多想少算第40讲 解析几何 中点弦·点差法讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 弦的中点一旦给出，交点坐标就不必求。把 、 分别代入曲线方程，两式一减，平方差自动拆出 与 ；这两个和正好是中点坐标的两倍，斜率随之落地。

解析几何的常规动作是三件套：设直线、联立、韦达。中点弦是这三件套里最该停手的一类——题目把中点交给你，等于已经把 与 交给你，再去联立，只是把已知条件重新算一遍。

设 、 都在曲线 上。两式相减，得到的是“两点差”的方程；再用 、 与 代换，交点坐标就退场了，只剩中点与斜率。本讲只练一个动作： 两式相减 。它减掉的不是步骤，是“求交点”这件事本身。

02  识别

不是所有圆锥曲线题都值得放下联立。题面问弦长、面积、某个交点坐标时，点差法只走完前半程。出现下面三个信号，再停手。

信号一 · 题面直接给出“中点”。 “弦 的中点为 ”“ 平分弦 ”，这类话一出现，、 就是现成的。

信号二 · 曲线方程关于 、 各自二次。 椭圆、双曲线、抛物线都行，圆是特例（垂径定理）。写成 或 时，两式相减后每一项都能提出 或 ，正好凑出斜率。

信号三 · 要的是斜率、弦方程或与中点有关的定值。 这是点差法的主场。若还要弦长、面积，先拿它定斜率，再联立求 ，两步分工。

图 1: 中点一定，弦的斜率就被定住

动笔前的 30 秒 第 1 步 设 、，先不设直线。第 2 步 两条方程上下写，相减，不展开。 第 3 步 用 、 替换，把 记作 ，解出斜率。

第 4 步 写点斜式；曲线是双曲线或抛物线时，回代验一次 。