第38讲 圆锥曲线·定义优先 讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 解析几何 第 38 讲 · 回到两个焦点 01 题眼 本讲只练一个动作 圆锥曲线的题，先把那一行定义写在草稿上：椭圆 ，双曲线 ，抛物线把 换成 。本讲只练一个动作：  把焦半径换成 ，不去解点。 解析几何的第一口，往往不在联立，而在定义。曲线本身就是距离关系写成的方程：椭圆规定到两个焦点的距离之和为 ，双曲线规定距离之差为 ，抛物线规定到焦点的距离等于到准线的距离。这三行字是题目送的免费条件，可以直接顶替两点间距离公式。 设点、联立、韦达、代距离公式，是解析几何的默认动作。可当题目只问长度、面积、周长、离心率时，这一串动作在做无用功——答案里根本不含坐标，中间却解了一遍坐标。 本讲只练一个动作： 先写定义，把焦半径换掉 。换完以后，未知数从“点的两个坐标”降为“两条焦半径”，余弦定理或勾股收尾。省掉的动作很具体：不设点、不联立、不开根号。 02 识别 不是所有题都值得先写定义。要坐标、要斜率、要中点时，定义只给长度关系，给不了位置，仍得回到联立。出现下面三个信号，先把那一行定义写下来。 信号一 · 点在曲线上，又出现焦点。 题干里有“、 为焦点，点 在 上”这一句，就等于送了 ：两条焦半径只知道一条，另一条立刻可求。 信号二 · 焦点三角形。 出现 、，或问 的面积、周长。定义给两边之和（差）， 给第三边，余弦定理一步出积 ；只问面积时，积就够了。 信号三 · 过焦点的弦。 直线过 交曲线于 、，再问 一类的周长。此时 是一条折线，用定义把每一段补成 ，周长常常一步变成 。 图 1: 先写定义，再决定要不要设点 动笔前的 30 秒 第 1 步 圈焦点：在图上标出 、（或焦点与准线），把 、 先算出来。 第 2 步 验位置：这个点在曲线上吗？不在，就没有 可用。 第 3 步 换焦半径：把要求的那条线段用 减去另一条焦半径表示；双曲线先定支，再去绝对值。 第 4 步 进三角形：在 里用余弦定理或勾股收尾；只问面积时，目标是积 。 03 双解对照 两条路的分岔口不在“会不会算”，而在要不要先把点 的坐标解出来。先看题。 例题 · 只要一个距离 设 为坐标原点，、 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，，求 。 先把题干里的“免费信息”读出来。 ，，，所以 ；夹角余弦已知。要的是 ，而 正是 的中点—— 是 里 边上的中线。题目只要一个长度，不要 的位置。 常规解 · 算：设点，用向量夹角解坐标 第一步，设点。 、，设 。点在椭圆上，。 第二步，把夹角写成坐标。 ，而 第三步，列方程并平方。 取 ，两边平方得 ，于是 或 ，解得 （舍）或 。所以 ，。 第四步，收尾。 。四步里最费事的是第三步：分母带根号，就必须平方；一平方就升次，升次就要再舍一次根。 图 2: 未知的只有 与 ，不是 与 少算解 · 想：把两条焦半径当未知数 记 ，。 第一步，写定义。 点 在椭圆上，所以 第二步，配余弦定理。 在 中 ，故 。由 得 ，代入： 第三步，用中线。 是 的中点，所以 。两边平方： 所以 。 两条路的分水岭。 常规解把 当未知数：先设坐标，再用夹角条件解出 、，中间必须平方去根号，还要在两个根里取舍。少算解把 、 当未知数：定义给和，余弦定理给积，中线把和与积直接合成 。省掉的动作很具体——一次平方、一个二次方程、两次开根号，全程不出现 、。 为什么换成 、 就够？因为要的量 是焦点三角形的中线，只由两边和夹角决定，与 落在四个对称位置里的哪一个无关：满足条件的 有四个， 只有一个。 再想一步：定义不是万能的。 把设问换成“求点 的坐标”或“求直线 的斜率”，、 就不够了——定义只交代长度关系，不交代位置，此时必须回到坐标。本讲的动作只在“答案不含坐标”的题上占便宜。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 设 ，用椭圆方程消 记 、，写 关键难点 分母带根号，必须平方并舍根 由和与夹角凑出积 运算量 步骤数 四步（含一个二次方程） 三步（一次余弦定理） 主要风险 平方引入增根；坐标解错 把“和”写成“差”；中线式记错号 04 迁移 同一条路径，两种外壳：一种把折线拉直，一种把焦点换成准线。 （一）过焦点的弦：周长就是 迁移一 · 拉直一条焦点弦 已知椭圆 （）的上顶点为 ，两个焦点为 、，离心率为 。过 且垂直于 的直线与 交于 、 两点，，求 的周长。 少算解 · 想：先认出那个等边三角形 第一步，读出形状。 给 ，。上顶点到两焦点的距离都等于 ，而 ，所以 是等边三角形。 第二步，认出垂直平分线。 ，说明 在线段 的垂直平分线上；又 过 且 ，所以直线 正是 的垂直平分线，于是 ，。 第三步，拉直。 、、 共线且 在两点之间，故 。周长 第四步，只剩求 。 取 ，则 、，，直线 。代入得 ， 同一比例放大回 ：，，，所以周长 。 若不认出那条垂直平分线，就得把 、 的坐标解出来（带 ），再分别用两点间距离公式算 、 后相加——那是四五个带根号的式子。第三步把这两段距离搬到另一个焦点上，一次加法就换回 。 过焦点的弦配一个曲线上的顶点，周长基本就是 。 图 3: 两条折线各补成一个 （二）只有一个焦点时，换成准线 迁移二 · 焦半径换成横坐标 已知点 在抛物线 （）上，点 到 的焦点的距离为 12，到 轴的距离为 9，求 。 少算解 · 想：把焦半径换成横坐标 抛物线没有两个焦点，但“换”是一样的：定义把到焦点的距离换成到准线 的距离。点 到 轴的距离为 9，即 ，所以 为什么可以这样换。 常规写法是 根号里恰好配成完全平方——这不是巧合，这就是抛物线的定义。先写定义，省掉的就是这次开根号。 三种曲线，同一条路径： 椭圆用和、双曲线用差、抛物线用准线 。把带根号的焦半径换成一个横坐标，是本讲动作的最后一块拼图。 05 边界 用定义最容易失手的地方，是双曲线的那个“差”——它带绝对值。 反例 · 少写一个绝对值 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在 上，，求 。有同学由 直接得 。 机械套用会漏掉一支 定义是 ，不是 。去掉绝对值要分两支： 右支：，得 。此时 的横坐标为 ，，确在右支上。 左支：，得 。此时 的横坐标为 ，，确在左支上。 两支都成立，答案是 2 或 10。 两个检验办法：一看三边能否成三角形，需 ，2 与 10 都通过；二看焦半径的取值范围，右支上 ，左支上 ，而 6 同时落在两个范围里，所以两支都要。 正确的读法。 椭圆写和，双曲线写差，但只有椭圆可以“直接代入”。双曲线要先问“ 在哪一支”：题面写明支的取一个符号，没写明的两种可能都列出来，再逐个回代验证。定义只交代长度，不交代位置——要坐标、斜率、中点时，它只能当筛选条件，剩下的仍靠联立。 一句话： 绝对值少写一次，答案就少掉一支；定义给的是长度关系，位置要另外定。 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 已知椭圆 的两个焦点为 、，点 在 上，，求 的面积。 自测 2 设双曲线 （，）的左、右焦点分别为 、，离心率为 ，点 在 上，且 。若 的面积为 4，求 。 自测 3 已知点 在抛物线 （）上，点 到 的焦点的距离为 10，到 轴的距离为 6，求 。 07 速查卡 表 2: 回到两个焦点·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 点在曲线上，出现焦点 与 的数值 写和或写差，换掉一条焦半径 点是否真在曲线上 焦点三角形，给了夹角或面积 两边之和（差）与第三边 余弦定理求积， 收尾 角是顶角还是底角 过焦点的弦，问周长 折线补成两个 ，周长 顶点必须在曲线上 双曲线上的点 差的绝对值 先定支，再去绝对值 两支是否都要保留 抛物线给了到焦点的距离 准线 换成 横坐标的符号 要坐标、斜率、中点 定义不够用 回到设点、联立、韦达 判别式与范围 本讲结论 圆锥曲线的题先写那一行定义：椭圆 ，双曲线 ，抛物线把 换成 。和差落地，剩下的只是一个三角形；答案里不含坐标，就不要设点。 定义四问 本讲关键词：焦半径 · · 焦点三角形 · 折线拉直 · 准线 下一讲 · 只写韦达，不解点 定义能省掉设点；一旦必须联立，也别急着解交点——把 、 直接写进弦长与面积的式子里，这是第 39 讲要练的动作。 08 参考答案 以下解析对应第 06 节的三道自测。对照每题的“路径回看”，检查自己是先写了定义，还是先设了点。 自测 1　【答案】 。 【解析】 ，，，。记 、，则 。在 中用余弦定理：。把 代入，得 ，所以 ， 【路径回看】 只问面积，目标就是积 ，不必分别求两条焦半径；和与平方和之间搭桥的仍是 。 自测 2　【答案】 。 【解析】 给 ，故 。由 ，；由双曲线定义 ，平方得 ，代入 得 ，所以 此时 、，两条焦半径为 4 与 2。 【路径回看】 双曲线用差的绝对值，平方后与平方和只差一个 ；面积只要积，两支给出同一个 。 自测 3　【答案】 。 【解析】 点 到 轴的距离为 6，故 。由定义，焦半径等于到准线 的距离：，解得 。检验：，回代距离公式得 ，一致。 【路径回看】 抛物线只有一个焦点，换的是准线：把带根号的焦半径写成横坐标加 。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 面积只依赖积 、顶角 、 ， 2 差的平方与平方和差 、 ，故 3 焦半径换成 、 回代距离公式仍得 10 学科网（北京）股份有限公司 $