第38讲 双曲线及其性质 讲义- 2027届高三数学一轮复习

第38讲 双曲线及其性质 内 容 导 航 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程 知识点3 双曲线的简单几何性质 知识点4 双曲线的离心率 知识点5 双曲线中的最值与范围问题 题型1 双曲线的标准方程 题型2 求双曲线的焦点和焦距 题型3 双曲线上的点与焦点的距离 题型4 求双曲线的渐近线方程 题型5 双曲线的范围 题型6 双曲线的顶点 题型7 双曲线的实轴和虚轴 题型8 双曲线的对称性 题型9 求双曲线的离心率 题型10 双曲线的离心率与双曲线形状的关系 题型11 双曲线相关动点轨迹 题型12 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 题型13 双曲线的弦及弦长 题型14 双曲线的焦点弦及焦半径 题型15 双曲线的焦点三角形 题型16 双曲线的中点弦 题型17 双曲线与平面向量 题型18 双曲线的定点及定值问题 知 识 点 通 关 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 知识点2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 知识点3 双曲线的简单几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1 (－a,0)，A2 (a,0) 顶点坐标：A1 (0，－a)，A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为 知识点4 双曲线的离心率 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于a,c的齐次方程”。由于离心率 ，解题时应避免直接求a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含a,b,ca,b,c的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系，将式子中的b消去，转化为仅含a,c的齐次方程。最后，等式两边同除以a或a2，即可将其化为关于e的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 知识点5 双曲线中的最值与范围问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法。 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值。 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解。 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件。 考 点 演 练 题型1 双曲线的标准方程 【典例1】已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） 【答案】D 【解答】解：由题意得（m+1）（m+2）＞0，解得m＜﹣2或m＞﹣1， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）． 故选：D． 【变式1】已知双曲线的上，下焦点分别为F2，F1，抛物线的准线l过点F1，且l与C的一条渐近线交于点A，若直线AF2的斜率为，则双曲线C的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：抛物线中p＝2，故抛物线的准线l的方程为，则， 而双曲线的渐近线方程为， 不妨设点A为第四象限内的点， 联立，解得，即， 又直线AF2的斜率为，则直线AF2的倾斜角为120°，易得∠AF2F1＝30°， 而，， 在Rt△AF1F2中，，即， 所以4a2＝3b2＝3（3﹣a2），解得， 所以双曲线C的方程为． 故选：D． 题型2 求双曲线的焦点和焦距 【典例1】已知双曲线的一个焦点坐标为（0，5），则m+n＝（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【解答】解：由题意，双曲线的一个焦点坐标为（0，5）， 因为a2＝m，b2＝n，c2＝25， 所以m+n＝25． 故选：C． 【变式1】双曲线的焦点坐标为（　　） A．（±3，0） B． C．（0，±3） D． 【答案】D 【解答】解：因为m+6＞m+3， 所以根据双曲线的定义可得，m+3＜0，m+6＞0，且焦点在y轴上， 方程可化为． 此时a2＝m+6，b2＝﹣（m+3），则c2＝a2+b2＝m+6﹣（m+3）＝3， 所以该双曲线的焦点为． 故选：D． 题型3 双曲线上的点与焦点的距离 【典例1】双曲线的两个焦点分别是F1和F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为（　　） A．1 B．4 C．9 D．1或9 【答案】C 【解答】解：双曲线的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8； 可得a2+12＝16，解得a＝2， M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5＜a+c＝6， 所以M在双曲线的左支上，所以|MF2|＝|MF1|+2a＝5+4＝9． 故选：C． 【变式1】已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A，B分别为C左、右支上的点，且F1，A，B三点共线．若∠AF2B＝∠AF1F2，则2|F1F2|+|BF2|的最小值为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【解答】解：如图， 在△AF2B和△F1F2B中， ∵∠AF2B＝∠AF1F2，∠ABF2＝∠F2BF1， ∴△AF2B∽△F2F1B，不妨设AB＝x，， 则|BF2|＝λx，由相似比可得，则， ∵|BF1|﹣|BF2|＝2，∴（λ2﹣λ）x＝2， 因此x（λ＞1），则|AF1|＝|BF1|﹣|AB|， ， 由相似比，得|F1F2|＝λ|AF2|＝4λ+2， ∴2|F1F2|+|BF2|． 当且仅当8（λ﹣1），即λ时等号成立． 故选：C． 题型4 求双曲线的渐近线方程 【典例1】已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左焦点F1和右焦点F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，若，则双曲线C2的渐近线方程为（　　） A．y＝±3x B． C． D．y＝±2x 【答案】B 【解答】解：设椭圆C1的方程：，双曲线C2的方程：，b2＞0）， 焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）， 由，，由，则，则a1＝3a2． 因为P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点， 所以由定义：|PF1|+|PF2|＝2a1＝6a2，|PF1|﹣|PF2|＝2a2， 所以|PF1|＝a1+a2＝4a2，|PF2|＝a1﹣a2＝2a2， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程． 故选：B． 【变式1】已知双曲线的左顶点为A，过A的直线l与C的右支交于点B，若线段AB的中点在圆O：x2+y2＝a2上，且，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B．y＝±x C． D． 【答案】B 【解答】解：已知双曲线的左顶点为A，过A的直线l与C的右支交于点B，且线段AB的中点在圆O：x2+y2＝a2上， 设线段AB的中点为E，双曲线的右顶点为D，左右焦点为F1，F2，连接DE，DB， 又线段AB的中点E在圆O：x2+y2＝a2上，所以DE⊥AB， 所以△ADE≌△BDE，所以|AD|＝|BD|＝2a， 因为，所以， 在△ODB中，由余弦定理得， 因为∠ODB∈（0，π），所以， 所以，过B作BF⊥x轴于F，则， 所以， 所以，得a2＝b2，即a＝b， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x． 故选：B． 题型5 双曲线的范围 【典例1】双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：yx， ∵点（2，1）在“右”区域内， ∴2＞1，即， ∴e， 又e＞1， 则双曲线离心率e的取值范围是（，+∞）． 故选：B． 【变式1】若集合，则 　 　 ． 【答案】{x|﹣2＜x＜2}． 【解答】解：因为，所以x≥2或x≤﹣2， 即A＝{x|x≥2或x≤﹣2}，所以{x|﹣2＜x＜2}． 故答案为：{x|﹣2＜x＜2}． 题型6 双曲线的顶点 【典例1】已知双曲线1的一个顶点坐标为（﹣3，0），且该双曲线的离心率是，则b＝（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【解答】解：双曲线1的一个顶点坐标为（﹣3，0），可得a＝3， 该双曲线的离心率是，所以c．所以c，可得b2＝1， 故选：C． 【变式1】已知双曲线C：x2﹣y2＝1，则C的右顶点的坐标为 　 　 ；若双曲线C1与双曲线C的渐近线相同，则双曲线C1的离心率e＝　 ． 【答案】（1，0）；． 【解答】解：由双曲线C：x2﹣y2＝1，可得a＝1，b＝1，c， 所以右顶点坐标为（1，0）； 因为共渐近线系的双曲线，离心率相同，所以双曲线C1的离心率就是双曲线C的离心率， 所以． 故答案为：（1，0）；． 题型7 双曲线的实轴和虚轴 【典例1】已知双曲线C：的一条渐近线与直线2x﹣y+1＝0平行，且双曲线C过点，则双曲线C的实轴长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题可得：2，即b＝2a． 因为双曲线C过点，所以，解得， 所以双曲线C的实轴长． 故选：C． 【变式1】已知双曲线C的两渐近线的夹角为60°，且实轴长小于虚轴长，则C的虚轴长与焦距之比等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设双曲线C的标准方程为（a＞0，b＞0）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长2a小于虚轴长2b，即a＜b，所以 因为渐近线的夹角为60°，所以渐近线的倾斜角为60°和120°， 所以，即， 由c2＝a2+b2， 得c2＝a2+3a2＝4a2，即c＝2a， 虚轴长为，焦距为2c＝4a， 所以． 故选：C． 题型8 双曲线的对称性 【典例1】形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．渐近线方程为x＝0和y＝x B．y＝f（x）的对称轴方程为和 C．M，N是函数f（x）图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D．Q是函数f（x）图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A，B两点，则△OAB的面积为定值 【答案】ABD 【解答】解：因为是双曲线，由图象可知：函数f（x）图象无限接近x＝0和y＝x，但不相交， 故渐近线为x＝0和y＝x，故A正确； 因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直， 一条直线的倾斜角为， 由二倍角公式可得， 整理得（tan22.5°）2+2tan22.5°﹣1＝0，解得或（舍去）， 故， 另一条直线的斜率为，故B正确； 设M（x1，y1），N（x2，y2），所以， 故，故C错误； 因为， 设，则Q处切线的斜率， 所以切线方程为， 令x＝0，可得，即，则； 令，可得x＝2t，即B（2t，2t），则； 故△OAB面积为（定值），故D正确． 故选：ABD． 【变式1】已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且|MP|＝|MF1|，下列判断正确的是（　　） A． B．E的离心率等于 C．△PF1F2的内切圆半径 D．若A，B为E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时其乘积为2 【答案】ABD 【解答】解：如图所示， 对于选项A：∵M是PF1的中点，O是F1F2的中点， ∴MO∥PF2，又∵MO⊥F1F2， ∴PF2⊥F1F2， 又∵∠PF1F2，∴∠F1PF2， 故选项A正确， 对于选项B：∵F1F2＝2c，∴，， 又∵|PF1|﹣|PF2|＝2a， ∴， ∴离心率e，故选项B正确， 对于选项C：如图，设△PF1F2的内切圆的圆心为N，半径为r， 则在Rt△PQN中，∠NPQ，QN＝r，PQr， ∴tan∠NPQ， ∴r， ∵c的值未知，∴r的值未知，故选项C错误， 对于选项D：∵e，∴c，∴P（，2a）， 设A（m，n），则B（﹣m，﹣n）， ∴直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2， ∴k1k2， 又∵点A在双曲线上，∴， ∵，∴b2＝2a2， ∴，∴n2＝2m2﹣2a2， ∴k1k22，故选项D正确， 故选：ABD． 题型9 求双曲线的离心率 【典例1】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点分别为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足|FA|＝|FP|，∠FAP＝30°，则双曲线离心率为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，不妨设P在第二象限，则P（，（c+a））， 因为P是双曲线上一点， 所以， 整理可得3e2﹣e﹣4＝0， 因为e＞1，所以e． 故选：D． 【变式1】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意易得A（﹣a，0），P（﹣a，﹣b），Q（a，b）， ∴，，又， ∴coscos， ∴， ∴4a2+b2＝4b2，∴4a2＝3b2， ∴4a2＝3（c2﹣a2）， ∴7a2＝3c2， ∴， ∴e． 故选：C． 题型10 双曲线的离心率与双曲线形状的关系 【典例1】已知曲线C：1（　　） A．若m，则C是椭圆 B．若，则C是双曲线 C．当C是椭圆时，若|m|越大，则C越接近于圆 D．当C是双曲线时，若|m|越小，则C的张口越大 【答案】BD 【解答】解：对于A，当m时，2m2﹣4＞0，若m＝2，则2m2﹣4＝4，曲线C：1表示的图形是圆，所以选项A错误； 对于B，当m时，2m2﹣4＜0，所以曲线C：1表示的图形是双曲线，选项B正确； 对于C，当C是椭圆时，|m|且m≠2，焦点在x轴上时，|m|＜2，|m|越大，离心率越小，曲线C表示的椭圆越圆；焦点在y轴上时，|m|＞2，|m|越大，离心率越大，曲线C表示的椭圆越扁平，所以选项C错误； 对于D，双曲线的张口大小，取决于渐近线的斜率大小，渐近线方程为y＝±x， 当|m|越小时，k越大，双曲线的张口就越大，选项D正确． 故选：BD． 【变式1】已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|＝t（t＞0）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（　　） A．当0＜t＜2时，E为椭圆 B．当t＞2时，E为双曲线 C．当t＞2时，E为双曲线一支 D．当t≠2且t越大时，E的离心率越大 【答案】ABD 【解答】解：当0＜t＜2时，点B在圆A内， 由题设可知：|MB|＝|MP|，所以|MA|+|MB|＝|MA|+|MP|＝|AP|＝2＞|AB|＝t， 故点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝t， 所以e，∴t越大时，E的离心率越大，故A正确， 当t＞2时，由题设可知：|MB|＝|MP|，所以||MA|﹣|MB||＝||MA|﹣|MP||＝|AP|＝2＜|AB|＝t， 故点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝t， 所以e，∴t越大时，E的离心率越大，故B正确，C不正确； 综上：当t≠2且t越大时，E的离心率越大，故D正确． 故选：ABD． 题型11 双曲线相关动点轨迹 【典例1】已知定点P（m，0），动点Q在圆O：x2+y2＝16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：当P在圆内，设PQ与圆的另一交点为N，设点H为弦NQ的中点， 则OH⊥PQ，线段PQ的中点E在线段HQ内， 则线段PQ的中垂线交线段OQ于点M，如图1， 连接MP，则|QM|＝|MP|， 所以|MP|+|MO|＝|MQ|+|MO|＝|OQ|＝4， 则|MP|+|MO|＝4＞|OP|＝|m|， 此时M的轨迹是以O，P为焦点的椭圆， 当点P在圆上时，线段PQ的中垂线交线段OQ于圆心O， 当点P在圆外时，设PQ与圆的另一交点为N， 设点H为弦NQ的中点，则OH⊥PQ，线段PQ的中点E在线段HP内， 则线段PQ的中垂线交线段QO的延长线于点M，如图2， 连接MP，则|QM|＝|MP|， 所以|MP|﹣|MO|＝|MQ|﹣|MO|＝|OQ|＝4， 则|MP|﹣|MO|＝4＜|OP|＝|m|， 此时点M的轨迹是以O，P为焦点的双曲线的一支， 同理当Q在圆上运动时，还会得到|MO|﹣|MP|＝4＜|OP|＝|m|， 所以动点M的轨迹是双曲线，则点P在圆外，所以|m|＞r＝4． 综上可得，|m|＞4． 故选：D． 【变式1】已知动点M（x，y）与定点的距离与它到定直线l：的距离的比是常数． （1）求动点M的轨迹； （2）过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y＝±x分别交于A、B两点，证明：三角形AOB的面积是定值． 【答案】（1）M的轨迹为：； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）根据题意得，化简得：， 即动点M的轨迹为：； （2）证明：根据对称性，这里只考虑双曲线在第一象限的情况， 设点P坐标为（m，n），m＞0，n＞0，由（1）可得m2﹣n2＝9， 由（1）得，则， 所以双曲线在点P（m，n）处切线的斜率， 所以双曲线在点P（m，n）处切线的方程为，又m2﹣n2＝9， 所以双曲线在点P处的切线方程为mx﹣ny﹣9＝0， 联立，得， 同理可得，显然xA，xB异号， 设切线交y轴于点D，则D（0，）， 则S△AOB＝S△AOD+S△BOD 9，为定值． 题型12 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 【典例1】已知双曲线，过点P（3，3）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解答】解：易知双曲线的焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），顶点A（3，0），渐近线为， 由P（3，3）可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条． 故选：D． 【变式1】已知双曲线的一条渐近线过点（6，﹣2），C的右顶点为D，直线x＝2a与C交于A，B两点，则直线AD与BD的斜率之积为（　　） A． B． C．﹣3 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：因为双曲线的一条渐近线过点（6，﹣2）， 所以将点（6，﹣2）代入，得． 联立，得， 不妨取，， 因为D（a，0），所以． 故选：A． 题型13 双曲线的弦及弦长 【典例1】双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且|AF1|、|AB|、|BF1|成等差数列，则|AB|等于（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：已知双曲线， 则， 因为|AF1|、|AB|、|BF1|成等差数列， 所以|AF1|+|BF1|＝2|AB|， 由双曲线的定义得：|AF1|﹣|AF2|＝2a＝4①，|BF1|﹣|BF2|＝2a＝4②， ①+②得|AF1|+|BF1|﹣|BF2|﹣|AF2|＝8， 又因为|AB|＝|BF2|+|AF2|，|AF1|+|BF1|＝2|AB|， 所以|AF1|+|BF1|﹣|BF2|﹣|AF2|＝2|AB|﹣（|BF2|+|AF2|）＝2|AB|﹣|AB|＝|AB|＝8． 故选：B． 【变式1】如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知C1，C2互为共轭双曲线，且C1，C2的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设双曲线C1的标准方程为（a＞0，b＞0）， 因为C1，C2互为共轭双曲线， 所以双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0）， 所以，， 所以， 设（t＞0），则． 设（t＞0），则， 令f'（t）＞0，得， 所以当时，f'（t）＞0，函数f（t）在上单调递增， 令f'（t）＜0，得， 所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）在上单调递减， 所以当，函数f（t）有最大值， 所以的最大值为． 故选：B． 题型14 双曲线的焦点弦及焦半径 【典例1】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线l与圆x2+y2＝a2相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若4，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接OT，在直角三角形OTF1中，|OT|＝a，|OF1|＝c， ∴|TF1|＝b，sin∠PF1F2， ∵4，∴|PF1|＝4b，|PF2|＝4b﹣2a， 在△PF1F2中，sin∠PF1F2，得cos∠PF1F2， 又|F1F2|＝2c， ∴|PF1|2+4c2﹣2|PF1|•|F1F2|•cos∠PF1F2＝|PF2|2， 即， 化简可得3b＝4a， ∴e， 故选：D． 【变式1】已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，直线AF2与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是（　　） A．存在点A，使得直线AF2的斜率为2 B．存在点A，使得∠F1AF2＝90° C．存在点A，使得|OA|＜|AF2| D．存在点A，使得点M的横坐标为2a 【答案】ABD 【解答】解：A设点A（x0，y0），B（x1，y1），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 由题知离心率，解得， 故有b＝2a，，双曲线C的渐近线为y＝±2x， 对于A选项，如果存在点A，使得直线AF2的斜率为2， 直线AF2与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项：，，若∠F1AF2＝90°，即， 可得，即：， 而A（x0，y0）位于双曲线右支上，其中x0≥a， 故有：，即：， 联立①②两个等式可得：，，又， 此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由|OA|＜|AF2|，即：， 化简得：，由点A在C的右支上可知：x0≥a， 故存在点A，使得|OA|＜|AF2|，故C选项正确； 对于D选项：设M（2a，yM），，， 代入化简得，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点A，使得点M的横坐标为2a，故D选项错误； 下面为证明， AB的中点为M，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而A（x0，y0），B（x1，y1）两点均位于双曲线上，故：（③）， ，用③减④得：， 化简得，故，证毕． 故选：ABD． 题型15 双曲线的焦点三角形 【典例1】已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交E的左支于A，B两点，若|AF1|，|AF2|，|BF2|成等差数列，且，则E的离心率是（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交E的左支于A，B两点，如图， 设|AF1|＝m，∴|AF2|＝|AF1|+2a＝m+2a， 又∵|AF1|，|AF2|，|BF2|成等差数列，∴|BF2|＝2|AF2|﹣|AF1|＝m+4a， ∴|BF1|＝|BF2|﹣2a＝m+2a，∴|AB|＝|AF1|+|BF1|＝2m+2a， ∵cos∠AF2B ， 解得m＝2a， ∴|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|BF2|＝6a，|BF1|＝4a，|AB|＝6a＝|BF2|， ∴△ABF2为等腰三角形， 即， 化简可得，∴． 故选：A． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若BF1⊥BF2，则的值为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解答】解：∵双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，即， 不妨设，则a＝1，如图， 设|BF2|＝x，|AF2|＝y，则|BF1|＝2+x，|AF1|＝2+y， 在△BF1F2中，由勾股定理可得（2+x）2+x2＝10，解得x＝1， 则|BF1|＝3，|BF2|＝1， 同理，在△AF1B中，由勾股定理可得（1+y）2+9＝（2+y）2，解得y＝3， ∴． 故选：B． 题型16 双曲线的中点弦 【典例1】若双曲线不存在以点P（4，m）为中点的弦，则正实数m的取值范围为（　　） A． B．（1，2] C．（0，2] D． 【答案】A 【解答】解：假设存在以P（4，m）为中点的弦，且弦的两个端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，且x1+x2＝8，y1+y2＝2m， 两式相减得，（y1﹣y2）（y1+y2）， 所以kAB（m＞0）， 所以直线AB的方程为y﹣m（x﹣4），即yxm， 联立，消去y得（m2﹣4）x2﹣8（m2﹣4）x﹣4m4+28m2﹣64＝0， 当m2﹣4＝0，即m2＝4时，﹣4m4+28m2﹣64＝0，显然不成立， 所以假设不成立，符合题意， 所以m2＝4； 当m2﹣4≠0，即m2≠4时，若假设不成立，则Δ＝64（m2﹣4）2﹣4[（m2﹣4）（﹣4m4+28m2﹣64）]≤0， 整理得16m2（m2﹣4）（m2﹣3）≤0， 所以3≤m2＜4， 又m＞0，所以， 综上，， 所以正实数m的取值范围为[，2]． 故选：A． 【变式1】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x． （1）求双曲线C的方程； （2）过点P（1，1）的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由． 【答案】（1）x21． （2）P不能为AB的中点，理由见解答． 【解答】解：（1）因为双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x， 所以， 解得a2＝1，b2＝2，c2＝3， 所以双曲线C的方程为x21． （2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1， 此时与双曲线只有一个交点，不成立， 当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+1， 联立，得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以Δ＝（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＝﹣16k+24＞0，即k， 所以x1+x2，x1x2， y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+2＝k•2k+2， 所以，， 所以AB的中点坐标为（，）， 若P时AB的中点，则， 解得k＝2， 不符合k， 所以k无解， 所以P不能为AB的中点． 题型17 双曲线与平面向量 【典例1】已知两点M，P在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，NP交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，不妨设M在第一象限，设Q为NP的中点， 因为O为MN的中点，故OQ∥MP， 设N（x1，y1）（x1＜0，y1＜0），P（x2，y2），Q（x0，y0），x1≠x2， N，P在双曲线上，则， 两式相减可得， 即， 而， 故， 即， 又，则MN⊥MP，故ON⊥OQ，即kON•kOQ＝﹣1， 即，即，所以， 又，则， 即，故T（0，7y1）， 所以，而kNP＝kNT，故， 故，则双曲线C的离心率为， 根据双曲线的对称性可知，当M在第四象限时，同理可求得， 当M在双曲线的顶点时，由于MN⊥MP，此时MP与双曲线相切，不合题意， 故双曲线C的离心率为． 故选：C． 【变式1】已知双曲线的右焦点为F，中心为O，P是C右支上的动点，若点M满足，则|OM|的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解答】解：易知双曲线C的右焦点F（2，0）， 因为， 所以， 此时点M在以PF为直径的圆上， 设P（x0，y0）， 以PF为直径的圆的圆心为，半径， 所以|OM|的最小值为|ON|﹣r， ， 因为点P在双曲线上， 所以， 此时， 因为P是C右支上的动点， 所以x0≥1，， ， 因为x0≥1， 所以， 则|OM|的最小值为． 故选：B． 题型18 双曲线的定点及定值问题 【典例1】已知双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P（2，1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）斜率为﹣1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P）． ①求直线AP、BP的斜率之和； ②若△PAB的外接圆圆心为M，试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ|2﹣|MP|2为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①0；②存在，且点Q（1，0）． 【解答】解：（1）双曲线C的右焦点为F（c，0），双曲线C的渐近线方程为，即bx±ay＝0． 因为双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为1， 所以焦点F到一条渐近线的距离为， 因为点P（2，1）在双曲线C上，所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）①设直线AB的方程为y＝﹣x+m，点A（x1，y1）、B（x2，y2）． 因为点P不在直线AB上，则m﹣1≠2，可得m≠3， 联立，消去y整理可得x2﹣4mx+2（m2+1）＝0， 则 ， 即直线AP、BP的斜率之和为0． ②设△PAB的外接圆方程为x2+y2+sx+ty+n＝0， 则， 由y1＝﹣x1+m代入， 可得， 所以． 同理可得， 所以x1、x2为关于x的方程2x2+（s﹣t﹣2m）x+（m2+tm﹣n）＝0的两根， 又因为x1、x2为关于x的方程x2﹣4mx+2（m2+1）＝0的两根， 所以方程2x2+（s﹣t﹣2m）x+（m2+tm﹣n）＝0与方程x2﹣4mx+2（m2+1）＝0为同解方程， 所以，解得， 易知x2+y2+sx+ty+n＝0的圆心为点， 所以点，， 所以直线MP的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x+3． 当PQ⊥MP时，直线PQ的斜率为1， 所以直线PQ的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1， 直线y＝x﹣1与x轴的交点为（1，0），不妨取点Q（1，0），此时PQ⊥MP， 则|MQ|2﹣|MP|2＝|PQ|2＝（2﹣1）2+（1﹣0）2＝2， 故在x轴上存在定点Q（1，0），使得|MQ|2﹣|MP|2为定值2． 【变式1】已知双曲线的离心率为，P（4，3）是C上一点，直线l的斜率为﹣1，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若，求l的方程； （3）证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上． 【答案】（1）． （2）y＝﹣x+13． （3）由（2）知x1+x2＝8m， 所以AB的中点M的横坐标为， 所以点M的纵坐标为，即M（4m，﹣3m）， 所以线段AB的垂直平分线的方程为y+3m＝x﹣4m，即y＝x﹣7m， 设点Q的坐标为（x0，y0），则y0＝x0﹣7m， 因为|QA|＝|QP|， 所以， 又y1＝﹣x1+m，y0＝x0﹣7m， 所以， 整理得， 由x2﹣8mx+4m2+12＝0，得， 设， 则， 即﹣8m2﹣24+D＝0， 所以， 整理得， ①当m﹣7≠0时，两边同除以m﹣7，可得， 代入y0＝x0﹣7m，得，即x0+y0＝7， 所以△PAB的外接圆的圆心Q在定直线x+y﹣7＝0上； ②当m﹣7＝0，即m＝7时，直线AB的方程为y＝﹣x+7， 此时点P（4，3）满足直线AB的方程，即P，A，B三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上，△PAB的外接圆的圆心Q在定直线x+y﹣7＝0上． 【解答】（1）解：由题意知，，解得a2＝4，b2＝3， 所以双曲线C的方程为． （2）解：设直线l的方程为y＝﹣x+m，且A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y得x2﹣8mx+4m2+12＝0， 所以Δ＝（﹣8m）2﹣4（4m2+12）＞0，解得m＞1或m＜﹣1， 且， 因为P（4，3）， 所以， 所以（x1﹣4）（x2﹣4）+（y1﹣3）（y2﹣3） ＝（x1﹣4）（x2﹣4）+（﹣x1+m﹣3）（﹣x2+m﹣3） ＝2•（4m2+12）﹣（m+1）•8m+（m﹣3）2+16＝m2﹣14m+49＝36， 即m2﹣14m+13＝0，解得m＝1或m＝13， 又m＞1或m＜﹣1，所以m＝13， 所以直线l的方程为y＝﹣x+13． （3）证明：由（2）知x1+x2＝8m， 所以AB的中点M的横坐标为， 所以点M的纵坐标为，即M（4m，﹣3m）， 所以线段AB的垂直平分线的方程为y+3m＝x﹣4m，即y＝x﹣7m， 设点Q的坐标为（x0，y0），则y0＝x0﹣7m， 因为|QA|＝|QP|， 所以， 又y1＝﹣x1+m，y0＝x0﹣7m， 所以， 整理得， 由x2﹣8mx+4m2+12＝0，得， 设， 则， 即﹣8m2﹣24+D＝0， 所以， 整理得， ①当m﹣7≠0时，两边同除以m﹣7，可得， 代入y0＝x0﹣7m，得，即x0+y0＝7， 所以△PAB的外接圆的圆心Q在定直线x+y﹣7＝0上； ②当m﹣7＝0，即m＝7时，直线AB的方程为y＝﹣x+7， 此时点P（4，3）满足直线AB的方程，即P，A，B三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上，△PAB的外接圆的圆心Q在定直线x+y﹣7＝0上． 过 关 验 收 1．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线y＝mx与y轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设C2的离心率为e，则下列结论正确的是（　　） A． B．点是C2的一个顶点 C．C1的方程为 D． 【答案】C 【解答】解：对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与x＝0， 两直线的夹角为60°，所以双曲线C1两渐近线夹角为60°，且双曲线C1的离心率与C2的离心率相等， 即双曲线C1的一条渐近线倾斜角为，由渐近线方程得， 所以双曲线C2的离心率，故A错误． 对于B，双曲线的两条渐近线分别为直线x＝0和， 且直线与y轴夹角为60°， 所以双曲线C2的实轴方程为， 联立，解得或， 故双曲线C2的两个顶点为，故B错误； 对于D，双曲线C2的实轴长为， 即，故D错误； 对于C，由，得， 故双曲线C1的方程为，故C正确． 故选：C． 2．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，5） B．（5，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 【答案】C 【解答】解：由题可得：（5﹣m）（m+2）＜0， 解得m＞5或m＜﹣2． 故选：C． 3．对数函数f（x）＝logax与双曲线均存在的一个充分不必要条件为a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：若对数函数f（x）＝logax存在，则a＞0且a≠1； 若表示双曲线，则3﹣a＞0，即a＜3， 综上，则0＜a＜1或1＜a＜3． 所以a＝2是对数函数f（x）＝logax与双曲线均存在的一个充分不必要条件． 故选：C． 4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为，且实轴长为2， 可得2a＝2且， 故a＝1，b，可得c2． 故焦距2c＝4． 故选：D． 5．已知双曲线C：，则（　　） A．0＜m＜1 B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【解答】解：因为方程表示双曲线，所以m（m+1）＜0，解得﹣1＜m＜0，故A错误． 因为﹣1＜m＜0，所以m+1＞0，﹣m＞0， 所以方程化为双曲线标准形式，其焦点在y轴上，故B错误、D正确．． m的完整取值范围为（﹣1，0），仅为其子集，故C错误． 故选：D． 6．M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 【答案】C 【解答】解：M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，|MF1|＝5， 所以， 由双曲线定义可知||MF1|﹣|MF2||＝2a＝4， 所以|MF2|＝1或者9，又|MF2|≥c﹣a＝2， 所以|MF2|＝9． 故选：C． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线方程为，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　） A．9 B．1 C．1或9 D．1或7 【答案】A 【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线方程为， 可得：，解得a＝2，双曲线方程为：，所以c＝4，a+c＝6， 点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，所以M在双曲线左支上， 则|MF2|＝|MF1|+2a＝9． 故选：A． 8．双曲线左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x+3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝14，则|MF1|＝（　　） A．6或30 B．6 C．30 D．6或20 【答案】C 【解答】解：双曲线左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x+3y＝0垂直， 可得，解得a＝8， 点M在C上，|MF2|＝14＜2a＝16，所以M在双曲线的右支上， 则|MF1|＝2a+|MF2|＝30． 故选：C． 9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一点，若线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点.•，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A．y B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 【答案】B 【解答】解：设双曲线的半个焦距为c，则点F1（﹣c，0）， 由题意知PF2⊥x轴，则P的横坐标为c，由双曲线的对称性设P（c，y0），y0＞0， 所以1， 可得：y0，所以P（c，）， 所以点M的坐标（0，）， 所以（﹣c，），（0，）， 所以•（﹣c，）•（0，）•b2， 可得：a＝b， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x． 故选：B． 10．双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，且a＝1，b， 所以双曲线的渐近线方程为， 所以两条渐近线的斜率， 记所求角为β，则． 故选：B． 11．已知双曲线C：的上下焦点分别是F1，F2，过点F1作渐近线的垂线，交双曲线下支于点M，且|MF2|＝|F1F2|，则双曲线的渐近线方程是（　　） A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．5x±4y＝0 D．4x±5y＝0 【答案】A 【解答】解：设上下焦点F1（0，c），F2（0，﹣c），其中c2＝a2+b2，渐近线为． 由题意得|MF2|＝|F1F2|＝2c， 由题设M在双曲线下支，|MF1|﹣|MF2|＝2a， 因此|MF1|＝2a+2c， △MF1F2中，|F1F2|＝|MF2|＝2c，|MF1|＝2（a+c）， 由余弦定理得：， 又F1M⊥渐近线l，F1M与y轴（F1F2 所在直线）夹角为∠MF1F2， 又F1（0，c）到渐近线l：的距离， 可得， 联立得：，化简得c＝2b﹣a， 代入c2＝a2+b2， 即（2b﹣a）2＝a2+b2， 即4a＝3b， 因此渐近线方程为，整理得3x±4y＝0． 故选：A． 12．双曲线C：1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2＝﹣4x的准线l围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为　 　 ． 【答案】（1，） 【解答】解：双曲线C：1的渐近线方程为y＝±x， 抛物线y2＝﹣4x的准线1：x＝1， 渐近线l1，l2与抛物线y2＝﹣4x的准线1围成区域Ω，如图， 1的几何意义是点（x，y） 与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差， 求得A（1，），B（1，）， 连接PA，可得斜率最大为， 由题意可得1＜0， 可得3，即3a＞b，9a2＞b2＝c2﹣a2， 即c2＜10a2，即有ca． 可得1＜e． 故答案为：（1，）． 13．已知焦点在x轴的等轴双曲线C的虚轴长为，直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M． （1）若直线l过C的右焦点且A，B都在右支，求弦长|AB|的最小值； （2）如图所示，虚线部分为双曲线C与其渐近线之间的区域，点M能否在虚线部分的区域内？请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析． 【解答】解：（1）因为焦点在x轴的等轴双曲线C的虚轴长为， 所以， 可得， 则双曲线C的方程为x2﹣y2＝2，渐近线方程为y＝±x，右焦点F2（2，0）， 因为直线l过双曲线C的右焦点且A，B都在右支， 当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x＝2， 联立， 解得或， 所以； 当直线l的斜率存在时， 不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（k2﹣1）x2﹣4k2x+4k2+2＝0， 此时Δ＝16k4﹣4（k2﹣1）（4k2+2）＝8（k2+1）＞0， 由韦达定理得，， 因为，， 解得k2＞1， 所以 ＝2（）＝2（1）＞2， 综上得，弦长|AB|的最小值为； （2）假设存在点M（x0，y0）（x0≠0）在如图虚线部分的区域，使得M为线段AB的中点， 需满足， 不妨设A（x3，y3），B（x4，y4）， 因为M为线段AB的中点， 所以，， 联立，整理得（x3﹣x4）x0﹣（y3﹣y4）y0＝0， 当y0＝0时，点M在x轴上，不符合题意； 当y0≠0时，直线AB的斜率， 此时直线AB的方程为y﹣y0＝k0（x﹣x0）， 联立，消去y并整理得， 可得k0≠±1， 又 ＝4[] ， 此时与相矛盾， 故不存在点M在如图虚线部分的区域，使得M为线段AB的中点． 14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点在圆E：x2+y2＝1上． （1）设点P是双曲线左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB与圆E相切； （2）设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求|TM|•|TN|的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【解答】证明：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为， 故可知， 设P（x0，y0），PA的直线方程为x＝m（y﹣y0）+x0，PB的直线方程为x＝n（y﹣y0）+x0，m≠n， 则， 由于PA与抛物线相切，所以， 故方程的根为y＝2m，将其代入抛物线方程得x＝m2，故A（m2，2m）， 同理n2﹣ny0+x0＝0，B（n2，2n），因此m，n是方程x2﹣y0x+x0＝0的两个根， 故m+n＝y0，mn＝x0， 直线AB的方程为，化简得， 圆心（0，0）到直线AB的距离为， 由于，m2＝my0﹣x0，将其代入得， 故直线AB与圆E相切； 解：（2）联立， 设T（a，b），且满足a2+b2＝1，，则，则，此时MN的直线方程为， 联立直线MN与抛物线方程， 设M（x1，y1），N（x2，y2），所以， 进而，， 因此， 即， 由于，当时，时取最大值5， 由于T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点， 所以M，N在T的两侧，故，故此时|TM|•|TN|的最大值为5， 15．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为（1，0），右焦点为F．若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为（3，5），则|MA|+|MF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设双曲线方程为，则，所以， 双曲线方程为，由，得，， 因此A（3，5）在双曲线外部（不含焦点的部分）， 又，所以F（2，0）， 在△AMF中，由三边之间的关系可知当M是线段AF与双曲线的交点， 即AMF三点共线时，|MA|+|MF|取得最小值， 且最小值为， 故选：B． 16．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为（1，0）．若点M（xM，yM）是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为（3，5），则|MA|+2xM的最小值为（　　） A．1 B． C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：由双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为（1，0）． 可知a＝1，，∴b，c2， ∴双曲线的方程为x21，∴双曲线的准线方程为x， 由双曲线的性质知e＝2，∴|MF|＝2|MM′|＝2（xM）， |MA|+2xM＝|MA|+2（xM）+1＝|MA|+|MF|+1≥|AF|+11． 故选：C． 17．与双曲线有公共渐近线，且过点（﹣2，3）的双曲线的实轴长为　 ． 【答案】． 【解答】解：由题可设该双曲线方程为， 代入（﹣2，3），得，解得λ＝﹣8， 所以，故该双曲线的实轴长． 故答案为：． 18．2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（　　） A．双纽线C关于原点O成中心对称 B． C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个 D．|OP|的最大值为 【答案】C 【解答】解：对于A，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0），距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C， 所以， 用（﹣x，﹣y）替换方程中的（x，y），原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以A正确； 对于B，根据三角形的等面积法可知， 即|y0|sin∠F1PF2，所以，所以B正确； 对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x＝0， 所以，得y＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误； 对于D，因为， 所以||2（cos∠F1PF2）， 由余弦定理得4a2cos∠F1PF2， 所以||2＝a2cos∠F1PF2＝a2+a2cos∠F1PF2≤2a2， 所以|PO|的最大值为，所以D正确． 故选：C． 19．已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知，2 c：2 b＝3：2，则c：b＝3：2，设c＝3m（m＞0），则b＝2m， 所以，故C的离心率为． 故选：C． 20．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线PF1的距离为，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解；因为以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点P， 所以PF1⊥PF2，取PF1的中点M，连接OM， 因为O为F1F2的中点，所以OM∥PF2，且， 故OM⊥PF1，|OM|即为坐标原点O到直线PF1的距离，则， 所以|PF2|＝2|OM|＝3a， 由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，所以|PF1|＝a， 又|F1F2|＝2c，由勾股定理得， 故a2+9a2＝4c2，解得， 故离心率为． 故选：C． 21．已知曲线C：x2cosα﹣y2sinα＝1，其中，则（　　） A．存在α使得C为两条直线 B．存在α使得C为圆 C．若C为椭圆，则α越大，C的离心率越大 D．若C为双曲线，则α越大，C的离心率越小 【答案】ABD 【解答】解：对A选项，当α＝0时，曲线C：x2cosα﹣y2sinα＝1可化为x＝±1，∴A选项正确； 对B选项，当α时，曲线C：x2cosα﹣y2sinα＝1可化为，∴B选项正确； 对C选项，当α∈（，），﹣sinα＞cosα＞0，C为焦点在x轴上的椭圆， 此时离心率e，∴α越大，e越小； 当α∈（，0），cosα＞﹣sinα＞0，C为焦点在y轴上的椭圆， 此时离心率e，∴α越大，e越大，∴C选项错误； 对D选项，若C为双曲线，则α∈（0，）， 离心率e，∴α越大，e越小，∴D选项正确． 故选：ABD． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点A（2，1），点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点． （1）求M的离心率； （2）若△BCT的重心为A，点D（8，4），求|DT|的最小值； （3）若△BCT的垂心为A，求动点T的轨迹方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵双曲线M经过点A（2，1），∴，解得m＝2， ∴a，c，则M的离心率； （2）由已知可得B（﹣2，﹣1），设C（x0，y0），T（x，y）， ∵A为△BCT的重心，∴，解得， ∴，即（x﹣8）2＝2+2（y﹣4）2． ∵点C异于A，B两点，∴T的轨迹不含（6，3），（10，5）两点． 故，当且仅当y＝4时，等号成立， 即|DT|的最小值为； （3）∵A为△BCT的垂心，∴AT⊥BC，B⊥AC，设C（x0，y0），T（x，y）． 当直线BC或AC的斜率为0时，点C的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1），点T与点C重合． 当直线BC或AC的斜率不为0时，直线AT与BT的斜率存在，则kAT•kBC＝﹣1，kBT•kAC＝﹣1， 由（2）知，则， 则． ∵kAT•kBT•kAC•kBC＝1，∴， 又，∴，得y2﹣1＝2x2﹣8， 即． 又（2，﹣1），（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）都在曲线上， ∴动点T的轨迹方程为（除去点（2，﹣1），（﹣2，﹣1），（﹣2，1））． 23．如图，双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，AB⊥BF1且|AF2|＝|BF1|，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点， AB⊥BF1且|AF2|＝|BF1|，设|BF2|＝m，则|AF2|＝|BF1|＝m+2a，|AF1|＝m+4a． 在Rt△ABF1中，有（m+4a）2＝（m+2a）2+（2m+2a）2，整理得m＝a，故|BF1|＝3a． 设|F1F2|＝2c， 在Rt△BF1F2中，有4c2＝9a2+a2，即2c2＝5a2， 所以C的离心率． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第38讲 双曲线及其性质 内 容 导 航 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程 知识点3 双曲线的简单几何性质 知识点4 双曲线的离心率 知识点5 双曲线中的最值与范围问题 题型1 双曲线的标准方程 题型2 求双曲线的焦点和焦距 题型3 双曲线上的点与焦点的距离 题型4 求双曲线的渐近线方程 题型5 双曲线的范围 题型6 双曲线的顶点 题型7 双曲线的实轴和虚轴 题型8 双曲线的对称性 题型9 求双曲线的离心率 题型10 双曲线的离心率与双曲线形状的关系 题型11 双曲线相关动点轨迹 题型12 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 题型13 双曲线的弦及弦长 题型14 双曲线的焦点弦及焦半径 题型15 双曲线的焦点三角形 题型16 双曲线的中点弦 题型17 双曲线与平面向量 题型18 双曲线的定点及定值问题 知 识 点 通 关 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 知识点2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 知识点3 双曲线的简单几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1 (－a,0)，A2 (a,0) 顶点坐标：A1 (0，－a)，A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为 知识点4 双曲线的离心率 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于a,c的齐次方程”。由于离心率 ，解题时应避免直接求a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含a,b,ca,b,c的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系，将式子中的b消去，转化为仅含a,c的齐次方程。最后，等式两边同除以a或a2，即可将其化为关于e的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 知识点5 双曲线中的最值与范围问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法。 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值。 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解。 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件。 考 点 演 练 题型1 双曲线的标准方程 【典例1】已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） 【变式1】已知双曲线的上，下焦点分别为F2，F1，抛物线的准线l过点F1，且l与C的一条渐近线交于点A，若直线AF2的斜率为，则双曲线C的方程为（　　） A． B． C． D． 题型2 求双曲线的焦点和焦距 【典例1】已知双曲线的一个焦点坐标为（0，5），则m+n＝（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【变式1】双曲线的焦点坐标为（　　） A．（±3，0） B． C．（0，±3） D． 题型3 双曲线上的点与焦点的距离 【典例1】双曲线的两个焦点分别是F1和F2，焦距为8；M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为（　　） A．1 B．4 C．9 D．1或9 【变式1】已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A，B分别为C左、右支上的点，且F1，A，B三点共线．若∠AF2B＝∠AF1F2，则2|F1F2|+|BF2|的最小值为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 题型4 求双曲线的渐近线方程 【典例1】已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左焦点F1和右焦点F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，若，则双曲线C2的渐近线方程为（　　） A．y＝±3x B． C． D．y＝±2x 【变式1】已知双曲线的左顶点为A，过A的直线l与C的右支交于点B，若线段AB的中点在圆O：x2+y2＝a2上，且，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B．y＝±x C． D． 题型5 双曲线的范围 【典例1】双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若集合，则 　 　 ． 题型6 双曲线的顶点 【典例1】已知双曲线1的一个顶点坐标为（﹣3，0），且该双曲线的离心率是，则b＝（　　） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【变式1】已知双曲线C：x2﹣y2＝1，则C的右顶点的坐标为 　 　 ；若双曲线C1与双曲线C的渐近线相同，则双曲线C1的离心率e＝　 ． 题型7 双曲线的实轴和虚轴 【典例1】已知双曲线C：的一条渐近线与直线2x﹣y+1＝0平行，且双曲线C过点，则双曲线C的实轴长为（　　） A． B．2 C． D． 【变式1】已知双曲线C的两渐近线的夹角为60°，且实轴长小于虚轴长，则C的虚轴长与焦距之比等于（　　） A． B． C． D． 题型8 双曲线的对称性 【典例1】形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．渐近线方程为x＝0和y＝x B．y＝f（x）的对称轴方程为和 C．M，N是函数f（x）图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D．Q是函数f（x）图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于A，B两点，则△OAB的面积为定值 【变式1】已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且|MP|＝|MF1|，下列判断正确的是（　　） A． B．E的离心率等于 C．△PF1F2的内切圆半径 D．若A，B为E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时其乘积为2 题型9 求双曲线的离心率 【典例1】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点分别为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足|FA|＝|FP|，∠FAP＝30°，则双曲线离心率为（　　） A．4 B． C． D． 【变式1】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型10 双曲线的离心率与双曲线形状的关系 【典例1】已知曲线C：1（　　） A．若m，则C是椭圆 B．若，则C是双曲线 C．当C是椭圆时，若|m|越大，则C越接近于圆 D．当C是双曲线时，若|m|越小，则C的张口越大 【变式1】已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|＝t（t＞0）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（　　） A．当0＜t＜2时，E为椭圆 B．当t＞2时，E为双曲线 C．当t＞2时，E为双曲线一支 D．当t≠2且t越大时，E的离心率越大 题型11 双曲线相关动点轨迹 【典例1】已知定点P（m，0），动点Q在圆O：x2+y2＝16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知动点M（x，y）与定点的距离与它到定直线l：的距离的比是常数． （1）求动点M的轨迹； （2）过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y＝±x分别交于A、B两点，证明：三角形AOB的面积是定值． 题型12 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 【典例1】已知双曲线，过点P（3，3）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1】已知双曲线的一条渐近线过点（6，﹣2），C的右顶点为D，直线x＝2a与C交于A，B两点，则直线AD与BD的斜率之积为（　　） A． B． C．﹣3 D．﹣4 题型13 双曲线的弦及弦长 【典例1】双曲线的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且|AF1|、|AB|、|BF1|成等差数列，则|AB|等于（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式1】如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知C1，C2互为共轭双曲线，且C1，C2的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（　　） A．1 B． C． D． 题型14 双曲线的焦点弦及焦半径 【典例1】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线l与圆x2+y2＝a2相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若4，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，直线AF2与C交于另一点B，AB的中点为M，O为坐标原点，则下列说法错误的是（　　） A．存在点A，使得直线AF2的斜率为2 B．存在点A，使得∠F1AF2＝90° C．存在点A，使得|OA|＜|AF2| D．存在点A，使得点M的横坐标为2a 题型15 双曲线的焦点三角形 【典例1】已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交E的左支于A，B两点，若|AF1|，|AF2|，|BF2|成等差数列，且，则E的离心率是（　　） A． B． C． D．3 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若BF1⊥BF2，则的值为（　　） A． B．3 C． D．2 题型16 双曲线的中点弦 【典例1】若双曲线不存在以点P（4，m）为中点的弦，则正实数m的取值范围为（　　） A． B．（1，2] C．（0，2] D． 【变式1】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x． （1）求双曲线C的方程； （2）过点P（1，1）的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由． 题型17 双曲线与平面向量 【典例1】已知两点M，P在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，NP交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的右焦点为F，中心为O，P是C右支上的动点，若点M满足，则|OM|的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 题型18 双曲线的定点及定值问题 【典例1】已知双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P（2，1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）斜率为﹣1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P）． ①求直线AP、BP的斜率之和； ②若△PAB的外接圆圆心为M，试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ|2﹣|MP|2为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】已知双曲线的离心率为，P（4，3）是C上一点，直线l的斜率为﹣1，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若，求l的方程； （3）证明：△PAB的外接圆的圆心Q在定直线上． 过 关 验 收 1．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线y＝mx与y轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设C2的离心率为e，则下列结论正确的是（　　） A． B．点是C2的一个顶点 C．C1的方程为 D． 2．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，5） B．（5，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 3．对数函数f（x）＝logax与双曲线均存在的一个充分不必要条件为a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知双曲线C：的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（　　） A． B．2 C． D．4 5．已知双曲线C：，则（　　） A．0＜m＜1 B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 6．M是双曲线上一点，点F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线方程为，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝（　　） A．9 B．1 C．1或9 D．1或7 8．双曲线左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x+3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝14，则|MF1|＝（　　） A．6或30 B．6 C．30 D．6或20 9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一点，若线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点.•，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A．y B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 10．双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 11．已知双曲线C：的上下焦点分别是F1，F2，过点F1作渐近线的垂线，交双曲线下支于点M，且|MF2|＝|F1F2|，则双曲线的渐近线方程是（　　） A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．5x±4y＝0 D．4x±5y＝0 12．双曲线C：1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2＝﹣4x的准线l围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为　 　 ． 13．已知焦点在x轴的等轴双曲线C的虚轴长为，直线l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M． （1）若直线l过C的右焦点且A，B都在右支，求弦长|AB|的最小值； （2）如图所示，虚线部分为双曲线C与其渐近线之间的区域，点M能否在虚线部分的区域内？请说明理由． 14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点在圆E：x2+y2＝1上． （1）设点P是双曲线左支上一动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB与圆E相切； （2）设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l是圆E在点T处的切线，若直线l与抛物线C交于M，N两点，求|TM|•|TN|的最大值． 15．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为（1，0），右焦点为F．若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为（3，5），则|MA|+|MF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为（1，0）．若点M（xM，yM）是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为（3，5），则|MA|+2xM的最小值为（　　） A．1 B． C．1 D．2 17．与双曲线有公共渐近线，且过点（﹣2，3）的双曲线的实轴长为　 ． 18．2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0）F2（a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C．已知P（x0，y0）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（　　） A．双纽线C关于原点O成中心对称 B． C．双曲线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个 D．|OP|的最大值为 19．已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 20．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线PF1的距离为，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 21．已知曲线C：x2cosα﹣y2sinα＝1，其中，则（　　） A．存在α使得C为两条直线 B．存在α使得C为圆 C．若C为椭圆，则α越大，C的离心率越大 D．若C为双曲线，则α越大，C的离心率越小 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点A（2，1），点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点． （1）求M的离心率； （2）若△BCT的重心为A，点D（8，4），求|DT|的最小值； （3）若△BCT的垂心为A，求动点T的轨迹方程． 23．如图，双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，AB⊥BF1且|AF2|＝|BF1|，则C的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $