第36讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

第36讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 内 容 导 航 知识点1 直线与圆的位置关系 知识点2 圆的切线方程 知识点3 直线被圆截得的弦长 知识点4 圆与圆的位置关系 知识点5 直线与圆的位置关系 知识点6 圆的切线方程 知识点7 圆的弦长和弦心距 知识点8 圆与圆的位置关系 知识点9 最值问题 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 题型3 切线段及切点弦的长度 题型4 切点弦及所在直线的方程 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 题型7 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 题型8 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 题型9 圆上的点到定点的距离及其最值 题型10 圆上的点到直线的距离及其最值 题型11 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 题型12 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 题型13 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 题型14 两圆的公切线条数及方程的确定 题型15 圆系方程 题型16 相交弦所在直线的方程 题型17 直线和圆的方程的应用 知 识 点 通 关 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 知识点2 圆的切线方程 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 必记结论 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 知识点3 直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点4 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 必记结论 圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 知识点5 直线与圆的位置关系 方法技巧 直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 知识点6 圆的切线方程 方法技巧 圆的切线问题求解策略 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 知识点7 圆的弦长和弦心距 方法技巧 直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ 知识点8 圆与圆的位置关系 方法技巧 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 知识点9 最值问题 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧： 1. 代数型最值问题 类型：求形如 ax+by 、 x2+y2等代数式的最值。 技巧： 换元法：利用圆的参数方程（ x=a+rcosθ,y=b+rsinθ ）将问题转化为三角函数的最值问题。 几何意义法： 转化为截距、斜率或距离问题 2. 距离型最值问题 类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值。 技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径。例如，圆上点到直线距离的最大值为 d+r ，最小值为 ∣d−r∣ （ d 为圆心到直线距离）。 3. 面积与向量最值问题 类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值。 技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解。 核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。 考 点 演 练 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 【典例1】过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（　　） A．x2+y2＝15 B．x2+y2＝16 C．x2+y2＝17 D．x2+y2＝20 【答案】C 【解答】解：椭圆，双曲线， 联立方程，消去y2得x2＝16，所以x＝±4，y＝±1， 则交点坐标为（﹣4，1），（﹣4，﹣1），（4，1），（4，﹣1）， 不妨设圆的标准方程为：x2+y2＝r2，代入（4，1）得：r2＝42+12＝17， 所以圆的标准方程为：x2+y2＝17． 故选：C． 【变式1】已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B， 如图，， 因为当M，O，P三点共线时，， 此时|OP|min＝|MP|﹣|OM|＝5﹣2＝3， 所以四边形OAPB面积的最小值为． 故选：B． 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 【典例1】过P（m，n）作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当△PAB为正三角形时，的取值范围为（　　） A． B．（﹣2，1] C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示，因为PA是圆的切线，A为切点， 所以根据圆的切线的性质，可得OA⊥PA， 因为△PAB为正三角形，所以∠OPA＝30°， 所以， 所以点P到原点的距离为2， 所以点P（m，n）的轨迹方程为m2+n2＝4． 令，可得km﹣n﹣4k﹣2＝0， 则圆心O（0，0）到直线km﹣n﹣4k﹣2＝0的距离为， 令d≤2，即，整理得12k2+16k≤0，即k（3k+4）≤0， 解得，即的取值范围为． 故选：A． 【变式1】过点P（3，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为（　　） A．2x+y﹣6＝0 B．x+2y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．3x+y﹣9＝0 【答案】A 【解答】解：连接CA、CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，点P、A、C、B共圆， 根据∠PAC＝∠PBC＝90°，可知CP是四边形PACB外接圆的直径， 由P（3，2），C（1，1），可得PC中点为， 半径等于， 所以四边形PACB的外接圆的方程为，即x2+y2﹣4x﹣3y+5＝0…①， 将圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3化成一般形式，可得x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0…②， 因为直线AB为是圆C与四边形PACB的外接圆的公共弦所在直线， 所以①、②两式相减，化简得AB的方程为2x+y﹣6＝0． 故选：A． 题型3 切线段及切点弦的长度 【典例1】已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，过点P（3，6）作圆C的一条切线，则切线长为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上， 所以设圆心坐标为：C（a，b），圆的半径为r， 则，解得：， 所以圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2＝25， 则， 所以切线长为． 故答案为：． 【变式1】已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A、B，当|PM|•|AB|最小时，点P坐标为 　 　 ． 【答案】（﹣1，0）． 【解答】解：将⊙M的方程整理成标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 所以圆心M（1，1），半径r＝2． ∵， ∴要使|PM|•|AB|最小，只需|PM|最小， 显然当PM与直线l垂直时，|PM|有最小值， 此时直线PM的方程为，即， 联立，解得x＝﹣1，y＝0， 即P（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）． 题型4 切点弦及所在直线的方程 【典例1】在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆4的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：圆的圆心为，半径为2， 以P（3，0）、为直径，则PO的中点坐标为，， ∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为， 因为过点P（3，0）圆的两条切线切点分别为A，B， ∴AB是两圆的公共弦， 将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为：． 故选：A． 【变式1】已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：x+2y+2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 　 ． 【答案】x+2y+1＝0． 【解答】解：⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 则圆心C（1，1），半径r＝2． 因为四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝|CA|•|AM|＝2|AM|＝2， 要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直， 直线CM的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1， 联立，解得M（0，﹣1）．则|CM|， 则以CM为直径的圆的方程为（x）2+y2， 与⊙C的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+1＝0． 故答案为：x+2y+1＝0． 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 【典例1】已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，直线l：（m+2）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】B 【解答】解：将（m+2）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0整理可得m（x+2y﹣3）+（2x﹣y﹣1）＝0， 令，解得x＝1，y＝1， 即直线l恒过定点P（1，1）， 因为圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝25的圆心C（1，﹣1），半径r＝5， 所以圆心到定点P的距离为， 所以点P在圆C内，直线l与圆C始终相交， 当CP⊥l时，直线l被圆C截得的弦长取得最小值，为． 故选：B． 【变式1】抛物线C：y＝2px2（p＞0）的准线被圆x2+y2＝5所截得的弦长为4，则p＝（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：抛物线y＝2px2化为标准方程是x2y，其中p＞0； 所以抛物线的准线方程为y， 圆x2+y2＝5的圆心为O（0，0），半径为r，则圆心O到准线y的距离为d， 所以直线y被圆x2+y2＝5所截得的弦长为224，解得p． 故选：B． 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 【典例1】平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣3，m∈R与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【解答】解：y＝x2+mx﹣3与y轴交点：令x＝0，得y＝﹣3， 设交点为A（0，﹣3）； 与x轴交点：令y＝0，得x2+mx﹣3＝0，设方程的两个不同实根x1，x2， 判别式Δ＝m2+12＞0， 设交点B（x1，0），C（x2，0），共三个不同交点， 设过三点的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 将A（0，﹣3）代入得：9﹣3E+F＝0， 将B（x1，0），C（x2，0）代入，， 且， 相减得：（D﹣m）x1+（3+F）＝0，（D﹣m）x2+（3+F）＝0， 因为x1≠x2，故系数必为0， 得D＝m，F＝﹣3， 代入9﹣3E+F＝0，解得E＝2， 令x＝0代入圆方程得：y2+2y﹣3＝0， 设两根为y1，y2，由韦达定理：y1+y2＝﹣2，y1y2＝﹣3， 弦长为：， 因此弦长为4． 故选：B． 【变式1】若倾斜角为锐角且过点（1，0）的直线l截圆（x+2）2+y2＝4所得弦长为2，则l的斜率为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解答】解：根据题意，直线l的斜率存在且为正数， 设直线l：y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0， 圆C：（x+2）2+y2＝4的圆心为C（﹣2，0），半径r＝2， 圆心C到直线l的距离为， 根据直线l被圆C截得的弦长为，可得r2﹣d2＝1， 所以，化简得9k2＝3k2+3⇒6k2＝3，解得（舍负）． 故选：A． 题型7 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 【典例1】已知圆C1与x轴和y轴都相切，且半径为1；圆C2也与x轴和y轴都相切，并且与圆C1外切．若圆C2的半径小于1，则圆C2的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据对称性，不妨设此时C1的圆心位于第一象限， 因为圆 C2 的半径小于1，且与C1 外切， 所以圆C2的圆心也位于第一象限， 因为圆C1的半径为1， 所以C1（1，1），C2（a，a），且C2的半径为a，且0＜a＜1， 根据两圆外切，则， 解得． 故选：C． 【变式1】若直线3x﹣4y+18＝0与圆心为C（1，﹣1）的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（　　） A．（0，5） B．（0，6） C．（5，+∞） D．（6，+∞） 【答案】A 【解答】解：由题意，圆心C（1，﹣1）到直线3x﹣4y+18＝0的距离， 因为直线3x﹣4y+18＝0与圆心为C（1，﹣1）的圆相离， 所以该圆的半径的取值范围是（0，5）． 故选：A． 题型8 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 【典例1】M（x0，y0）为圆x2+y2＝a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r＝a， 由M为圆内一点得到：a， 则圆心到已知直线的距离da＝r， 所以直线与圆的位置关系为：相离． 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），则下列曲线中存在两个不同的点M，N使得|MA|＝|MB|且|NA|＝|NB|的有（　　） A． B． C．x2﹣y2＝1 D．y2＝2x 【答案】BD 【解答】解：由题，线段AB的垂直平分线为：x﹣y＝0，与曲线有两个不同的交点， 对于A，圆心，圆心到直线的距离为，直线与圆只有一个交点，不合题意，故A错误； 对于B，联立，故B正确； 对于C，无解，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 题型9 圆上的点到定点的距离及其最值 【典例1】已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（　　） A．96 B．98 C．100 D．102 【答案】D 【解答】解：由题意设P（cosθ，sinθ）， 则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2＝（cosθ+5）2+（sinθ﹣1）2+2（cosθ﹣1）2+2（sinθ﹣1）2+3（cosθ﹣1）2+3（sinθ+2）2＝ ＝6cos2θ+6sin2θ+6sinθ+45＝51+6sinθ， 因为﹣6≤6sinθ≤6， 所以原式的最大值为57，最小值为45， 所以最大值与最小值的和为102． 故选：D． 【变式1】若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0）∪（0，1） D． 【答案】D 【解答】解：若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3， 圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为r＝2， 设圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝9， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得0＜a2＜24，即或． 所以实数a的取值范围是． 故选：D． 题型10 圆上的点到直线的距离及其最值 【典例1】已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2＝9上的两点，且，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且，则|x0+2y0﹣5|的最大值为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为， 所以（x0﹣x1，y0﹣y1）＝2（x2﹣x0，y2﹣y0）， 即， 两式平方相加得，， 即， 所以点P的轨迹是以（0，0）为圆心，半径r＝2的圆， 而， 所以|x0+2y0﹣5|的几何意义为P（x0，y0）到直线x+2y﹣5＝0的距离的倍， 因为圆心（0，0）到直线x+2y﹣5＝0的距离为， 所以圆上的点到直线x+2y﹣5＝0距离的最大值为r+d＝2， 所以|x0+2y0﹣5|的最大值是． 故答案为：． 【变式1】已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，若直线l：kx﹣y+3k＝0上至少存在一点P，使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是　 ． 【答案】． 【解答】解：圆C：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C（0，2），半径r＝1， 由圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，得以点P为圆心，2为半径的圆与圆C相交， 则|2﹣r|＜|PC|＜|2+r|，即1＜|PC|＜3， 令圆心C到直线l的距离为d， 直线l：kx﹣y+3k＝0上任意点到圆心距离都不小于d，又直线l上至少存在一点P， 使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2， 因此d＜3，而d，即3， 解得， 所以实数k的取值范围是． 故答案为：． 题型11 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆C1：（x﹣7）2+（y﹣12）2＝r2与圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0有两个不同的公共点，则半径r的取值范围是（　　） A．[12，14] B．（12，14） C．[11，15] D．（11，15） 【答案】B 【解答】解：圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0化为标准式为（x﹣2）2+y2＝1， 则C1（7，12），C2（2，0），r1＝r，r2＝1， 又两圆有两个不同的公共点， 则|r﹣1|＜|C1C2|＜r+1， 即|r﹣1|＜13＜r+1， 即12＜r＜14． 故选：B． 【变式1】若圆与交于M，N两点，则四边形MC1NC2的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，圆的圆心为C1（﹣1，1），半径r1＝2， 圆的圆心为C2（2，﹣3）， 连接C1C2，交MN于点A，则C1C2⊥MN， 联立，则MN直线方程为3x﹣4y+5＝0， ， ， ， 所以四边形MC1NC2的面积． 故选：A． 题型12 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 【典例1】圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：联立方程：， 两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0， 方法一：联立方程：， 得x2+2x＝0， 解得 x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0）， 根据两点间的距离公式可得公共弦长为； 方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2， 圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为． 故选：B． 【变式1】已知圆M：（x﹣t）2+（y+t）2＝3与圆N：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9（t，m，n∈R）相交于P、Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且|PQ|＝3，则（m﹣t）（n+t）的最大值是（　　） A． B． C． D．6 【答案】D 【解答】解：由题意，得圆M的圆心为M（t，﹣t）、半径为， 圆N的圆心为N（m，n）、半径为3， 连接PM、PN、MN，则|PM|，|PN|＝3，．MN⊥PQ， 因为|PQ|＝3，所以|PH|， 则|MN|＝|MH|＝|NH|2， 所以2， 即关于t的方程2t2﹣2（m﹣n）t+m2+n2﹣12＝0有实根， 则Δ＝4（m﹣n）2﹣8（m2+n2﹣12）≥0， 即（m+m）2≤24， 而（m﹣t）（n+t）6， 当且仅当m﹣t＝n+t时取等， 所以（m﹣t）（n+t）的最大值为6． 故选：D． 题型13 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 【典例1】已知圆和圆，若位于第一象限的点P（a，b）在两圆的公共弦上，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得圆C1圆心为C1（0，0），半径r1＝2， 圆C2圆心为C2（2，2），半径r2＝2， 则， 则r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，故两圆相交， 则其公共弦的方程为x2+y2﹣4﹣[（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣4]＝4x+4y﹣8＝0，即为x+y﹣2＝0， 若位于第一象限的点P（a，b）在两圆的公共弦上， 则P（a，b）（a＞0，b＞0）在x+y﹣2＝0上，即有a+b＝2， 则（a+b）（）（）（2）， 当且仅当，即a，b时等号成立， 则的最小值为． 故选：C． 【变式1】画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（　　） A．或 B．7或47 C． D．47 【答案】B 【解答】解：由椭圆的方程， 可得m＞0且m≠2，且蒙日圆方程为x2+y2＝m+2， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为A（﹣3，4），半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为， 所以或， 解得m＝7或m＝47． 故选：B． 题型14 两圆的公切线条数及方程的确定 【典例1】已知圆与恰有一条公切线，则a+b的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：依题意，圆心分别为，O2（0，2b），半径r1＝3，r2＝1， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以|O1O2|＝|r1﹣r2|， 即，解得， 令a＝2cosα，b＝sinα，（其中α为参数）， 则（其中tanφ＝2）． 即最大值为：． 故选：C． 【变式1】已知圆与圆至少有三条公切线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞） C．[﹣5，3] D．（﹣5，3） 【答案】A 【解答】解：由圆，可得圆心C1（﹣1，3），半径r1＝3， 圆，可得C2（m，0），r2＝2， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， 故d≥r1+r2，即， 即（m+1）2+9≥25，解得m∈（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞）， 则m的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞）． 故选：A． 题型15 圆系方程 【典例1】圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（　　） A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0 【答案】A 【解答】解：x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0解得两圆交点为M（，）与N（，） 因为所求圆经过此两点，连接MN，MN即是所求圆的一段弦． 因为MN的斜率K1＝1 所以其垂直平分线斜率k2＝﹣1；MN中点P坐标为（1，1） 所以垂直平分线为y＝﹣x+2 垂直平分线与直线x﹣y﹣4＝0上的交点即圆圆心，联立两方程 y＝﹣x+2 x﹣y﹣4＝0 解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1） 连接OM即为圆半径 r所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 故选：A． 【变式1】过直线2x﹣y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的交点且过原点的圆的方程是　 ． 【答案】x2+y2+28x﹣15y＝0 【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣2x﹣15+λ（2x﹣y+1）＝0， 因为过直线2x﹣y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的交点的圆过原点， 所以可得﹣15+λ＝0， 解得λ＝15． 将λ＝15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+28x﹣15y＝0． 故答案为：x2+y2+28x﹣15y＝0． 题型16 相交弦所在直线的方程 【典例1】圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x+y+3＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．3x﹣y﹣9＝0 D．4x﹣3y+7＝0 【答案】C 【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程， 圆：x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x＝0的圆心（3，0）， 所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9＝0． 故选：C． 【变式1】圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为AB：x﹣3y+12＝0， 而圆心O1到直线AB的距离为， 圆O1的半径为，所以， 所以． 故选：D． 题型17 直线和圆的方程的应用 【典例1】已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解答】解：位若两圆圆心在切线的两侧，如图所示， 连接 AO1，OO1，过 O1 作 O1M⊥AB 垂足为 M， 连接OP并延长与过O1且与 AB 平行的直线相交于点N， 设|O1M|＝x，则 ， 当 时，P 与 M 重合，此时 ， 当 时， ， 而， ， ∴， 又当时，， ∵函数 在 上单调递增， ∴ 的最小值为 ， ∴ 的最小值为 ，∴ 的最大值为 5． 位若两圆圆心在切线的异侧，作O1M⊥AB交AB于M，连接OP，则OP⊥AB， 设O1M＝x，则， ∴， 令，，则． 由题意知，∴， 令t＝x﹣10，则x＝t+10， ∴，当且仅当t＝﹣8等号成立； ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值λ（λ≠1）的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点A（1，0），B（4，0），O（0，0），动点P满足，记点P的轨迹为r，则下列命题正确的是（　　） A．点P的轨迹r的方程是x2+y2＝4 B．过点N（1，1）的直线被点P的轨迹r所截得的弦的长度的最小值是2 C．直线x﹣y+4＝0与点P的轨迹r相离 D．已知点M是直线L：x﹣y+4＝0上的动点，过点M作点P的轨迹r的两条切线，切点为C，D，则四边形OCMD面积的最小值是4 【答案】ACD 【解答】解：对于A：设P（x，y），由，得， 化简得x2+y2＝4，故A正确； 对于B：由上可知点P的轨迹r为圆，圆心坐标为（0，0），半径r＝2， 点N与原点距离d， 过点N（1，1）的直线被点P的轨迹r所截得弦的长度的最小值222，故B错误； 对于C：圆心到直线x﹣y+4＝0的距离为2r＝2， 所以直线x﹣y+4＝0与点P的轨迹r相离，故C正确； 对于D：设M（t，t+4），则|MC|， 所以四边形OCMD面积S＝2S△OCM＝2|MC|×2＝2|MC|＝224，当t＝﹣2时，等号成立，故D正确． 故选：ACD． 过 关 验 收 1．已知直线系L：（x﹣4）cosα+ysinα＝4（0≤α≤2π），则（　　） A．L中所有直线均经过一个定点 B．L中所有直线均与定圆C：（x﹣4）2+y2＝16相切 C．L中所有直线的斜率均存在 D．L中不存在斜率为0的直线 【答案】B 【解答】解：A中，直线系L：（x﹣4）cosα+ysinα＝4（0≤α≤2π）， 当sinα≠0时，直线方程为y（x﹣4），过点（4，）， 由sinα不是定值，所以点（4，）不是定点， 所以A不正确； B中，因为圆心C（4，0）到直线L的距离d4＝r，所以直线L与圆C相切，所以B正确； C中，当α＝0，π，2π时，sinα＝0，此时直线L的斜率不存在，所以C不正确； D中，当α，时，cosα＝0，此时直线L的斜率为0，所以D不正确． 故选：B． 2．过点与圆O：x2+y2＝4相切的直线方程为 　 ． 【答案】xy+4＝0． 【解答】解：将点代入圆O：x2+y2＝4可得1+3＝4， 所以点A在圆O上，故所求切线与直线OA垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即． 故答案为：xy+4＝0． 3．过点（0，﹣2）与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（4，2），半径r＝2， 设P（0，﹣2），可得|PC|4， 由题意可得sin， 因为α为锐角，可得cos， 所以sinα＝2sincos2． 故选：B． 4．已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，﹣4）作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，设过点P的切线与圆的切点分别为A，B，连接OA，OB， 在Rt△PAO中，，则， 因为∠APB＝2∠APO， 所以这两条切线的夹角为． 故选：D． 5．过点（1，2）与圆x2+y2＝1相切的直线方程是（　　） A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0或x＝1 D．5x﹣4y+3＝0或x＝1 【答案】C 【解答】解：设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即 kx﹣y+2﹣k＝0． 根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径可得1 解得k，故切线方程为3x﹣4y+5＝0． 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1与已知圆相切 综上可得，与已知圆相切的圆的方程为：3x﹣4y+5＝0或x＝1 故选：C． 6．过圆O：x2+y2＝4外一点P（3，4）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r＝2， 如图所示，可知，所以， 根据圆的对称性，可知OP⊥AB，则，解得． 故选：A． 7．已知圆C：x2﹣mx+y2+2（2﹣m）y+m﹣1＝0，m∈R． （1）证明：圆C过定点； （2）当m＝0时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 【答案】（1）证明见解析． （2）面积最小值为，2x+4y+3＝0． 【解答】解：（1）依题意，将圆C的方程x2﹣mx+y2+2（2﹣m）y+m﹣1＝0化为 x2+y2+4y﹣1+（1﹣x﹣2y）m＝0， 令1﹣x﹣2y＝0，即x＝1﹣2y，则（1﹣2y）2+y2+4y﹣1＝0恒成立， 解得x＝1，y＝0，即圆C过定点（1，0）． （2）当m＝0时，圆C：x2+（y+2）2＝5， 直线， 设P（s，t），依题意四边形PACB的面积， 当|PA|取得最小值时，四边形PACB的面积最小， 又，即当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小， 圆心C（0，﹣2）到直线的距离即为|PC|的最小值， 即， ，即四边形PACB面积最小值为， 此时直线PC与直线l垂直， 所以直线PC的方程为y＝2x﹣2，与直线l联立，解得P（2，2）， 设以PC为直径的圆Q上任意一点D（x，y），， 故圆Q的方程为x（x﹣2）+（y+2）（y﹣2）＝0， 即x2+y2﹣2x﹣4＝0，又圆C：x2+y2+4y﹣1＝0， 两式作差可得直线AB方程2x+4y+3＝0． 8．设直线l：y＝2x+4与圆C：x2+y2﹣4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解答】解：圆C：x2+y2﹣4y＝0化为标准方程为x2+（y﹣2）2＝4，圆心C（0，2），半径为2． 圆心到直线l：2x﹣y+4＝0的距离为， 所以|AB|＝2． 故选：A． 9．若P（1，2）为圆O：x2+y2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　） A．x﹣2y+5＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．2x+y﹣4＝0 【答案】C 【解答】解：由题意P（1，2）为圆O：x2+y2＝9的弦AB的中点， 可知直线AB的斜率存在，且OP⊥AB ∴kAB•kOP＝﹣1， ∵，∴， ∴直线AB的方程为，即x+2y﹣5＝0， 故选：C． 10．若直线被圆x2+y2+4my+2m＝0（m∈R）截得的弦长为2，则m＝（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣1或 D．1或 【答案】D 【解答】解：将题中的圆化成标准方程，可得x2+（y+2m）2＝4m2﹣2m， 因为该方程表示圆，所以4m2﹣2m＞0，解得m＜0或， 可得圆x2+（y+2m）2＝4m2﹣2m的半径，圆心为（0，﹣2m）， 设圆心为C，则点C到直线的距离， 因为直线被圆x2+y2+4my+2m＝0（m∈R）截得的弦长为2， 所以，即r2﹣d2＝1，可得（4m2﹣2m）﹣m2＝1， 整理得3m2﹣2m﹣1＝0，解得或m＝1． 故选：D． 11．已知实数x，y满足（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1，则的最大值为　　 ，此时x＝　 ． 【答案】； ． 【解答】解：（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1是以点O1（1，1）为圆心，1为半径的圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1， 关于y轴、原点O及x轴对称而得的圆O2、圆O3、圆O4与圆O1组合而成， 是曲线上的点（x，y）与定点P（5，7）的距离平方并减去74的差的一半， 由图知圆心O3离点P最远，连接PO3并延长交圆O3于点Q， 距离的最大值为， 的最大值为； 直线PO3方程为，即，由， 由x＜﹣1，得， 所以的最大值为，此时． 故答案为：； ． 12．已知圆O：x2+y2＝9，直线l：y＝﹣1，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线x﹣y+m＝0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解答】解：联立， 则或， 即，， 当直线x﹣y+m＝0过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为x2+（y+2）2＝9， 当x﹣y+m＝0与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线x﹣y+m＝0与两段弧恰有4个交点．结合选项知B符合题意． 故选：B． 13．已知圆x2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（2，4] B．（4，+∞） C．[2，4] D．（2，4） 【答案】D 【解答】解：由题可知，圆的圆心为（0，3），半径为r， 圆心到直线的距离， 设与直线距离为1的平行线为， 由，可解得c＝1或c＝5， 则圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即2＜r＜4，即r的范围为（2，4）． 故选：D． 14．若圆和有且仅有一条公切线，则a＝　 ；此公切线的方程为 　 【答案】1；． 【解答】解：如图， 由题意得C1与C2相内切，又， 所以， 所以，解得a＝1， 所以，． 联立，解得 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 故答案为：1；． 15．已知圆与圆相切，则a＝（　　） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【解答】解：根据题意，圆C1的圆心为（1，0），半径r1＝1， 圆C2的圆心为（﹣2，4），半径r2＝a（a＞0）， 可得圆心距， ①当两圆外切时，|C1C2|＝r1+r2，即5＝1+a，解得a＝4； ②当两圆内切时，|C1C2|＝|r1﹣r2|，即5＝|1﹣a|，解得a＝6． 综上所述，实数a的值为4或6． 故选：C． 16．若圆C：x2+（y+2）2＝4与圆D：（x+4）2+（y﹣1）2＝9的公切线条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：因为圆C：x2+（y+2）2＝4的圆心C（0，﹣2），半径r1＝2， 圆D：（x+4）2+（y﹣1）2＝9的圆心D（﹣4，1），半径r2＝3， 所以圆心距， 即圆C与圆D外切， 所以圆C与圆D的公切线条数为3，两条外公切线，一条内公切线． 故选：C． 17．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝1，∴圆C1的圆心为（0，2），圆的半径为r1＝1． 又圆，可知圆的圆心为（3，﹣2），半径为r2＝a． ∴两圆的圆心距为． ∵圆与圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ∴d＝r1+r2＝a+1＝5，解得a＝4． 故选：C． 18．已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣6＝0与圆x2+y2﹣6x+4y﹣4＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+3＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．2x﹣y﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y﹣6＝0与圆x2+y2﹣6x+4y﹣4＝0交于A，B两点，两圆方程作差，x2+y2﹣2x+2y﹣6﹣（x2+y2﹣6x+4y﹣4）＝0， 即4x﹣2y﹣2＝0， 化简可得直线AB的方程为2x﹣y﹣1＝0． 故选：D． 19．已知点M（﹣2，0），⊙O：x2+y2＝1（如图）；若过点M的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的，求直线l1的方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵PQ为圆周的，∴． ∴O点到直线l1的距离为． 设l1的方程为y＝k（x+2），∴，∴． ∴l1的方程为． 20．已知圆C经过（﹣2，3），（4，3），（1，0）三点． （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点B（7，6），且点M满足2，记点M的轨迹为Γ． ①求Γ的方程； ②试探究：在直线l：y＝x上是否存在定点T（异于原点O），使得对于Γ上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9； （2）①（x﹣5）2+（y﹣5）2＝1； ②存在T满足条件． 【解答】解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 将三点（﹣2，3），（4，3），（1，0）分别代入方程， 则，解得a＝1，b＝3，r＝3， 所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9； （2）①设M（x，y）， 因为点M满足2， 则， 则，所以， 因为点A在圆C上运动， 所以（3x﹣14﹣1）2+（3y﹣12﹣3）2＝9， 即（3x﹣15）2+（3y﹣15）2＝9，即（x﹣5）2+（y﹣5）2＝1， 所以点M的轨迹方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝1； ②假设存在一点T（t，t）满足（其中λ为常数）， 设P（x，y），则， 整理化简得x2+y2＝λ2（x2﹣2tx+t2+y2﹣2ty+t2）， 因为点P在轨迹Γ上， 所以（x﹣5）2+（y﹣5）2＝1， 化简得x2+y2＝10x+10y﹣49， 所以10x+10y﹣49＝λ2（10x+10y﹣49﹣2tx﹣2ty+2t2）， 整理得x（10﹣10λ2+2tλ2）+y（10﹣10λ2+2tλ2）﹣49+49λ2﹣2λ2t2＝0， 则，解得， 故存在T满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第36讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 内 容 导 航 知识点1 直线与圆的位置关系 知识点2 圆的切线方程 知识点3 直线被圆截得的弦长 知识点4 圆与圆的位置关系 知识点5 直线与圆的位置关系 知识点6 圆的切线方程 知识点7 圆的弦长和弦心距 知识点8 圆与圆的位置关系 知识点9 最值问题 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 题型3 切线段及切点弦的长度 题型4 切点弦及所在直线的方程 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 题型7 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 题型8 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 题型9 圆上的点到定点的距离及其最值 题型10 圆上的点到直线的距离及其最值 题型11 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 题型12 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 题型13 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 题型14 两圆的公切线条数及方程的确定 题型15 圆系方程 题型16 相交弦所在直线的方程 题型17 直线和圆的方程的应用 知 识 点 通 关 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 知识点2 圆的切线方程 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 必记结论 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 知识点3 直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点4 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 必记结论 圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 知识点5 直线与圆的位置关系 方法技巧 直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 知识点6 圆的切线方程 方法技巧 圆的切线问题求解策略 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 知识点7 圆的弦长和弦心距 方法技巧 直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ 知识点8 圆与圆的位置关系 方法技巧 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 知识点9 最值问题 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧： 1. 代数型最值问题 类型：求形如 ax+by 、 x2+y2等代数式的最值。 技巧： 换元法：利用圆的参数方程（ x=a+rcosθ,y=b+rsinθ ）将问题转化为三角函数的最值问题。 几何意义法： 转化为截距、斜率或距离问题 2. 距离型最值问题 类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值。 技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径。例如，圆上点到直线距离的最大值为 d+r ，最小值为 ∣d−r∣ （ d 为圆心到直线距离）。 3. 面积与向量最值问题 类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值。 技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解。 核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。 考 点 演 练 题型1 过圆上一点的圆的切线方程 【典例1】过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（　　） A．x2+y2＝15 B．x2+y2＝16 C．x2+y2＝17 D．x2+y2＝20 【变式1】已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 题型2 过圆外一点的圆的切线方程 【典例1】过P（m，n）作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当△PAB为正三角形时，的取值范围为（　　） A． B．（﹣2，1] C． D． 【变式1】过点P（3，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为（　　） A．2x+y﹣6＝0 B．x+2y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．3x+y﹣9＝0 题型3 切线段及切点弦的长度 【典例1】已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，过点P（3，6）作圆C的一条切线，则切线长为　 　 ． 【变式1】已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A、B，当|PM|•|AB|最小时，点P坐标为 　 　 ． 题型4 切点弦及所在直线的方程 【典例1】在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆4的两条切线，切点分别为A，B．则直线AB的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：x+2y+2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 　 ． 题型5 直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长 【典例1】已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，直线l：（m+2）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【变式1】抛物线C：y＝2px2（p＞0）的准线被圆x2+y2＝5所截得的弦长为4，则p＝（　　） A．8 B． C．4 D． 题型6 过圆内一点的弦及弦长的最值 【典例1】平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣3，m∈R与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为（　　） A． B．4 C． D．5 【变式1】若倾斜角为锐角且过点（1，0）的直线l截圆（x+2）2+y2＝4所得弦长为2，则l的斜率为（　　） A． B． C． D．1 题型7 根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系 【典例1】已知圆C1与x轴和y轴都相切，且半径为1；圆C2也与x轴和y轴都相切，并且与圆C1外切．若圆C2的半径小于1，则圆C2的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若直线3x﹣4y+18＝0与圆心为C（1，﹣1）的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（　　） A．（0，5） B．（0，6） C．（5，+∞） D．（6，+∞） 题型8 根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系 【典例1】M（x0，y0）为圆x2+y2＝a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【变式1】在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），则下列曲线中存在两个不同的点M，N使得|MA|＝|MB|且|NA|＝|NB|的有（　　） A． B． C．x2﹣y2＝1 D．y2＝2x 题型9 圆上的点到定点的距离及其最值 【典例1】已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（　　） A．96 B．98 C．100 D．102 【变式1】若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0）∪（0，1） D． 题型10 圆上的点到直线的距离及其最值 【典例1】已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2＝9上的两点，且，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且，则|x0+2y0﹣5|的最大值为 　 　 ． 【变式1】已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，若直线l：kx﹣y+3k＝0上至少存在一点P，使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是　 ． 题型11 根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆C1：（x﹣7）2+（y﹣12）2＝r2与圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0有两个不同的公共点，则半径r的取值范围是（　　） A．[12，14] B．（12，14） C．[11，15] D．（11，15） 【变式1】若圆与交于M，N两点，则四边形MC1NC2的面积为（　　） A． B． C． D． 题型12 根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系 【典例1】圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知圆M：（x﹣t）2+（y+t）2＝3与圆N：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9（t，m，n∈R）相交于P、Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且|PQ|＝3，则（m﹣t）（n+t）的最大值是（　　） A． B． C． D．6 题型13 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 【典例1】已知圆和圆，若位于第一象限的点P（a，b）在两圆的公共弦上，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式1】画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（　　） A．或 B．7或47 C． D．47 题型14 两圆的公切线条数及方程的确定 【典例1】已知圆与恰有一条公切线，则a+b的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知圆与圆至少有三条公切线，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞） C．[﹣5，3] D．（﹣5，3） 题型15 圆系方程 【典例1】圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（　　） A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0 【变式1】过直线2x﹣y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的交点且过原点的圆的方程是　 ． 题型16 相交弦所在直线的方程 【典例1】圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x+y+3＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．3x﹣y﹣9＝0 D．4x﹣3y+7＝0 【变式1】圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 题型17 直线和圆的方程的应用 【典例1】已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 【变式1】平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值λ（λ≠1）的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点A（1，0），B（4，0），O（0，0），动点P满足，记点P的轨迹为r，则下列命题正确的是（　　） A．点P的轨迹r的方程是x2+y2＝4 B．过点N（1，1）的直线被点P的轨迹r所截得的弦的长度的最小值是2 C．直线x﹣y+4＝0与点P的轨迹r相离 D．已知点M是直线L：x﹣y+4＝0上的动点，过点M作点P的轨迹r的两条切线，切点为C，D，则四边形OCMD面积的最小值是4 过 关 验 收 1．已知直线系L：（x﹣4）cosα+ysinα＝4（0≤α≤2π），则（　　） A．L中所有直线均经过一个定点 B．L中所有直线均与定圆C：（x﹣4）2+y2＝16相切 C．L中所有直线的斜率均存在 D．L中不存在斜率为0的直线 2．过点与圆O：x2+y2＝4相切的直线方程为 　 ． 3．过点（0，﹣2）与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 4．已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，﹣4）作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．过点（1，2）与圆x2+y2＝1相切的直线方程是（　　） A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0或x＝1 D．5x﹣4y+3＝0或x＝1 6．过圆O：x2+y2＝4外一点P（3，4）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（　　） A． B． C． D． 7．已知圆C：x2﹣mx+y2+2（2﹣m）y+m﹣1＝0，m∈R． （1）证明：圆C过定点； （2）当m＝0时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 8．设直线l：y＝2x+4与圆C：x2+y2﹣4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝（　　） A． B． C．1 D． 9．若P（1，2）为圆O：x2+y2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　） A．x﹣2y+5＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．2x+y﹣4＝0 10．若直线被圆x2+y2+4my+2m＝0（m∈R）截得的弦长为2，则m＝（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣1或 D．1或 11．已知实数x，y满足（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1，则的最大值为　　 ，此时x＝　 ． 12．已知圆O：x2+y2＝9，直线l：y＝﹣1，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线x﹣y+m＝0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（　　） A． B．2 C． D．3 13．已知圆x2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（2，4] B．（4，+∞） C．[2，4] D．（2，4） 14．若圆和有且仅有一条公切线，则a＝　 ；此公切线的方程为 　 15．已知圆与圆相切，则a＝（　　） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 16．若圆C：x2+（y+2）2＝4与圆D：（x+4）2+（y﹣1）2＝9的公切线条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 18．已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣6＝0与圆x2+y2﹣6x+4y﹣4＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+3＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．2x﹣y﹣1＝0 19．已知点M（﹣2，0），⊙O：x2+y2＝1（如图）；若过点M的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的，求直线l1的方程． 20．已知圆C经过（﹣2，3），（4，3），（1，0）三点． （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点B（7，6），且点M满足2，记点M的轨迹为Γ． ①求Γ的方程； ②试探究：在直线l：y＝x上是否存在定点T（异于原点O），使得对于Γ上任意一点P，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $