第49讲 立体几何中的截面问题·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何截面问题，覆盖截面作法与线面关系证明、图形形状与几何量计算、体积分割、球及旋转体截面、动点轨迹等核心考点，按考情分析、知识清单（几何体截面性质与解题策略）、典题精练（分考点含考法、例题及方法总结）的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建空间思维体系，突破综合难点。 讲义突出几何法、坐标法等多策略融合，如分析动点截面形状时通过寻找“临界点”动态判断，培养直观想象与逻辑推理素养。设置分层考法与方法总结，如用等体积法求空间距离，确保高效突破。助力学生提升空间问题转化能力，为教师把控复习节奏提供系统教学支持。

第49讲 立体几何中的截面问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 2 考点一：截面的作法与线面关系证明 2 考点二：截面图形的形状与几何量计算 5 考点三：截面分割几何体的体积问题 14 考点四：球的截面问题 16 考点五：圆柱、圆锥的截面问题 20 考点六：空间动点轨迹与截面个数问题 20 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.截面问题是立体几何中综合性极强的专题，它将空间线面平行与垂直的判定性质、几何体的结构特征、平面几何图形性质以及空间向量与解析几何工具深层次融合.掌握截面的作法与计算，能够有效深化对三维空间结构的直观理解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养，是培养空间思维与解决立体几何综合压轴题的重要环节. 二、知识清单 1. 常见几何体的截面性质 （1） 球的截面性质 ① 球面被平面所截得的截面是一个圆面. ② 球心和截面圆心的连线垂直于该截面. ③ 球心到截面的距离、球的半径与截面圆的半径满足关系：. ④ 经过球心的平面截得的圆叫做大圆，不经过球心的平面截得的圆叫做小圆. ⑤ 球缺：球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高. （2） 旋转体的截面性质 ① 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面. ② 经过旋转轴的截面称为轴截面.圆柱的轴截面是矩形；圆锥的轴截面是等腰三角形；圆台的轴截面是等腰梯形. ③ 圆锥的截口曲线：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角大于母线与轴的夹角时，截口曲线是椭圆；当夹角等于母线与轴的夹角时，截口曲线是抛物线；当夹角小于母线与轴的夹角时，截口曲线是双曲线. （3） 多面体的截面性质 ① 棱柱平行于底面的截面是与底面全等的多边形. ② 棱锥平行于底面的截面是与底面相似的多边形，其相似比等于顶点到截面距离与棱锥高的比，面积比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 2. 解决立体几何截面问题的解题策略 （1） 坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法. （2） 基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点、、、共面，为空间任意点，则有： ① 结论1：若与不共线，那么. ② 结论2：（）. （3） 几何法 从几何视角入手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明. 三、典题精讲 考点一：截面的作法与线面关系证明 考法1：利用平行与相交关系作多面体截面 例1.（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，，点、分别为棱、的中点. （2）请作出四棱锥过、、三点的截面，并求出截面图形周长； 【答案】12 【思路】利用线面平行的性质定理和中位线定理，寻找平行线和交点，逐步构建出截面多边形，再结合几何性质计算周长. 【解析】连接交于点，连接，取中点，连接， ， 四边形为平行四边形， 点为中点， ， ，四边形为平行四边形,则， 点平面，故四边形即为所求截面， 平面， 为直角三角形，，故四边形为平行四边形， 所以，四边形周长为：. 【规律】作截面的基本方法是利用平面的基本性质，通过寻找平行线和交点，确定截面与多面体各面的交线.对于求周长问题，通常需要证明截面形状（如平行四边形、梯形等），再利用几何关系计算各边长. 考法2：四点共面与三线共点证明及截面作法 例2.（2026·湖北六校·联考）如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）求证：，，，四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； （2）求证：，，三线共点. 【答案】见解析 【思路】（1）利用三角形中位线定理证明线线平行，从而证明四点共面；（2）利用公理3，证明两条直线的交点在两个平面的交线上，从而证明三线共点. 【解析】（1）如图①，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 又分别是棱的中点，所以， 故， 所以四点共面. 平面与该正方体各面的交线如图①（多边形）所示. （2）如图②，易知，且，所以与必相交，设交点为， 又由平面，得平面， 同理平面， 又因为平面平面，所以， 所以三线共点. 【规律】证明多点共面，常利用平行的传递性证明两线平行；证明三线共点，常先证明其中两线相交于一点，再证明该点在两个平面的交线上，即第三条直线上. 考法3：正方体中截面相关的线面平行与垂直证明 例3.如图，已知正方体，点为棱的中点. （1）证明：平面. 【答案】见解析 【思路】连接交于点，连接，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证. 【解析】证明：连接，交于点，连接， 因为是正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. 【规律】证明线面平行，核心是在平面内找到一条直线与已知直线平行.常用的寻找平行线的方法有：三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等. 【考点一 方法总结】 1. 作截面的基本方法：利用平面的基本性质，通过寻找平行线和交点，确定截面与多面体各面的交线.对于求周长问题，通常需要证明截面形状（如平行四边形、梯形等），再利用几何关系计算各边长. 2. 共面与共点证明：证明多点共面，常利用平行的传递性证明两线平行；证明三线共点，常先证明其中两线相交于一点，再证明该点在两个平面的交线上，即第三条直线上. 3. 线面平行的证明：核心是在平面内找到一条直线与已知直线平行.常用的寻找平行线的方法有：三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等. 考点二：截面图形的形状与几何量计算 考法4：结合线面垂直判断多面体截面形状 例4.（2026·江西九江·二模）（多选）如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则 A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【答案】AD 【思路】利用面面平行的性质定理作出截面并判断形状；利用对称性判断体积关系；利用勾股定理列方程判断截面是否为长方形；利用等体积法或几何性质求点到直线的距离，进而求截面面积的最值. 【解析】对于A，过点作，交棱于，连接， 则四边形为平行四边形，A正确； 对于B，因为截面分成的两部分几何体对应棱的棱长相等，所以两个几何体完全相同，体积相等，B错误； 对于C，设，则.若截面为长方形， 则，，解得或，不合题意，C错误； 对于D，过作，，平面，又， 平面，到的距离，截面的面积，D正确. 【规律】处理长方体截面问题，常利用相对面平行推导截面交线平行，从而判断截面形状.求截面面积最值时，通常将面积表示为某变量的函数，或利用空间距离的最小值（如垂线段最短）进行求解. 考法5：多面体截面周长与面积的常规计算 例5.（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动.若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】平移直线至，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，从而确定动点的轨迹为圆锥侧面的一部分，再利用圆锥侧面积公式进行计算. 【解析】如图，在正方体中，，直线与所成角为， 即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1， 母线长为2的圆锥侧面的四分之一.即动点所围成的图形的面积为， 对应选项B. 【规律】空间中动直线与定直线成定角，动直线上的点（或动直线本身）的轨迹通常是圆锥面.求解此类轨迹面积时，关键是确定圆锥的顶点、轴、母线长以及底面半径，并注意题目中限制条件对轨迹范围的截取. 考法6：利用线面平行与几何体特征求解截面面积 例6.（2026·广东深圳·二模）（多选）已知正三棱柱的高为，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则 A. B. 平面平面 C. 截面的面积为 D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【答案】BCD 【思路】根据内切球的性质求出正三棱柱的底面边长；利用面面平行的性质定理找到截面与上底面的交线，进而确定截面形状并计算面积；利用相似比和棱台体积公式计算截面分割出的两部分体积，从而求得体积比. 【解析】A选项，如图，取上底面，下底面的中心分别为，取的中点， 取中点，于是四边形为矩形，则， 于是， 又为等边三角形，则，A错误； 选项B，由于，且平面平面，则平面， 又因为平面，平面平面，则， 如图，连接，由于， 则为平面与平面所成角的平面角， 由于，则， 于是平面平面，B正确； 选项C，如图，连接，交于点，过点作的平行线交于， 由于，则，则为上靠近的三等分点， 于是，由于为中点，为中点， 则四边形为等腰梯形，且， 于是，C正确； 选项D，由于正三角形与正三角形相似，三条侧棱延长相交于一点， 于是为正三棱台， 该三棱柱被截面分成两部分，分别为三棱台和剩余部分， 其中，同理可得， 三棱台的体积， 而三棱柱的体积， 于是截面所截的另一部分的体积， 则较小部分与较大部分的体积之比为，D正确. 【规律】处理棱柱的内切球问题，关键是利用球心到各面的距离等于半径这一条件.截面分割几何体求体积比时，若截得部分为规则几何体（如棱台、棱锥），可直接利用体积公式计算；若为不规则几何体，则常采用割补法或等体积转换法. 考法7：空间向量法求解截面面积与周长 例7.（2026·河南郑州四中·检测）（多选）正方体棱长为，，下列说法中正确的有 A. 若点在底面（含边界）内，且，则的轨迹的长度为 B. 空间中，点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 C. 平面截正方体所得截面多边形是直角梯形 D. 平面将正方体分成两个几何体的体积分别为，且，则 【答案】ABD 【思路】建立空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程.对于A，利用向量数量积为0求出轨迹方程；对于B，利用距离公式化简得到球面方程，再分析球面与正方体表面的交线；对于C，利用向量共线和数量积判断截面形状；对于D，利用分割法计算体积. 【解析】以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 由得， 对于选项A，设在底面上，，， 则，， 由，得，化简得， 该直线与正方形的交点为和， 轨迹长度为，A正确； 对于B，设，由，得， 所以， 所以， 即的轨迹是球心在、半径的球面， 该球仅和正方体的三个面相交，每个面上的交线都是半径为2的四分之一圆， 总长度为，B正确； 对于C，过点作，点在上，连接， 则过的截面为四边形， 因为，设，， 所以，故，， 所以，， 所以四边形为梯形，，又， 所以，， 所以与不垂直，与不垂直，所以四边形不是直角梯形，C错误； 对于选项D，由已知， 梯形的面积， 因为平面，故四棱锥的高为4， 因为，所以的面积， 因为平面，，所以三棱锥的体积， ，D正确. 【规律】空间向量是处理立体几何中动点轨迹、截面形状判断及体积计算的有力工具.通过建立恰当的空间直角坐标系，将几何点坐标化，利用向量的坐标运算可以有效避免复杂的空间想象和辅助线作法. 考法8：距离平方和定值推导正四面体截面位置及面积 例8.已知正四面体的棱长为，动点满足，用所有这样的点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】建立空间直角坐标系，设出动点坐标，根据距离公式将条件转化为关于坐标的方程，从而确定动点所在平面的位置，再结合正四面体的几何特征求出截面形状及面积. 【解析】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菱形，其对角线的长度为，故面积为2. 【规律】处理空间中距离平方和等式的轨迹问题，首选坐标法.通过建立坐标系，将几何条件代数化，求出轨迹方程，进而明确截面的位置.正四面体常可补形为正方体，利用正方体的顶点坐标来简化计算. 考法9：多面体截面相关空间角的综合计算 例9.如图，在三棱柱中，.过点的平面与直线垂直. （1）作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由； （2）已知，求与平面所成角的正弦值. 【答案】见解析 【思路】（1）取中点，连接，利用等边三角形的性质和线面垂直的判定定理证明平面即为所求截面；（2）利用勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【解析】解法一：（1） 取的中点为，连接，则平面为平面. 证明如下： 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 即平面为平面. （2） 在三棱柱中，， 因为，所以， 在中，因为，所以. 由（1）得，所以， 所以，所以， 所以两两互相垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则所以取，则. ， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【规律】作已知平面的垂面截面，关键是寻找平面内两条相交直线与该直线垂直.计算空间角时，若能找到三条两两垂直的直线，则优先建立空间直角坐标系，利用法向量求解. 考法10：等体积法求解截面相关的空间距离 例10.如图，棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，过作平面，使得平面. 求平面与平面的距离. 【答案】 【思路】利用面面平行的性质，将两平行平面间的距离转化为点到平面的距离，再通过等体积法进行求解. 【解析】连接，由正方体性质可得，； 又，所以平面平面； 因为平面，且，所以平面与平面重合，即平面为平面. 因此，平面与平面的距离等于平面上的点到平面的距离； 设点到平面的距离为，由题意可得，所以的面积为；的面积为2； 由可得，解得. 所以平面与平面的距离为. 【规律】求解两平行平面间的距离，通常转化为其中一个平面上任一点到另一个平面的距离.计算点面距离时，等体积法是最常用的方法，关键是选择合适的底面和高. 考法11：正方体中动点截面形状及面积周长的综合判断 例11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题中正确命题的个数为 ①当时，为四边形； ②当时，为等腰梯形； ③当时，与的交点满足； ④当时，为六边形； A. B. C. D. 【答案】C 【思路】通过延长线段寻找截面与正方体各面的交线，分析动点在不同位置时的临界状态，从而判断截面多边形的边数和形状. 【解析】先确定临界值点，当，即为的中点时， 截面交于，则界面为等腰梯形，故②正确； 对①当时，即移动到位置时， 截面交线段于，所以截面为四边形，故①正确； 对③，当时，在的位置，截面交的延长线于， 延长交在的延长线于点， 则， 由，则，，又有， 所以，又，所以，故③正确； 对④，，点移动到位置，从图上看，截面为五边形，故④错误； 共3个正确， 对应选项C. 【规律】分析动点截面形状的动态变化，核心是寻找“临界点”.通常当截面恰好经过多面体的某个顶点时为临界状态，以此为界，截面的边数会发生改变. 【考点二 方法总结】 1. 截面形状判断与面积最值：处理长方体截面问题，常利用相对面平行推导截面交线平行，从而判断截面形状.求截面面积最值时，通常将面积表示为某变量的函数，或利用空间距离的最小值（如垂线段最短）进行求解.分析动点截面形状的动态变化，核心是寻找“临界点”，通常当截面恰好经过多面体的某个顶点时为临界状态. 2. 动点轨迹与面积计算：空间中动直线与定直线成定角，动直线上的点（或动直线本身）的轨迹通常是圆锥面.求解此类轨迹面积时，关键是确定圆锥的顶点、轴、母线长以及底面半径.处理空间中距离平方和等式的轨迹问题，首选坐标法，通过建立坐标系将几何条件代数化求出轨迹方程. 3. 截面分割体积比：截面分割几何体求体积比时，若截得部分为规则几何体（如棱台、棱锥），可直接利用体积公式计算；若为不规则几何体，则常采用割补法或等体积转换法. 4. 空间向量法的应用：空间向量是处理立体几何中动点轨迹、截面形状判断、体积计算以及空间角的有力工具.通过建立恰当的空间直角坐标系，将几何点坐标化，利用向量的坐标运算可以有效避免复杂的空间想象和辅助线作法.计算空间角时，若能找到三条两两垂直的直线，则优先建立空间直角坐标系，利用法向量求解. 5. 空间距离的转化：求解两平行平面间的距离，通常转化为其中一个平面上任一点到另一个平面的距离.计算点面距离时，等体积法是最常用的方法，关键是选择合适的底面和高. 考点三：截面分割几何体的体积问题 考法12：多面体被截面分割的体积及体积比计算 例12.（2026·湖北云学联盟·模拟）（多选）将一个棱长为的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体.则 A. 该几何体的体积为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的外接球半径为 D. 该几何体有个面 【答案】ACD 【思路】明确截去的三棱锥的顶点和底面，利用正方体体积减去三棱锥体积求剩余体积；分别计算各个面的面积求表面积；根据剩余几何体的外接球即为原正方体的外接球求半径；直接数出剩余几何体的面数. 【解析】将一个棱长为的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 对于A，该几何体的体积为，故A正确； 对于B，该几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的外接球即为原正方体的外接球，半径为，故C正确； 对于D，该几何体有3个正方形面，3个等腰直角三角形面，1个等边三角形面，共7个面，故D正确. 对应选项ACD. 【规律】处理截去部分几何体的问题，关键是准确还原截割过程，明确剩余几何体的各个面、棱的特征.体积通常用总体积减去截去部分的体积，外接球往往与原几何体共用. 考法13：截面面积比与体积比的综合运用 例13.（2025·广东六校·联考）如图，已知为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥在平面上方的部位体积为，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，那么当时， A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据直棱柱的性质和截面平行的条件，利用体积的比例关系推导出截面的具体位置，进而求出截面面积之比. 【解析】由题意知平面是直棱柱的截面，故平面与相交于它们的中点处，对应选项B. 【规律】截面面积比与体积比问题，常利用相似比的平方等于面积比、相似比的立方等于体积比（对于相似几何体），或利用祖暅原理、积分思想建立面积与体积的函数关系. 考法14：截面分割多面体的体积比最值求解 例14.（2026·山东菏泽·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若在上，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】通过证明线面垂直确定截面的位置，建立空间直角坐标系，将空间距离最值转化为平面解析几何中抛物线上的点到定点距离的最值问题. 【解析】过点作，交底面圆于两点，连接，，，设，则，所以当最大时，最大，由圆锥的性质得底面，因为底面，所以，又，且平面，所以平面，因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，又，则，因为，且平面，所以平面，则平面为截面，因为为中点，所以，所以平面，因为平面，所以，所以，则当最大时，最大. 如图为截面的平面图，以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系，，，，，则抛物线方程为，设，，则，所以，则此时，. 【规律】求解截面相关的最值问题，若截面曲线为圆锥曲线，最有效的方法是建立平面直角坐标系，利用解析几何的方法将距离、面积等表示为坐标的函数，再利用代数方法求最值. 【考点三 方法总结】 1. 截割几何体问题：处理截去部分几何体的问题，关键是准确还原截割过程，明确剩余几何体的各个面、棱的特征.体积通常用总体积减去截去部分的体积，外接球往往与原几何体共用. 2. 面积比与体积比的综合：截面面积比与体积比问题，常利用相似比的平方等于面积比、相似比的立方等于体积比（对于相似几何体），或利用祖暅原理、积分思想建立面积与体积的函数关系. 3. 截面相关最值求解：求解截面相关的最值问题，若截面曲线为圆锥曲线，最有效的方法是建立平面直角坐标系，利用解析几何的方法将距离、面积等表示为坐标的函数，再利用代数方法求最值. 考点四：球的截面问题 考法15：利用截面圆半径及球心距求解球表面积与体积 例15.（2026·湖北襄阳四中·检测）已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据截面圆的面积求出截面圆的半径，再利用球的半径、球心距和截面圆半径构成的直角三角形，结合勾股定理列方程求解. 【解析】如图所示，由题得. 设球的半径为，则， 所以. 对应选项B. 【规律】处理球的截面问题，核心是构造由球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形，利用进行计算. 考法16：球缺体积公式求解多面体与球的公共部分体积 例16.（2025·江西上饶·二模）如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是.已知正方体棱长为，则该正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】分析正方体与球的相交情况，利用对称性可知公共部分是球体的八分之一减去三个球缺的四分之一，代入球缺体积公式进行计算. 【解析】依题意，正方体与以为球心，为半径的球的公共部分是球体的， 去掉3个不含点的正方体的面所在平面截球所得球缺的， 球的体积，高为的球缺体积 ， 所以所求公共部分的体积为. 【规律】计算多面体与球的公共部分体积，常利用对称性将问题转化为求球缺体积，再利用容斥原理进行加减运算.准确判断球缺的高是解题的关键. 考法17：多面体外接球截面面积与距离的最值求解 例17.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】确定正方体外接球的球心和半径，要使截面面积最小，则截面圆的半径最小，即球心到截面的距离最大.当截面垂直于球心与截线中点的连线时，距离最大，据此计算即可. 【解析】如图， 正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径， 要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点， 连接，则， 所以， 此时截面圆的半径， 此时，截面面积的最小值. 对应选项C. 【规律】过球内一定直线作截面，当截面与球心和定直线在球内的弦的中点的连线垂直时，球心到截面的距离最大，此时截面圆的半径最小，截面面积最小. 考法18：球的截面构成的多面体体积最值求解 例18.（2025·广东衡水金卷·联考）（多选）半径为的球上相异三点构成边长为的等边三角形，点为球上一动点，则三棱锥的体积最大时 A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥的内切球半径为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球半径为 【答案】BCD 【思路】先计算底面的外心及球心到平面的距离，求出三棱锥的体积；利用等体积法求内切球半径；当动点与球心、底面外心共线时，高最大，体积最大；外接球即为原球. 【解析】设的外心为，则，， 三棱锥的体积为，A错误； 设三棱锥的内切球半径为，则， ， 所以，B正确； 当三点共线时，三棱锥的高最大，体积最大， 此时高为，体积，C正确； 三棱锥的外接球即为球，半径为3，D正确. 【规律】求球内接多面体的体积最值，通常底面固定，只需寻找高最大的点.当动点、球心、底面外心三点共线时，动点到底面的距离最大.求内切球半径常利用等体积法. 考法19：多面体截面与内切球截面圆面积最值求解 例19.（2025·广东燕博园·检测）在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】确定内切球的球心和半径，求出球心到直线的距离.当截面与球心到直线的垂线垂直时，截面圆半径最小，面积最小. 【解析】设是线段的中点，则，由勾股定理，球心到距离为，当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，被球截得的弦长为，此时圆的半径就是，面积为.对应选项A. 【规律】与外接球截面面积最值类似，过定直线截内切球面积最小时，截面同样垂直于球心到该定直线的垂线.计算时需准确求出球心到直线的距离. 【考点四 方法总结】 1. 球的截面基本计算：处理球的截面问题，核心是构造由球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形，利用进行计算. 2. 球与多面体的公共体积：计算多面体与球的公共部分体积，常利用对称性将问题转化为求球缺体积，再利用容斥原理进行加减运算.准确判断球缺的高是解题的关键. 3. 球的截面面积最值：过球内一定直线作截面，当截面与球心和定直线在球内的弦的中点的连线垂直时，球心到截面的距离最大，此时截面圆的半径最小，截面面积最小.计算时需准确求出球心到直线的距离. 4. 球内接多面体的最值与内切球：求球内接多面体的体积最值，通常底面固定，只需寻找高最大的点.当动点、球心、底面外心三点共线时，动点到底面的距离最大.求内切球半径常利用等体积法. 考点五：圆柱、圆锥的截面问题 考法20：圆锥截面曲线离心率与最值求解 例20.（2026·安徽A10联盟·检测）（多选）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是 A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABC 【思路】根据截面与圆锥轴的夹角关系判断曲线类型.对于圆，利用相似比求半径；对于椭圆，在轴截面中利用余弦定理求长轴；对于抛物线和双曲线，建立平面直角坐标系，求出方程后再计算基本量. 【解析】ABC 底面半径为1，圆锥高为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的，即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确；如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，，所以椭圆的长轴长，故B正确；如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2，则，，所以，抛物线方程为，则，解得，则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确；如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为，设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以，故双曲线的离心率为，故D错误.对应选项ABC. 【考点五 方法总结】 1. 圆锥截口曲线的处理：圆锥的截口曲线类型由截面与圆锥轴的夹角决定.求解截口曲线的几何量时，常通过在轴截面或特定平面内建立直角坐标系，将空间问题转化为平面解析几何问题进行处理. 考点六：空间动点轨迹与截面个数问题 考法21：结合截面或表面展开图求解动点轨迹长度与最短路径 例21.（2026·河南开封高中·检测）（多选）已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有 A. 此四棱台的侧面积为 B. 若是的中点，则平面截此四棱台所得截面的面积为 C. 若点为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则的轨迹长度为 D. 若点为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【思路】利用体积公式求出高，进而求出斜高和侧面积；利用平移和中位线找出截面，计算截面面积；将空间距离转化为平面圆的方程，求出轨迹长度；将相邻侧面展开到同一平面，利用两点之间线段最短求最小值. 【解析】A，如图，记上、下底面的中心分别为，取的中点为，取的中点为， 连接， 则为梯形的高，因为该正四棱台的体积，得， 而，则， 所以梯形的面积为，此四棱台的侧面积为，故A正确； B，取的中点，连接，的中点设为，连接， 则，，所以， 所以平面截此四棱台所得的截面为， 因为，，， 所以梯形的面积为，故B错误； C，因为，，， 所以平面，且， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，弧长，故C正确； D，由A知，则侧棱，所以， 如图，将侧面和沿棱展开，连接交于点，， 此时的长度即为的最小值，因为，故D正确. 【规律】处理多面体表面的最短路径问题，最有效的方法是将相关侧面展开到同一个平面内，利用“两点之间线段最短”进行求解.注意检查连线是否在展开图形的内部. 考法22：空间直角坐标系求解动点轨迹圆面积 例22.（2026·广东中山·二模）如图，在四棱锥中， 底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【思路】（1）利用线面垂直的判定定理，先证平面，再证，结合直径所对的圆周角为直角证，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求异面直线夹角；（3）利用向量坐标计算三棱锥的体积. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又，所以平面， 又平面，所以， 因为在以为直径的球面上，所以， 又，所以平面. （2） 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， ， ，， ， 故，因此异面直线与的夹角为. （3） ，利用坐标计算可得体积为. 【规律】当题目中出现“以某线段为直径的球面”时，常隐含着垂直关系（直径所对的圆周角为直角）.结合垂直关系建立空间直角坐标系，是解决此类动点轨迹及截面问题的通法. 【考点六 方法总结】 1. 表面最短路径问题：处理多面体表面的最短路径问题，最有效的方法是将相关侧面展开到同一个平面内，利用“两点之间线段最短”进行求解.注意检查连线是否在展开图形的内部. 2. 隐含垂直关系的应用：当题目中出现“以某线段为直径的球面”时，常隐含着垂直关系（直径所对的圆周角为直角）.结合垂直关系建立空间直角坐标系，是解决此类动点轨迹及截面问题的通法. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第49讲 立体几何中的截面问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 2 考点一：截面的作法与线面关系证明 2 考点二：截面图形的形状与几何量计算 3 考点三：截面分割几何体的体积问题 6 考点四：球的截面问题 7 考点五：圆柱、圆锥的截面问题 8 考点六：空间动点轨迹与截面个数问题 9 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.截面问题是立体几何中综合性极强的专题，它将空间线面平行与垂直的判定性质、几何体的结构特征、平面几何图形性质以及空间向量与解析几何工具深层次融合.掌握截面的作法与计算，能够有效深化对三维空间结构的直观理解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养，是培养空间思维与解决立体几何综合压轴题的重要环节. 二、知识清单 1. 常见几何体的截面性质 （1） 球的截面性质 ① 球面被平面所截得的截面是一个圆面. ② 球心和截面圆心的连线垂直于该截面. ③ 球心到截面的距离、球的半径与截面圆的半径满足关系：. ④ 经过球心的平面截得的圆叫做大圆，不经过球心的平面截得的圆叫做小圆. ⑤ 球缺：球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高. （2） 旋转体的截面性质 ① 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面. ② 经过旋转轴的截面称为轴截面.圆柱的轴截面是矩形；圆锥的轴截面是等腰三角形；圆台的轴截面是等腰梯形. ③ 圆锥的截口曲线：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角大于母线与轴的夹角时，截口曲线是椭圆；当夹角等于母线与轴的夹角时，截口曲线是抛物线；当夹角小于母线与轴的夹角时，截口曲线是双曲线. （3） 多面体的截面性质 ① 棱柱平行于底面的截面是与底面全等的多边形. ② 棱锥平行于底面的截面是与底面相似的多边形，其相似比等于顶点到截面距离与棱锥高的比，面积比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 2. 解决立体几何截面问题的解题策略 （1） 坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法. （2） 基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点、、、共面，为空间任意点，则有： ① 结论1：若与不共线，那么. ② 结论2：（）. （3） 几何法 从几何视角入手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明. 三、典题精练 考点一：截面的作法与线面关系证明 考法1：利用平行与相交关系作多面体截面 例1.（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，，点、分别为棱、的中点. （2）请作出四棱锥过、、三点的截面，并求出截面图形周长； 考法2：四点共面与三线共点证明及截面作法 例2.（2026·湖北六校·联考）如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）求证：，，，四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）； （2）求证：，，三线共点. 考法3：正方体中截面相关的线面平行与垂直证明 例3.如图，已知正方体，点为棱的中点. （1）证明：平面. 【考点一 方法总结】 1. 作截面的基本方法：利用平面的基本性质，通过寻找平行线和交点，确定截面与多面体各面的交线.对于求周长问题，通常需要证明截面形状（如平行四边形、梯形等），再利用几何关系计算各边长. 2. 共面与共点证明：证明多点共面，常利用平行的传递性证明两线平行；证明三线共点，常先证明其中两线相交于一点，再证明该点在两个平面的交线上，即第三条直线上. 3. 线面平行的证明：核心是在平面内找到一条直线与已知直线平行.常用的寻找平行线的方法有：三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等. 考点二：截面图形的形状与几何量计算 考法4：结合线面垂直判断多面体截面形状 例4.（2026·江西九江·二模）（多选）如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则 A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 考法5：多面体截面周长与面积的常规计算 例5.（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动.若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是 A. B. C. D. 考法6：利用线面平行与几何体特征求解截面面积 例6.（2026·广东深圳·二模）（多选）已知正三棱柱的高为，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则 A. B. 平面平面 C. 截面的面积为 D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 考法7：空间向量法求解截面面积与周长 例7.（2026·河南郑州四中·检测）（多选）正方体棱长为，，下列说法中正确的有 A. 若点在底面（含边界）内，且，则的轨迹的长度为 B. 空间中，点满足，则的轨迹与正方体表面的交线长度为 C. 平面截正方体所得截面多边形是直角梯形 D. 平面将正方体分成两个几何体的体积分别为，且，则 考法8：距离平方和定值推导正四面体截面位置及面积 例8.已知正四面体的棱长为，动点满足，用所有这样的点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为＿＿＿＿＿＿. 考法9：多面体截面相关空间角的综合计算 例9.如图，在三棱柱中，.过点的平面与直线垂直. （1）作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由； （2）已知，求与平面所成角的正弦值. 考法10：等体积法求解截面相关的空间距离 例10.如图，棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，过作平面，使得平面. 求平面与平面的距离. 考法11：正方体中动点截面形状及面积周长的综合判断 例11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题中正确命题的个数为 ①当时，为四边形； ②当时，为等腰梯形； ③当时，与的交点满足； ④当时，为六边形； A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 截面形状判断与面积最值：处理长方体截面问题，常利用相对面平行推导截面交线平行，从而判断截面形状.求截面面积最值时，通常将面积表示为某变量的函数，或利用空间距离的最小值（如垂线段最短）进行求解.分析动点截面形状的动态变化，核心是寻找“临界点”，通常当截面恰好经过多面体的某个顶点时为临界状态. 2. 动点轨迹与面积计算：空间中动直线与定直线成定角，动直线上的点（或动直线本身）的轨迹通常是圆锥面.求解此类轨迹面积时，关键是确定圆锥的顶点、轴、母线长以及底面半径.处理空间中距离平方和等式的轨迹问题，首选坐标法，通过建立坐标系将几何条件代数化求出轨迹方程. 3. 截面分割体积比：截面分割几何体求体积比时，若截得部分为规则几何体（如棱台、棱锥），可直接利用体积公式计算；若为不规则几何体，则常采用割补法或等体积转换法. 4. 空间向量法的应用：空间向量是处理立体几何中动点轨迹、截面形状判断、体积计算以及空间角的有力工具.通过建立恰当的空间直角坐标系，将几何点坐标化，利用向量的坐标运算可以有效避免复杂的空间想象和辅助线作法.计算空间角时，若能找到三条两两垂直的直线，则优先建立空间直角坐标系，利用法向量求解. 5. 空间距离的转化：求解两平行平面间的距离，通常转化为其中一个平面上任一点到另一个平面的距离.计算点面距离时，等体积法是最常用的方法，关键是选择合适的底面和高. 考点三：截面分割几何体的体积问题 考法12：多面体被截面分割的体积及体积比计算 例12.（2026·湖北云学联盟·模拟）（多选）将一个棱长为的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体.则 A. 该几何体的体积为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的外接球半径为 D. 该几何体有个面 考法13：截面面积比与体积比的综合运用 例13.（2025·广东六校·联考）如图，已知为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥在平面上方的部位体积为，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，那么当时， A. B. C. D. 考法14：截面分割多面体的体积比最值求解 例14.（2026·山东菏泽·一模）如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若在上，则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【考点三 方法总结】 1. 截割几何体问题：处理截去部分几何体的问题，关键是准确还原截割过程，明确剩余几何体的各个面、棱的特征.体积通常用总体积减去截去部分的体积，外接球往往与原几何体共用. 2. 面积比与体积比的综合：截面面积比与体积比问题，常利用相似比的平方等于面积比、相似比的立方等于体积比（对于相似几何体），或利用祖暅原理、积分思想建立面积与体积的函数关系. 3. 截面相关最值求解：求解截面相关的最值问题，若截面曲线为圆锥曲线，最有效的方法是建立平面直角坐标系，利用解析几何的方法将距离、面积等表示为坐标的函数，再利用代数方法求最值. 考点四：球的截面问题 考法15：利用截面圆半径及球心距求解球表面积与体积 例15.（2026·湖北襄阳四中·检测）已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则 A. B. C. D. 考法16：球缺体积公式求解多面体与球的公共部分体积 例16.（2025·江西上饶·二模）如图，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，球缺的体积公式是.已知正方体棱长为，则该正方体与以为球心，为半径的球的公共部分的体积为＿＿＿＿＿＿. 考法17：多面体外接球截面面积与距离的最值求解 例17.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 A. B. C. D. 考法18：球的截面构成的多面体体积最值求解 例18.（2025·广东衡水金卷·联考）（多选）半径为的球上相异三点构成边长为的等边三角形，点为球上一动点，则三棱锥的体积最大时 A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥的内切球半径为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球半径为 考法19：多面体截面与内切球截面圆面积最值求解 例19.（2025·广东燕博园·检测）在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为 A. B. C. D. 【考点四 方法总结】 1. 球的截面基本计算：处理球的截面问题，核心是构造由球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形，利用进行计算. 2. 球与多面体的公共体积：计算多面体与球的公共部分体积，常利用对称性将问题转化为求球缺体积，再利用容斥原理进行加减运算.准确判断球缺的高是解题的关键. 3. 球的截面面积最值：过球内一定直线作截面，当截面与球心和定直线在球内的弦的中点的连线垂直时，球心到截面的距离最大，此时截面圆的半径最小，截面面积最小.计算时需准确求出球心到直线的距离. 4. 球内接多面体的最值与内切球：求球内接多面体的体积最值，通常底面固定，只需寻找高最大的点.当动点、球心、底面外心三点共线时，动点到底面的距离最大.求内切球半径常利用等体积法. 考点五：圆柱、圆锥的截面问题 考法20：圆锥截面曲线离心率与最值求解 例20.（2026·安徽A10联盟·检测）（多选）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是 A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【考点五 方法总结】 1. 圆锥截口曲线的处理：圆锥的截口曲线类型由截面与圆锥轴的夹角决定.求解截口曲线的几何量时，常通过在轴截面或特定平面内建立直角坐标系，将空间问题转化为平面解析几何问题进行处理. 考点六：空间动点轨迹与截面个数问题 考法21：结合截面或表面展开图求解动点轨迹长度与最短路径 例21.（2026·河南开封高中·检测）（多选）已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有 A. 此四棱台的侧面积为 B. 若是的中点，则平面截此四棱台所得截面的面积为 C. 若点为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则的轨迹长度为 D. 若点为棱上的动点，则的最小值为 考法22：空间直角坐标系求解动点轨迹圆面积 例22.（2026·广东中山·二模）如图，在四棱锥中， 底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 【考点六 方法总结】 1. 表面最短路径问题：处理多面体表面的最短路径问题，最有效的方法是将相关侧面展开到同一个平面内，利用“两点之间线段最短”进行求解.注意检查连线是否在展开图形的内部. 2. 隐含垂直关系的应用：当题目中出现“以某线段为直径的球面”时，常隐含着垂直关系（直径所对的圆周角为直角）.结合垂直关系建立空间直角坐标系，是解决此类动点轨迹及截面问题的通法. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $