第33讲 直线的方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

第33讲 直线的方程 内 容 导 航 知识点1 直线的倾斜角与斜率 知识点2 直线的点斜式方程 知识点3 直线的斜截式方程 知识点4 直线的两点式方程 知识点5 直线的截距式方程 知识点6 直线的一般式方程 知识点7 直线的斜截式方程 知识点8 直线的截距式方程 题型1 直线的倾斜角 题型2 直线的斜率 题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题型4 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 题型5 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 题型6 方程组解的个数与两直线的位置关系 题型7 直线的点斜式方程 题型8 直线的斜截式方程 题型9 恒过定点的直线 题型10 直线的两点式方程 题型11 直线的截距式方程 题型12 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型13 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题型14 待定系数法求直线方程 题型15 与直线关于点、直线对称的直线方程 题型16 与直线有关的动点轨迹方程 知 识 点 通 关 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 必记结论 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 知识点2 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 必记结论 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点3 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 必记结论 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点4 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 必记结论 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点5 直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 必记结论 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点6 直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 必记结论 (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点7 直线的斜截式方程 方法技巧 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 知识点8 直线的截距式方程 方法技巧 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b| 考 点 演 练 题型1 直线的倾斜角 【典例1】已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（　　） A．﹣30° B．60° C．150° D．120° 【变式1】若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 题型2 直线的斜率 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，A（3，1），B（3，3），M（0，2），点C在线段AB上运动（包括端点），点D满足|OD|＝1，若点P满足，则直线MP的斜率的取值范围为　 　 ． 【变式1】已知两点A（2，3），B（3，0），过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围为 　 ． 题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【典例1】图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k2＜k3＜k1 【变式1】若直线l的斜率k的变化范围是[﹣1，]，则它的倾斜角的变化范围是（　　） A．[kπ，kπ]（k∈Z） B．[，] C．[，] D．[0，]∪[，π） 题型4 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【典例1】已知直线l1：x+2ay﹣1＝0和直线l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0，则“l1∥l2”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线y＝x平行的直线系可表示为L：y＝x+b（b≠0）．设直线系M：（x﹣1）cosθ+ysinθ＝1（0≤θ＜2π），则（　　） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点（1，0）到M中任意一条直线的距离为定值 C．点（﹣2，4）到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为π的区域内 题型5 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【典例1】已知直线l：y＝x+1，将l绕点P（0，1）逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）后得到直线l1，若l1与直线垂直，则旋转角θ的大小为（　　） A．15° B．30° C．60° D．75° 【变式1】若直线5x+2y﹣1＝0与直线6x+my+7＝0垂直，则m＝（　　） A．﹣15 B．15 C． D． 题型6 方程组解的个数与两直线的位置关系 【典例1】已知方程组无解，则实数m的值等于 　 　 ． 【变式1】已知关于x、y的方程组有唯一解，则实数m的取值范围是　 ． 题型7 直线的点斜式方程 【典例1】已知直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则∁RA的子集个数为（　　） A．8 B．16 C．2 D．1 【变式1】已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点（2，1），则直线l的方程为（　　） A．2x+y﹣5＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y﹣4＝0 题型8 直线的斜截式方程 【典例1】设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（　　） ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④M中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上； ⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】倾斜角是135°，在y轴上的截距是3的直线方程是　 ． 题型9 恒过定点的直线 【典例1】已知直线2mx+3y﹣2m+3＝0过定点A，且点A在直线l：ax﹣2by＝1（a＞0，b＞0）上，则的最小值是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式1】已知圆M：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，直线l：kx﹣y+3k﹣1＝0，下列选项正确的有（　　） A．直线l恒过定点（﹣3，﹣1） B．圆心M到直线l的最大距离为 C．直线l与圆M一定相交 D．直线l被圆M截得的弦长最小值为2 题型10 直线的两点式方程 【典例1】已知A（3，2），B（﹣2，3），C（4，5），则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为（　　） A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x+y﹣5＝0 D．x﹣y﹣5＝0 【变式1】过两点（1，2）和（3，4）的直线的方程为　 ． 题型11 直线的截距式方程 【典例1】已知点M（﹣1，2），若P，Q是直线l：ax﹣y+a﹣1＝0（a∈R）上的两点，且对任意a∈R，恒成立，则线段PQ的长度的取值范围是（　　） A．（0，3] B．[3，+∞） C．（0，6] D．[6，+∞） 【变式1】两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 题型12 直线的一般式方程与直线的平行关系 【典例1】已知直线2x+ay+6＝0与直线（a﹣1）x+y+a2﹣1＝0平行，则a＝（　　） A．2 B．﹣1或2 C．﹣1 D．﹣2或1 【变式1】已知直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：ax+y﹣1＝0平行，则实数a的值为　 　 ． 题型13 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【典例1】“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”是“a＝﹣1”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1】过原点O作直线l：（2m+n）x+（m﹣n）y﹣2m+2n＝0的垂线，垂足为P，则P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值为（　　） A．1 B．2 C．1 D．2 题型14 待定系数法求直线方程 【典例1】莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为（0，1），（2，0），（0，﹣4），则该三角形的Lemoine线的方程为（　　） A．2x﹣3y﹣2＝0 B．2x+3y﹣8＝0 C．3x+2y﹣22＝0 D．2x﹣3y﹣32＝0 【变式1】1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+2y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 　 　 ． 题型15 与直线关于点、直线对称的直线方程 【典例1】一束光线从点A（1，0）出发，经直线x﹣y+1＝0反射后又经过点B（4，0），则光线从点A到点B走过的路程为（　　） A．5 B． C．6 D． 【变式1】点A（2，1）关于直线x+y+3＝0对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，﹣5） D．（﹣5，﹣6） 题型16 与直线有关的动点轨迹方程 【典例1】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M满足，点Q在正方体的表面上运动，且AQ⊥B1M，则Q的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．若直线的倾斜角分别为α，，则k＝（　　） A． B． C． D． 2．已知直线l过点（0，1），其倾斜角为θ，设原点O到直线l的距离为d，当时，θ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知点P（﹣1，2），Q（2，1），若直线l：mx﹣y+2m＝0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，4） B． C． D． 4．如图，，点A，B为射线OP上两动点，且AB＝2，若射线OQ上至多有一个点C，使得，则OA长度的取值范围为（　　） A．（0，1） B．（0，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 5．在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）到A（﹣1，0）、B（1，0）两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 　 ． 6．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为　 　 ． 7．已知直线l1：mx+y﹣4＝0与l2：（m+2）x+my+4＝0平行，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2 8．经过点A（2，1），且与直线4x﹣3y﹣2＝0平行的直线方程为（　　） A．4x﹣3y﹣5＝0 B．4x+3y﹣11＝0 C．3x﹣4y﹣2＝0 D．3x+4y﹣10＝0 9．已知直线l1：xy﹣3＝0，则l1在y轴上的截距为 　　 　 ；若直线l2⊥l1，则l2的倾斜角为 　　 　 ． 10．直线x+y＝2，x﹣y＝2，x+ay＝3围成一个三角形，则（　　） A．a≠±1 B．a≠1且a≠2 C．a≠﹣1且a≠2 D．a≠±1且a≠2 11．点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（　　） A． B．a≥1或a≤﹣1 C．﹣1≤a≤1 D．或 12．若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　 　 ． 13．若关于x、y的方程组有无穷多组解，则m+n的值为　 　 ． 14．过直线x+y+1＝0和3x﹣y﹣3＝0的交点，倾斜角为45°的直线方程为　 　　 ． 15．已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（　　） A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上 B．若点P在直线l上，则OP≥2 C．直线l上存在定点P D．存在无数个点P总不在直线l上 16．对任意实数m，坐标原点O到直线（3+m）x+（2﹣m）y+1＝0距离的最大值为　 　 ． 17．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）两点，直线l过定点P（1，1）且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围　　 　 ． 18．如图，在△ABC中，，BC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（　　） A． B． C． D． 19．已知△ABC三顶点坐标A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（　　） A．2x+y﹣8＝0 B．2x﹣y+8＝0 C．2x+y﹣12＝0 D．2x﹣y﹣12＝0 20．若直线经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（　　） A．2 B． C． D． 21．已知直线l1：y＝k1x+b1与l2：y＝k2x+b2，则k1＝k2是l1∥l2的（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．直线l1：x+ay+3＝0和直线l2：（a﹣2）x+3y+a＝0互相平行，则a的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．﹣1 D．﹣3 23．已知直线l1：ax+2y+2＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣1＝0，则（　　） A．当a＝﹣2时，l1∥l2 B．当a＝1时，l1∥l2 C．当l1⊥l2时，a＝﹣2 D．当l1⊥l2时， 24．设两直线l1：（3﹣m）x+4y＝1与l2：2x+my＝1，则直线l2恒过定点 　　 　 ，若l1⊥l2，则m＝　　 　 ． 25．某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线PQ加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即PQ与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）．若|OA|＝40，|PQ|＝9，则直线PQ的方程为（　　） A．40x+9y﹣1640＝0 B．40x﹣9y﹣1640＝0 C．9x+40y﹣369＝0 D．9x﹣40y﹣369＝0 26．已知两条动直线x+my＝0和mx﹣y﹣4m+4＝0交于点P，圆C：（x+2）2+（y+2）2＝3上两点E，F间的距离为．若点Q是线段EF的中点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲 直线的方程 内 容 导 航 知识点1 直线的倾斜角与斜率 知识点2 直线的点斜式方程 知识点3 直线的斜截式方程 知识点4 直线的两点式方程 知识点5 直线的截距式方程 知识点6 直线的一般式方程 知识点7 直线的斜截式方程 知识点8 直线的截距式方程 题型1 直线的倾斜角 题型2 直线的斜率 题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题型4 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 题型5 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 题型6 方程组解的个数与两直线的位置关系 题型7 直线的点斜式方程 题型8 直线的斜截式方程 题型9 恒过定点的直线 题型10 直线的两点式方程 题型11 直线的截距式方程 题型12 直线的一般式方程与直线的平行关系 题型13 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题型14 待定系数法求直线方程 题型15 与直线关于点、直线对称的直线方程 题型16 与直线有关的动点轨迹方程 知 识 点 通 关 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 必记结论 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 知识点2 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 必记结论 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点3 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 必记结论 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点4 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 必记结论 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点5 直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 必记结论 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点6 直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 必记结论 (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点7 直线的斜截式方程 方法技巧 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 知识点8 直线的截距式方程 方法技巧 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b| 考 点 演 练 题型1 直线的倾斜角 【典例1】已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（　　） A．﹣30° B．60° C．150° D．120° 【答案】C 【解答】解：由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于0°且小于180°， 故倾斜角为150°． 故选：C． 【变式1】若直线l的一个方向向量为，则它的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为． 设直线倾斜角为α，且α∈[0，π） 所以，解得． 故选：A． 题型2 直线的斜率 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，A（3，1），B（3，3），M（0，2），点C在线段AB上运动（包括端点），点D满足|OD|＝1，若点P满足，则直线MP的斜率的取值范围为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意平面直角坐标系xOy中，A（3，1），B（3，3），M（0，2）， 点C在线段AB上运动（包括端点）， 设AB上的点C（3，t），t∈[1，3]， 点D满足|OD|＝1，D点的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，其方程为x2+y2＝1， 设D（cosθ，sinθ），且， 所以，整理得sinθ﹣kcosθ＝3k﹣（t﹣2）， 所以， 所以，所以8k2+6（2﹣t）k+（2﹣t）2﹣1≤0，t∈[1，3]能成立， 所以8k2+6k≤0或8k2﹣6k≤0，所以； 即直线MP的斜率的取值范围为． 故答案为：． 【变式1】已知两点A（2，3），B（3，0），过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围为 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图示，两点A（2，3），B（3，0），P（﹣1，2）， ， 因为过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点， 由图可得直线l的斜率k的取值范围为． 故答案为：． 题型3 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【典例1】图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k2＜k3＜k1 【答案】D 【解答】解：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为：θ1，θ2，θ3． 则， ∴k2＜k3＜0＜k1． 即k2＜k3＜k1． 故选：D． 【变式1】若直线l的斜率k的变化范围是[﹣1，]，则它的倾斜角的变化范围是（　　） A．[kπ，kπ]（k∈Z） B．[，] C．[，] D．[0，]∪[，π） 【答案】D 【解答】解析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π）， 由﹣1≤k， 即﹣1≤tanα， ∴α∈[0，]∪[，π）； 故选：D． 题型4 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【典例1】已知直线l1：x+2ay﹣1＝0和直线l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0，则“l1∥l2”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：直线l1：x+2ay﹣1＝0和直线l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0， 由l1∥l2，得1×（﹣a）＝2a×（3a﹣1），解得a＝0或． 当a＝0时，l1：x＝1，l2：x＝﹣1，符合题意． 当时，，符合题意． 即l1∥l2等价于a＝0或， 所以“l1∥l2”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系．如，与直线y＝x平行的直线系可表示为L：y＝x+b（b≠0）．设直线系M：（x﹣1）cosθ+ysinθ＝1（0≤θ＜2π），则（　　） A．M中所有直线均经过一个定点 B．点（1，0）到M中任意一条直线的距离为定值 C．点（﹣2，4）到M中所有直线距离的最大值为6 D．不在直线系M中的点都落在面积为π的区域内 【答案】BCD 【解答】解：直线系方程（x﹣1）cosθ+ysinθ＝1表示圆心为C（1，0），半径r＝1的圆的全部切线， 若直线过定点（x0，y0），则（x0﹣1）cosθ+y0sinθ＝1对任意θ∈[0，2π）恒成立， 不存在这样的定点，选项A错误； 由点到直线的距离公式，点（1，0）到直线距离d1， 距离恒为定值1，选项B正确； 设P（﹣2，4），圆心C（1，0），两点间距|PC|5， 点到圆切线距离的最大值为|PC|+r＝5+1＝6，选项C正确； 不在直线系M中的点到C（1，0）的距离小于1，在圆（x﹣1）2+y2＜1内部， 圆面积S＝πr2＝π×12＝π，选项D正确． 故选：BCD． 题型5 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【典例1】已知直线l：y＝x+1，将l绕点P（0，1）逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）后得到直线l1，若l1与直线垂直，则旋转角θ的大小为（　　） A．15° B．30° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：已知直线l：y＝x+1，将l绕点P（0，1）逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）后得到直线l1， 所以直线l的斜率为1，故直线的倾斜角为45°； 因为l1与直线垂直， 所以设l1的方程为， 又直线l1过点P（0，1），所以0+1+c＝0，解得c＝﹣1， 所以直线l1的方程为，斜率为，故倾斜角为120°， 如图， 所以θ＝120°﹣45°＝75°． 故选：D． 【变式1】若直线5x+2y﹣1＝0与直线6x+my+7＝0垂直，则m＝（　　） A．﹣15 B．15 C． D． 【答案】A 【解答】解：直线5x+2y﹣1＝0的斜率是，直线6x+my+7＝0的斜率是， 因为直线5x+2y﹣1＝0与直线6x+my+7＝0垂直， 所以（）×（）＝﹣1，解得m＝﹣15． 故选：A． 题型6 方程组解的个数与两直线的位置关系 【典例1】已知方程组无解，则实数m的值等于 　 　 ． 【答案】﹣4 【解答】解：方程组无解， 则直线x+my﹣2＝0与mx+16y﹣8＝0平行， 故1×16＝m2，解得m＝4或m＝﹣4， 当m＝4时，两直线重合，不符合题意， 当m＝﹣4时，两直线平行，符合题意， 故m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式1】已知关于x、y的方程组有唯一解，则实数m的取值范围是　 ． 【答案】m≠4 【解答】解：方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点， 由mx+4y﹣2＝0，得y，此直线的斜率为． 由x+y﹣1＝0，得y＝﹣x+1，此直线的斜率为﹣1． 若方程组有唯一解， 则两直线的斜率不等，即， ∴m≠4． 故答案为：m≠4． 题型7 直线的点斜式方程 【典例1】已知直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则∁RA的子集个数为（　　） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：因为直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0能构成三角形， 所以l3不平行于l1且l3不平行于l2且l3，l1，l2不共点， 当l3，l1，l2不共点时，由，解得， 所以5×1﹣k×1﹣15≠0，解得k≠﹣10， 当l3不平行于l1时，可得k≠5， 当l3不平行于l2时，可得k≠﹣5， 所以A＝{k|k≠5且k≠﹣5且k≠﹣10}，所以∁RA＝{5，﹣5，﹣10}， 所以∁RA的子集个数为23＝8． 故选：A． 【变式1】已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点（2，1），则直线l的方程为（　　） A．2x+y﹣5＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y﹣4＝0 【答案】A 【解答】解：已知直线l倾斜角的余弦值为，即，故， 所以， 由于直线经过点（2，1）， 故直线的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），整理得2x+y﹣5＝0． 故选：A． 题型8 直线的斜截式方程 【典例1】设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（　　） ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④M中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上； ⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线； 可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个 故选：B． 【变式1】倾斜角是135°，在y轴上的截距是3的直线方程是　 ． 【答案】y＝﹣x+3 【解答】解：∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于﹣1， ∵在y轴上的截距是3， 由直线方程的斜截式得：y＝﹣1×x+3， 即 y＝﹣x+3， 故答案为 y＝﹣x+3． 题型9 恒过定点的直线 【典例1】已知直线2mx+3y﹣2m+3＝0过定点A，且点A在直线l：ax﹣2by＝1（a＞0，b＞0）上，则的最小值是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【解答】解：直线2mx+3y﹣2m+3＝0可化为：2m（x﹣1）+3（y+1）＝0， 所以该直线经过x﹣1＝0与y+1＝0的交点（1，﹣1），即定点A的坐标为（1，﹣1）， 所以直线l：ax﹣2by＝1经过定点A（1，﹣1），可得a+2b＝1， 因为a＞0，b＞0，所以（a+2b）（）＝559， 当且仅当，即a＝b时，等号成立， 所以a＝b时，的最小值为9． 故选：B． 【变式1】已知圆M：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，直线l：kx﹣y+3k﹣1＝0，下列选项正确的有（　　） A．直线l恒过定点（﹣3，﹣1） B．圆心M到直线l的最大距离为 C．直线l与圆M一定相交 D．直线l被圆M截得的弦长最小值为2 【答案】AB 【解答】解：对于A，直线l：kx﹣y+3k﹣1＝0，即（x+3）k﹣y﹣1＝0， 令x+3＝0，则x＝﹣3，此时y＝﹣1， 故直线l过定点（﹣3，﹣1），选项A正确； 对于B，圆M：（x﹣1）2+（y+2）2＝9的圆心为M（1，﹣2），半径为3， 圆心M到直线l的最大距离为圆心M到定点（﹣3，﹣1）的距离，即，选项B正确； 对于C，由于圆心M到直线l的最大距离为，则直线l与圆M可以相离，也可以相切，选项C错误； 对于D，由选项C可知，直线l与圆M可以不相交，则弦长最小值不存在，选项D错误． 故选：AB． 题型10 直线的两点式方程 【典例1】已知A（3，2），B（﹣2，3），C（4，5），则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为（　　） A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x+y﹣5＝0 D．x﹣y﹣5＝0 【答案】C 【解答】解：根据题意，设BC的中点为D， 又由B（﹣2，3），C（4，5），则D的坐标为（1，4）， 又由A（3，2），则kAD＝﹣1， 故△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣5＝0； 故选：C． 【变式1】过两点（1，2）和（3，4）的直线的方程为　 ． 【答案】y＝x+1 【解答】解：设该直线的斜率为k， 因为直线过（1，2）和（3，4）所以k1， 所以直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），化简得：y＝x+1 故答案为y＝x+1 题型11 直线的截距式方程 【典例1】已知点M（﹣1，2），若P，Q是直线l：ax﹣y+a﹣1＝0（a∈R）上的两点，且对任意a∈R，恒成立，则线段PQ的长度的取值范围是（　　） A．（0，3] B．[3，+∞） C．（0，6] D．[6，+∞） 【答案】D 【解答】解：点M（﹣1，2）到直线l：ax﹣y+a﹣1＝0距离． 对任意a∈R，恒成立，等价于点M位于以线段PQ为直径的圆上或圆内． 要使直线l上存在这样P，Q点，则点M到直线l的距离不大于以线段PQ为直径的圆的半径，即， 所以． 根据题意，该不等式对任意a∈R恒成立， 所以|PQ|≥2dmax，而，故|PQ|≥6． 即线段PQ的长度的取值范围为[6，+∞）． 故选：D． 【变式1】两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：两直线化为截距式分别为，， 选项A，B中，根据直线l1的图像可知，a＜0，﹣b＜0， ∴b＞0，﹣a＞0，即直线l2在x轴，y轴上的截距都大于零， 故选项A正确，B错误， 对于选项C：根据直线l1的图像可知，a＜0，﹣b＞0， ∴b＜0，﹣a＞0，即直线l2在x轴上的截距小于零，在y轴上的截距大于零， 故选项C错误， 对于选项D：根据直线l1的图像可知，a＞0，﹣b＜0， ∴b＞0，﹣a＜0，即直线l2在x轴上的截距大于零，在y轴上的截距小于零， 故选项D错误， 故选：A． 题型12 直线的一般式方程与直线的平行关系 【典例1】已知直线2x+ay+6＝0与直线（a﹣1）x+y+a2﹣1＝0平行，则a＝（　　） A．2 B．﹣1或2 C．﹣1 D．﹣2或1 【答案】C 【解答】解：因为直线2x+ay+6＝0与直线（a﹣1）x+y+a2﹣1＝0平行， 所以2﹣a（a﹣1）＝0，解得a＝﹣1或a＝2， 当a＝﹣1时，直线2x﹣y+6＝0与直线﹣2x+y＝0平行且不重合，符合题意； 当a＝2时，直线2x+2y+6＝0与直线x+y+3＝0重合，不符合题意． 所以a＝﹣1． 故选：C． 【变式1】已知直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：ax+y﹣1＝0平行，则实数a的值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为直线l1：x﹣2y+1＝0与直线l2：ax+y﹣1＝0平行， 所以1×1＝﹣2a，解得． 时，直线l2：ax+y﹣1＝0，即x+y﹣1＝0，即x﹣2y+2＝0，满足题意． 故答案为：． 题型13 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【典例1】“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”是“a＝﹣1”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解答】解：因为直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直， 所以a2•1+（﹣1）（﹣a）＝0，解得a＝0或a＝﹣1． 所以“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”是“a＝﹣1”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】过原点O作直线l：（2m+n）x+（m﹣n）y﹣2m+2n＝0的垂线，垂足为P，则P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值为（　　） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：（2m+n）x+（m﹣n）y﹣2m+2n＝0整理得（2x+y﹣2）m+（x﹣y+2）n＝0， 由题意得，解得，所以直线l过定点Q（0，2）． 因为OP⊥l，所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为（0，1），半径为1， 因为圆心（0，1）到直线x﹣y+3＝0的距离为， 所以P到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值为． 故选：A． 题型14 待定系数法求直线方程 【典例1】莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为（0，1），（2，0），（0，﹣4），则该三角形的Lemoine线的方程为（　　） A．2x﹣3y﹣2＝0 B．2x+3y﹣8＝0 C．3x+2y﹣22＝0 D．2x﹣3y﹣32＝0 【答案】B 【解答】解：设A（0，1），B（2，0），C（0，﹣4）， 则，，可得2×﹣2+（﹣1）×（﹣4）＝0，所以∠ABC＝90°． 因此，△ABC的外接圆是以AC为直径的圆，圆心为AC的中点M（0，），半径r． 所以△ABC的外接圆方程为， 求得直线BC：，与过A点的切线y＝1交于点P（，1），直线AB：，与过B点的切线y＝﹣4交于点R（10，﹣4）， 直线PR的方程为，即2x+3y﹣8＝0． 故选：B． 【变式1】1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+2y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 　 　 ． 【答案】2x﹣y＝0． 【解答】解：由题意可得，△ABC的欧拉线过原点且与直线x+2y＝1垂直， 所以所求直线的斜率为2， 故△ABC的欧拉线方程为2x﹣y＝0． 故答案为：2x﹣y＝0． 题型15 与直线关于点、直线对称的直线方程 【典例1】一束光线从点A（1，0）出发，经直线x﹣y+1＝0反射后又经过点B（4，0），则光线从点A到点B走过的路程为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【解答】解：可设光线与直线x﹣y+1＝0交于点P， 由题意，点A（1，0）关于直线x﹣y+1＝0的对称点C在反射光线上， 设点C（x，y），则，解得，即点C的坐标为（﹣1，2）， 所以光线从点A到点B所经过的路程是． 故选：B． 【变式1】点A（2，1）关于直线x+y+3＝0对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣4，﹣5） D．（﹣5，﹣6） 【答案】C 【解答】解：设点B（m，n）与点A（2，1）关于直线x+y+3＝0对称， 则AB的中点（，）在对称轴上，可得3＝0…①， 根据直线x+y+3＝0的斜率k＝﹣1，可得直线AB的斜率kAB②， 由①②组成方程组，解得m＝﹣4，n＝﹣5， 所以点B的坐标为（﹣4，﹣5），即为所求对称点的坐标． 故选：C． 题型16 与直线有关的动点轨迹方程 【典例1】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M满足，点Q在正方体的表面上运动，且AQ⊥B1M，则Q的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：取B1C1中点T，A1D1中点K，易证B1M⊥面ABTK， 则点Q的轨迹长度为矩形ABTK的周长， ，周长． 故选：C． 过 关 验 收 1．若直线的倾斜角分别为α，，则k＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：依题意，直线l1：的斜率， 故直线l2：kx﹣y＝0的斜率． 故选：A． 2．已知直线l过点（0，1），其倾斜角为θ，设原点O到直线l的距离为d，当时，θ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，直线l的斜率存在，设l方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0， 因为原点O到直线l的距离为d∈（0，]， 所以，解得或， 又因为直线l的倾斜角为θ，k＝tanθ，θ∈[0，π），且θ， 所以或，即θ的取值范围是． 故选：C． 3．已知点P（﹣1，2），Q（2，1），若直线l：mx﹣y+2m＝0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，4） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：直线l：mx﹣y+2m＝0可变形为m（x+2）﹣y＝0，则直线l恒过点M（﹣2，0），kl＝m， 直线PQ的斜率为． 直线MQ的斜率为． 当直线l1与PQ平行时，． 结合图象可知，若直线l与线段PQ的延长线相交，则，即． 故选：C． 4．如图，，点A，B为射线OP上两动点，且AB＝2，若射线OQ上至多有一个点C，使得，则OA长度的取值范围为（　　） A．（0，1） B．（0，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】D 【解答】解：点A，B为射线OP上两动点，且AB＝2，若射线OQ上至多有一个点C，使得， 以O为原点，OQ为x轴建立如图所示平面直角坐标系， 因为，所以设，，C（c，0），（b＞a＞0）， 由AB＝2可得，解得b＝1+a， 因为，，， 所以，整理得， 由题意可得关于c的一元二次方程至多有一个解， 所以，将b＝1+a代入整理得﹣4a2﹣4a+3≤0， 解得，所以|OA|≥1， 则OA长度的取值范围为[1，+∞）． 故选：D． 5．在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）到A（﹣1，0）、B（1，0）两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 　 ． 【答案】（﹣∞，2]∪． 【解答】解：因为动点M（x，y）到A（﹣1，0）、B（1，0）两点的距离的平方和为10， 所以（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2＝10，化简上述等式得到动点M的轨迹方程为x2+y2＝4， 点M（x，y）的轨迹是以原点（0，0）为圆心，半径r＝2的圆， 所以， 设直线l：y+2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2＝0，由（0，0）到直线l的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得k＜0或k， 所以的取值范围为（﹣∞，2]∪． 6．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为　 　 ． 【答案】60度或120度 【解答】解：∵直线l的斜率的绝对值等于，设直线的倾斜角为 α，则 tanα＝±， 又α∈[0°，180° ），故 α＝60° 或α＝120°， 故答案为：60°或120° 7．已知直线l1：mx+y﹣4＝0与l2：（m+2）x+my+4＝0平行，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2 【答案】D 【解答】解：因为直线l1：mx+y﹣4＝0与l2：（m+2）x+my+4＝0平行， 所以m2＝m+2且﹣4m≠4， 解得m＝2． 故选：D． 8．经过点A（2，1），且与直线4x﹣3y﹣2＝0平行的直线方程为（　　） A．4x﹣3y﹣5＝0 B．4x+3y﹣11＝0 C．3x﹣4y﹣2＝0 D．3x+4y﹣10＝0 【答案】A 【解答】解：设所求直线方程为4x﹣3y+C＝0（C≠﹣2）， 因为点A（2，1）在直线4x﹣3y+C＝0上， 所以4×2﹣3×1+C＝0，解得C＝﹣5， 所以经过点A（2，1），且与直线4x﹣3y﹣2＝0平行的直线方程为4x﹣3y﹣5＝0． 故选：A． 9．已知直线l1：xy﹣3＝0，则l1在y轴上的截距为 　　 　 ；若直线l2⊥l1，则l2的倾斜角为 　　 　 ． 【答案】，120° 【解答】解：令x＝0，则y，即直线l1：xy﹣3＝0在y轴上的截距为； 若直线l2⊥l1，则l2的斜率为，倾斜角为120°． 故答案为：，120° 10．直线x+y＝2，x﹣y＝2，x+ay＝3围成一个三角形，则（　　） A．a≠±1 B．a≠1且a≠2 C．a≠﹣1且a≠2 D．a≠±1且a≠2 【答案】A 【解答】解：∵直线x+y＝2，x﹣y＝2，x+ay＝3围成一个三角形， ∴任意两条直线都不平行，且三线不经过同一个点， ∴1 且 1，且 直线x+y＝2，x﹣y＝2的交点（2，0）不在x+ay＝3上， ∴a≠±1 且2+0≠3．综上，a≠±1， 故选：A． 11．点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（　　） A． B．a≥1或a≤﹣1 C．﹣1≤a≤1 D．或 【答案】B 【解答】解：由直线ax﹣y﹣1＝0的方程，判断恒过P（0，﹣1）， 如下图示： ∵KPA＝﹣1，KPB＝1， 结合图象可得：实数a的取值范围是：a≤﹣1或a≥1． 故选：B． 12．若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　 　 ． 【答案】4． 【解答】解：根据题意，若关于x，y的方程组有无穷多解， 则直线x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4， 当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意， 当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意， 故m＝4． 故答案为：4 13．若关于x、y的方程组有无穷多组解，则m+n的值为　 　 ． 【答案】2． 【解答】解：关于x、y的方程组有无穷多组解，则直线x+y＝m和直线x+ny＝1重合， 故m＝1，n＝1， 所以m+n＝2． 故答案为：2． 14．过直线x+y+1＝0和3x﹣y﹣3＝0的交点，倾斜角为45°的直线方程为　 　　 ． 【答案】x﹣y﹣2＝0． 【解答】解：联立，解得x，y， 所以两条直线的交点坐标为（，）， 所以所求的直线方程为ytan45°（x）， 整理可得x﹣y﹣2＝0． 故答案为：x﹣y﹣2＝0． 15．已知直线l的方程为（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O为原点，则（　　） A．若OP≤2，则点P一定不在直线l上 B．若点P在直线l上，则OP≥2 C．直线l上存在定点P D．存在无数个点P总不在直线l上 【答案】BD 【解答】解：O到l的距离d2， 若OP≤2，则点P有可能在直线l上，A错误； 由O到l的距离d2可知，若点P在直线l上，则OP≥2，B正确； 原直线可变形为a2（x+2）﹣a•2y+2﹣x＝0， 令，此时无解，即直线l不过定点，一定存在无数个P不在直线l上，C错误，D正确． 故选：BD． 16．对任意实数m，坐标原点O到直线（3+m）x+（2﹣m）y+1＝0距离的最大值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：直线方程（3+m）x+（2﹣m）y+1＝0变形为（3x+2y+1）+m（x﹣y）＝0， 由于对任意实数m等式恒成立，因此需满足，解得， 所以直线恒过定点， 根据几何性质，原点O到动直线的距离d≤|OP|，当且仅当直线与OP垂直时取等号， 所以距离的最大值为|OP|， ， 因此原点到直线距离的最大值为． 故答案为：． 17．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）两点，直线l过定点P（1，1）且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围　　 　 ． 【答案】或k≤﹣4 【解答】解：如图所示：由题意得， 所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA， 即 k，或 k4，∴k，或k≤﹣4， 故答案为：k或k≤﹣4． 18．如图，在△ABC中，，BC＝6，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：以A为原点，AB、AC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 可得B（，0），C（0，）的坐标， 直线BC的方程为，即x+y0， 设P（a，0），点P关于直线BC的对称点为P1（m，n）， 由，解得，可得P1（，a）， 点P（a，0）关于y轴的对称点为P2（﹣a，0）， 根据光线反射的原理，可知P1、Q、R、P2四点共线，且|PQ|＝|P1Q|，|PR|＝|P2R|， 所以直线QR就是P1P2，其方程为，即y， 由A（0，0），B（，0），C（0，）， 可得重心G的坐标为（，），即G（，）， 根据点G在直线P1P2上，可得（a），解得a（a＝0不符合题意，舍去）， 所以P（，0），P1（，），P2（，0）， 可得|P1P2|， 所以△PQR的周长|PQ|+|QR|+|RP|＝|P1Q|+|QR|+|RP2|＝|P1P2|． 故选：C． 19．已知△ABC三顶点坐标A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（　　） A．2x+y﹣8＝0 B．2x﹣y+8＝0 C．2x+y﹣12＝0 D．2x﹣y﹣12＝0 【答案】A 【解答】解：由题意结合中点坐标公式可得M（2，4），N（3，2）， 由两点式可得方程为， 化为一般式可得2x+y﹣8＝0 故选：A． 20．若直线经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为直线经过点（1，2），所以， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，此时，则． 故选：D． 21．已知直线l1：y＝k1x+b1与l2：y＝k2x+b2，则k1＝k2是l1∥l2的（　　） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：若l1∥l2，则满足k1＝k2且b1≠b2， 即k1＝k2是l1∥l2的必要不充分条件， 故选：B． 22．直线l1：x+ay+3＝0和直线l2：（a﹣2）x+3y+a＝0互相平行，则a的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】C 【解答】解：由a（a﹣2）﹣3＝0，解得a＝3或﹣1． 经过验证可得：a＝3时两条直线重合，舍去． ∴a＝﹣1． 故选：C． 23．已知直线l1：ax+2y+2＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣1＝0，则（　　） A．当a＝﹣2时，l1∥l2 B．当a＝1时，l1∥l2 C．当l1⊥l2时，a＝﹣2 D．当l1⊥l2时， 【答案】BD 【解答】解：当a＝﹣2时，直线l1：﹣2x+2y+2＝0，直线l2：x﹣y﹣1＝0，可知l1，l2重合，故A错误； 当a＝1时，直线l1：x+2y+2＝0，直线l2：x+2y﹣1＝0， 因为，所以l1∥l2，故B正确； 因为l1⊥l2，所以a×1+2（a+1）＝0，解得，故C错误，D正确． 故选：BD． 24．设两直线l1：（3﹣m）x+4y＝1与l2：2x+my＝1，则直线l2恒过定点 　　 　 ，若l1⊥l2，则m＝　　 　 ． 【答案】（，0），﹣3． 【解答】解：直线l2：2x+my＝1，可化为my＝﹣2x+1， 由得：， ∴直线l2恒过定点（，0）， ∵l1⊥l2， ∴（3﹣m）×2+4m＝0， ∴m＝﹣3． 故答案为：（，0），﹣3． 25．某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选取一点P作为起跑点，沿直线PQ加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即PQ与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）．若|OA|＝40，|PQ|＝9，则直线PQ的方程为（　　） A．40x+9y﹣1640＝0 B．40x﹣9y﹣1640＝0 C．9x+40y﹣369＝0 D．9x﹣40y﹣369＝0 【答案】A 【解答】解：因为PQ是圆O的切线， 所以PQ⊥OQ，且|OQ|＝|OA|＝40， 由勾股定理可得， 因此点P的坐标为（41，0）， 因为， 所以圆O的切线PQ的斜率为， 所以圆O的切线PQ的方程为， 则直线PQ的方程为40x+9y﹣1640＝0． 故选：A． 26．已知两条动直线x+my＝0和mx﹣y﹣4m+4＝0交于点P，圆C：（x+2）2+（y+2）2＝3上两点E，F间的距离为．若点Q是线段EF的中点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：两条动直线x+my＝0和mx﹣y﹣4m+4＝0交于点P， 消去m可得P的轨迹方程：x2+y2﹣4x﹣4y＝0， 即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，不包含（4，0）点． 圆的圆心D（2，2），半径为R＝2． 圆C：（x+2）2+（y+2）2＝3上两点E，F间的距离为．圆的半径为：，圆心C（﹣2，﹣2）， 点Q是线段EF的中点，圆的圆心到Q的距离为1，所以Q的轨迹方程为：（x+2）2+（y+2）2＝1，圆的圆心C（﹣2，﹣2），半径为r＝1， |PQ|的最小值为：|CD|﹣R﹣r21＝21． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $