4)×6=21. 第3页共24页 变式1一1在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C。若 SAADE2=SAABD2+SAAEC2,求∠DAE。 B 分析 未知角时不能先用半角结论。面积平方先还原为长度平方，再以SSS恢复平分直角。 解答 三个三角形共用从A到BC的高h>0。将各面积写成底乘高的一半并约去4，得 DE2=BD+CE。 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45,故∠ABG=45°=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=ㄥACE BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB-侧。 由勾股定理，DG=BD+BG2=BD+CE2=DE,故DG=DE。 在△GAD和△EAD中， AG=AE DG=DE AD=AD △GAD≌△EAD(SSS)。 故∠GAD=∠DAE。又∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，射线AD在此角内部， 所以∠DAE=45。 第4页共24页 2点在线的两侧时的和与差 先核实射线次序，再把两次全等得到的等长落到同一直线上。 例2在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线I⊥AB。点D在线段AH 内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与l交于E,连接DE。求AE,DE,BD之间 的数量关系，并写出解答过程。 分析 先用中点确定D和辅助交点F的先后。垂直使第一组全等中的两个角对应，半角再使CD平分构 造出的直角。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45°，且AH=BH=CH。 因为D在AH内部，0<∠ACD<45°。所以CE在∠ACB外的CA一侧， 0<∠ACE=45°-∠ACD<45°，E与C在AB同侧。过C作CF⊥CE,取位于∠HCB内部的射线， 交HB于F。因此点序为A,D,H,F,B。 ∠CAE=∠CBF=45。由CA⊥CB、CE⊥CF以及上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCF △CAE≌△CBF(ASA)。 故CE=CF,AE=BF。CD在直角ECF内部，∠ECD=45°，故∠DCF=45°。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ∠ECD=∠FCD=45 CD=CD △ECD≌△FCD(SAS)。 所以DE=DF,BD=DF+FB=DE+AE。 第5页共24页 变式2-1在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线 段HB内部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。求AE,DE,BD 之间的数量关系，并写出解答过程。 分析 当D越过中点，E和辅助点F都改变位置。全等仍成立，而DF由BD-BF变成BD+BF。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45,且AH=BH=CH。 因为D在HB内部，45°<∠ACD<90°。所以CE在∠ACH内部，0<∠ACE=∠ACD-45°<45°。 射线CE与I交于A的另一侧，即E,C在AB两侧。过C作CF⊥CE,取位于∠ACB外的CB一侧的 射线，交射线AB于F。此时点序为A,H,D,B,F。 ∠CAE=∠CBF=I35°。由两组垂直与上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=ㄥCBF CA=CB ∠ACE=∠BCEF △CAE≌△CBF(ASA)。 故CE=CF,AE=BF。因为CD在直角ECF内部，∠ECD=∠DCF=45°。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ∠ECD=∠FCD=45 CD=CD △ECD≌△FCD(SAS)· 所以DE=DF=DB+BF=BD+AE。 第6页共24页 3等边三角形内的半角 由等边与角平分线得到120°，再用60把线段拼合。 例3在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段 AC,AB内部，且AM≤AC,AN<AB,∠MON=60.求证：CM=AN+MN. 2 分析 先从等边与角平分线中找出OA=OC和120°。把CM搬到AB上，第二次全等便能把MN落在这条 直线上。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△ACO中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO≌△ACO(SSS)。 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120。 在AB上取点K,使AK=CM,连接OK。因为)AC<CM<AC=AB,K在AB内部；又 AN<AB<AK,点序为A,N,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK≌△OCM(SAS)。 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60°。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=KON=60 ON=ON △MON≌△KON(SAS)。 所以MN=NK。 第7页共24页 由点序，MN=NK=AK-AN=CM-AN,故CM=AN+MN。 第8页共24页 变式3-1在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M在线段AC内 部，且时AC<AM<号AC:点N在射线BA上且在A的外侧，∠MON=60。求CM,MN,AN之间 的数量关系，并写出解答过程。 分析 第一次与第二次全等不变，但N越过A后，NK由差变成和。点在延长线上时，不能沿用内点的 减法。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△ACO中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO≌△ACO(SSS)。 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120。 在AB上取点K,使AK=CM,连接OK。因为0<CM<AB,K在AB内部，点序为N,A,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK≌△OCM(SAS)。 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=∠KON=60 ON=ON △MON≌△KON(SAS). 所以MN=NK。 故MN=NK=NA+AK=AN+CM。 第9页共24页 4等边三角形外的半角 外部等腰顶点提供120°；构造后的直线段对应原来的两段之和。 例4在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线 段AB,AC内部，且∠MDN=60°。求证：MN=BM+CN。 M 分析 半角顶点在等边三角形外部，先由30°与60°的相加得到两个直角。沿AC延长复制BM,便能让 第二次全等的对应边成为NC+CE。 解答 由DB=DC及∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°。因为A,D在BC两侧， ∠DBM=∠DCN=30°+60=90°。 延长AC至E,使CE=BM,连接DE。则∠DCE=90°。 在△DBM和△DCE中， DB=DC ∠DBM=∠DCE=90 BM=CE △DBM≌△DCE(SAS)。 所以DM=DE,∠BDM=∠CDE。射线依次为DB,DM,DN,DC,DE,故 ∠MDE=∠BDC-∠BDM+∠CDE=120°，从而∠NDE=60°。 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60 DN=DN △MDN≌△EDN(SAS)。 所以MN=NE=NC+CE=CN+BM。 第10页共24页 变式4-1在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分 别在线段AB,AC内部，且∠MDN=60°。已知△ABC的周长为30，求△AMN的周长。 M 分析 求周长时，不必分别求出AM,AN,MN。先把MN换成两翼之和，恰好补全两条整边。 解答 由DB=DC及∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°。因为A,D在BC两侧， ∠DBM=∠DCN=30+60=90。 延长AC至E,使CE=BM,连接DE。则∠DCE=90°。 在△DBM和△DCE中， DB=DC ∠DBM=∠DCE=90 BM=CE △DBM≌△DCE(SAS)。 所以DM=DE,∠BDM=∠CDE。射线依次为DB,DM,DN,DC,DE,故 ∠MDE=∠BDC-∠BDM+∠CDE=120°，从而∠NDE=60°。 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60 DN=DN △MDN≌△EDN(SAS)。 所以MN=NE=NC+CE=CN+BM。 AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC。等边三角形每边为30÷3=10，故所求周长为 20。 第11页共24页 5一般角中的半角 不依赖特殊图形的名称，直接从等长、垂直和角的二分关系建立两次全等。 例5在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=∠BAD。已知BE⊥AB,DF⊥AD,求证：EF=BE+DF。 分析 顶角不必是90°或120°。延长EB复制DF,第一组全等把右边的小角搬到顶角外；两翼角的和 恰好等于中间的半角。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 BE⊥AB,DF⊥AD,所以∠ABG=∠ADF=90。 在△ABG和△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG≌△ADF(SAS)。 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF。G,E在直线AB两侧，故 ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE △GAE≌△FAE(SAS)。 故EF=EG=EB+BG=BE+DF。 第12页共24页 变式5-1在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=号∠BAD,已知∠ABE+∠ADF=I80,求证：EF=BE+DF。 F B G 分析 第一组全等需要的是对应夹角相等。两角互补时，延长线产生的外角恰好等于另一端的角，所 以不必要求两角都为直角。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 因为∠ABE+∠ADF=180°，而∠ABG=180°-∠ABE,故∠ABG=∠ADF。 在△ABG和△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG≌△ADF(SAS)· 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF。G,E在直线AB两侧，故 ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE △GAE≌△AE(SAS)。 故EF=EG=EB+BG=BE+DF。 第13页共24页 四分层练习 迁移运用 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若AD=AE,BC=12,求∠ADB及DE。 A 分析 相等的是两条内部斜边，先用等腰和补角求底角，再由全等确认两翼相等。之后用半角平方关 系与整边长度联立。 解答 由AD=AE及∠DAE=45°，得∠ADE=∠AED=67.5°。因为DB,DE反向，所以 ∠ADB=112.5。 在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠ACE=45°，而∠ADB=∠AEC=112.5°，故 ∠BAD=∠CAE=22.5。 ∠BAD=∠CAE AB=AC ∠ABD=∠ACE △ABD≌△ACE(ASA)。 所以BD=CE。 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45°，故∠ABG=45°=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45。 在△GAD和△EAD中， AG=AE ∠GAD=∠EAD=45 AD-AD △GAD≌△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE2=DG2=BD+BG=BD+CE2。 设BD=CE=x>0,则DE=V2x,12=BC=2x+V2x。所以DE=12(V2-1)。 第14页共24页 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。若AE=3,BD=2,求 AD。 H 分析 先用两次全等确定和式，再把求出的DE放回题目已有的直角三角形。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45,且AH=BH=CH。 因为D在HB内部，45°<∠ACD<90°。所以CE在∠ACH内部，0<∠ACE=∠ACD-45°<45°。 射线CE与I交于A的另一侧，即E,C在AB两侧。过C作CF⊥CE,取位于∠ACB外的CB一侧的 射线，交射线AB于F。此时点序为A,H,D,B,F。 ∠CAE=∠CBF=135°。由两组垂直与上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCEF △CAE≌△CBF(ASA)。 故CE=CF,AE=BF。因为CD在直角ECF内部，∠ECD=∠DCF=45°。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ∠ECD=∠FCD=45 CD=CD △ECD≌△FCD(SAS)· 所以DE=DF=DB+BF=BD+AE。 DE=BD+AE=5。△AED在A处为直角，因此AD=VDE2-AE=R25-9=4。 第15页共24页 3.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<号AC,AN<号AB,∠MON=60,且AM=AN.若AB=12,求MN. 分析 半角给的是三段拼接。附加的等腰与60°使这三段进一步相等，从而确定三等分长度。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△AC0中， AB=AC OB=OC AO=AO △AB0≌△AC0(SSS)。 所以2OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120°。 在AB上取K,使AK=CM。由CM>2AB>AN,点序为A,N,K,B。 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=ㄥOCM=30 AK=CM △OAK≌△OCM(SAS)。 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60°。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=∠KON=60 ON=ON △MON≌△KON(SAS)。 所以MN=NK。 所以CM=AN+MN。又∠MAN=60°，AM=AN,故△AMN是等边三角形，AM=AN=MN。 于是12=AC=AM+CM=AM+AN+MN=3MN,得MN=4。 第16页共24页 4.在等边△ABC中，点D与A在直线BC的两侧，DB=DC,∠BDC=120°。点M,N分别在线段 AB,AC内部，且∠MDN=60°。若DM=DN,AB=6,求∠MDB及BM。 分析 不能把“斜边与一直角边相等”误写成SAS。先以勾股求出另一条直角边相等，再用SAS求角， 最后识别两个等边三角形。 解答 先由△DBC与等边△ABC得到∠DBM=∠DCN=90°。在这两个直角三角形中，DM=DN、 DB=DC,由勾股定理得BM=DM-DB2=DN2-DC=CN,故BM=CN。 在△DBM和△DCN中， DB=DC ∠DBM=∠DCN=90 BM=CN △DBM≌△DCN(SAS)。 故∠BDM=∠CDN,两角之和为120°-60°=60°，所以∠MDB=30°。 由DB=DC及∠BDC=I20°，得∠DBC=∠DCB=30°。因为A,D在BC两侧， ∠DBM=∠DCN=30+60=90。 延长AC至E,使CE=BM,连接DE。则∠DCE=90°。 在△DBM和△DCE中， DB=DC ∠DBM=∠DCE=90 BM=CE △DBM≌△DCE(SAS)。 所以DM=DE,∠BDM=∠CDE。射线依次为DB,DM,DN,DC,DE,故 MDE=∠BDC-∠BDM+∠CDE=120°，从而∠NDE=60°。 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠MDN=∠EDN=60 DN=DN △MDN≌△EDN(SAS)。 所以MN=NE=NC+CE=CN+BM. 又DM=DN且∠MDN=60°，所以△DMN为等边三角形。由BM=CN、AB=AC,得 AM=AN,结合∠MAN=60°，△AMN也为等边三角形。因此AM=MN=BM+CN=2BM。 AB=AM+BM=3BM=6,得BM=2。 第17页共24页 5.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD,且 ∠EAF=2∠BAD,若∠BAD=90,BE1AB,DF⊥AD,AB=AD=6,BE=2,DF=3,求 SAAEF D 分析 目标是面积，不必求出AE,AF。第二次全等把面积搬到△AEG,底边与高都由已知直接得到。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 BE⊥AB,DF⊥AD,所以∠ABG=∠ADF=90°。 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG≌△ADF(SAS). 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF。G,E在直线AB两侧，故 ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠EAF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE △GAE≌△FAE(SAS)。 故EF=EG=EB+BG=BE+DF。 由△GAE≌△AE,两三角形的面积相等。因为E,B,G共线且AB⊥EG,AB=6是△AEG在底 EG上的高。所以SaAr=S6A=号(2+3x6=15。 2 第18页共24页 6.在等边△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O。点M,N分别在线段AC,AB 内部，AM<号AC,AN<号AB,且∠MON=60.若SAcU=8,Sam=3,求5aor。 分析 两组全等不仅转移线段，也转移面积。先把△OCM搬到△OAK，再利用同一直线上的分点作面 积相减。 解答 ∠OBC=∠OCB=30°，故OB=OC。连接AO。 在△ABO和△ACO中， AB=AC OB=OC AO=AO △ABO≌△ACO(SSS)。 所以∠OAC=∠OAB=30°。于是OA=OC,∠AOC=120°。 在AB上取K,使AK=CM。由CM>AB>AN,点序为A,N,K,B. 在△OAK和△OCM中， OA=OC ∠OAK=∠OCM=30 AK=CM △OAK≌△OCM(SAS). 故OK=OM,∠AOK=∠COM。射线OM在∠COA内部，因此 ∠MOK=∠MOA+∠AOK=∠MOA+∠COM=120°。由点序，ON在∠MOK内部，故 ∠N0K=120°-60=60°。 在△MON和△KON中， OM=OK ∠MON=∠KON=60 ON=ON △MON≌△KON(SAS). 所以MN=NK。 第一组全等给S&OAK=SA0CM=8,第二组全等给SAONK=SAOMN·由于N在AK内部， SAOAK=SA0AN+SAOK,故SAOMN=8-3=5。 第19页共24页 五综合提高 1.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。点D,E在BC上，点序为B,D,E,C,且∠DAE=45°。 若BC=12,求DE的最小值，并写出取到最小值时BD,CE的长度。 A G D E 分析 固定整边长度把三段联系起来；半角把其中一段的平方变成另外两段的平方和。平方非负给出 下界后，还必须反向验证等号点真的满足45°条件。 解答 在直线BC的A侧作BG⊥BC,使BG=CE,连接AG,DG。由等腰直角三角形的性质， ∠ABC=∠ACB=45,故∠ABG=45=∠ACE。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)。 所以AG=AE,∠BAG=∠CAE。射线AG在∠BAC外的AB一侧，因此 ∠DAG=∠DAB+∠BAG=90°-∠DAE=45°. 在△GAD和△EAD中， AG=AE ∠GAD=∠EAD=45 AD=AD △GAD≌△EAD(SAS)。 所以DG=DE。在Rt△DBG中，由勾股定理，DE=DG2=BD+BG=BD+CE2。 第20页共24页 设BD=x,CE=y,DE=z,则x,y,z>0,x+y+z=12,22=x2+y2。由(x-y}≥0，得 2+y2x+yR,因t7zx+y12-2,故z7品122-1. 等号成立当且仅当x=y。此时x=y=6(2-2)。这两个长度均为正，且2x<12,故在BC上按 BD=CE=x取点，确有点序B,D,E,C。所得DE=12-2x=12(V2-1),并满足 DE2=BD+CE2。 还须验证所取两点满足半角。仍在B处取BG=CE且BG⊥BC,其中G,A在BC同侧。 在△ABG和△ACE中， AB=AC ∠ABG=∠ACE=45 BG=CE △ABG≌△ACE(SAS)。 故AG=AE,∠BAG=∠CAE。由勾股定理，DG=BD+BG=DE2,所以DG=DE。 在△GAD和△EAD中， AG=AE DG=DE AD=AD △GAD≌△EAD(SSS)。 因∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，且∠GAD=∠DAE,得∠DAE=45°。所以 等号位置确实可取，最小值为12(V2-1)。 第21页共24页 2.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°。H为AB的中点，过A作直线！⊥AB。点D在线段HB内 部。将射线CD向射线CA的方向转过45°，所得射线与I交于E,连接DE。线段CE与AD交于P, 且P是CE的中点。若S△AED+S&ADC-SABCD=16,求SAABC· C 分析 中点不能直接当作中位线使用。先用两个直角三角形的AAS把CP=EP转成两侧高度相等，再 联立半角和式与勾股，最后化简面积差。 解答 连接CH。由等腰三角形三线合一，CH⊥AB,∠ACH=∠HCB=45°，且AH=BH=CH。 因为D在HB内部，45°<∠ACD<90°。所以CE在∠ACH内部，0<∠ACE=∠ACD-45°<45°。 射线CE与l交于A的另一侧，即E,C在AB两侧。过C作CF⊥CE,取位于∠ACB外的CB一侧的 射线，交射线AB于F。此时点序为A,H,D,B,F。 ∠CAE=∠CBF=I35°。由两组垂直与上述射线位置，∠ACE=∠BCF。 在△CAE和△CBF中， ∠CAE=∠CBF CA=CB ∠ACE=∠BCF △CAE≌△CBF(ASA)· 故CE=CF,AE=BF。因为CD在直角ECF内部，∠ECD=∠DCF=45°。 在△ECD和△FCD中， CE=CF ∠ECD=∠FCD=45 CD=CD △ECD≌△FCD(SAS)。 所以DE=DF=DB+BF=BD+AE。 第22页共24页 CH⊥AB,AE⊥AB。C,E分居AB两侧，P在CE内部；由于CE位于∠ACH内部，点序为 A,P,H,D,B。 在△CHP和△EAP中， ∠CHP=∠EAP=90 ∠CPH=∠EPA CP=EP △CHP≌△EAP(AAS)。 故AE=CH。设CH=AH=BH=h>0,AD=d,则BD=2h-d,DE=BD+AE=3h-d。由 △AED的勾股定理，(3h-dP=d+,整理得8N=6d,所以d=号h, 三个给定三角形相对于直线AB的高都为h,故16=dh+dh2h-d)h=号dh-=h。因此 2 Sa概=号x2h×h=f=16。 第23页共24页 3.在△ABD中，AB=AD。点E,F都在∠BAD内部，射线顺序为AB,AE,AF,AD。已知 ∠ABE+∠ADF=I80,且EF=BE+DF。求证：∠EAF=克∠BAD. F B G 分析 角还没有二分时，第二组全等不能使用SAS。先将题设的线段和搬成EG=EF,改用SSS,最 后才恢复半角。 解答 在射线EB上取点G,使B在E,G之间且BG=DF,连接AG。 因为∠ABE+∠ADF=180°，而∠ABG=180°-∠ABE,故∠ABG=∠ADF。 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG≌△ADF(SAS)。 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF。又EG=EB+BG=BE+DF=EF。 在△GAE和△FAE中， AG=AF EG=EF AE=AE △GAE≌△FAE(SSS)。 故∠GAE=∠EAF。由G,E在直线AB两侧， ∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF。因此2∠EAF=∠BAD,即 ∠EAF=1∠BAD。 2 第24页共24页