32讲 立体几何 等体积与割补讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 体积只有一条公式：。底面积好算，高难找。本讲只练：换一个底——把“哪个面当底”换掉，让高落回一条现成的棱上。

三棱锥有四个面，任何一个都能当底；四棱锥的底更是可以整面翻。换底不改变体积，改变的只是高挂在谁身上：这个面的高要现求，那个面的高可能早就画在图上——一条棱、一条中线，或者半个棱长。

建系算体积，是把高交给距离公式：设点、求法向量、算模、取绝对值。数出得来，丢分却常丢在“法向量算错”。换底是把高交还给图形本身。 动笔前把可选的底面挨个过一遍 ，挑那个“顶点到它有一条现成垂线”的面，省掉的就是建系、求法向量、代距离公式这三件事。

02  识别

不是所有体积题都值得换底。底本身是斜三角形、顶点到四个面都没有现成垂线时，硬换只是把困难搬了个家。出现下面三个信号，再停下来挑底。

信号一 · 有一条棱垂直于某个面。 这条棱就是高，那个面就是底。长方体里 平面 ，凡以这张侧面为底的锥，高都是 。

信号二 · 顶点在一条与底面平行的棱上。 高与顶点在棱上的位置无关： 在 上，而 平面 ，则 到该面的距离恒等于 。

信号三 · 几何体是挖去一块、拼出来的。 先割补成柱与锥，再对每一块换底。挖去的部分最难算，但它的底常常正躺在某个侧面上。

图 1: 换底求体积的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 认体：是柱、是锥，还是要先割开？柱用 ，锥往下走。 第 2 步 试底：把每个面当一次底，问“顶点对这个面的垂线在哪”。 第 3 步 找垂线：垂线要垂直于面内两条相交线才算数；顶点在平行棱上时，高就是这条棱到面的距离。 第 4 步 代公式：， 取图上现成的直角三角形或矩形。

03  双解对照

两条路的分岔口不在“会不会算”，而在“要不要把那个高算出来”。

例题 · 长方体里的一张侧面 长方体 - 的底面 是正方形，点 在棱 上，。若 ，，求四棱锥 - 的体积。

先把尺寸定下来。 设 ，则 ，在三个直角三角形里各用一次勾股：，，。由 得 ，即 ，。这一步是“定位”，两种解法都要做；真正拉开差距的是下一步——高怎么来。

常规解 · 算：建系求点到面的距离 第一步，建系。 以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴，则 第二步，认底面。 底 上四个点的横坐标都是 3，它在平面 内，法向量可取 。 第三步，算距离。 取面上一点 ，，。 第四步，代公式。 ，。

图 2: 把侧面 当底，高就是

少算解 · 想：底换成侧面，高就是棱 AB 第一步，认底。 底 是长方体的一张侧面，矩形，。 第二步，认高。 ，，而 与 相交于 ，所以 平面 。又 在 上，，故 平面 ： 到这张面的距离处处等于 。取 为 的中点，，。 第三步，代公式。 。三步全是读图，没有一行代数。