第34讲 外接球·补形 讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 外接球的难点在“球心看不见”。补形把它换成看得见的长方体：四个顶点都是长方体的顶点，球心就是长方体中心，直径就是一条体对角线。本讲只练： 先补成长方体，再量对角线 。

求外接球，常规入口是找球心：球心到四个顶点距离相等，于是设坐标、列方程、解方程。方程本身不难，难在球心通常不在图上；算完了，也说不清它落在哪。

补形走的是另一条路。如果三棱锥的四个顶点恰好是某个长方体的四个顶点，那么它们的外接球就是这个长方体的外接球。长方体有现成的中心，也有一条看得见的体对角线： 球心是中心，直径是对角线 。

本讲只练一个动作：先补成长方体。补得出来， 就是体对角线；补不出来，再回去找球心。

02  识别

不是所有三棱锥都能补成长方体。补形的门槛只有一条：题面里能找出三条两两垂直的棱。三条棱的摆放方式不同，长成三种样子。

信号一 · 三条棱共点。 同一个顶点出发的三条棱两两垂直，像房间的一个墙角。它们直接就是长方体的长、宽、高；另外三条棱自动成为三个面的对角线。

信号二 · 三条棱首尾相接。 例如 平面 ，且 ：、、 两两垂直，却没有公共端点。它们仍能当长方体的三条棱，只是沿一条折线排列。

信号三 · 三组对棱分别相等。 即 ，，。这时六条棱全是长方体的面对角线；设长方体棱长为 、、，三组对棱恰好给出三个平方和方程。

图 1: 补形的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 找直角：题面有没有三条两两垂直的棱？没有，就看对棱是否成对相等。 第 2 步 定三棱：共点时直接读长度；首尾相接时按顺序读；对棱相等时先设 、、。 第 3 步 解平方和：对棱相等时，三式相加除以 2，先得 。 第 4 步 量对角线：，再按题目要 、表面积 还是体积 。

03  双解对照

两条路的分岔口不在“会不会算”，而在“要不要把球心解出来”。先看题。

例题 · 三条侧棱相等的三棱锥 三棱锥 - 的四个顶点在球 的球面上，， 是边长为 2 的正三角形，、 分别是 、 的中点，，求球 的体积。

先把题干里的“免费信息”读出来。 三条侧棱相等，说明 在底面中心 的正上方；底面外接圆半径 ，只差高 。 是题里唯一“多余”的条件，它一定用来定 。

常规解 · 算：设球心，解半径 第一步，求侧棱。 设 。在 中， 是 的中点， 是中线，由中线长公式 又 ，，。由 ， 第二步，求高。 底面外接圆半径 ， 第三步，设球心。 球心 在高线 的延长线上（在底面另一侧）。设 ，则 ，且 第四步，解半径。 为正，说明球心确在底面另一侧。于是 ， 四步里最费时的是第三步：球心在底面的哪一侧，要先判断； 解出来，才敢写 。