第34讲 数列的综合应用与放缩 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第34讲 数列的综合应用与放缩 第34讲 数列的综合应用与放缩 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解"放缩"的基本思想，会用裂项、累加、等比求和等手段把不易求值的式子放大或缩小到可求和的范围； 2．掌握由递推式求精确通项后再放缩的套路，能处理 与分式型递推的放缩； 3．熟练掌握错位相减求和后的"有限项和小于极限值"放缩，以及双边界（上界 + 下界）的写法； 4．能应对数列新定义与数列—函数综合问题，会用差分、取倒数、构造法把新情境翻译为熟悉的通性通法。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 裂项放缩求和不等式 解答题 第15~17题 中 把 放缩成 再裂项 递推数列的放缩 填空题、解答题 第13~14题、第17~18题 中 先求精确通项 ，再令余项大于 得界 错位相减与放缩 解答题 第17~18题 中偏难 有限项和严格小于无穷和（极限值） 数列与不等式恒成立 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中 恒成立 参数与最值的大小关系 数列新定义综合 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 先按定义算前几项，再找规律或转化为差分 数列与函数综合 选择题、解答题 第8题、第17~18题 中偏难 取倒数 + 构造等比，研究单调有界 命题规律分析 本讲是第六章的加餐综合专题，聚焦"数列与不等式放缩"以及"数列新定义、数列与函数的综合"，这是 90~120 分学生在第 15~18 题解答题中真正拉开差距的地方。从试卷位置看，放缩证明多落在解答题第 17~18 题的后续小问，数列新定义与函数综合则常以选择题、填空题形式出现在第 6~8 题、第 13~14 题位置。本讲按"裂项放缩—递推放缩—错位相减放缩—恒成立求参—新定义—函数综合"六步推进，重点突破三处：把难求和的式子放缩成能裂项相消的式子、先求精确通项再放缩（有限项和必小于无穷和）、恒成立问题转化为参数与某式最值的大小关系。所有放缩题都必须配套"先求精确式、再放缩"的双保险思路，这样即使放缩方向一时拿不准，也能用精确式兜底拿到大部分分数。 考点1 放缩证明的常用方向 知识点1 裂项放缩（放大成可裂项的形式） 若 不易求和，可放缩为易裂项的形式：当 时 ，从而 。 放缩方向口诀：分母变小、分数变大（用于证上界）；若证下界则让分母变大。放缩后必须能"裂项相消"，否则没有意义。 【易错清单】 1． 是"缩小"而非"放大"，方向写反会得到错误上界； 2． 时 无意义，首项 不能参与放缩，必须单独保留； 3．裂项后只剩首尾，别把中间项又加回来。 知识点2 先求精确和再放缩 对 ，用累加法得精确式 ；若 是等比型，则有限项和严格小于其无穷和，立即得上界。 例如 ；又如 。 【易错清单】 1．求和时项数易错：从 到 共 项，不是 项； 2．得到 后不检验 ，易把常数写错； 3．放缩写成 （等号实际取不到），虽不致命但不够精确。 考点2 新定义、函数与恒成立 知识点3 取倒数与构造（分式递推） 对 （），两边取倒数得 ，化为关于 的一阶线性递推，再用不动点或待定系数构造等比。 例： 取倒数得 ，令 得 ，构造 为等比数列。 【易错清单】 1．取倒数时 ，易漏掉系数 写成 ； 2．构造对象应是 而非 （后者不是等比）； 3． 本身不是等差也不是等比，必须先再构造一步。 知识点4 差分与新定义、恒成立求参 一阶差分 ，二阶差分 ；有 （望远镜求和）。 数列恒成立（递增）问题：由 对一切 成立，转化为"参数 （或 ）某式的最小值（或最大值）"。 【易错清单】 1．，不是 ； 2．恒成立求参时，最值常在第 项（或趋于无穷）取得，别只看极限； 3．递增与 的关系：非严格递增允许等号，方向别写反。 【题型1 裂项放缩求和不等式】 【例1】设 （）。 (1) 当 时，比较 与 的大小； (2) 证明 。 【变式1-1】设 ，则 ____________。 【变式1-2】记 （），则 ____________。 【变式1-3】设 ，则下列结论正确的是（　　） A． 对任意 成立　B．存在 使 　C．　D． 随 增大而减小 【题型2 递推数列的放缩】 【例2】已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 证明 。 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A． 恒成立　B． 单调递减　C．　D． 【题型3 错位相减求和与放缩】 【例3】求数列 的前 项和 ，并证明 。 【变式3-1】记 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 单调递减 【变式3-2】记 ，则 ____________。 【变式3-3】记 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 数列与不等式恒成立（求参）】 【例4】已知数列 的通项公式为 （）。 若 为递增数列，求实数 的取值范围。 【变式4-1】已知数列 的通项公式为 。若 递增，则 的取值范围是 ____________。 【变式4-2】已知数列 的通项公式为 。若 为递增数列，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知数列 的通项公式为 。若 为递增数列，则 的取值范围是 ____________。 【题型5 数列新定义综合（差分与运算）】 【例5】定义：对数列 ，令 ，。 称 恒成立的数列为"凸数列"。 已知 。 (1) 求 与 ； (2) 判断 是否为凸数列，并求 。 【变式5-1】对数列 ，其一阶差分 ____________。 【变式5-2】对数列 ，则二阶差分 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】定义 （）。若 ，则 ____________。 【题型6 数列与函数综合（取倒数与单调有界）】 【例6】已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式6-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式6-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）设 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）当 时，由 可推得 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则 与 的大小关系为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）设 ，则（　　） A． 恒成立　B．　C．　D． 随 增大而减小 5．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知数列 满足 ，（）。则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知数列 满足 ，。记 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知数列 满足 ，（， 为实数）。若数列 有上界，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）记 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．对任意 ，都有 　C．　D．存在 使 10．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．前 项和 　C．　D． 11．（★★★）已知数列 满足 ，（），其前 项和为 。则下列说法正确的是（　　） A．　B．数列 是公比为 的等比数列　C．　D． 12．（★★★）已知数列 满足 ，记其前 项和为 。则下列说法正确的是（　　） A．　B．（）　C．（）　D．（） 三、填空题 13．（★★）设 ，则 ____________。 14．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则 ____________。 15．（★★★）已知数列 的通项公式为 （），其前 项和为 ，则 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明 。 18．（★★）已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明 。 19．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ，并证明 。 20．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 求 ，并判断数列 的单调性。 21．（★★★）已知数列 的通项公式为 （），其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明：。 22．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列，并求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ； (3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 求数列 的前 项和 ； (3) 证明：。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第34讲 数列的综合应用与放缩 第34讲 数列的综合应用与放缩 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解"放缩"的基本思想，会用裂项、累加、等比求和等手段把不易求值的式子放大或缩小到可求和的范围； 2．掌握由递推式求精确通项后再放缩的套路，能处理 与分式型递推的放缩； 3．熟练掌握错位相减求和后的"有限项和小于极限值"放缩，以及双边界（上界 + 下界）的写法； 4．能应对数列新定义与数列—函数综合问题，会用差分、取倒数、构造法把新情境翻译为熟悉的通性通法。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 裂项放缩求和不等式 解答题 第15~17题 中 把 放缩成 再裂项 递推数列的放缩 填空题、解答题 第13~14题、第17~18题 中 先求精确通项 ，再令余项大于 得界 错位相减与放缩 解答题 第17~18题 中偏难 有限项和严格小于无穷和（极限值） 数列与不等式恒成立 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中 恒成立 参数与最值的大小关系 数列新定义综合 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 先按定义算前几项，再找规律或转化为差分 数列与函数综合 选择题、解答题 第8题、第17~18题 中偏难 取倒数 + 构造等比，研究单调有界 命题规律分析 本讲是第六章的加餐综合专题，聚焦"数列与不等式放缩"以及"数列新定义、数列与函数的综合"，这是 90~120 分学生在第 15~18 题解答题中真正拉开差距的地方。从试卷位置看，放缩证明多落在解答题第 17~18 题的后续小问，数列新定义与函数综合则常以选择题、填空题形式出现在第 6~8 题、第 13~14 题位置。本讲按"裂项放缩—递推放缩—错位相减放缩—恒成立求参—新定义—函数综合"六步推进，重点突破三处：把难求和的式子放缩成能裂项相消的式子、先求精确通项再放缩（有限项和必小于无穷和）、恒成立问题转化为参数与某式最值的大小关系。所有放缩题都必须配套"先求精确式、再放缩"的双保险思路，这样即使放缩方向一时拿不准，也能用精确式兜底拿到大部分分数。 考点1 放缩证明的常用方向 知识点1 裂项放缩（放大成可裂项的形式） 若 不易求和，可放缩为易裂项的形式：当 时 ，从而 。 放缩方向口诀：分母变小、分数变大（用于证上界）；若证下界则让分母变大。放缩后必须能"裂项相消"，否则没有意义。 【易错清单】 1． 是"缩小"而非"放大"，方向写反会得到错误上界； 2． 时 无意义，首项 不能参与放缩，必须单独保留； 3．裂项后只剩首尾，别把中间项又加回来。 知识点2 先求精确和再放缩 对 ，用累加法得精确式 ；若 是等比型，则有限项和严格小于其无穷和，立即得上界。 例如 ；又如 。 【易错清单】 1．求和时项数易错：从 到 共 项，不是 项； 2．得到 后不检验 ，易把常数写错； 3．放缩写成 （等号实际取不到），虽不致命但不够精确。 考点2 新定义、函数与恒成立 知识点3 取倒数与构造（分式递推） 对 （），两边取倒数得 ，化为关于 的一阶线性递推，再用不动点或待定系数构造等比。 例： 取倒数得 ，令 得 ，构造 为等比数列。 【易错清单】 1．取倒数时 ，易漏掉系数 写成 ； 2．构造对象应是 而非 （后者不是等比）； 3． 本身不是等差也不是等比，必须先再构造一步。 知识点4 差分与新定义、恒成立求参 一阶差分 ，二阶差分 ；有 （望远镜求和）。 数列恒成立（递增）问题：由 对一切 成立，转化为"参数 （或 ）某式的最小值（或最大值）"。 【易错清单】 1．，不是 ； 2．恒成立求参时，最值常在第 项（或趋于无穷）取得，别只看极限； 3．递增与 的关系：非严格递增允许等号，方向别写反。 【题型1 裂项放缩求和不等式】 【例1】设 （）。 (1) 当 时，比较 与 的大小； (2) 证明 。 【答案】(1) ；(2) 证明见解析。 【解题思路】把 放大成 再裂项相消。 【解答过程】(1) 当 时，，故 。 (2) 。 【多解·巧解】放缩的核心是"把难求和的式子放大成能裂项相消的式子"： 本身无法裂项，但 可以，且方向是"放大"（分母变小、分数变大），正好用来证上界。判断放缩方向有一句口诀：想证上界就放大（分母变小），想证下界就缩小（分母变大）。另外首项 必须单独留着， 时 无意义，绝不能一起放缩。 【易错提醒】① 把放缩方向写反，写成 （这是缩小，会越放越小，得不到上界）；② 裂项后把 算成 （应为 ）；③ 忘记保留首项 ，直接对全部项放缩导致结论失真。 【变式1-1】设 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】标准裂项：。 【解答过程】。 【变式1-2】记 （），则 ____________。 【答案】 【解题思路】用 裂项。 【解答过程】。 。 【变式1-3】设 ，则下列结论正确的是（　　） A． 对任意 成立　B．存在 使 　C．　D． 随 增大而减小 【答案】A 【解题思路】等比数列求和得 ，且递增。 【解答过程】。 每一项都为正，故 递增，且恒有 。故选A。 【题型2 递推数列的放缩】 【例2】已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 证明 。 【答案】(1) ；(2) 证明见解析。 【解题思路】累加法求精确通项，再由余项为正得上界。 【解答过程】(1) 当 时， 。 时 ，符合，故 。 (2) 由 (1) 知 。 【多解·巧解】本题最稳的路线是先求精确通项再放缩： 是公比为 的无穷等比数列，其无穷和为 ，所以任意有限项和必小于 ，从而 有限和 。这条"有限项和 无穷和"的思路在所有等比型递推放缩中通用，比直接猜上界可靠得多。 【易错提醒】① 求和时把 算成 （应为 ）；② 写出 后不代 检验（此时得 ）；③ 放缩写成 ，但等号永远取不到，不够精确。 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】累加法，等比求和后整理得精确式。 【解答过程】。 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】裂项累加。 【解答过程】。 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A． 恒成立　B． 单调递减　C．　D． 【答案】A 【解题思路】构造 为等比数列。 【解答过程】由 得 。 又 ，故 ，即 。 且 ，数列递增。故选A。 【题型3 错位相减求和与放缩】 【例3】求数列 的前 项和 ，并证明 。 【答案】，证明见解析。 【解题思路】错位相减求精确式，再由余项为正得 。 【解答过程】，① ，② ① ② 得 。 故 。 因为 ，所以 。 【多解·巧解】错位相减得到精确式后，放缩变得 trivial——只要余项 ，和就严格小于极限值 。记住结论：无穷级数 ，有限和必小于 。公比小于 时，用 ① ② 直接得到正系数 ，比公比为 时的负系数友好得多。有限项和严格小于其极限值，是错位相减放缩的万能落脚点。 【易错提醒】① 相减方向搞反，写成 之类导致符号混乱；② 余项漏掉 ，写成 （应为 ）；③ 放缩写成 ，其实等号取不到。 【变式3-1】记 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 单调递减 【答案】A 【解题思路】与例3同理，，有限和必小于它。 【解答过程】由错位相减可得 ，且各项为正故递增。故选A。 【变式3-2】记 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】等比数列求和：。 【解答过程】。 【变式3-3】记 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】拆成 再放缩。 【解答过程】。故选A。 【题型4 数列与不等式恒成立（求参）】 【例4】已知数列 的通项公式为 （）。 若 为递增数列，求实数 的取值范围。 【答案】 【解题思路】递增 对一切 成立，转化为最值问题。 【解答过程】。 递增需 对一切 成立， 即 恒成立。 在 时取最小值 ，故 。 【多解·巧解】恒成立问题的统一套路：把不等式整理成"参数 某式"或"参数 某式"，再求右边式子的（最小 / 最大）值。本题右边是 ，它随 增大而增大，所以最小值在 取得，参数只需不超过这个最小值即可。"恒成立"等价于"参数不超过最小值（或不小于最大值）"，方向千万别反。 【易错提醒】① 把方向写反，得到 （应为 ）；② 求 最小值时误取 得 而漏掉 ；③ 把 算成 （符号写反）。 【变式4-1】已知数列 的通项公式为 。若 递增，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】由 恒成立求 的上界。 【解答过程】， 即 对一切 成立。 的最小值是 （当 ），故 。 【变式4-2】已知数列 的通项公式为 。若 为递增数列，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 恒成立求 上界。 【解答过程】， 即 恒成立。 最小值为 （），故 。故选A。 【变式4-3】已知数列 的通项公式为 。若 为递增数列，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】由 恒成立求 的下界。 【解答过程】， 即 恒成立。 的最大值为 （），故 。 【题型5 数列新定义综合（差分与运算）】 【例5】定义：对数列 ，令 ，。 称 恒成立的数列为"凸数列"。 已知 。 (1) 求 与 ； (2) 判断 是否为凸数列，并求 。 【答案】(1) ，；(2) 是凸数列，和为 。 【解题思路】先算一阶差分再算二阶差分；差分求和具有望远镜性质。 【解答过程】(1) 。 。 (2) 因为 恒成立，故 是凸数列。 。 【多解·巧解】差分求和具有与"裂项"完全相同的望远镜性质：，中间项全部抵消，只剩首尾。二阶差分 对应原数列"下凸"（相邻差分递增）。遇到新定义的差分、比值运算，第一步永远是按定义写出前几项、算出通式，再套用熟悉的求和工具，新瓶装旧酒而已。 【易错提醒】① 把 写成 （应为 ）；② 把 算成 （应为差）；③ 判断凸数列时只看 一项就下结论，未说明"恒成立"。 【变式5-1】对数列 ，其一阶差分 ____________。 【答案】 【解题思路】。 【解答过程】。 【变式5-2】对数列 ，则二阶差分 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求一阶差分，再求二阶差分。 【解答过程】。 。故选A。 【变式5-3】定义 （）。若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】指数相减。 【解答过程】。 【题型6 数列与函数综合（取倒数与单调有界）】 【例6】已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】取倒数化为关于 的递推，注意初始值恰为不动点。 【解答过程】由 取倒数得 。 令 ，则 ，即 。 又 ，故 ，即 ，从而 对所有 成立。 所以 。故选A。 【多解·巧解】形如 的分式递推，统一用取倒数处理：，化为一阶线性递推后再构造等比。本题的巧思在于初始值 恰好是递推的不动点（满足 ），因此 首项为 ，整列恒为 。先算前两项确认规律，往往比硬推更快：本题 ，立即可知后面全是 。 【易错提醒】① 取倒数展开时把 错算成 （应为 ）；② 误以为公比是 （实际是 ）；③ 算得 后仍继续错算 而不察觉常数列规律。 【变式6-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】取倒数得 为等差数列。 【解答过程】取倒数得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列，，即 。 【变式6-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】取倒数得 为等差数列。 【解答过程】取倒数得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列，，即 。 【变式6-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】取倒数得 为等差数列。 【解答过程】取倒数得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列，，即 。 所以 。故选A。 一、单选题 1．（★★）设 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】标准裂项相消。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）当 时，由 可推得 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】放大后裂项相消。 【解答过程】。故选A。 3．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则 与 的大小关系为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】。 【解答过程】。故选A。 4．（★★）设 ，则（　　） A． 恒成立　B．　C．　D． 随 增大而减小 【答案】A 【解题思路】等比求和得 。 【解答过程】，且各项为正故递增。故选A。 5．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接代入 。 【解答过程】。故选A。 6．（★★★）已知数列 满足 ，（）。则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】累加法求出精确通项 ，再由 的范围确定取值区间。 【解答过程】当 时，； 时 ，故 。因为 且随 增大而减小、趋近于 （但取不到 ），所以 ，即 的取值范围是 。故选A。 7．（★★★）已知数列 满足 ，。记 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，裂项相消后判断范围。 【解答过程】由 得 ，即 。于是 。因为 且 ，所以 且随 增大而减小趋近于 ，故 ；又 时 ，故 。所以 的取值范围是 。故选A。 8．（★★★）已知数列 满足 ，（， 为实数）。若数列 有上界，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用不动点构造等比求出通项，把"有上界"翻译为"指数项系数非正"，再对系数分类判断。 【解答过程】由 得 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。于是 ，即 。① 当 时， 随 增大而趋向 ， 无上界；② 当 即 时，，为常数列，有上界；③ 当 即 时， 随 增大而趋向 ， 有上界。综上，实数 的取值范围是 。故选A。 二、多选题 9．（★★）记 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．对任意 ，都有 　C．　D．存在 使 【答案】ABC 【解题思路】错位相减求精确式后逐项判断。 【解答过程】由错位相减得 ，A 正确； 因 ，故 ，B 正确； ，C 正确； 恒小于 ，不存在等于 的项，D 错误。 故选ABC。 10．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．前 项和 　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项比较与裂项求和判断。 【解答过程】A 中 ，故 ，正确； B 中 ，正确； C 中 ，正确； D 与 A 矛盾，错误。 故选ABC。 11．（★★★）已知数列 满足 ，（），其前 项和为 。则下列说法正确的是（　　） A．　B．数列 是公比为 的等比数列　C．　D． 【答案】ABD 【解题思路】先用不动点构造等比求通项，再逐项核对：A 验通项、B 验构造对象、C 用具体项排除、D 用分组求和验证。 【解答过程】由 得 ，又 ，故 ，即 ，A 正确；且 是首项为 、公比为 的等比数列，B 正确；取 ，，而 ，两者不等，C 错误；，D 正确。故选ABD。 12．（★★★）已知数列 满足 ，记其前 项和为 。则下列说法正确的是（　　） A．　B．（）　C．（）　D．（） 【答案】ABD 【解题思路】写前几项观察规律，用"相邻两项配对"求偶数项和，再由 推奇数项和，逐项核对。 【解答过程】由 得 ，，A 正确。相邻两项配对：，故 ，B 正确；再由 ，知 D 正确、C 错误（ 应为 而非 ）。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）设 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】标准裂项相消。 【解答过程】。 14．（★★）已知数列 的通项公式为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接代入 。 【解答过程】。 15．（★★★）已知数列 的通项公式为 （），其前 项和为 ，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】把分母分解为 后裂项相消，再由单调性定出最小值、由极限值定出上界。 【解答过程】因为 ，故 。于是 。因为 随 增大而减小且恒大于 ，所以 单调递增，最小值 ，上界为 但取不到，故 的取值范围是 。 16．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 ____________。 【答案】 【解题思路】递推式两端同乘 ，令 ，把递推化为等差数列。 【解答过程】在 两端同乘 ，得 。令 ，则 ，即 是首项 、公差为 的等差数列。故 ，从而 。 四、解答题 17．（★★）已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明 。 【答案】(1) ；(2) 证明见解析。 【解题思路】(1) 裂项相消；(2) 由 得证。 【解答过程】(1) ， 。 (2) 由 (1) 知 ，因为 ，故 。 【多解·巧解】本题是放缩的"入门款"：先求精确和 ，上界 立刻由 读出。凡是"求和 + 不等式"题，先求精确和再放缩永远比直接猜上界稳——精确和到手，上界、下界、单调性一目了然。 【易错提醒】(2) 中放着写成 （等号取不到，应为严格小于）；或把 误写成 。检验：，公式给出 ，一致。 18．（★★）已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明 。 【答案】(1) ；(2) 证明见解析。 【解题思路】(1) 等比求和；(2) 由 得证。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，故 。 【多解·巧解】等比数列放缩的万能结论：有限项和严格小于无穷和。本题无穷和为 ，所以任意有限项 。记牢 与 这两个极限值，放缩题能直接套用。 【易错提醒】(2) 中写成 （等号取不到）；或把求和公式分母写成 导致符号出错。检验：，公式给出 ，一致。 19．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ，并证明 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) 。 【解题思路】(1) 构造等比；(2) 求通项后由余项为正放缩。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 因为 ，所以 。 【多解·巧解】构造法的标准动作：把递推式写成 ，比较系数得 。本题 即由不动点 解得。求完精确式后，上界 由"常数减去一个正数"直接看出，这就是"先求精确式再放缩"的又一次体现。 【易错提醒】① (1) 中漏写 （等比要求各项非零）；② 把构造对象写成 （符号错）；③ (2) 中写出 后不检验 （应为 次方）。检验：，一致。 20．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 求 ，并判断数列 的单调性。 【答案】(1) 证明见解答； (2) ， 单调递增。 【解题思路】(1) 把递推式写成 ，用不动点 定构造对象；(2) 求通项后作差判断单调性。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 因为 ，所以 单调递增。 【多解·巧解】不动点方程为 ，解得 ，因此构造的是 。先解不动点、再定构造常数，是所有一阶线性递推的通用入口。求出通项后判断单调性，直接作差 即可，因为指数项 恒为正，结论一步到位。 【易错提醒】① (1) 中漏写 （等比数列要求各项非零）；② 不动点算错（解成 ），把构造对象写成 ；③ (2) 中把 漏掉系数写成 。检验：，，与递推式 一致。 21．（★★★）已知数列 的通项公式为 （），其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明：。 【答案】(1) ； (2) 证明见解答。 【解题思路】(1) 用 裂项，注意隔项相消；(2) 单调性给下界、余项为正给上界。 【解答过程】(1) 因为 ， 故 ， 相消后余下 。 (2) 由 (1)，因为 ，故 ； 又 ，故 单调递增，。 综上 。 【多解·巧解】分母为 时裂项是隔项相消，相消后两端各留下 项：本题 ，前端留 与 ，后端留 与 。记住留下几项就等于间隔数，可有效防止漏项。(2) 要同时证上下界时，单调性给下界、余项为正给上界，是最省力的组合。 【易错提醒】① 忘记裂项系数 ，把 写成 ；② 相消时前端只留 、漏掉 （间隔为 应留两项）；③ (2) 中下界写成严格大于 （ 时取等，应为 ）。检验：，公式给出 ，一致。 22．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 两端同除以 ，把含指数的递推化为等差数列；(2) 由 是等差数列直接求和。 【解答过程】(1) 在 两端同除以 ，得 。 令 ，则 ，即 是首项 、公差为 的等差数列。 故 ，从而 。 (2) 由 (1) 知 ，故 。 【多解·巧解】递推式 的标准处理是两端同除以 ：，化为常系数递推。本题 、，系数变为 ，直接得到等差数列。同除幂次是消去指数项的关键一步。 【易错提醒】① 同除时除成 ，下标不整齐，递推式变形出错；② (1) 中求出 后忘记乘回 ，直接把 写成 ；③ (2) 中漏掉等差数列 的首项 ，得到错误的 。检验：， 与递推式 一致；，公式给出 ，一致。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列，并求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ； (3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值。 【答案】(1) 证明见解答，； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用不动点 构造等比；(2) 是等比数列直接求和；(3) 先求 的上确界，再由恒成立定 。 【解答过程】(1) 由 得 ，又 ， 故 是首项为 、公比为 的等比数列，，即 。 (2) ， 故 。 (3) 由 (2)，，且随 增大而增大、无限趋近于 。 要使 对一切 恒成立，需 ，即 ， 故正整数 的最小值为 。 【多解·巧解】(3) 是恒成立求参数的典型结构：阈值必须不低于左端的上确界。 恒小于 且无限接近，故 时仍成立，对应 ，取正整数得 。若把恒成立误当作存在某个 使成立，就会只代 ，得到错误的临界值。 【易错提醒】① (1) 中不动点解错（把 解成 ），构造对象随之出错；② (2) 中漏掉首项系数 ，把 写成 ；③ (3) 中只代 得 便取 ，错误。检验：，公式给出 ，一致； 时 ，不满足恒成立。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 求数列 的前 项和 ； (3) 证明：。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 证明见解答。 【解题思路】(1) 两端同乘 化为等差数列求通项；(2) 拆成 与 两组分别求和；(3) 由精确式直接放缩。 【解答过程】(1) 在 两端同乘 ，得 。 令 ，则 ，即 是首项 、公差为 的等差数列， 故 ，从而 。 (2) ，故 。 由错位相减 ，再由等比求和 ， 故 。 (3) 由 (2)，因为 ，所以 。 【多解·巧解】(2) 中的通项 是等差系数乘等比的变体，拆成 与 两组分别求和，比再算一遍错位相减更快：前者是记牢的结论 ，后者是等比和 。(3) 的放缩落在常数减去正余项上——，有限项和必严格小于 。 【易错提醒】① (1) 中同乘 后把右端写成 （漏算 ）；② (2) 中把 的末项写成 ，求和出错；③ (3) 中写成 （等号取不到，应为严格小于）。检验：， 与递推式 一致；，公式给出 ，一致。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $