多想少算第06讲 导数与函数 双变量问题·主元转换讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 两个字母同时动，先按住一个，把它当常数；让另一个单独跑一遍。二维的问题，就塌成一维。

双变量题的难点常常不在求导，而在“先算谁”。题面里出现 与 ，很多人的第一反应是把两个字母塞进同一个式子，构造一个二元函数去求最值；也有人立刻分离参数，把 解到一边。两条路都走得通，但都要同时照顾两个字母，一步不慎就把“任意”和“存在”的次序弄反。

本讲换一个顺序： 先固定一个 。两个字母既然各自出现在各自的函数里，就先按住一个不动，把另一个的最值算出来；算完再交还给被按住的那个，再取一次最值。两次都是一维的，中间不需要二元函数。

命题人把两个字母分开放在 与 里，本身就是一个提示：数据的特点是“各管各的”。看懂这一点，就不必把两条路并成一条走。

02  识别

不是所有双变量题都值得这么拆。题面同时出现下面三个信号时，才把“固定”提到第一优先。

信号一 · 两个字母各管各的。 题干写成 、，两个字母没有被加、乘、复合在一起，也没有 这样的等式。它们只是各自在自己的区间里取值。

信号二 · 量词成对出现。 “对任意 ，存在 ”，或者“对任意 ”。量词决定了谁先动、谁可以临场换人。

信号三 · 参数只在一处落脚。 参数只出现在一个函数里，或者参数本身就是要求的东西。这时不必把参数解出来，固定变量就够了。

反过来，如果两个变量被一个等式绑住，例如 ，先别用这一招——第 05 节会看到一个把“固定”用错的反例。

图 1: 固定变量的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 圈量词：谁被“任意”修饰，谁被“存在”修饰。 第 2 步 按住“任意”的那个变量，把它当常数，题目里就只剩一个字母。 第 3 步 读另一侧：存在，就取最有利的一侧（不等号是“≥”取最大）；任意，就取最不利的一侧。 第 4 步 把结论交还给按住的变量，再取一次最值；最后核对取到最值的点是否还在区间内。

03  双解对照

下面这道题里，两个变量分居两个函数，中间没有等式。先看常规解怎样把 解出来，再看少算解怎样让两个变量永不见面。

例题 · 两个字母，一条不等式 已知函数 （），（），。若对任意 ，总存在 ，使 ，求 的取值范围。

先把题面里的免费信息读出来。 在 上先减后增： 是最小值， 是最大值。 是开口向下的抛物线，顶点 随 移动，这是全题唯一“活”的地方。两个变量之间唯一的联系是那条不等式，除此之外互不相干。

常规解 · 算：分离参数，二元最值 把 解到一边。注意 时左边为 0，小于 的最小值 2，所以满足条件的 必为正数，两边可以除以 ： 记 ，。题目的“存在 ”意味着 。求导： （因为 ），所以 φ 在 (0,1] 上递减，最小值在 处： 再对 取最大：这个式子在 上的最大值在两端取得，为 。所以 。 很多人走到这里会用均值不等式 ，再把 的最大值 代入，得到 。这是错的：取等要求 ，已经跑出区间。这条路的每一步都不难，难在“存在”对应内层最小、“任意”对应外层最大，还要回头核对取等点。

 停一下。下一页，两个字母不再见面。

少算解 · 想：两次一维最值 第一步，把“存在 ”读成一个最值。 固定住 ：只要有一个 满足 ，就等价于 第二步，把“任意 ”再读一次。 上面的不等式对每个 都成立，而右边最大不过 的最大值，所以只需 的最大值： 的零点是 ， 在 (0,1) 上减、在 (1,+∞) 上增，最大值落在两个端