多想少算第07讲 导数与函数 函数性质·对称与周期讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 周期不用算，是两条对称“夹”出来的。有了周期，整条曲线就缩成半个周期：把大下标折回来，另一半不是镜像，就是取负。

对称与周期的题，条件往往只有一两句话，却要算到 这样的下标。很多人的第一反应是画图：画一个周期，再一格一格往右平移，数到第 2025 个。图画得越多，端点、符号、组数越容易乱。

本讲换一个顺序： 先由对称定周期，再只看半个周期 。两条对称（轴、中心，或一轴一心）的距离 一量，周期就出来了；周期一到手，一个周期被对称元素切成两半，后一半由前一半翻折或取负得到。命题人给出对称，是让你少画一半：看懂这一点， 与 就是同一个数。

02  识别

不是所有函数题都要先找对称。题面同时出现下面三个信号时，才把“折半”提到第一优先。

信号一 · 给了两条对称，却不问周期。 题面出现“图象关于直线 对称”“关于点 对称”，或给出 、 这样的式子。它没提周期，周期却已经在里面。

信号二 · 自变量下标很大。 求 ，求 ，比较 与 。大下标是“折回去”的邀请：先减掉整数个周期，再谈数值。

信号三 · 半周期内单调。 题目给出“在 上单调递增（减）”，而 的长度恰好是半个周期。这时折进 ，大小关系立刻可见。只给一条对称、又没有周期，就只能翻折、不能平移。

图 1: 两条对称轴之间是半个周期，后一半是前一半的镜像

动笔前的 30 秒 第 1 步 数对称：是轴还是中心，两条之间距离 是多少。 第 2 步 套周期：两轴或两心，；一轴一心，。 第 3 步 折下标：大下标减整数个 ；需要时再减半个周期，并按对称取负或翻折。 第 4 步 落区间：确认折回去的数落在题目给的区间里；不在，就再用一次对称轴。

03  双解对照

下面这道题把“奇函数”和“对称轴”放在一起。奇偶管“翻”，轴也管“翻”；两次翻折合起来，就是半个周期取负。

例题 · 一条轴，一个奇函数 已知 是定义在 上的奇函数，图象关于直线 对称，且当 时 。求

先把题面里的免费信息读出来。 ，与奇函数的 对得上；。奇函数把 [0,1] 翻到 [−1,0]，对称轴 把 [0,1] 翻到 [1,2]。于是 [0,2] 这半个周期已经完全确定，剩下的只是平移与取负。

常规解 · 算：逐段求解析式 由奇函数，；由对称轴 ，。两式合起来： 所以 ，4 是周期。 接下来把另外三段解析式都写出来。 时 ： 时 ： 时 ，代上一段： 四段凑齐，再取一个周期的四个值：，，，，一个周期的和为 0。由 ，前 2024 项是 506 个整周期，剩下 。答案是 1。 这条路每一步都不难，代价在“写三段”：每段都要判断自变量落在哪一区间、代换后符号是正是负、端点归哪一段。

 停一下。下一页，三段解析式一段也不写。

少算解 · 想：半周期取负，两两抵消 第一步，只推一条关系。 奇函数加对称轴，一步就够： 这就是“半个周期取负”：自变量前进 2，函数值变号。周期自然是 。 第二步，把和式按半周期配对。 由 ，相隔 2 的两项相加为零： 从 1 到 2024 共 2024 项，恰好配成 1012 对，每对的和都是 0。所以 第三步，只算剩下的那一项。 ，而 4 是周期，所以 。相加得答案 1。