第27讲 数列新定义 讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 新定义题先别求通项：从第一项开始，把定义算到“结构出现”为止。

新定义数列的题干，给的是陌生的生成规则或筛选规则。多数人的第一反应是“求通项”，可这类题往往没有初等通项；真正该做的，是先把自己当成规则的执行器，算几项出来看。

本讲只练一个动作： 先算，再认结构 。主例中，前三项是 1,2,3，和自然数没有区别；直到第 9 项从 8 跳到 10，结构才露出来——数位里没有 9，逢九进一。三项是起步，不是上限。

新定义题不怕规则怪，怕的是不动笔。先让规则跑起来，数字会告诉你它是什么。

02  识别

不是所有数列题都值得“先算几项”。题干已经给了 的递推式，就按递推走；出现下面三个信号，再把自己当执行器。

信号一 · 定义是“筛选”，不是“递推”。 题干说“把所有满足……的正整数从小到大排成一列”，或“按如下规则写出数列”，却没有 与 的关系式。这时套等差、等比都没有依据。

信号二 · 问第 项，而 很大。 这种数，出题人不会让你算两千多次；结构一定藏在进位、周期或分块里。

信号三 · 规则只碰“数位、整除、余数”。 一出现“各位数字”“不含数字几”“不能被几整除”，先想两件事：能不能看成一个进位制？能不能按一个周期分组？

图 1: 新定义数列的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 照定义写出 ，不化简，也不急着找公式。 第 2 步 标出“哪一个数被跳过了”；继续算到第一个进位点。 第 3 步 用一句话给结构命名：九进制、每三项留两项、每十项一组。 第 4 步 用结构算目标项，再用“计数”反验：不超过答案的合格数，是否正好 个。

三项看不出结构，不是方法错了，是样本还不够。沿着一个完整的进位周期再算一段。

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03  双解对照

同一个“第 2026 项”，两条路的分岔口不在“会不会数数”，而在“把数位看成什么”。

例题 · 第 2026 个不含 9 的数 把所有十进制表示中不含数字 9 的正整数从小到大排成一列： 记为 。求 。

先把题干里的“免费信息”读出来。 前八项就是 1 到 8；第 9 项不是 9，而是 10。第 17 项是 18，第 18 项不是 19，而是 20。每到一个“9”，数位就跳过去——这不是偶然，是整套数的进位方式变了。

常规解 · 算：按位数分类，再逐位定位 第一步，按位数计数。 一位数中不含 9 的有 1 到 8，共 8 个；两位数有 个（十位 1 到 8，个位 0 到 8）；三位数有 个。前三类共 8+72+648=728 个，所以 是第 2026−728=1298 个四位数。 第二步，逐位定位。 四位数首位可取 1 到 8，每个首位下有 个数。因为 1298=729+569, 首位是 2，且它是“2 开头”的第 569 个。 百位可取 0 到 8，每个百位下有 个数。因为 百位是 7，且它是“27 开头”的第 2 个。 十位可取 0 到 8，每个十位下有 9 个数。第 2 个落在十位 0 的组里，该组第 2 个的个位是 1。 第三步，收尾。 。路走得通，但四层定位每层都要处理“第几个”的偏移；1298、569、2 三个中间数，任何一个记错，最后都落到别的数上。