39讲 解析几何 弦长与面积·设而不求 讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 解析几何 第 39 讲 · 只写韦达 01 题眼 本讲只练一个动作 弦长、面积、向量条件，最后都只用到 与 。本讲只练：联立之后，只写韦达，不解点。 解析几何的大题，真正耗时的常常不是“联立”，而是“解点”：先把两个交点解出来，再一代入距离、面积、斜率。可题目问的往往是一个对称的量——它只跟两点的和有关，跟两点各自在哪里无关。 韦达定理把“两个点”压成“两个数”： 只要目标式能写成这两个数的组合，交点就不必落地。省掉的不是验算，而是“解根—回代—再化简”这一整段。 本讲只练一个动作： 联立之后，写韦达，不解点 。写不下去时，再回去解点也不迟；但多数弦长与面积题，根本走不到那一步。 02 识别 不是所有交点题都能绕开解点。目标式不对称，或者需要知道哪个点在哪一侧时，韦达给不出答案——这题还能不解点吗？出现下面三个信号，再走这条路。 信号一 · 目标式对称。 弦长、面积、中点、斜率之和、向量点积，展开后只含 与 ；就算出现 ，平方一次也回到和与积。 信号二 · 题目不问点的坐标。 问的是“弦长”“面积”“最值”“是否存在”，而不是“求点 的坐标”“判断 在第几象限”。 信号三 · 联立后的二次方程干净。 二次项系数不含待定参数，或只含一个参数；判别式能写成参数的一个二次式。若二次项系数可能为 0，先停，见第 05 节。 图 1: 不解点的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 设线：优先 ；直线可能竖直时，改设 ，或最后单独补竖直情形。 第 2 步 联立：消去 （或 ），整理成 ，先确认 。 第 3 步 写三件套：；；。 第 4 步 翻译：把目标式改写成和与积，只留 与 ；写不下去，说明这题不该只用韦达。 03 双解对照 两条路的分岔口不在“会不会联立”，而在联立之后：是去解根，还是去翻译目标。 例题 · 过定点的弦与三角形 已知点 ，椭圆 ， 为坐标原点。过点 的直线 与 交于 、 两点，当 的面积最大时，求 的方程。 先把题干里的“免费信息”读出来。 长半轴为 2、短半轴为 1； 在椭圆外，且与 同在 轴上。这条竖线，待会儿就是三角形的公共底。 常规解 · 算：解根，再算底乘高 第一步，设线。 竖直时，、 都在 轴上， 面积为 0，不会取到最大值，故设 第二步，联立。 整理得 判别式 ，即 。 第三步，算弦长与距离。 第四步，求最值。 令 ，用均值不等式。最费时的是第三步：根号要开，两个根要回代，底乘高里又出现一次根号。 图 2: 公共底 把面积变成横坐标之差 少算解 · 想：先找公共底，再写韦达 第一步，把面积翻译成横坐标之差。 与 都在 轴上，。弦 在过 的直线上，把 代入面积的行列式： 这就是“公共底”：两个三角形共用 ，它们的高一加一减，合起来正好是两点的横向距离。 第二步，只写韦达。 联立得到的仍是 ，但不必解根： 第三步，平方求和。 故 。 第四步，求最值。 令 ，则 ， 等号当且仅当 ，即 ，。所以 。 两条路的分水岭。 常规解把两个根写出来，再分别算 与 ，两个根号相乘才消掉；少算解从“ 是公共底”直接得到 ，根号从头到尾没有出现。省掉的动作很具体： 不解 ，不求 ，不求点到直线的距离 。 再想一步：公共底不是白来的。 是原点、 在 轴上， 才成为公共底。若把 换到 (1,−2)，这条竖线就断了，面积只能回到 ；那时韦达仍有用，但“不解点”的收益小了一半。能否少算，看的不是题难不难，而是题里有没有一条现成的公共底。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 联立，解出两个根 联立，只写韦达 关键难点 判别式开方，两个根回代 看出 是公共底 运算量 步骤数 四步（含开方与点到直线距离） 三步（无根号） 主要风险 根号运算出错； 的分子漏绝对值 面积与横坐标差的关系写反 04 迁移 同一个动作，换两种外壳：抛物线用焦点弦公式省掉弦长，椭圆用判别式卡住最值。 （一）抛物线：焦点弦把弦长写成和 迁移一 已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 （）的直线 与 交于 、 两点，若 ，求 的方程。 少算解 · 想：用定义，不解点 焦点为 ，设 。代入 ，只写和；再由定义把 、 相加： 得 。又 ，所以 ，。全程不解 、 的坐标，也不用弦长公式。 焦点弦上，，韦达只负责 。 图 3: 焦点弦：两条水平线段相加 （二）椭圆：最值卡在判别式上 迁移二 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，焦点在 轴上。斜率为 1 的直线 与 交于 、 两点，求 的最大值。 少算解 · 想：先定椭圆，再写和与积 由 、，得 ，，，即 。设 ，联立得 。先写条件，再写韦达： 于是 等号在 时成立，所以 。 韦达负责把目标写成参数的函数，判别式负责给出定义域。 时 过中心，最长弦就是直径。 05 边界 “只写韦达”有一个前提：联立后真的是二次方程，而且真的有两个实根。 反例 · 平行渐近线 双曲线 ，直线 。判断下面的推理是否正确：对任意实数 ， 与 都有两个交点，于是可以用韦达定理求弦长。 机械套用会得到错误答案 把 代入 ： 二次项恰好抵消，方程退化成一次： 时只有一个交点， 时无交点。若还硬写 ，等于在除以 0；所谓“弦”，根本不存在。 为什么恰好抵消？ 双曲线的渐近线是 ，而 的斜率正好等于渐近线的斜率，它与渐近线平行，穿过双曲线时最多只有一个交点。 正确的读法。 联立后先看二次项系数 ： 时先停， 时再算 ，确认 后才写和与积。目标式不对称时也要停——韦达给不出“哪个根对应哪个点”，必须解点或换参数。 一句话： 韦达的前提是“二次、两实根”；先看二次项系数，再看 ，最后才写和与积。 06 自测 三题，限时 18 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 已知抛物线 ，斜率为 的直线 与 交于 、 两点，与 轴交于点 。若 ，求 。 自测 2 已知椭圆 ， 为 的左顶点，斜率为正的直线交 于 、 两点，点 在 上，且 。当 时，求 的面积。 自测 3 已知椭圆 （）的离心率为 ，、 分别为 的左、右顶点。点 在 上，点 在直线 上，且 ，，求 的面积。 07 速查卡 表 2: 不解点·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 求弦长，直线不过焦点 和与积凑 ；竖直直线单独补 抛物线焦点弦 焦点与准线 开口方向决定 三角形面积，底在坐标轴上 公共底 两根同侧异侧都取差 一般三角形面积 弦长乘点到直线距离 先合并，再做最值 两个根号相乘易错 向量条件 坐标翻译 得到 一类关系 方向别反 斜率之和为定值 通分 分子用韦达 分母不为 0 双曲线、二次项系数含参数 先算二次项系数 为 0 时停，改看渐近线 与两支位置 本讲结论 弦长与面积题，联立之后先别解根。把目标式翻译成 与 ，写完韦达就收笔；但动笔前先确认：二次项系数不为 0，。 不解点四问 本讲关键词：韦达 · 公共底 · 焦点弦 · 判别式 · 渐近线 下一讲 · 两式相减 中点弦不必解点，也不必写韦达。把两个交点分别代入曲线方程，两式相减，斜率和中点坐标就一起露出来——点差法只做一次减法。 08 参考答案 以下解析对应第 06 节的三道自测。先对照“关键判断”，再检查用到的条件与补充验证。 自测 1　【答案】 。 【解析】 设 ，则 ，且 。代入 得 ，所以 由 得 ，与 联立得 ，；再由 得 。于是 。 【路径回看】 向量条件只用来定 与 的关系；弦长改在 方向算，斜率的倒数进根号。 自测 2　【答案】 。 【解析】 由 且 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，故 、 与 轴的夹角都是 。椭圆关于 轴对称，取 在 上，代入 得 ，两根为 （点 ）与 ，所以 【路径回看】 这题连韦达都不用：先看等腰直角，把 定在一条 线上，只解一个交点。 自测 3　【答案】 。 【解析】 由 得 ，即 ，，。设 。由 且 ， 是 旋转 得到的，所以 或 。又 在 上，故 ，。取 ，则 ，， ；其余三种情形由对称性同样得 。 【路径回看】 “垂直且等长”翻译成旋转 ： 的纵坐标被定成 ，不必求 的坐标；面积用向量叉积。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 向量条件译成 ， ， 2 等腰直角，夹角 ，，椭圆对称 另一交点 3 垂直且等长，旋转 ， 在椭圆上 四种情形面积相同 学科网（北京）股份有限公司 $