第37讲 直线与圆·圆心距 讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 解析几何 第 37 讲 · 先看圆心距 01 题眼 本讲只练一个动作 直线与圆，先量圆心到直线的距离 ，再和半径 比： 比完这三个量，多数题在直角三角形里就结束了；联立是最后手段。 解析几何的第一反应常是“联立”。可是直线与圆放在一起，真正起作用的只有三个量：圆心、半径、圆心到直线的距离。联立得到的二次方程，判别式与韦达定理绕一圈，最后仍然要回到这三个量。 既然终点相同，不如从终点出发。题面一给弦长，先问“半弦、圆心距、半径能不能围成直角三角形”；一给切线，先问“圆心距和半径谁大”；一给两个圆，先问“圆心距落在半径和与半径差之间的哪一段”。本讲只练这一个动作：先算 ，再决定联不联立。 02 识别 不是所有直线与圆的题都值得先算 。题面出现下面三个信号之一，才把它提到第一优先。 信号一 · 只问弦长，不问交点。 题面写“相交于 、 两点”“截得的弦长”“”，却不要求交点坐标。这时 、 只是两个端点，半弦 才是真正要用的量。 信号二 · 出现切线或公切线。 “相切”“切线长”“两条切线的夹角”“与两圆都相切”，都只跟圆心距有关：相切看 ，切线长看 ，两圆公切线看 与 、 的大小。 信号三 · 问圆上一点的距离最值。 “圆上一点到直线的距离的最大值、最小值”，先算圆心到直线的距离 ，再看直线有没有穿过圆： 时最值是 与 ； 时最小值是 0，不是 。 反过来，题目若要交点坐标、弦中点的轨迹，或含斜率的定点问题，还是要联立。圆心距负责“位置与长度”，不负责“点的坐标”。 动笔前的 30 秒 第 1 步 把圆的方程配成标准式，写出圆心与半径。 第 2 步 量 ：一条直线就用点到直线距离公式，两个圆就用两点间距离。 第 3 步 比大小： 与 ，或 与 、。位置关系在这一步就定了。 第 4 步 只在直角三角形里算：半弦、切线长、最值。没有要求坐标，就不写二次方程。 图 1: 三个入口，量的都是同一个圆心距 03 双解对照 下面这道题给了一条含参数的直线、一个含参数的圆和一条弦长。先看常规解怎样联立、写韦达、套弦长公式，再看少算解怎样只算一个 。 例题 · 弦长反求半径 已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 ，求圆 的面积。 先把题面里的免费信息读出来。 圆配方得 ，圆心为 ，半径的平方为 。直线 与圆心同步上下平移，所以圆心到它的距离只与 有关。弦长给出的是半弦 ，它与 、 恰好围成一个直角三角形： 参数 在 里会被平方吃掉，这正是本题可以少算的地方。 图 2: 半弦、圆心距、半径构成直角三角形 常规解 · 算：联立、韦达、弦长公式 把 代入圆的方程： 设 、，则 由 得 ，所以 ，，面积为 。 这条路每一步都常规，但参数 一路跟着走：代入、整理、判别式、韦达、弦长公式，五步都不能省。最容易错的是最后一步——漏掉 ，或者把 直接当成 。 少算解 · 想：只算一个勾股关系 第一步，读出圆心与半径。 配方得 ，所以圆心为 ，。 第二步，量圆心距。 直线写成 ，则 第三步，用半弦补成直角三角形。 半弦长为 ，于是 代入 ，得 ，即 ，。 第四步，回到所求。 ，所以圆 的面积为 。 两条路的分水岭，不在“有没有解出 ”，而在“让不让 、 出场”。常规解必须写出 、 与 ，再套一次弦长公式；少算解从头到尾没有设交点，只用了“半弦、、 成直角三角形”这一条勾股关系。参数 在 里直接抵消，连判别式都不必写。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 直线代入圆，整理成 配方读出圆心 、 关键难点 判别式、韦达、弦长公式三步串联 只算 ，参数自动抵消 运算量 步骤数 五步 四步 主要风险 漏 ；把 当 点到直线距离的分子符号；忘记 的前提 省下的不是时间，是出错的机会 常规解多出三件事：联立、写判别式、套弦长公式。少算解只多写一行点到直线距离。省掉的是整条“交点流水线”，留下的是一个勾股关系。 04 迁移 同一个 ，换两个方向：从“两条切线切一个圆”，换到“一条直线切两个圆”。 （一）两条切线的夹角 迁移一 过点 作圆 的两条切线，两条切线的夹角为 ，求 。 少算解 · 想：先量圆心距，再进直角三角形 配方得 ，圆心 ，。点 到圆心的距离 ，所以点 在圆外，两条切线存在。设切点为 ，则 ，切线长为 平分两条切线的夹角，在直角三角形 中 ，于是 夹角不是“解两条切线方程再求斜率”，而是“半径除以圆心距”。求出 与切线长之后，整个问题只剩一个直角三角形。 （二）一条直线切两个圆 迁移二 写出与圆 和圆 都相切的一条直线的方程。 少算解 · 想：先比圆心距与半径和 两圆圆心分别为 、，半径 、。圆心距 所以两圆外切，切点 在连心线上，且 ，即 。 公切线垂直于连心线。连心线的斜率为 ，故公切线斜率为 ： 代回验算：原点到它的距离为 ，点 (3,4) 到它的距离为 ，正好等于两个半径。 （外切圆共有三条公切线，另外两条是 与 ；题目只要求写出一条，取过切点的那条最短。） 常规做法是设 ，让两条“圆心到直线距离等于半径”同时成立，还要单独讨论斜率不存在。少算解先算 ： 立刻说明两圆外切，公切线就在切点处，方向也随之确定——连一条含 的方程都不必设。 05 边界 圆心距 量的是“圆心到直线”的距离，不是“圆上点到直线”的距离。把它直接当成最值，会漏掉直线穿过圆的情形。 反例 · 圆上的点到直线 已知圆 ，点 在圆上，求点 到直线 的距离的最小值与最大值。 机械套用会得到错误答案 圆心 到 的距离为 若照搬“最小值 、最大值 ”，会得到最小值 （取绝对值即 ）、最大值 。但 说明直线与圆相交，圆上有两个点正好落在 上，所以最小距离应为 0。 只是直线 到与它平行的那条切线之间的距离（即 ），并不是圆上点到 的距离。 正确的读法。 先比 与 ，再选最值公式： 本题 ，所以最小值为 0，最大值为 。最值不需要交点坐标；真要写交点，也只是从垂足沿直线方向各走 ，仍然不必联立。 还有一道保险。 两圆相切有两种： 是外切， 是内切。只比较前者，会把内切误判成相交。例如圆 与圆 ，圆心距 ，是内切，只有 1 条公切线，不是 2 条。 一句话： 圆心距只回答“圆心离得多远”；最值还要问“直线穿没穿过圆”，相切还要问“内切还是外切”。 图 3: 直线穿过圆时，圆上有点到直线的距离为 0 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在第 08 节，先做完再对。 自测 1 已知圆 与直线 相交于 、 两点，求 。 自测 2 过点 作圆 的两条切线，求这两条切线夹角的正弦值。 自测 3 判断圆 与圆 的位置关系，并写出它们的公切线条数。 07 速查卡 表 2: 直线与圆的圆心距速查卡 题面信号 先算什么 得到什么 还要补什么 直线截圆，问弦长 圆心到直线的距离 半弦 弦长取二倍；验证 过圆外一点作切线 圆心距 切线长 半角由 定，再用二倍角 两圆位置或公切线 圆心距 与 、 比 外离 4、外切 3、相交 2、内切 1、内含 0 圆上点到直线最值 ，并与 比 最小值： 取 ， 取 0 已知弦长反求参数 含参数的方程 ；两解都要检验 本讲结论 直线与圆，先量圆心距 ： 与 一比，位置关系就定了；弦长、切线长、最值都是直角三角形里的勾股。联立是最后手段，不是第一反应。 本讲关键词：圆心距 · 半弦 · 切线长 · 公切线 · 最值 下一讲 · 回到两个焦点 看到椭圆或双曲线上的点与两个焦点连成的线段，先别设点坐标。下一讲把定义式直接写出来，让“到两焦点的距离之和（或差）”替你完成一半的运算。 08 参考答案 以下解析对应第 06 节的三道自测。先独立完成，再对照每题的“路径回看”，检查自己的判断。 自测 1　【答案】。 【解析】配方得 ，圆心 ，半径 。圆心到直线的距离 直线与圆相交，半弦长为 ，故 。 【路径回看】只问弦长，第一步就配方、量 ；不设交点坐标，也不写韦达。 自测 2　【答案】。 【解析】圆心 ，半径 ，，点在圆外。设切点为 ，则 ，切线长 。 平分夹角 ，在直角三角形 中 于是 ，。 【路径回看】切点、切线长、夹角同住一个直角三角形。先算 ，再算切线长；不设切线方程求斜率。 自测 3　【答案】两圆相交，公切线有 2 条。 【解析】两圆分别配方：，，圆心距 由 ，两圆相交，公切线 2 条。 【路径回看】两圆问题要把 与 、 同时比较：只看半径和会把内切误判成相交，只看半径差会漏掉外切。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 先配方，再量 点到直线距离公式 ，弦长 2 切线长与半角 ， ， 3 先比 与半径和、差 ， 相交，2 条公切线 学科网（北京）股份有限公司 $