第36讲 立体几何 新情境问题讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 新情境题的第一步不是算，是翻译：把故事里的物件换成课本里的几何体，再把题给的条件逐个落到这个体上。本讲只练：先抽象成基本模型。

新情境题看起来“没见过”，其实只是换了一件外衣。金字塔是正四棱锥，印信是截角的正方体，日晷是球加上两个平面，3D 打印的零件是长方体挖去一个四棱锥。外壳越花，越说明它考的不是计算，而是“脱掉外衣之后，你还认不认得那个体”。

反过来，直接对着故事列式，常会把实物上最显眼的量当成主变量：金字塔的侧棱、零件的长宽高。这些量在题里多半并不出现，绕一圈才回到真正有用的那几个。抽象的作用，是把可用的量压缩到三四个，让每个条件都落在一个三角形或一个公式上。

本讲只练一个动作： 先抽象成基本模型 。顺序固定：认物、定体、选截面、列式。抽象不是把题变简单，而是把题变成你做过的那一道。

02  识别

不是所有新情境都值得先抽象。题面已经给出三条两两垂直的棱，或者直接给了坐标，建系更快。出现下面三个信号，再停下来做“翻译”。

信号一 · 名词是生活物件。 金字塔、帐篷、水槽、印信、零件、卫星，先问“它在课本里叫什么”。判断只看形状与位置关系，不看材质、年代和用途：金字塔四条侧棱相等、底面是正方形，它就是正四棱锥；它有多重、是谁建的，与几何无关。

信号二 · 条件以物理量出现。 质量、密度、容积、光照、纬度、航程，都要先换成几何量：质量换成体积，纬度换成线面角，航程换成弧长。换完再算，题里只剩长度和角。

信号三 · 图形是新定义体或组合体。 半正多面体、截角体、挖去一块的模型，先找它被哪个标准体“包住”，或者由哪几个标准体拼成。包住或拆开之后，未知量就落在标准体的棱上。

图 1: 把实物翻译成基本模型的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 认物：圈出所有名词，划掉与形状无关的修饰，年代、用途、材质都先放下。 第 2 步 定体：写出它对应的课本几何体；写不出，就找“最像的体加上什么、减去什么”。 第 3 步 选截面：过顶点与底面中心、或过球心作截面，让已知量与未知量同时出现。 第 4 步 列式：一个条件一个方程；每个基本量都要在图上指得出来，再动笔算。