第33讲 立体几何 距离·等积与投影讲义-2027届高三数学一轮复习

多想少算 · 立体几何 第 33 讲 · 把距离变成高 01 题眼 本讲只练一个动作 点到平面的距离，就是“把这个点当顶点、平面内三点当底面”的三棱锥的高。同一个三棱锥换一个底，体积不变， 立刻把距离算出来。本讲只练：先换底，再除面积。 求点面距有两条路。建系是通的：设点、求法向量、算模长、取绝对值，四步里三步是代数。等积是另一条：它不问垂足落在哪里，只问同一个四面体能不能换一个“高已经知道”的底。 本讲省掉的动作很具体：不解定比分点坐标、不求法向量、不代点面距公式。代价只有一件——目标面的面积要算得出来。所以先练 认高 ，再练 认面积 ：高来自那条垂直于一个面的棱，面积来自目标面里藏着的直角。 02 识别 等积法有两条前提：体积能被单独算出来（有一个已知的高），目标面的面积能直接写出来。缺一条就退回建系。出现下面三个信号，再停下来换底。 信号一 · 有一条棱垂直于某个面。 侧棱 底面、直棱柱的侧棱、正四棱锥的高，都是“现成的高”；在它垂直的那个面内取三角形作底，体积一步得到。例题里的 平面 ，正是第 (1) 问送来的那条垂线。 信号二 · 目标面里藏一个直角。 一条线垂直于一个平面，就垂直于面内的每一条线：、、 都由此来。有了直角，目标面面积就是两条直角边相乘再除以二，不必动用海伦公式。 信号三 · 待求点与面内三点能拼成一个“底好算”的四面体。 平面内取的三点不同，换底后的底面积与高就不同；挑高已知、底落在已知平面内的那一组配对。 图 1: 等积换底的四个动作 动笔前的 30 秒 第 1 步 拼四面体：把“点 到平面 的距离”看成以 为顶点、 内三点为底面的三棱锥的高。 第 2 步 认高：找一条垂直于某个面的棱，它垂直的那个面就是算体积用的底。 第 3 步 算体积： 底面积 这条高。 第 4 步 除面积：；先在目标面里找直角，再写面积。 03 双解对照 两条路的分岔口不在“会不会算”，而在“要不要先把那个点的坐标解出来”。看题——第 (1) 问已经替你把高立好了。 例题 · 第（1）问送来的高 在三棱锥 - 中，，， 为 的中点，点 在棱 上，且 。求点 到平面 的距离。 先把题干里的“免费信息”读出来。 、 给出 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，斜边上的中线 ，。同理 给出 ，。再看 ：，所以 。两条相交直线 、 都垂直于 ，于是 平面 ——这条垂线就是本讲的“现成的高”。 说明 是 上靠近 的三等分点，因此 到 的距离是 到 距离的 ，即 。 常规解 · 算：建系求法向量 第一步，建系。 以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴，则 ，，。 第二步，定比分点。 ，所以 。 第三步，求法向量。 设平面 的法向量 。由 得 ；由 得 ，取 。 第四步，代距离公式。 ， 四步里最容易出错的是第二步和第三步：比例写反， 变成 ，法向量跟着变，答案就成了 。 图 2: 换一个底： 就是三棱锥的高 少算解 · 想：换一个底，让 当高 第一步，把距离认成高。 点 到平面 的距离，是三棱锥 - 中以 为底时的高 。同一个四面体改用 作顶点来看：底面 落在平面 内，高正是 。 第二步，算体积。 ，故 。 第三步，算目标面。 平面 ，而 在这个平面内，所以 ， 是直角三角形。由 ，得 第四步，除。 。 两条路的分水岭。 常规解的高要现造：先解出 的坐标，再解一个法向量，最后做投影。少算解的高一直摆在图里——第 (1) 问证出的 就是这个四面体的高，换底只是把同一个体积从 那一边搬到 那一边。省掉的动作很具体：不解定比分点坐标、不求法向量、不代点面距公式，全程两次面积一次除法，连 都不用算。 再想一步：垂线不是白来的。 把条件“”换成“侧面 与底面成 ”， 就不再是这个四面体的高，等积失去入口，只能先作垂面定垂足或者直接建系。能不能少算，看的不是题难不难，而是图里有没有那条“垂直于一个面”的棱。 表 1: 两条路径的账本 维度 常规解 · 算 少算解 · 想 第一步 建系，写出四个点的坐标 把距离看成三棱锥 - 的高 关键难点 定比分点与法向量 认出 是现成的高、 运算量 步骤数 四步（含一次法向量） 四步（两次面积、一次除法） 主要风险 比例写反；法向量与模长算错 底面积与高不是同一个四面体的配对 04 迁移 同一条路径，换两个外壳：一个把高挂在侧棱上，一个干脆把体积写在题干里。 （一）直四棱柱：高挂在侧棱上 迁移一 直四棱柱 - 的底面是菱形，，，， 为 的中点。求点 到平面 的距离。 少算解 · 想：先证直角，再挂侧棱 第一步，找直角。 连 。底面是菱形且 ，所以 是边长为 2 的正三角形； 为 的中点，故 ，。直四棱柱的侧棱 底面，所以 ，于是 侧面 ，而 在该面内：， 是直角三角形。 第二步，挂高算体积。 以 为底， 就是这个底上的高：，。 第三步，除面积。 由 ， （二）四棱锥：体积写在题干里 迁移二 四棱锥 - 的底面是矩形， 平面 ，，，三棱锥 - 的体积 。求点 到平面 的距离。 少算解 · 想：体积已经送到手 第一步，用体积反求矩形另一边。 就是三棱锥 - 的高，，得 。 第二步，认体积不变。 矩形的对角线把底面分成两个等面积的三角形，仍以 为高，所以 。 第三步，找目标面的直角并除。 ，，所以 平面 ，从而 。由 ， 这道题等积只多问一句：目标面里有没有直角。 05 边界 等积法搬运体积，不生产高。图里没有现成的高时， 会原地打转。 反例 · 把侧棱当高 正四面体 的所有棱长均为 2。求顶点 到底面 的距离。 机械套用会得到错误答案 四个面的面积都是 ，看起来只差一个体积；可 里的 正是要求的距离，代回 左右都是 ，等于没算。 更常见的错法是把侧棱当高：由 直接答 2。真正的高是 ，比棱长短 0.367；用错值算出的体积 与正确体积 都“看着合理”，事后很难自查出来。 正确的读法。 先落垂足： 在底面 内的射影是正三角形的中心 ， 是外接圆半径 ，于是 有了这条高，体积才第一次被算出来，之后才谈得上换底—— 射影造高，等积搬高 ，两者是接力关系。同一纪律管着另外两类距离：求线面距、面面距时，要先证线面平行或面面平行，把距离平移到某个具体的点上，才能挂进四面体；不平行的线段不能直接套 。 一句话： 图里先要有一条真正垂直的高；没有，就先落垂足，别把侧棱当高。 06 自测 三题，限时 15 分钟。答案在文末第 08 节，先做完再对。 自测 1 在三棱锥 - 中， 平面 ，，，，求点 到平面 的距离。 自测 2 正方体 - 的棱长为 2，求点 到平面 的距离。 自测 3 在直三棱柱 - 中，，，求点 到平面 的距离。 07 速查卡 表 2: 等积换底·速查卡 题面信号 先看什么 接下来做什么 还要补什么 有一条棱垂直某个面 这条棱与它垂直的面 用该面内的三角形作底算 高要真的垂直于整个面 目标面里找直角 垂线是否落在目标面内 用两条直角边相乘 别急着用海伦公式 体积写在题干里 底面被对角线分成的两块 反求棱长或直接换底 两块三角形面积相等 求线面距、面面距 平行关系是否成立 平移到某个点再等积 不平行就不能平移 棱柱里的点到斜截面 侧棱与底面垂直 底面三角形作底 斜截面先证直角 四个面都没有已知高 停止等积 落垂足或建系 别把侧棱当高 本讲结论 点到平面的距离，就是“这个点当顶点、平面内三点当底面”的三棱锥的高。同一个四面体换一个底，体积不变：。前提是高已经在图里——由垂线给出，或由射影造出来。 换底四问 本讲关键词：换底 · 现成的高 · 直角面 · 体积守恒 · 射影造高 下一讲 · 先补成长方体 外接球也不靠硬算。三条棱两两垂直时，把几何体补成长方体，球直径就是体对角线；而本讲用来定高的那类“垂直于一个面的棱”，正是补形入场的那张票。 08 参考答案 以下解析对应第 06 节的三道自测。先独立完成，再对照“路径回看”，检查底面积与高配的是不是同一个四面体。 自测 1　【答案】 。 【解析】 平面 送来了高：底面是边长 2 的正三角形，，。目标面 中 、，取 的中点 ，则 ，，所以 。 【路径回看】 高是现成的，体积一步算出；目标面没有直角，就退一步用等腰三角形底边上的高求面积。 不是对平面 的高，别直接当答案。 自测 2　【答案】 。 【解析】 换底成 -： 在侧面 内，，而 平面 给出高 ，故 。目标面 是边长 的正三角形，，。 【路径回看】 相邻侧面互相垂直，一条棱就是天然的高。射影可以复核：体对角线 平面 ，所求距离恰为 的三分之一。 自测 3　【答案】 。 【解析】 换底：。 在侧面 内，，；由 得 ，直三棱柱中又有 ，所以 平面 ，高 ，。目标面 ：、、，满足 ，直角在 ，， 【路径回看】 “垂直于侧面的那条底边”就是现成的高；先在目标面里用勾股核对直角，再写面积，省掉海伦公式。 表 3: 三道自测的路径回看 题号 关键判断 用到的条件 补充验证 1 是现成的高 平面 、底面是正三角形 目标面无直角，用等腰三角形的高 2 侧棱垂直侧面送来高 平面 与体对角线的三分之一相同 3 高挂在侧面 上 、 目标面直角在 ，勾股核对 学科网（北京）股份有限公司 $