第33讲 平面向量的数量积及其应用讲义（5考点+8题型）-2027届高三数学一轮复习

第33讲平面向量的数量积及其应用 目录 Contents Part1考点突破 【考点1：平面向量的数量积】 【考点2：数量积的运算律】 【考点3：数量积的性质】 【考点4：数量积的坐标运算】 【考点5：解题方法总结】 Part2题型探究 【题型一：平面向量的数量积运算】 【题型二：平面向量的夹角问题】 【题型三：平面向量的模长问题】 【题型四：平面向量的投影、投影向量】 【题型五：平面向量的垂直问题】 【题型六：建立坐标系解决向量问题】 【题型七：平面向量的实际应用】 【题型八：向量回路恒等式】 ----------------------------------------- Part3分层通关 Part1 考点突破 【考点1：平面向量的数量积】 知识点1：平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 己知两个非零向量ā与b,我们把数量acos8叫做d与b的数量积（或内积）， 记作a.6,即ab-cos9,规完：零向量与任一向量的数量积为0. (2)平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：|a©os8叫做向量ā在b方向上的投影数量，当日为锐角时，它是正 数；当8为钝角时，它是负数：当8为直角时，它是0. ②a·b的几何意义：数量积a.b等于a的长度a与b在a方向上射影bcos0的乘积 ③设a，万是两个非零向量，它们的夹角是8，ē与b是方向相同的单位向量， AB=ā，CD=b,过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 4,B,得到AB,我们称上述变换为向量ā向向量b投影，AB叫做向量ā在向量b上的 投影向量.记为acos距 a B b C A B D 数量积的定义与几何意义是本源：投影数量可正、可负、可为0；00反过来不成立，审 题时先辨零向量。 【例11已知向量=，2)，4C=(x-).若B8C=5,则x=( A.-5 B.-2 C.2 D.12 【考点2：数量积的运算律】 知识点2：数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数元，则： ①ab=b.a: ②(2a)b=ab)=a-(2b): ③(a+b)c=ac+bc 运算律只对加法与数乘成立，数量积不满足结合律：等式两边不能随意约去一个向量。 【例2】已知向量01=(42)，06=(2,1) 0)若(@1-20B)1(01+30B）, 求实数x的值： @设向量OM=(L,3),点P是直线OM上的一个动点，当P,P历取最小值时，求OP的 坐标。 【考点3：数量积的性质】 知识点3：数量积的性质 设ā、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，0是a与e的夹角，则 e.a-a.e-alcos0.QaIbea.b=0. ③当a与b同向时，a-bab1;当a与6反向时，a-6=-ab1. 特别地，a:aa或avaa os0=a.b ④ |alb10alb≠o).⑤la:allbl. 性质是工具库：求模看平方、判垂直看点积为零、求夹角用余弦公式，先定型再选式。 【例3】下列关于向量的说法正确的是( ) A.若a6.ble malle ,则 B.若单位向量ā，b夹角为，则向量ā在向量b上的投影向量为2 c.若i与5不共线，且a+6=0.则5=1=0 D.若i-c=b-cc≠0 a=b 则 【考点4：数量积的坐标运算】 知识点4：数量积的坐标运算 己知非零向量i=(G,),b=(:,),0为向量ā、b的夹角. 结论 几何表示 坐标表示 模 a=va.a laFx+y2 数量积 a.b=allblcos0 a.b=xx2+yy2 b cos0 xx,+Viv 夹角 cos0=_ allbl V+好+月 a⊥b的充要 a.b=0 xx3+M2=0 条件 al∥b的充要 a=2b(b≠0) X1y3-x2y=0 条件 1a-b1与 |a.blsallbl(当 1xx2+yy2≤ lalb的关系 且仅当a/b时等号成 V好+好居+好 立) 坐标运算把向量问题代数化：模、夹角、垂直全部可公式化，建系前先看清垂直关系。 【例41已知a=(-2,1,6=(4,0,若a-6=2,则2a-= 【考点5：解题方法总结】 解题方法总结 (1)万在石上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0. (2)数量积的运算要注意ā=0时，ā：b=0,但a.b=0时不能得到ā=0或b=0, 因为ā⊥b时，也有ab=0. cos0=a.6 (3)根据平面向量数量积的性质：|ava-a, 1ab1,a16分ab=0等， 所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题， (4)若a、b、c是实数，则ab=ac→b=c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的 性质，即若向量a、b、c满足a.b=ac(a≠0)，则不一定有b=c,即等式两边不能 同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量 (5)数量积运算不适合结合律，即(a,b)c≠a(伍·)，这是由于(a:b):c表示一个与 c共线的向量，ā：⑥·)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与 a(仍：)不一定相等. 方法选择的顺序：能建系先建系，不能建系用基底；见模先平方，见垂直先用点积为零。 c=a- a.a b 【例5】若向量ā与b不共线也不垂直，且 a.b) 则向量夹角〈a,= Part2 题型探究 【题型一：平面向量的数量积运算】 【例1】如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BAD=120°，AB=AD=1,AC=2.若E为CD的 中点，则EA·EB的值为( B A.-3 e D.3 【变式1】己知正方形ABCD的边长为l,O为正方形的中心，E是AB的中点，则 DE.DO=( B.2 C.4 D.1 【变式21已知向量a,方，c满足---=1，a+=6+2,则6-(a+6+20) ) B.4 1 15 A.4 C.4 D.4 【题型二：平面向量的夹角问题】 【例2】1已知单位向量a,6满足a1(a-2),则包，6)=( ) 2π A.3 B.3 C.4 D.6 【变式3】若单位向量.6，满足+6+：=0 ,则向量a-与5-8 “夹角的正弦值为 2 √5 3 4 A.2 B.2 C.5 D 【变式41已知a=(m-1,2),6=(0,m） ☑)若+6=2且m<0,求ā在B方向上的投影向量： (2)若ā与b的夹角为钝角，求实数L的取值范围. 【题型三：平面向量的模长问题】 【例3】已知laH6Hc-1,a6=-1 2,c=xa+yb(x,y∈R),则x-y的最小值为 ( 2W3 A.-2 B. 3 C.-5 D.-1 【变武51已知向量a,石满足a-=5,日+-ba-,则5- 【变式61已知同-月-1，a6）=60,a6+5c=2,则2a-)6-20的最小值为 【题型四：平面向量的投影、投影向量】 【例41已知非零向量a.6满足a+21a-2 ，且向量b在向量ā方向的投影向量是 44,则向量a与6的夹角是】 【变式7】已知向量a,万，c,其中a,6为单位向量，且a16,若-，则 (a-c)1(6-2c） 注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形 【变式8】已知a为单位向量，向量B在向量a上的投影向量是2a,且(Ba+)1a,则实 数入的值为 【题型五：平面向量的垂直问题】 【例5】平面向量a与b相互垂直，已知a=(6,-8), 同=5，且乃与向量1,0的夹角是钝 角，则b=( A.(-3,-4) B.(4,3) C.(-4,3) D.(-4,-3) 【变式91已知向量a=(4,2),万=(2，)，若a+26与a-6的夹角是锐角，则实数1的取值 范围为( A.(1-i,2U(2,1+） B.(-2,5) c.(1-i,1+ D.（o,1-TU1+i,+o a b b 【变式10】已知单位向量”，的夹角为60°，则在下列向量中，与”垂直的是 A.a+26 B.2a+6 c.a-26 D.2a-6 【题型六：建立坐标系解决向量问题】 【例6】在平面直角坐标系xOy中，点M(2,0),直线上：y=k(x-2)+1,点M关于直线I的 OM.ON 对称点为”，则 的最大值是() A.2 B.3 c.5 D.6 【变式11】如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点（包括边 OP.OA 界)，O,A在格点上，则 的取值范围是 【变式12】（新考法）(2026山东烟台模拟预测)在平行四边形ABCD中，点E为BC 的中点，点F在DC上，且DF=2FC,4F与DE交于点0，若砺-D-2a0-DE,则 AB AD的值为( 1 5 C. 3 A.4 B.4 D.2 【题型七：平面向量的实际应用】 【例】作用于同点的三个为R平衡，已知同-3N,同=6N万与乃之间的夹角是 60,则力5的大小为 N 【变式13】在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD于 E,则正40=( 12 24 B.25 12 4 A.25 c.5 D. 【变式14)如图，在四边形ABCD中，△ABC为等边三角形，且AD1/BC,AD=4, AB=2 D E B )求DC, (2)若E是CD中点，求AE·BD 【题型八：向量回路恒等式】 【例8】在△1C中，4C=2AB=8,4C=0.若丽=3DC.正=C,且4D, BE AP.BC= 交于点P,则A 【变式15】（新角度）如图，已知△ABC满足-4C=2,B4C=2,月、B、… P(aeN)是线段8C上的等分点，且满是职=明=B5==PE=PC BE BE PP> P ①)当m=2时，求B+++4C的值： ②当”=3时，若P为线段上的动点，求P1-P 的最小值 【变式16】如图，在△18C中，已知AB=2.4C=6万.∠BAC=45°BC 边上的中点 为M,点N是边AC上的动点（不含端点），AM,BN相交于点P, (1)求∠BAM的正弦值： (2)当点N为AC中点时，求∠MPV的余弦值. (3)当 NA·NB 取得最小值时，设 P=BN,求2的值 Part3分层通关 【基础通关练】 1.已知单位向量d,6,且a,)= ,若(a+)1c,c2,则ac=（ A.1 B.12 C.-2或2 D.-1或1 2.已知向量=(1m）,向量 =m,-2),向 量=，D,若a与共线，61c,则 A.m=-1 B.n=-2 C.m+n=3 D.m-n=1 3.已知a.6c是同-个平面上的向量，若同=d=月，且a-0,ca-2c-6-1,则 (c,a)= 4.已知向量8=(L2),万=(42）， 若非零向量c与a,b的夹角均相等，则C的坐标为 (写出一个符合要求的答案即可) W3 5.已知圆O的半径为2，弦AB的长度为 若动点P在圆O上运动，则PA:PB的取值 范围是( A.[1,3] B.[0,4] c.【441 D.【-2,6 6.已知向量a=),万=(2,1，eR.若a+5与2a+的夹角为能角.则2的取值范 围是 在平行四边形ABCD中，4B=4:D=2ZBAD=；,点P在CD边上，.码 则AP.BP=( A.0 B.-2 C.1 D.1 8,已知在边长为2的菱形ABCD中，∠D1B-行，点E满足E-3C,则C.花。 【提升通关练】 9.以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一 段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧4C上的一点，且∠PBC-石 =6,则BP.CP 的值为( A.4-V B,4+V2 c.4-25 D.4+2V5 10.在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1, 则PA·PB的取值范围是( A.【5,3] B.【3,5] c.【-63] D.[-4,6 山，已知非零向量a,石满足a-6+-0,a+4=5,则a++同的最大值为() 5v10 4v10 25V2 A.3 B.3 C.4 D.5 12.己知点0为坐标原点，O1=(),0B=(3,4),点P在线段4B上，且=1，则 点P的坐标为 13,已知向量0=(-L.5),6=(-3,,则向量5在8-b方向上的投影狗量的坐标为 14.已知向量a-v).m号m, -m m∈R (1)若m=3, 求+风 -3 (2)若 2, 求b在a上的投影向量（用坐标表示） 15.已知-5，同=La与6的夹角为45 (I)求b在ā方向上的投影向量： ②求2a+6 的值 16已知手号向量万石，者-2a5=3,里石+25-8，则6-2西的取值花图是 A.L,7刀 B.[2,6 c.4-7,4+万D.B-7,3+V列 【培优通关练】 17.已知⊙0的半径为1，直线A与⊙0相切于点A,直线PB与⊙0交于B,C两点，D 为BC的中点，若PO=V ,则P,PD的最大值为《 1+√2 1+2W2 A.2 B.2 C.1+v2 D.2+V2 18,已知平面向量a五cc≠0满足=l=2a-6=0(a-列d=0记向益7在a5方向上 的批影分别为1，y.-8在方向上的投影为三，则 2+y2+z2 的最小值为 19.将向量 0p=(N2,V2) 绕坐标原点0顺时针旋转75°得到0丽，则0P.0F= √6-√2 A.2 B.√6-√2 6+2 C.V6+√2 D.2 20.如图，在正方形ABCD中，CE=2DE,EB和AC相交于点G,且F为AG上一点（不 31 包括端点)，若BF=ABE+uBA,则元十的最小值为（) D G B A5+3V5 B.6+25 c.8+5 D.15 21.如图，在三角形OPO中，M、V分别是边OP、O№的中点，点R在直线MN上，且 O丽=OP+)0,yeR),则代数式+少--y+2的最小值为( ) P R 2 2 √2 A.2 B.6 C.4 D.2 22.如图所示，B是4C的中点， BE=20B,P 是平行四边形BCDE内（含边界）的一点， 且OP=O1+)0B(xeR,则当=2时，×的范周是 B 2说.如图所示，在边长为3的等边三角形BC中，而-号C,且点p在以D的中点0 为圆心，OA为半径的半圆上，则BP·BC的最大值为 A 24已知点O0,0),点4,0)，点B0,1,点P满足0P=01+2-0丽，其中c 由所有点P组成的线段为CD,则MP(PC+PD)的最大值为. 第33讲 平面向量的数量积及其应用 目录 Part 1 考点突破 【考点1：平面向量的数量积】 【考点2：数量积的运算律】 【考点3：数量积的性质】 【考点4：数量积的坐标运算】 【考点5：解题方法总结】 Part2 题型探究 【题型一：平面向量的数量积运算】 【题型二：平面向量的夹角问题】 【题型三：平面向量的模长问题】 【题型四：平面向量的投影、投影向量】 【题型五：平面向量的垂直问题】 【题型六：建立坐标系解决向量问题】 【题型七：平面向量的实际应用】 【题型八：向量回路恒等式】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：平面向量的数量积】 知识点1：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 数量积的定义与几何意义是本源：投影数量可正、可负、可为 0；0·a=0 反过来不成立，审题时先辨零向量。 【例1】已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，解得. 【考点2：数量积的运算律】 知识点2：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 运算律只对加法与数乘成立，数量积不满足结合律；等式两边不能随意约去一个向量。 【例2】已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），, 因为，所以． 即，解得． （2）（法一）设，P是直线上的一个动点，所以，即． 又，， 所以 ， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． （法二）设，则． 则， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． 能力进阶 【考点3：数量积的性质】 知识点3：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 性质是工具库：求模看平方、判垂直看点积为零、求夹角用余弦公式，先定型再选式。 【例3】下列关于向量的说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．若与不共线，且，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项. 【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误； B：向量在向量上的投影向量为，B正确； C：若与不共线，且，则，C正确； D：，则，又， 则，显然不能确定，D错误； 故选：BC. 【考点4：数量积的坐标运算】 知识点4：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 坐标运算把向量问题代数化：模、夹角、垂直全部可公式化，建系前先看清垂直关系。 【例4】已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模. 【详解】因为，且， 所以，解得，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【考点5：解题方法总结】 解题方法总结 （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 方法选择的顺序：能建系先建系，不能建系用基底；见模先平方，见垂直先用点积为零。 【例5】若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角 . 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可. 【详解】由题意可得： ， 故： ，即向量 与的夹角为 . 故答案为： Part 2 题型探究 【题型一：平面向量的数量积运算】 【例1】如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，确定点坐标，计算向量的数量积得到答案. 【详解】连接，由余弦定理知，所以. 由正弦定理得，所以为圆的直径， 所以，所以，从而， 又，所以为等边三角形， 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 则， 所以. 故选：C. 【变式1】已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标，分别求出向量，的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以 故选：C. 【变式2】已知向量，，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，， 两式相减得，即， 又由，，得， 即， 故． 【题型二：平面向量的夹角问题】 【例2】已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由得， 又为单位向量， ， ，又， . 故选：B. 【变式3】若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由，可得，两边取平方， 所以，解得，即， 又由，可得， 则，， 所以 ， 又， ， 设向量与的夹角为，， 则， 所以. 【变式4】已知，． (1)若且，求在方向上的投影向量； (2)若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据模长的坐标运算求得，再结合投影向量的定义分析求解； （2）根据题意可知且与不共线，结合向量的坐标运算分析求解. 【详解】（1）因为，，则， 若且，则，解得， 则，，可得， 所以在方向上的投影向量. （2）因为，． 若与的夹角为钝角，则且与不共线， 则，解得且， 所以实数m的取值范围为. 【题型三：平面向量的模长问题】 【例3】已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积定义可得的夹角为，不妨设，，即可得，再利用辅助角公式可得，即可求得其最小值. 【详解】设的夹角为，，， ，，，又， 不妨设，， ，所以，即， ， 由， 当时，即时，有最小值． 故选：B 【变式5】已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 【变式6】已知，，，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】不妨设， 则，则， 因为， 所以 ， 当时，有最小值，最小值为. 【题型四：平面向量的投影、投影向量】 【例4】已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是 . 【答案】 【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角. 【详解】因为，所以，即①. 因为向量在向量方向的投影向量是， 所以.所以②， 将①代入②得，，又，所以. 故答案为： 【变式7】已知向量，，，其中，为单位向量，且，若 ，则. 注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形. 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直时数量积的表示方法，运用坐标运算求解. 【详解】因为是相互垂直的单位向量，不妨设 ，即 ， ，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上， 故可以取 ，即； 故答案为：1. 【变式8】已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】结合投影向量的概念得到，再根据平面向量垂直及数量积的运算律列式计算即可求解. 【详解】因为向量在上的投影向量为，所以， 又为单位向量，所以， 因为，所以， 所以，所以， 故， 故答案为：. 【题型五：平面向量的垂直问题】 【例5】平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可． 【详解】设 ①， ，②， 与向量(1，0)夹角为钝角，，③， 由①②③解得，， 故选：D． 【变式9】已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积为正数且两向量不同向即可根据坐标运算求解. 【详解】由题意得，， 若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们数量积为正值， 即，且， 解得，且， 所以实数的取值范围为． 故选:A 【变式10】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 【题型六：建立坐标系解决向量问题】 【例6】在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，由，关于直线对称，联立方程求出点的坐标，求出，分类讨论求解最大值即可. 【详解】设点，因为，关于直线对称， 所以，可得：. 所以，，所以. 当时，； 当时，，此时，所以. 当时，，此时， 所以，故. 综上所述：，故的最大值为. 故选：D. 【变式11】如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义求解. 【详解】， 即的等于与在方向上的投影的乘积， ，结合图形可知， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式12】（新考法）（ 2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示，因为，所以点为三等分点，且靠近点. 设，，，， 则，， 且由题意得：，， 设，， 联立，解得：，，所以， 由得：，化简得： ，所以，令，所以，，即：. 【题型七：平面向量的实际应用】 【例7】作用于同一点的三个力平衡，已知与之间的夹角是，则力的大小为___________N． 【答案】 【详解】由题意可知，，所以， 所以 【变式13】在矩形中，与相交于点，过点作于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系：    则， 设，则 且， ，解得， ， 在矩形中，为的中点， 所以，由， 所以， ， 故选：D. 【变式14】如图，在四边形中，为等边三角形，且，，． (1)求； (2)若是中点，求． 【答案】(1) (2)11 【分析】 【详解】（1）由，，，则， 故， 故 ； （2）由是中点，则， ， 故 . 【题型八：向量回路恒等式】 【例8】在中，，．若，，且，交于点，则______． 【答案】 【详解】由题设得，，，以为平面一组基底进行运算， 由，得 ， 由，得为中点，故. 因在上，设， 又在上， 设， 根据基底表示的唯一性，对应系数相等得，解得. 又，且， 故. 代入，得. 【变式15】（新角度）如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 解得，因为，所以，则为等边三角形， 取BC中点O，连接AO，则， 所以. （2）当时， ， 设，则， 又， 所以 ， 所以当时，有最小值. 【变式16】如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点． (1)求的正弦值； (2)当点为中点时，求的余弦值． (3)当取得最小值时，设，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根据与互补，由，求得，然后在中，利用余弦定理求解；解法2、由，求得，再利用的面积为面积的求解；解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式求解； （2）方法1、在中，利用余弦定理，求得，再由为重心，得到，，然后在中，利用余弦定理求解；解法2：由，求得，再利用向量的夹角公式求解；解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的夹角公式求解； （3）设，由，则即时，取最小值，得到，再由，，得到，由A，，三点共线求解； 【详解】（1）解法1、由余弦定理得， 即，所以， 所以， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为与互补，所以，解得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以． 解法2、由题意可得，， 由为边上的中线，则， 两边同时平方得，， 故， 因为为边中点，则的面积为面积的， 所以， 即， 化简得，． 解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系 则，，， 所以，， 所以， 因为，所以． （2））解：方法1、在中，由余弦定理， 得， 所以， 由，分别为边，上的中线可知为重心， 可得，， 在中，由余弦定理，得， 又由，所以． 解法2：因为为边上的中线，所以， ， ，即． 所以． 解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系： 则，，，， 所以，． 所以． （3）设，， 当即时，取最小值， ， ，， ， ，，三点共线， . Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．已知单位向量，且，若，，则（    ） A．1 B．12 C．或2 D．或1 【答案】D 【分析】由题意结合向量加法的几何意义可得或，再根据数量积的定义计算，即得答案. 【详解】由题意单位向量，且，可知与的夹角为， 因为，所以或， 故当时，； 当时，， 故选：D. 2．已知向量，向量，向量，若与共线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】因为与共线，所以，解得. 又，所以，解得，所以，所以. 故选：C. 3．已知是同一个平面上的向量，若，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量的数量积公式确定，根据垂直得到，代入计算得到答案. 【详解】设，则，， 故， ， 则，，，故， 设，，则， 又，解得，故. 故答案为：. 4．已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为 （写出一个符合要求的答案即可） 【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可. 【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果. 【详解】设，因为，， 所以， ， 因为与，的夹角均相等，所以， 所以， 化简得，所以， 因为为非零向量，可取，此时. 故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可. 5．已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为，由垂径定理可知， 已知圆半径，，故， 所以， 所以 ， 又，即， 故，则.    6．已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得， 又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 7．在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意结合数量积的几何意义可得点P与点D重合，再利用余弦定理求出，结合勾股定理逆定理可得，从而可求得答案. 【详解】由，得在上的投影向量的模， 因为，， 所以在上的投影为， 所以如图1，得，点P与点D重合， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：A. 8．已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【答案】 【分析】根据相似比可得，即可利用数量积的几何意义求解. 【详解】如图，设与交于点，过点作的平行线交于点.因为， 所以，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以，且，所以在上的投影向量为， 所以. 故答案为：    【提升通关练】 9．以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴， 建立平面直角坐标系，则，， 由，得， 所以，， 所以．    故选：C. 10．在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解. 【详解】在中，，，， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系， 如图所示， 则，设， 因为，所以， 又由， 所以， 设， 则，其中， 当时，取得最小值； 当时，取得最小值， 所以的取值范围为. 故选：D.    11．已知非零向量，满足，，则的最大值为 A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积与模长关系先判定，再利用三角换元结合辅助角公式计算即可. 【详解】，由，则有， 又 ， 即， 令， 则， 故选：A． 12．已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】解设点坐标，根据已知得出，利用直线方程，解设点坐标，再根据，得出答案即可. 【详解】由题知，，设， ，，，， ，， ，，则直线方程为， 设点坐标为，， ，， 求解可得，，，即点坐标为. 故答案为： 13．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得. 【详解】由，，得， 则，， 所以向量在方向上的投影向量. 故答案为： 14．已知向量，，. (1)若，求； (2)若，求在上的投影向量（用坐标表示） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）把代入中，再根据的坐标去求模长即可； （2）根据，把坐标代入计算求出的值，再列式求得在上的投影向量. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵，∴，∴， 即，∴，即， ∴在上的投影向量为. 15．已知与的夹角为. (1)求在方向上的投影向量； (2)求的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据向量在向量上的投影向量的概念求解； （2）根据数量积的运算法则求模即可. 【详解】（1）在方向上的投影向量为. （2）. 16．已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为， 所以，解得， 又 ， 所以，所以. 【培优通关练】 17．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 18．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值 19．将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标求出模长，再利用向量的数量积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到， 所以向量与向量的夹角为，且， 所以 . 故选：B 20．如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 21．如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合共线向量定理的推论可得，再消元借助二次函数求出最小值. 【详解】由M、N分别是边、的中点，得，而， 于是，又点R在直线上，因此，即， 则， 所以当时，取得最小值. 故选：C 22．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【分析】过作，交于，作，交的延长线于，则，由，可得则点为中点，点在上，结合图象可求的范围. 【详解】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 23．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．    【答案】9 【分析】在上的投影向量是，由向量数量积的几何意义，，求的最大值即可 【详解】如图，过向作垂线，垂足为，则在上的投影向量是，   在上的投影向量可能与同向，也可能与反向， 在本题中与的夹角为锐角，所以是同向的， 由向量数量积的几何意义，． 由等边三角形边长为3，，得，即半圆的直径为2， 过点作直线的垂线，与直线的夹角为，， 则圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切， 记切点为，当点在半圆上运动到与重合时，，最大， 取最大值，最大值为． 故答案为：9. 24．已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为，则的最大值为_________ 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 设点的坐标为，则，所以，即， 所以点坐标为 因为，当时，，此时点坐标为；当时，，此时点坐标为，不妨设， 两点间距离公式得， 由，，，，得，，， 所以， 所以， 令，，此为二次函数，对称轴， 所以当时取得最大值，， 故的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $