第37讲 空间直线、平面的平行与垂直讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第37讲 空间直线、平面的平行与垂直 第37讲 空间直线、平面的平行与垂直 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，会选择"中位线法"或"平行四边形法"构造平行线； 2．熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，会正确表述定理的全部条件； 3．会用向量法（方向向量、法向量）证明平行与垂直，实现几何推理与代数运算的双向切换； 4．理解"线线—线面—面面"的转化链，能在综合问题中自主选择转化的起点与终点； 5．会处理"是否存在某点使…"的探究型问题与由位置关系反求参数的逆向问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 线面平行的判定与性质 解答题、选择题 第6~8题、第17题 中 中位线法优先，其次平行四边形法 面面平行的判定与性质 选择题、解答题 第7~8题、第17~18题 中 找平面内两条相交直线分别平行于另一平面 线面垂直的判定与性质 解答题、多选题 第10~11题、第17~18题 中偏难 先找现成垂线，务必点明"两线相交" 面面垂直的判定与性质 解答题、多选题 第10~11题、第18~19题 中偏难 证线面垂直后"打包"，或在一个面内作交线垂线 平行与垂直的综合 解答题 第18~19题 中偏难 先定转化链，再分问落实，建系可全程代数化 探究与逆向求参 选择题、解答题 第8题、第19~20题 中偏难 设未知点坐标，列方程判断是否有解 命题规律分析 平行与垂直是立体几何证明题的骨架，新高考中常出现在多选题第10~11题与解答题第17~19题的第一问。基础档照抄定理即可，培优档的加码在三处：一是定理条件必须写全——证线面垂直要找平面内两条相交直线，证线面平行要说明直线不在平面内，少了任何一句都可能丢分；二是辅助线的构造——"见中点想中位线""见平行想平行四边形"两条口诀能解决八成的平行证明，而垂直证明的核心是先找"现成的垂线"（如棱柱的侧棱、等腰三角形的三线合一）；三是探究与逆向——题干给出"是否存在点 使某某垂直"，或者给出垂直关系反求参数，这类题统一用向量法设未知数、列方程，把几何存在性翻译成代数方程是否有解。本讲的策略是：能建系就建系，写不出过程时用向量补。 考点1 平行关系 知识点1 直线与平面平行 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。三个条件缺一不可：，，。 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 向量法：设平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 或 。 【易错清单】 1．判定定理中最容易漏写的是 （直线在平面外），这一步占一个采分点，务必单独写一句； 2．向量法得到 只能推出"平行或在平面内"，要判定平行还必须取直线上一点代入平面方程验证它不在平面内； 3．性质定理的应用常配合"相似比"，由 交线可得到两条线段成比例，这是求线段比的关键。 知识点2 平面与平面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。 性质定理：两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面；若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 向量法：两个平面平行（或重合） 它们的法向量共线；再取一个点检验不重合即可。 【易错清单】 1．"两条相交直线"是硬性条件，只找到一条平行线不能下结论； 2．法向量共线只能说明"平行或重合"，必须再取一点代入检验； 3．由面面平行推出线线平行时，必须是"第三个平面与两个平行平面相交"得到的两条交线才平行，不能随意取两条线。 考点2 垂直关系 知识点3 直线与平面垂直 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 向量法：直线方向向量 与平面法向量 共线 线面垂直；即 。 【易错清单】 1．"两条相交直线"五个字缺一不可——只证垂直于一条，或证垂直于两条平行线，都不成立； 2．常见现成垂线来源：直棱柱的侧棱垂直于底面、等腰三角形底边中线与高合一、正方形对角线互相垂直、直径所对的圆周角是直角； 3．"一条直线垂直于平面内无数条直线"仍不足以推出线面垂直，因为那无数条直线可能彼此平行。 知识点4 平面与平面垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。即"线面垂直 面面垂直"。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 向量法：两个平面垂直 它们的法向量互相垂直，即 。 【易错清单】 1．面面垂直的判定本质是"打包"：先证线面垂直，再看这条线是否在另一个平面内； 2．用性质定理时必须先作出交线，再在其中一个平面内作交线的垂线——跳过"作交线"这步是典型错误； 3．面面垂直推不出"一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面"，只有垂直于交线的那些直线才可以。 知识点5 转化链与探究型问题 三条转化链：线线平行 线面平行 面面平行；线线垂直 线面垂直 面面垂直。每一环的正向是判定定理，反向是性质定理。 探究型问题的通法：设动点坐标（常用参数 表示分点位置），写出目标方向向量，令其与法向量共线（证垂直）或点乘为零（证平行），得到关于 的方程，再看解是否落在区间内。 逆向求参：把位置关系翻译成向量等式，得到一个含参数的方程，解方程后必须检验参数是否使几何体有意义。 【易错清单】 1．探究型问题解出的 必须落回实际范围（如 ），落在区间外就答"不存在"，这是最容易漏的一步； 2．设分点时用 ，则 才表示点在线段上，超过 表示在延长线上； 3．转化链中"面面垂直 线面垂直"必须借助交线，不能直接从面面垂直得到"任一直线垂直于另一平面"。 【题型1 直线与平面平行的证明】 【例1】在四棱锥 中，底面 是正方形， 为对角线 与 的交点， 为棱 的中点。求证： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】连 ，在 中利用中位线得到 。 【解答过程】① 因为四边形 是正方形，对角线互相平分，故 是 的中点； ② 在 中， 为 的中点， 为 的中点，由三角形中位线定理得 ，且 ； ③ 又 平面 ， 平面 。 由线面平行的判定定理得 平面 。 【多解·巧解】证明线面平行有两条标准辅助线：①"中位线法"——在含目标直线的三角形中找两个中点，连中位线；②"平行四边形法"——在平面内找一条与已知直线平行且相等的线段，构造平行四边形。判断用哪条只需看题干：出现"中点"用中位线，出现"平行且相等"用平行四边形。本题 是 中点， 是 中点，两个中点凑成中位线，一眼可定。若改用向量法：取 与平面 的法向量点乘为零，再用点 不在平面上收尾，同样严谨，且不必想辅助线。 【易错提醒】①第③步必须写出 平面 ——只写 与 平面 就下结论，会丢一个采分点；②中位线要在同一个三角形里作，本题是 而不是 ，写错三角形整段作废；③把"中点"错看成"三等分点"，比例关系要重新算。 【变式1-1】在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点。求证： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】由中位线得 ，再由 传递。 【解答过程】① 在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理得 ； ② 因为 ，故 ； ③ 又 平面 ， 平面 。 由判定定理得 平面 。 【变式1-2】在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为棱 的中点， 为 与 的交点。求证： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】由 为 中点、 为 中点得 。 【解答过程】① 平行四边形对角线互相平分，故 为 的中点； ② 在 中， 为 中点、 为 中点，由中位线定理得 ； ③ 平面 ， 平面 。 由判定定理得 平面 。 【变式1-3】在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，、 分别是棱 、 的中点。判断直线 与 的位置关系，并说明理由。 【答案】。 【解题思路】两次中位线：，，再传递。 【解答过程】① 在 中，、 分别是 、 的中点，得 ； ② 在 中，、 分别是 、 的中点，得 ； ③ 又 ，由平行的传递性得 。 故两直线平行（且由两条平行直线确定一个平面知 四点共面）。 【题型2 平面与平面平行的证明与性质】 【例2】在正方体 中，求证：平面 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】在平面 内找两条相交直线 、，分别证明它们平行于平面 。 【解答过程】① 因为 且 ，故四边形 是平行四边形，从而 （两者都是"向右一个单位、向上一层"的位移）。 又 平面 ，$AB_1 subsetBC_1DAB_1 \parallelBC_1D$； ② 同理，，而 平面 ，$AD_1 subsetBC_1DAD_1 \parallelBC_1D$； ③ 与 是平面 内两条相交直线（交于 ）。 由面面平行的判定定理得 平面 平面 。 【多解·巧解】面面平行的证明只需把"证线面平行"做两遍，关键是最后要点明"这两条线相交"。一个更快的替代方案是法向量法：建系后分别求两个平面的法向量，若法向量共线且两平面不重合，则平行。本题建系后可得两平面的法向量同为 ，而平面方程分别为 与 ，一步到位。遇到"证明面面平行"，先看能不能建系；能建系就别拼辅助线。 【易错提醒】①只证了一条直线平行于另一平面就下结论；②忘记说明 与 相交（交于 ）；③用平行四边形法时把 误写成 ——注意 与 是同一条线段，但方向不同，写清端点顺序能避免歧义。 【变式2-1】在正方体 中，平面 与平面 平行。若直线 与这两个平面分别交于点 、，则 与两平面的位置关系是（　　） A． 与两平面都相交　B． 平面 　C． 平面 　D． 在平面 内 【答案】A 【解题思路】直线与两个平行平面都相交，交点即为 、，故不可能平行于其中任何一个。 【解答过程】由题设 与平面 交于 、与平面 交于 ，说明 与两个平面都有公共点，故 不平行于其中任何一个。 由面面平行的性质"两个平行平面被第三个平面所截，交线平行"只适用于两个平面去截，不适用于一条直线。 故选A。 【变式2-2】在正方体 中，平面 与平面 、平面 分别交于直线 、，则 与 的位置关系是（　　） A．相交　B．平行　C．异面　D．重合 【答案】B 【解题思路】直接套用面面平行的性质定理：两平行平面被第三平面所截，交线平行。 【解答过程】由例2知平面 平面 。 由面面平行的性质定理，这两个平行平面被第三个平面 所截，所得的两条交线 、 互相平行。 故选B。 【变式2-3】在正方体 中，用向量法验证平面 与平面 平行，并写出两个平面的方程。 【答案】两平面方程分别为 与 ，故平行。 【解题思路】建系求两个平面的法向量，比较法向量与常数项。 【解答过程】以 为原点建系，设棱长为 ，则 、、、、、。 平面 ：，，法向量 ，方程为 ； 平面 ：，，法向量 ，方程为 。 法向量相同而常数项不同，故两平面平行而不重合。 【题型3 直线与平面垂直的证明】 【例3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形。求证： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】找平面 内两条相交直线 与 ，分别证 与它们垂直。 【解答过程】① 因为 平面 ， 平面 ，故 ； ② 因为四边形 是正方形，正方形的两条对角线互相垂直，故 ； ③ 与 是平面 内两条相交直线（交于点 ）。 由线面垂直的判定定理得 平面 。 【多解·巧解】证线面垂直的找线顺序是固定的：先看几何体有没有"现成的垂线"——棱柱、棱锥中"侧棱垂直于底面"是最常见的一条（如本题的 ）；第二条通常在底面内找，正方形对角线、等腰三角形三线合一、菱形对角线都是常用来源。找齐之后，用一句话点明"这两条直线相交于某点"，即可收尾。通式可记为：一条来自"高"，一条来自"底面图形的性质"。 【易错提醒】①只证了 就下结论；②忘记写" 与 相交于点 "——这是判定定理里最容易漏、也最容易丢分的一句话；③把 " 平面 " 误用来推出 ""（虽然成立，但我们要的是 垂直于平面内的线，方向别搞反）。 【变式3-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，。判断 平面 是否成立，并说明理由。 【答案】不成立。 【解题思路】矩形的对角线不垂直，缺少第二条垂线，故结论不成立。 【解答过程】① 由 平面 得 ； ② 矩形 中， 与 一般不垂直。建系验证：设 、、、，则 ，， 点乘 $= -1 + 3 + 0 = 2 eq 0ACBD$ 不垂直。 因此找不到平面 内两条相交直线都与 垂直， 平面 不成立。 【变式3-2】在正方体 中，用向量法证明： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】求平面 的法向量，验证它与 共线。 【解答过程】设棱长为 ，以 为原点建系，则 、、、、。 。 平面 内：，， 法向量 。 ，两者共线，故 平面 。 【变式3-3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形。求证： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】菱形的对角线互相垂直，配合侧棱垂直于底面即可。 【解答过程】① 由 平面 且 平面 ，得 ； ② 菱形的两条对角线互相垂直，故 ； ③ 与 是平面 内两条相交直线。 由判定定理得 平面 。 【题型4 平面与平面垂直的证明与性质】 【例4】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形。求证：平面 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】由例3已得 平面 ，再"打包"即可。 【解答过程】① 由例3知 平面 （因为 、，且 与 相交于 ）； ② 又 平面 。 由面面垂直的判定定理"一个平面过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直"，得 平面 平面 。 【多解·巧解】面面垂直的证明几乎总是"先证线面垂直，再打包"：只要找到一条直线 垂直于平面 ，再看 是否在平面 内，是则 。所以面面垂直题本质是线面垂直题——考场上遇到"求证平面 平面 "，直接在草稿上改写成"找一条在 内且垂直于 的直线"。另一个方向（用面面垂直的性质）则是"作交线 作交线的垂线 得线面垂直"，两个方向的操作步骤都要背熟。 【易错提醒】①跳过"证线面垂直"这一步，直接说"因为 在平面 内所以两平面垂直"，缺少了 平面 这一关键前提；②把判定定理说成"一个平面内有一条直线垂直于另一个平面内的一条直线"，这是对定理的错误记忆，正确表述必须包含"垂直于另一个平面"；③若底面改成矩形（对角线不垂直），本题结论就不成立，做题前务必确认底面图形的性质。 【变式4-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形。判断平面 与平面 是否垂直，并说明理由。 【答案】垂直。 【解题思路】需找一条在平面 内且垂直于平面 的直线，检验是否存在。 【解答过程】设 、、、。 平面 即 ，法向量 ； 平面 即 ，法向量 。 ，故两法向量垂直，两平面垂直。 故两平面垂直。 几何理由：（矩形邻边），（ 底面）， 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 ；又 平面 ，故 平面 平面 。 【变式4-2】已知平面 平面 ，，直线 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】正面用面面垂直的性质定理，反面用线面垂直的定义。 【解答过程】充分性：由面面垂直的性质定理，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故 ； 必要性：若 ，则 垂直于 内的任意直线，而 ，故 。 故为充要条件。选C。 【变式4-3】在正方体 中，求证：平面 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】由变式3-2的思路，先证 平面 ，再打包。 【解答过程】① 正方形 中 ； ② 正方体中 平面 ，故 ； ③ 与 是平面 内两条相交直线（交于 ）； 故 平面 。 ④ 又 平面 ，由面面垂直的判定定理得 平面 平面 。 【题型5 平行与垂直的综合应用】 【例5】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 连 交 于 ，在 中构造中位线 ；(2) 先证 平面 ，再打包。 【解答过程】(1) 连 交 于点 。矩形对角线互相平分，故 为 的中点。 在 中， 为 中点、 为 中点，由中位线定理得 。 又 平面 ， 平面 ，故 平面 。 (2) 建系：、、、、，则 。 ，，。 ，， 故 且 ；又 与 是平面 内两条相交直线（交于 ），故 平面 。 又 平面 ，所以 平面 平面 。 【多解·巧解】本题展示了综合题的"两问共享一个建系"技巧：第 (1) 问用几何法（中位线）最简洁，第 (2) 问用向量法最稳妥，但两者共用同一套坐标，草稿上只需建系一次。判断某问该用哪种方法，标准是：*"平行"问优先几何法*（中位线、平行四边形一目了然），*"垂直"问优先向量法*（点乘为零是机械运算，不容易漏条件）。另外 (2) 中证 平面 时，选的两条线是 与 而不是 与 ，优先选"坐标简单"的两条线能显著减少计算量。 【易错提醒】①(1) 中忘记写 平面 ；②(2) 中点乘算错：，不要漏掉第三个分量；③(2) 中忘记说明 与 相交于 ，判定定理条件不完整；④误把 的坐标写成 （ 的中点应是 ）。 【变式5-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，，、 分别是棱 、 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求线段 的长。 【答案】(1) 见解析； (2) 。 【解题思路】(1) 在 中用中位线得 ；(2) 由中位线定理 ，只需算底面对角线长。 【解答过程】(1) 在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理得 。又 平面 ，$EF subsetABCDEF \parallelABCDEF = \frac{1}{2}BDABCDBD = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}EF = \sqrt{5}$。 【变式5-2】在正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】(1) 见解析； (2) 。 【解题思路】(1) 用向量法：证方向向量与平面法向量垂直，再验证点不在平面内；(2) 建系求夹角。 【解答过程】设棱长为 ，以 为原点建系： 、、、、，则 。 (1) ，， 平面 的法向量 ，。 ，又 不满足平面 的方程，故 平面 。 (2) 。 ， ，， 。 【变式5-3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， 为棱 的中点， 为 与 的交点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 中位线 ；(2) 由 平面 打包。 【解答过程】(1) 同例1，在 中 ，且 平面 ， 平面 ，故 平面 。 (2) 由例3知 平面 （、，且 与 相交于 ）。 又 平面 ，由面面垂直的判定定理得 平面 平面 。 【题型6 探究型问题与逆向求参】 【例6】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，（），（）。 (1) 若 ，求 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求证：平面 平面 。 【答案】(1) ； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 把 翻译成向量点乘为零，利用 底面消掉含 的项；(2) 由 平面 打包。 【解答过程】以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、、、、。 (1) ，。 。 由 得 ，又 ，故 。 （几何解释： 底面 ；若再有 ，则 平面 ，于是 ，底面矩形成为菱形，故为正方形，。） (2) 当 时底面为正方形，故 ；又 平面 得 。 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 。 又 平面 ，所以 平面 平面 。 【多解·巧解】逆向求参题的关键是把几何条件翻译成向量等式，然后用"垂直于底面的那条棱"把含 的分量消掉——本题中 的 分量 与 的 分量 相乘为零，参数 自动消失，答案与高无关。这是一个极强的自检信号：若算出的结果含 ，几乎一定算错了。推广结论：矩形底面 + 侧棱垂直底面时，""""等条件都等价于"底面是正方形"，记住这一点能秒杀同类题。 【易错提醒】①建系时把 的坐标写成 而漏掉参数 ，导致点乘恒为零、无法确定 ；②解方程 时忘记 而多写 ；③(2) 中忘记说明 与 相交，判定定理条件不完整；④误以为 (1) 的条件 能直接推出面面垂直，必须经过"线面垂直"这一环。 【变式6-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，。若 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】建系写向量，令点乘为零解出 。 【解答过程】、、、、。 ，。 点乘 ，由 得 。 又 ，故 。故选B。 【变式6-2】在正方体 中，点 在棱 上运动（含端点）。是否存在点 ，使 平面 ？若存在，指出 的位置。 【答案】不存在。 【解题思路】设 的坐标，令 与平面 的法向量共线，看方程是否有解。 【解答过程】设棱长为 ，、、、、， 设 （）。 。 平面 内：，。 法向量 。 若 平面 ，则 ，需 且 ，矛盾。 故不存在满足条件的点 。 【变式6-3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 用中位线；(2) 先证 平面 再打包。 【解答过程】(1) 连 交 于 ， 为 中点；在 中 ， 平面 ， 平面 ，故 平面 。 (2) 建系：、、、、，。 ，，。 ，。 又 与 相交于 ，故 平面 ；又 平面 ，所以 平面 平面 。 一、单选题 1．（★★）已知直线 平面 ，直线 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】充分性即判定定理；反过来由线面平行只能得到与交线平行，未必是 。 【解答过程】充分性：由判定定理，$l subset \alpham \subset \alphal \parallel ml \parallel \alpha$，成立； 必要性：由 只能推出 平行于过 的平面与 的交线，未必平行于指定直线 ，不成立。 故选A。 2．（★★）在正方体 中，与平面 垂直的平面共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】B 【解题思路】四个侧面都垂直于底面，上底面与底面平行，对角面也需检查。 【解答过程】正方体的四个侧面（、、、）都含有垂直于底面的棱，故都垂直于底面，共 个； 上底面与底面平行；六个对角面（如 ）与底面斜交。 故选B。 3．（★★）已知直线 、 与平面 ，下列条件中能推出 的是（　　） A．，　B．，，，　C．，，，，且 　D．， 【答案】D 【解题思路】逐项检查线面垂直的判定定理条件是否完整。 【解答过程】A 只垂直于平面内一条直线，不够； B 中 、 可能平行，不够； C 中 ，两条直线平行，不满足判定定理，不能推出 ，错误； D 由"平行线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于平面"，正确。 故只有 D 能推出。 故选D。 4．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，则下列结论错误的是（　　） A．　B． 平面 　C．平面 平面 　D． 平面 【答案】B 【解题思路】逐项检查每条垂直关系所需的条件。 【解答过程】A 中 底面而 底面，正确； B 中 （正方形），（ 底面）， 与 相交于 ，故 平面 ，B 正确； C 中同理 平面 ，故平面 平面 ，正确； D 中 且 ， 与 相交，故 平面 ，正确。 四项均正确，本题无错误项，应改为"下列结论正确的是"，答案为 ABCD。 5．（★★）在正方体 中， 为棱 的中点，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．平行　B．相交　C． 平面 　D．异面 【答案】B 【解题思路】直线 经过平面内的点 吗？检查交点。 【解答过程】设棱长为 ，、、，。 ， 分量非零，故直线不平行于平面 ； 令 得参数 ，点为 ，在底面所在平面内但不在正方形内。 故直线 与平面 相交（交点在底面外）。 故选B。 6．（★★★）已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，，则 　D．若 ，，则 【答案】B 【解题思路】逐项对照线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，注意"条件不全"的陷阱。 【解答过程】A 中， 只说明 平行于 内的一条直线，未必平行于 内指定的直线 ，二者还可能异面，错误；B 中， 且 说明 、 有相同的法向量方向，故 ，正确；C 中，仅由 、 推不出 ，只有 垂直于两平面的交线时才有 ，错误；D 中， 与 可能相交，此时 与它们的交线平行，错误。故选B。 7．（★★★）在正方体 中，过顶点 且与棱 、、 所成角都相等的不同直线共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【答案】C 【解题思路】设方向向量，把"与三条两两垂直的棱所成角相等"翻译成三个方向余弦的绝对值相等，计数时注意"反向视为同一条直线"。 【解答过程】以 为原点，、、 为 、、 轴建系。设过 的直线的一个方向向量为 ，它与棱 、、 所成角分别为 、、。因为 ，，，所以三个角相等等价于 。三个坐标的绝对值相等，正负号共有 种取法；但方向向量 与 表示同一条直线，两两配对后得 条。即体对角线 所在直线及其关于坐标平面的三条对称直线，共 条。故选C。 8．（★★★）在棱长为 的正方体 中，点 在底面 内（含边界）运动，且 ，则点 运动轨迹的长度为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把两个向量的垂直条件写成坐标方程，得到一段圆弧，再算弧长。 【解答过程】以 为原点，、、 为 、、 轴建系，则 、。设 （，）。由 ，，得 ，即 。这是圆心为 、半径为 的圆；它在底面正方形内的部分是 一侧的上半圆，长度为 。故选B。 二、多选题 9．（★★）在正方体 中，下列结论正确的是（　　） A． 平面 　B．平面 平面 　C． 平面 　D． 平面 【答案】ABD 【解题思路】逐项用向量法或几何法判断，注意 C 项中直线在平面内。 【解答过程】A： 且 平面 ，正确； B：由例2（变量替换）知两平面平行，正确； C： 平面 ，故 与平面相交于 ，不可能垂直于该平面，错误； D：由例3的思路， 且 ，正确。 故选ABD。 10．（★★）已知 、 是两条直线，、 是两个平面，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，，则 　C．若 ，，则 　D．若 ，，则 【答案】ABC 【解题思路】A、B 是面面垂直的判定与性质定理，C 用法向量传递，D 缺条件。 【解答过程】A 是面面垂直的判定定理，正确； B 是面面垂直的性质定理，正确； C 中 说明 的方向向量平行于 的法向量，又 说明 的方向向量垂直于 的法向量，故两法向量垂直，，正确； D 只垂直于平面内一条直线，不成立，错误。 故选ABC。 11．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，（），，则下列说法正确的是（　　） A．平面 平面 　B．对任意 ， 平面 　C．平面 平面 当且仅当 　D． 平面 【答案】ACD 【解题思路】逐项用几何推理或建系求法向量，重点核对含参数选项的临界条件。 【解答过程】A：（矩形），（ 平面 ）， 与 相交于 ，故 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，正确；建系：以 为原点，、、 为 、、 轴，则 、、、、。B：、，，当 时 与 不垂直，而 平面 ，故 不可能对任意 都垂直于平面 ，错误；C：平面 的法向量可取 ；平面 中 、，法向量可取 ，两法向量点乘为 ，故平面 平面 当且仅当 ，即 ，正确；D：，而平面 即 ，法向量为 ，二者共线，故 平面 ，正确。故选ACD。 12．（★★★）在棱长为 的正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，则下列说法正确的是（　　） A． 平面 　B． 平面 　C． 平面 　D． 平面 【答案】ABC 【解题思路】先由中位线得到 ，再用"正方形对角线垂直"逐个判断，注意区分体对角线 与面对角线 。 【解答过程】以 为原点，、、 为 、、 轴建系，则 、、、、、、、，、，故 ，，二者共线。A：平面 即 ，法向量 ，，且 不在该平面内，故 平面 ，正确；B：平面 的法向量可取 ，与 共线，故 平面 ，正确；C：；平面 中 、，法向量可取 ，与 共线，故 平面 ，正确；D：，与平面 的法向量 不共线，故 不垂直于平面 ，错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）在正方体 中，六个面中与平面 平行的面共有 ____________ 个。 【答案】 【解题思路】只有上底面与下底面平行，其余六个面都与之垂直或斜交。 【解答过程】正方体的六个面中，只有平面 与平面 平行，共 个。 14．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】建系后令 。 【解答过程】，，点乘 ，又 ，故 。 15．（★★★）在正方体 中，棱长为 ，则平面 与平面 之间的距离为 ____________。 【答案】 【解题思路】两平面平行，距离等于两平面方程常数项之差除以法向量模长。 【解答过程】平面 的方程为 （法向量 ）； 平面 的方程为 。 两平面间的距离 。 16．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，。若平面 平面 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】求两个平面的法向量，令其点乘为零解出 。 【解答过程】、、、、。 平面 ：，， 法向量 ，取 ； 平面 ：，， 法向量 。 ， 由两平面垂直得 ，又 ，故 。 四、解答题 17．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， 为 与 的交点， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证： 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 在 中构造中位线 ；(2) 找平面内两条相交直线。 【解答过程】(1) 正方形对角线互相平分，故 为 的中点。 在 中， 为 中点、 为 中点，由中位线定理得 。 又 平面 ，$PB subsetACEPB \parallelACE$。 (2) 由 平面 且 平面 得 ； 正方形对角线互相垂直，故 ； 又 与 相交于点 ，由判定定理得 平面 。 【多解·巧解】两问分别代表"平行"与"垂直"两条主线，正好可以对照记忆：平行靠中位线，垂直靠两条相交直线。写完 (2) 后立刻可以"打包"得到 平面 平面 、平面 平面 等一串结论——一次线面垂直可以反复打包，这是解答题第二问最常见的"送分延伸"，不要放过。 【易错提醒】①(1) 中忘记写 $PB subsetACEPAACA\triangle PCDOE\triangle PBD$。 18．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， 为棱 的中点， 为 与 的交点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 由 为 中点、 为 中点得 ；(2) 由菱形对角线垂直配合侧棱垂直打包。 【解答过程】(1) 菱形对角线互相平分，故 为 的中点。 在 中， 为 中点、 为 中点，由中位线定理得 。 又 平面 ，$OE subsetPADOE \parallelPAD$。 (2) 菱形的对角线互相垂直，故 ； 由 平面 得 ； 又 与 相交于点 ，故 平面 ； 又 平面 ，所以 平面 平面 。 【多解·巧解】把底面从"正方形"换成"菱形"，对角线的"互相垂直"这一性质依然成立，所以整套证明可以原样搬过来。这说明做题时要抓住"底面提供的性质"到底是什么：正方形给出"垂直 + 相等"，菱形只给出"垂直"，矩形只给出"相等"。凡是证垂直的题，正方形与菱形等价；凡是证长度相等的题，正方形与矩形等价。先看清楚结论需要底面的哪一条性质，就不会在错误的底面上硬证。 【易错提醒】①误用"菱形对角线相等"（菱形只保证垂直，不保证相等）；②(1) 中把 写成 ，中位线连接的是两边的中点，注意 在 上、 在 上，公共端点是 ，故中位线平行于 ；③(2) 中忘记 平面 这一"打包"步骤。 19．（★★）在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 由 传递；(2) 找一条在平面 内且垂直于平面 的直线。 【解答过程】(1) 在 中，、 分别是 、 的中点，故 ；又 ，得 。 而 平面 ，$EF subsetA_1B_1C_1D_1EF \parallelA_1B_1C_1D_1$。 (2) 由 (1) 的传递链， 且 ，故 四点共面。 平面 内有 与 两条相交直线。 因为 （正方形对角线），（侧棱垂直底面），故 平面 。 又 ，故 平面 ； 而 平面 ，所以 平面 平面 。 【多解·巧解】第 (2) 问用到了一条很有用的推理：与垂线平行的直线也是该平面的垂线（垂直于同一平面的两条直线平行，反过来也成立）。所以当"垂线不在目标平面内"时，就在目标平面内找一条与它平行的线，这条线同样是垂线，打包即可。本题中垂线是 ，它不在平面 内，但 且 在目标平面内，问题迎刃而解。 【易错提醒】①(1) 中漏掉 $EF subsetA_1B_1C_1D_1BD \perpAA_1C_1CEFD_1B_1 \perpAA_1C_1CBDEFD_1B_1E, F, D_1, B_1EFD_1B_1$"。 20．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，。 (1) 求证：平面 平面 ； (2) 求证：平面 平面 ； (3) 判断平面 与平面 是否垂直，并说明理由。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析； (3) 不垂直。 【解题思路】(1)(2) 都用"找垂线 + 打包"，(3) 用法向量点乘判断。 【解答过程】(1) （矩形），（ 底面）， 与 相交于 ，故 平面 ； 又 平面 ，故 平面 平面 。 (2) （矩形），（ 底面）， 与 相交于 ，故 平面 ； 又 平面 ，故 平面 平面 。 (3) 建系：、、、、。 平面 的法向量 ； 平面 的法向量 ，取 。 ，故两平面不垂直。 【多解·巧解】(1)(2) 看似两问，其实是同一个套路用了两次："矩形邻边垂直"给出底面内的垂线，"侧棱垂直底面"给出另一条垂线，两线相交即可打包。凡是"侧棱垂直于矩形底面"的模型，都能得到"两个相邻侧面互相垂直"这一结论，可当作现成结论记住。(3) 则提醒我们：不要因为前面证了两对垂直，就默认第三对也垂直——每一对垂直都必须单独验证，用法向量点乘是最快的验证方式。 【易错提醒】①(1)(2) 中忘记说明"两条直线相交"；②(3) 中凭直觉认为"都是含 的平面，应该垂直"，不做计算就下结论；③法向量求错： 的分量要逐项核算，建议算完后用平面内的两个向量各点乘一遍法向量验证是否为零。 21．（★★★）在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 (1) 求证：、、、 四点共面； (2) 判断平面 与平面 是否垂直，并说明理由。。 【答案】(1) 见解析； (2) 不垂直。 【解题思路】(1) 用向量共面定理；(2) 求两平面法向量，验证其点乘为零。 【解答过程】以 为原点建系，、、、、， 、。 (1) ，，。 设 ，比较 分量得 ，； 比较 分量得 ，； 检验 分量：，与 一致。 故四点共面。 (2) 平面 的法向量：，取 。 平面 内有 与 ，法向量 ，取 。 ，故两平面不垂直。（若要求证垂直，经核对，本题结论为不垂直，"不垂直"。） 【多解·巧解】先共面、再垂直，是截面类综合题的标准顺序：不先证明四点共面，就谈不上"平面 "。证明共面用向量共面定理，关键是"解两个分量、代回第三个分量检验"。求法向量时建议养成验算习惯：把求出的 与平面内两个已知向量各点乘一次，若都为零才算求对——这一步只要两秒钟，却能避免后面所有计算建立在错误法向量之上。 【易错提醒】①(1) 中只解出 、 就宣布共面，漏掉第三个分量的检验；②(2) 中未先证共面就直接求"平面 "的法向量；③叉乘算错分量：，注意第三分量是 而不是 。 22．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，，， 为棱 的中点。 (1) 求证：； (2) 求证：平面 平面 。 【答案】(1) 见解析； (2) 见解析。 【解题思路】(1) 建系算点乘为零，或用等腰三角形三线合一；(2) 由 与 得 平面 ，再打包。 【解答过程】以 为原点建系，、、、、， 为 的中点：。 (1) ，， 点乘 ，故 。 （也可不用坐标：由 知 是等腰三角形， 为底边 的中点，由三线合一得 。） (2) 由 (1) 知 ； 又 （正方形邻边）、（ 底面）， 与 相交于 ，故 平面 ，从而 ； 与 是平面 内两条相交直线（交于 ），故 平面 ； 又 平面 ，所以 平面 平面 。 【多解·巧解】(1) 的两种解法代表两条思路：坐标法通用，几何法更快。本题 是关键，它使 成为等腰三角形，于是中点与三线合一一步到位，比建系还快。判断能否用几何法，只需看题干有没有相等条件：出现 且给出中点，优先想等腰三角形；若只给出一般长度关系，就直接建系。(2) 则示范了两问串联的写法：第一问的结论直接作为第二问的条件，只需再补一条垂线 即可完成打包。 【易错提醒】①(2) 中只用了 就下结论，漏掉第二条垂线 ；②忘记说明 与 相交于点 ；③把 的坐标写成 或 ， 是 与 的中点，三个坐标都要分别取平均；④误以为 平面 还需要 ，其实只需垂直于平面内两条相交直线 与 即可。 23．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，，（）， 为棱 的中点， 为 与 的交点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 ； (3) 求 的面积（用 表示）。 【答案】(1) 见解析； (2) 满足，理由见解析； (3) 。 【解题思路】(1) 中位线；(2) 由 平面 打包；(3) 建系算三边长再用面积公式。 【解答过程】(1) 为 中点、 为 中点，在 中得 ； 又 平面 ，$PA subsetBDEPA \parallelBDE$。 (2) 正方形对角线垂直，故 ；又 平面 ，故 ； 与 相交于 ，故 平面 ； 又 平面 ，所以 平面 平面 ，结论成立且与 无关。 (3) 、、、、， 。 ，，。 等腰三角形底边 上的高为 。 面积 。 【多解·巧解】(3) 的结果 很有意思：当 时面积趋于 （此时 与 重合、 落在 中点， 三点共线），这与公式完全吻合，是一个很好的极限自检。求空间三角形面积的通法是"先算三边长、再判形状"：本题 （等腰），于是只需算底边 与腰 ，用勾股求高即可，不必上余弦定理或海伦公式。 【易错提醒】①(1) 中漏写 $PA subsetBDEACPAEzh\frac{h}{2}BE\sqrt{\frac{1}{2} + h^2}\sqrt{h^2 + 2}h\frac{h^2 + 2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{h^2}{4}$。 24．（★★★）在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点，点 在线段 上运动（含端点）。 (1) 求证： 平面 ； (2) 探究：是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出 的位置；若不存在，说明理由。 【答案】(1) 见解析； (2) 存在， 为 的中点（即正方体中心）。 【解题思路】(1) 找平面内两条相交直线 、；(2) 设 的参数坐标，令方向向量的 分量为零并检查点不在平面上。 【解答过程】(1) 正方形 中 ；正方体中 平面 ，故 ； 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 。 (2) 以 为原点建系：、、、，。 设 （）。 。 平面 即 ，法向量为 。 由 平面 得 ，即 ，得 。 此时 ，其 坐标为 $\frac{1}{2} eq 0FABCD$ 内。 所以存在， 为线段 的中点（即正方体的中心）。 【多解·巧解】探究型问题有一套四步模板：①设点——用参数 表示动点位置，写清 的取值范围；②列式——把目标关系翻译成向量等式（平行用点乘为零、垂直用共线）；③求解——解出 并检验是否落在取值范围内；④收尾——若平行还要验证点不在平面内，然后明确回答"存在，位置是…"或"不存在"。四步缺一步都不完整，尤其第③步的"范围检验"最容易漏——解出 却仍答"存在"，是最典型的失分。 【易错提醒】①设点时把 写成 ，参数含义会变，位置描述要跟着改；②只解出 就回答"存在"，未验证 不在平面 内（若 恰在平面上则不是"平行"）；③忘记把 翻译成"中点"这一几何语言，题目问的是"指出 的位置"，答"当 时"不够直观。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第37讲 空间直线、平面的平行与垂直 第37讲 空间直线、平面的平行与垂直 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，会选择"中位线法"或"平行四边形法"构造平行线； 2．熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，会正确表述定理的全部条件； 3．会用向量法（方向向量、法向量）证明平行与垂直，实现几何推理与代数运算的双向切换； 4．理解"线线—线面—面面"的转化链，能在综合问题中自主选择转化的起点与终点； 5．会处理"是否存在某点使…"的探究型问题与由位置关系反求参数的逆向问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 线面平行的判定与性质 解答题、选择题 第6~8题、第17题 中 中位线法优先，其次平行四边形法 面面平行的判定与性质 选择题、解答题 第7~8题、第17~18题 中 找平面内两条相交直线分别平行于另一平面 线面垂直的判定与性质 解答题、多选题 第10~11题、第17~18题 中偏难 先找现成垂线，务必点明"两线相交" 面面垂直的判定与性质 解答题、多选题 第10~11题、第18~19题 中偏难 证线面垂直后"打包"，或在一个面内作交线垂线 平行与垂直的综合 解答题 第18~19题 中偏难 先定转化链，再分问落实，建系可全程代数化 探究与逆向求参 选择题、解答题 第8题、第19~20题 中偏难 设未知点坐标，列方程判断是否有解 命题规律分析 平行与垂直是立体几何证明题的骨架，新高考中常出现在多选题第10~11题与解答题第17~19题的第一问。基础档照抄定理即可，培优档的加码在三处：一是定理条件必须写全——证线面垂直要找平面内两条相交直线，证线面平行要说明直线不在平面内，少了任何一句都可能丢分；二是辅助线的构造——"见中点想中位线""见平行想平行四边形"两条口诀能解决八成的平行证明，而垂直证明的核心是先找"现成的垂线"（如棱柱的侧棱、等腰三角形的三线合一）；三是探究与逆向——题干给出"是否存在点 使某某垂直"，或者给出垂直关系反求参数，这类题统一用向量法设未知数、列方程，把几何存在性翻译成代数方程是否有解。本讲的策略是：能建系就建系，写不出过程时用向量补。 考点1 平行关系 知识点1 直线与平面平行 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。三个条件缺一不可：，，。 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 向量法：设平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 或 。 【易错清单】 1．判定定理中最容易漏写的是 （直线在平面外），这一步占一个采分点，务必单独写一句； 2．向量法得到 只能推出"平行或在平面内"，要判定平行还必须取直线上一点代入平面方程验证它不在平面内； 3．性质定理的应用常配合"相似比"，由 交线可得到两条线段成比例，这是求线段比的关键。 知识点2 平面与平面平行 判定定理：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。 性质定理：两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面；若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 向量法：两个平面平行（或重合） 它们的法向量共线；再取一个点检验不重合即可。 【易错清单】 1．"两条相交直线"是硬性条件，只找到一条平行线不能下结论； 2．法向量共线只能说明"平行或重合"，必须再取一点代入检验； 3．由面面平行推出线线平行时，必须是"第三个平面与两个平行平面相交"得到的两条交线才平行，不能随意取两条线。 考点2 垂直关系 知识点3 直线与平面垂直 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 向量法：直线方向向量 与平面法向量 共线 线面垂直；即 。 【易错清单】 1．"两条相交直线"五个字缺一不可——只证垂直于一条，或证垂直于两条平行线，都不成立； 2．常见现成垂线来源：直棱柱的侧棱垂直于底面、等腰三角形底边中线与高合一、正方形对角线互相垂直、直径所对的圆周角是直角； 3．"一条直线垂直于平面内无数条直线"仍不足以推出线面垂直，因为那无数条直线可能彼此平行。 知识点4 平面与平面垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。即"线面垂直 面面垂直"。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 向量法：两个平面垂直 它们的法向量互相垂直，即 。 【易错清单】 1．面面垂直的判定本质是"打包"：先证线面垂直，再看这条线是否在另一个平面内； 2．用性质定理时必须先作出交线，再在其中一个平面内作交线的垂线——跳过"作交线"这步是典型错误； 3．面面垂直推不出"一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面"，只有垂直于交线的那些直线才可以。 知识点5 转化链与探究型问题 三条转化链：线线平行 线面平行 面面平行；线线垂直 线面垂直 面面垂直。每一环的正向是判定定理，反向是性质定理。 探究型问题的通法：设动点坐标（常用参数 表示分点位置），写出目标方向向量，令其与法向量共线（证垂直）或点乘为零（证平行），得到关于 的方程，再看解是否落在区间内。 逆向求参：把位置关系翻译成向量等式，得到一个含参数的方程，解方程后必须检验参数是否使几何体有意义。 【易错清单】 1．探究型问题解出的 必须落回实际范围（如 ），落在区间外就答"不存在"，这是最容易漏的一步； 2．设分点时用 ，则 才表示点在线段上，超过 表示在延长线上； 3．转化链中"面面垂直 线面垂直"必须借助交线，不能直接从面面垂直得到"任一直线垂直于另一平面"。 【题型1 直线与平面平行的证明】 【例1】在四棱锥 中，底面 是正方形， 为对角线 与 的交点， 为棱 的中点。求证： 平面 。 【变式1-1】在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点。求证： 平面 。 【变式1-2】在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为棱 的中点， 为 与 的交点。求证： 平面 。 【变式1-3】在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，、 分别是棱 、 的中点。判断直线 与 的位置关系，并说明理由。 【题型2 平面与平面平行的证明与性质】 【例2】在正方体 中，求证：平面 平面 。 【变式2-1】在正方体 中，平面 与平面 平行。若直线 与这两个平面分别交于点 、，则 与两平面的位置关系是（　　） A． 与两平面都相交　B． 平面 　C． 平面 　D． 在平面 内 【变式2-2】在正方体 中，平面 与平面 、平面 分别交于直线 、，则 与 的位置关系是（　　） A．相交　B．平行　C．异面　D．重合 【变式2-3】在正方体 中，用向量法验证平面 与平面 平行，并写出两个平面的方程。 【题型3 直线与平面垂直的证明】 【例3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形。求证： 平面 。 【变式3-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，。判断 平面 是否成立，并说明理由。 【变式3-2】在正方体 中，用向量法证明： 平面 。 【变式3-3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形。求证： 平面 。 【题型4 平面与平面垂直的证明与性质】 【例4】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形。求证：平面 平面 。 【变式4-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形。判断平面 与平面 是否垂直，并说明理由。 【变式4-2】已知平面 平面 ，，直线 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】在正方体 中，求证：平面 平面 。 【题型5 平行与垂直的综合应用】 【例5】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【变式5-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，，、 分别是棱 、 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求线段 的长。 【变式5-2】在正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 【变式5-3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， 为棱 的中点， 为 与 的交点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 【题型6 探究型问题与逆向求参】 【例6】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，（），（）。 (1) 若 ，求 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求证：平面 平面 。 【变式6-1】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，。若 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】在正方体 中，点 在棱 上运动（含端点）。是否存在点 ，使 平面 ？若存在，指出 的位置。 【变式6-3】在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 一、单选题 1．（★★）已知直线 平面 ，直线 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 2．（★★）在正方体 中，与平面 垂直的平面共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 3．（★★）已知直线 、 与平面 ，下列条件中能推出 的是（　　） A．，　B．，，，　C．，，，，且 　D．， 4．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，则下列结论错误的是（　　） A．　B． 平面 　C．平面 平面 　D． 平面 5．（★★）在正方体 中， 为棱 的中点，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．平行　B．相交　C． 平面 　D．异面 6．（★★★）已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，，则 　D．若 ，，则 7．（★★★）在正方体 中，过顶点 且与棱 、、 所成角都相等的不同直线共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 8．（★★★）在棱长为 的正方体 中，点 在底面 内（含边界）运动，且 ，则点 运动轨迹的长度为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）在正方体 中，下列结论正确的是（　　） A． 平面 　B．平面 平面 　C． 平面 　D． 平面 10．（★★）已知 、 是两条直线，、 是两个平面，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，，则 　C．若 ，，则 　D．若 ，，则 11．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，（），，则下列说法正确的是（　　） A．平面 平面 　B．对任意 ， 平面 　C．平面 平面 当且仅当 　D． 平面 12．（★★★）在棱长为 的正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，则下列说法正确的是（　　） A． 平面 　B． 平面 　C． 平面 　D． 平面 三、填空题 13．（★★）在正方体 中，六个面中与平面 平行的面共有 ____________ 个。 14．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，若 ，则 ____________。 15．（★★★）在正方体 中，棱长为 ，则平面 与平面 之间的距离为 ____________。 16．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，。若平面 平面 ，则 ____________。 四、解答题 17．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， 为 与 的交点， 为棱 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证： 平面 。 18．（★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， 为棱 的中点， 为 与 的交点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 19．（★★）在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 。 20．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，。 (1) 求证：平面 平面 ； (2) 求证：平面 平面 ； (3) 判断平面 与平面 是否垂直，并说明理由。 21．（★★★）在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 (1) 求证：、、、 四点共面； (2) 判断平面 与平面 是否垂直，并说明理由。。 22．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，，， 为棱 的中点。 (1) 求证：； (2) 求证：平面 平面 。 23．（★★★）在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，，（）， 为棱 的中点， 为 与 的交点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求证：平面 平面 ； (3) 求 的面积（用 表示）。 24．（★★★）在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点，点 在线段 上运动（含端点）。 (1) 求证： 平面 ； (2) 探究：是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出 的位置；若不存在，说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $