第32讲 随机变量及其分布（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦随机变量及其分布专题，整合离散型随机变量分布列、均值方差、二项分布、超几何分布、正态分布等核心考点，按命题透视、知识解构、题型破译、真题溯源的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破高频难点。 讲义以题型归类和方法技巧为亮点，如离散型随机变量分布列“定取值、算概率、验性质”的三步法，二项分布“独立重复试验”的特征识别，培养学生数学思维与模型意识。设置基础演练与重难创新分层练习，结合课本典例与高考真题溯源，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第32讲 随机变量及其分布 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 知识点3 二项分布 知识点4 超几何分布 知识点5 正态分布 题型破译 (含超链接） 题型1 离散型随机变量分布列与数字特征 题型2 二项分布及其应用 题型3 超几何分布 题型4 正态分布 题型5 概率统计综合解答题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 随机变量及其分布 秋考第8题 秋考第6题 / 考情分析 填空小题主要考查：①给定分布列直接求期望/方差；②分布列含参问题（利用性质 Σpᵢ=1 与期望公式联立求解）。难度较低，属于必得分题。 二项分布（n重伯努利）、超几何分布（不放回抽样）、正态分布（对称性与3σ原则）是高频考点。 复习目标 1.理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌握分布列的两条基本性质（非负性、规范性）。 2.掌握离散型随机变量数学期望 E(X) 与方差 D(X) 的定义、计算公式及性质（线性变换性质）。 3.熟练掌握三大特殊分布：二项分布 X~B(n,p)、超几何分布 X~H(N,M,n)、正态分布 X~N(μ,σ²) 的分布特征与数字特征公式。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 自主检测 1.在财务审计中， 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字， 则 . 则根据本 • 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为________ (保留至整数). 【答案】6 【详解】由题意可得：． 故答案为：6. 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 1.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 2.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 自主检测 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____. 【答案】 【详解】由题意， 则. 故答案为：. 知识点3 二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 自主检测 3．（2026·上海·三模）已知服从二项分布，则________． 【答案】 【详解】由题意可知. 知识点4 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 自主检测 4.在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为____________（结果精确到0.01）． 【答案】0.25 【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为， 其中恰好有一件二等品的事件有， 所以恰好有一件二等品的概率为. 故答案为：0.25 知识点5 正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 自主检测 5．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量服从正态分布，则________． 【答案】 【详解】因为，所以正态密度曲线关于直线对称，得到. 题●型●破●译 题型1 离散型随机变量分布列与数字特征 例1-1（2026·上海金山·二模）已知随机变量的分布为，则期望__________． 【答案】2 【详解】由，解得， 所以. 例1-2（25-26高三上·上海·阶段检测）马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，____． 【答案】2 【详解】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为， 则． 故答案为：2 例1-3（2026·上海·模拟预测）甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 【详解】（1）设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”． 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜， 概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜， 概率为． ∴甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛恰好进行了4场的概率为． ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． （2）X的可能取值为3，4，5． ； ； ． ∴X分布为 3 4 5 ． 方法技巧 技巧1：分布列先定取值，再算概率，最后验证。求分布列时分三步走：①确定 X 的所有可能取值（不遗漏、不重复）；②逐个计算 P(X=xᵢ)（常用古典概型、排列组合、互斥/独立事件公式）；③验证 Σpᵢ=1，若不等于1说明计算有误。 技巧2：含参问题双条件联立。当分布列含未知参数时，利用规范性 Σpᵢ=1和已知期望/方差条件列方程组求解。 技巧3：方差计算优先用展开式。D(X)=E(X²)−[E(X)]² 比定义式 Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ 计算量更小，尤其当 E(X) 为非整数时，展开式可避免繁琐的小数平方运算。 技巧4：期望的线性可加性。若 X = X₁ + X₂ + … + Xₙ（无论 Xᵢ 是否独立），都有 E(X)=ΣE(Xᵢ)。在复杂问题中，可将一个随机变量拆分为若干简单随机变量之和，分别求期望后相加，大幅简化计算（如比赛得分可拆为各局得分之和）。 【变式训练1-1】（2026·上海·模拟预测）已知随机变量服从分布 ，则__________． 【答案】0 【详解】由题可得：，解得：,所以, 则 【变式训练1-2】（2026·上海虹口·三模）已知随机变量服从分布，则_____________． 【答案】10 【详解】由题意知，所以. 所以. 所以. 【变式训练1-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）现有5个大小、质地相同的球，分别标上数字1，2，3，4，5． (1)从中任取三个球，求1号球被取到的概率． (2)从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，求的数学期望． 【详解】（1）从5个球中任取3个球的所有取法有种，（种） 若1号球被取到，那么只需从剩下的4个球中再取2个球即可，取法有种 设“1号球被取到”为事件，则． （2）的所有可能取值为1，2，3，则 ， ， ，所以的分布列为 所以． 题型2 二项分布及其应用 例2-1（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为___________． 【答案】90 【详解】随机变量服从二项分布，，， 则，解得. 例2-2（2026·上海·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【答案】13或14 【详解】由题可得每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大 方法技巧 技巧1：识别二项分布的三个标志。①每次试验只有两种结果（成功/失败）；②各次试验相互独立；③每次成功概率 p 不变。典型场景：有放回抽样、射击命中、产品合格率、比赛胜负（每局独立）。若题目出现不放回则不是二项分布，而是超几何分布。 技巧2：期望方差直接套公式，无需算分布列。一旦确认 X~B(n,p)，期望 E(X)=np、方差 D(X)=np(1−p) 可直接写出，无需逐个计算分布列再求和，节省大量时间。 技巧3：比赛赛制问题锁定终止条件。五局三胜制中，甲以 3:1 获胜 = 前3局甲胜2局负1局 且 第4局甲胜，即 P = C(3,2)·p²·(1−p)·p = C(3,2)·p³·(1−p)。关键：最后一局一定是获胜方赢，前面的局数用组合数计算。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则______. 【答案】 【详解】，则，则. 【变式训练2-2】（2026·上海·三模）混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． (1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，） 【详解】（1）设事件M：“第一次记录的是鱼苗A”，事件N：“第二次记录的是鱼苗A”， 由题意可得：，， 所以. （2）假设：鱼塘里的鱼足够多，此时， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 又因为，则， 所以，． 【变式训练2-3】（2026·上海黄浦·二模）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 题型3 超几何分布 例3-1在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 【答案】 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 例3-2（25-26高三上·上海·开学考试）据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 跟团游 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； (2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【详解】（1）补充列联表： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 40 100 跟团游 20 50 70 合计 80 90 170 ， 因此有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； （2）用分层抽样从跟团游中抽取14个人，则从青壮年组中抽取人，从中老年组山抽取人， 从14个人中随机抽取7个人，若这7个人青壮年于中老年人数分别为， 则，相应的，则， 则，. 的分布列为的分布列为： 1 3 5 7 . 方法技巧 技巧1：不放回是超几何分布的身份证。看到不放回抽样、一次性抽取 n 件、从有限总体中抽取等关键词，立即联想到超几何分布。与二项分布的核心区别：二项分布是有放回（或总体极大近似有放回），超几何分布是不放回。 技巧2：k 的取值范围双边界确定。下界 k ≥ max(0, n−(N−M))：抽取的 n 件中，正品最多 N−M 件，所以次品至少 n−(N−M) 件；上界 k ≤ min(n, M)：次品数不超过抽取数也不超过总体次品数。确定范围后逐个计算概率。 【变式训练3-1】莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____． 【答案】 【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况. 所求概率为. 故答案为：. 【变式训练3-2】（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 【详解】（1）分层抽样：男生360人，女生180人，比例． 男生抽30人，则女生抽15人，则． （2）（i） 因为，故在置信水平下无显著关联． （ii）样本，按总体比例（男生女生）， 则样本中男生人，女生人． 选物理74人中女生18人，则选物理男生人． 则选历史男生人，选历史女生人． 从16人中随机抽4人，为其中男生数，服从超几何分布． 则． 【变式训练3-3】（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 0 1 2 所以期望：， 方差：. 题型4 正态分布 例4-1（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 例4-2（2026·上海·三模）已知连续型随机变量服从正态分布，则的值约等于____________． （注：若，则，） 【答案】 【详解】随机变量服从正态分布， ． 方法技巧 技巧1：对称性是正态分布的灵魂。P(X ≤ μ−a) = P(X ≥ μ+a) = 0.5 − P(μ < X ≤ μ+a)。利用对称轴 x=μ，将任意区间概率转化为 μ 一侧的概率，再利用已知的 1σ/2σ/3σ 区间求解。如已知 P(X ≤ 80)=0.2 且 μ=90，则 P(X ≥ 100)=P(X ≤ 80)=0.2（关于 μ=90 对称）。 技巧2：补集思想处理尾部概率。P(|X−μ| > a) = 1 − P(|X−μ| ≤ a) = 1 − P(μ−a ≤ X ≤ μ+a)。当所求区间在尾部时，用 1 减去中间对称区间的概率，避免分别计算两侧。 技巧3：参数 μ、σ 的确定。μ 是均值（也是中位数、众数），由题目直接给出或通过对称性确定；σ 是标准差，若题目给出方差需先开方。注意区分 σ（标准差）和 σ²（方差），写分布时 X~N(μ, σ²)，第二个参数是方差而非标准差。 【变式训练4-1】（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含个数据，第三四分位数即分位数， 又，因此第三四分位数为，A错误； 对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能， 总情况为种，减去「都不选」的无效情况，共种可能的正确答案，B错误； 对于选项C，残差定义为：实际值减预测值， 将代入回归方程可得时的预测值， 故残差为，C错误， 对于选项D，正态分布的密度曲线的对称轴为， 因为，所以，由对称性得， 又因为该正态分布的对称轴为，所以， 所以，D正确. 【变式训练4-2】（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【变式训练4-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，满足，若，则__________． 【答案】 【详解】由概率的性质可知， 将其代入，可得， 由正态分布的对称性可知和关于直线对称，所以. 将代入， 可得， 对上式求导可得， 即. 令，则上式可化为， 所以. 题型5 概率统计综合解答题 例5-1（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【详解】（1）（小时）. 因为学习时间小于3小时的频率为， 所以中位数在内，由，解得小时. （2）由频率分布直方图可知，学习时间不小于3小时的频率为. 设从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 其中有4人周末线上学习时间不小于3小时的概率为， 所以.要使最大， 则， 解不等式组得，因为为正整数，所以或7. 所以或7时，最大. 例5-2（2026·上海闵行·二模）某学校举办“乐动体育”比赛活动，高三年级共有50名学生报名参加“小球类项目”，其中参加乒乓球项目的有28人，参加羽毛球项目的有22人，赛前进行了一道比赛通用规则判断题测试，答对得5分，答错得0分，统计结果加下表： 乒乓球项目 羽毛球项目 答对人数 19 16 答错人数 9 6 根据上述数据，回答下列问题： (1)求这50名学生的平均得分； (2)从这50名学生中随机选取2人做裁判.设随机变量表示两名裁判的最高得分，求； (3)是否有的把握认为该题的测试成绩与比赛项目有关？（附：） 【详解】（1）由题意，总答对人数为， 总得分为， 因此平均得分； （2）学生得分只有分和分，因此最高得分的可能取值为； 因此，， 所以； （3）列联表如下表： 答对 答错 合计 乒乓球 19 9 28 羽毛球 16 6 22 合计 35 15 50 零假设为：该题的测试成绩与比赛项目无关， 则， 因为，， 故接受假设，即认为没有95%的把握认为测试成绩与比赛项目有关. 方法技巧 技巧1：先读题尾，再读题干。综合题题干较长，先看末尾的问题，明确需要什么数据，再有针对性地回到题干中提取，避免反复阅读浪费时间。同时圈出关键数字（样本量、比例、分组区间等）。 技巧2：统计量计算用组中值代表每组。频率分布表/直方图中求平均数时，用每组的组中值（区间中点）代表该组数据，乘以该组频率后求和：x̄=Σ(组中值×频率)。注意：这是估计值，不是精确值。 技巧3：回归方程牢牢抓住样本中心点。线性回归方程 ŷ = bx + a 必过样本中心点 (x̄, ȳ)，所以 a = ȳ − b·x̄。若已求出斜率 b，代入样本中心点即可快速得截距 a。预测时将 x 代入回归方程得 ŷ。 技巧4：独立性检验三步走。①根据列联表计算卡方统计量 ；②与题目给出的临界值比较；③下结论：若 χ² > 临界值，则有 95% 把握认为两个变量有关；否则认为没有充分证据表明有关。 技巧5：分布列解答题规范书写拿满分。解答题中求分布列必须：①列出 X 的所有取值；②逐个写出 P(X=k) 的计算过程（不能只写结果）；③用表格形式呈现分布列；④验证 Σpᵢ=1；⑤最后写出 E(X)、D(X) 的计算。步骤完整才能避免过程分丢失。 【变式训练5-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ， ，， . 所以，小明有资格参加复赛. (2)学生甲应先回答A类问题，理由： 若学生甲先答A类问题，设他的得分为随机变量X，则X的可能取值有0，30，100， ，，， 所以，随机变量X的分布列为， 则. 若学生甲先答B类问题，设该同学的得分为随机变量Y，则Y的可能取值有0、70、100， ，，， 所以，随机变量Y的分布列为， 则， 所以，，因此，学生甲应先回答A类问题. 【变式训练5-2】（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【详解】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得. （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . （3）由题意. ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ， 【变式训练5-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． (1)求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； (2)若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； (3)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布列及方差； 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为： . （2）由题设可得该质量指标的最小值即质量指标值的第60百分位数 因为， 故第百分位数落在内，设其为， 则， 解得：，故第百分位数为． （3）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则：一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为， 又，，， 故的分布列如下： 数学期望为， 方差为． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 【答案】 【详解】由题设有. 故答案为：. 2．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 【答案】 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 3．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如果随机变量，那么等于（    ）． A．1 B． C．2 D．6 【答案】B 【详解】解：因为，所以 故选：B 2．全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【详解】解：由题意可得，， ，， ，． 因此，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 4 5 P 0 0.025 0.075 0.3 0.5 0.1 3．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买．设各车主购买保险相互独立，用X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望． 【答案】20 【详解】设A表示甲、乙两种保险都不购买， 则． 由于各车主购买保险相互独立， 根据题意可知，100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数X服从二项分布， 即X~B． 所以． 4．一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 【答案】 【详解】设抽取的10个零件中不合格品数为随机变量，则随机变量服从超几何分布， 且，，， 可得随机变量的分布列为，， 所以 则至少有1件不合格的概率为． 5．（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． （2）由概率和为1求得，再根据分布列求相应概率． 【详解】（1）因为，因此分布列中计算结果错误； （2）由解得（舍去）， 所以，． 6．鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同．捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算： (1)其中有1条鲤鱼的概率； (2)4条都是鲤鱼的概率． 【详解】（1）用X表示被打捞的4条鱼中鲤鱼的条数，则服从于超几何分布，即， 因此； （2）． 7．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数． (1)求获一等奖的概率； (2)求． 【详解】（1）因为随机变量X服从超几何分布． 所以． 故获一等奖的概率约为2.95%． （2）X的概率分布如下表所示， X 0 1 2 3 4 5 P 由表可知，随机变量X的均值为 . 也可直接由均值的计算公式，当时， ，其中得解． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工， 由已知的可能取值为，，. ，，， 所以. 2.（2026·上海静安·三模）随机变量X的分布列如下：则________． X 1 2 P 【答案】4 【详解】由题可知，所以. 3．（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从正态分布，若，则______________． 【答案】0.37 【详解】由随机变量服从正态分布，， 得. 4．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 【答案】 【详解】由，则与同分布， 由，则， 显然，即与同分布， 随机变量X，Y相互独立，所以与同分布， 则，即的概率分布关于对称， 其中为连续性随机变量，则为连续型随机变量，故， 所以. 5．（2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 【答案】 【详解】每次投掷，到达终点的概率为，不能到达终点的概率为， ，，，， ， 设①， ②， 则①②得 ， 所以， 所以. 6．（2026·上海·三模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件与个合格零件的方法数是种， 因此. （2）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为. 7．（25-26高三上·上海·期末）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 (1)若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、， 则，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 8．（2026·上海崇明·二模）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时）                频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 (1)从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； (2)依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 【详解】（1）由于和频率分别为，， 则按比例分层随机抽样，抽取5人进行座谈，有3人来自，2人来自， 由题意的可能取值为0，1，2， , , , 所以的分布列是： 0 1 2 . （2）由题意活动时间达标人数为， 活动时间未达标人数为， 故列联表如下： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 20 60 活动时间未达标（低于14小时） 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：“视力情况”与“体育活动时长是否达标”无关． 根据列联表数据，计算， 根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 所以有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 9．（2026·上海徐汇·二模）为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； (2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）根据已知数据计算空缺值，得到完整列联表如下： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170 因为， 因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关. （2）选择社区公共运动场的居民共70人，其中青壮年20人、中老年50人，抽样比为， 因此抽取的样本中青壮年人数：，中老年人数：. 设抽取的7人中中老年人数为，则青壮年人数为，. 因为青壮年共4人，故，解得，又， 因此，对应的可能取值为. 总情况数为， （对应或）时，， （对应）时，， （对应）时，， （对应）时，， 因此，的分布列为： 1 3 5 7 所以 重难·创新演练 1．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 3．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【详解】（1）由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； （2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； （3）由，， 故， 记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 4．（2026·上海黄浦·三模）现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． (1)求和； (2)求； (3)当时，求随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）因为表示从 个红球和个白球随机取个球的红球个数，所以服从超几何分布， 表示抽取的个球全为白球，故. 表示抽取的个球有个红球、个白球，故. （2）由题意，的所有可能取值为，由（1）知，， 同理得，. 当时，袋中全为白球，摸出白球换为红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中全为红球，摸出红球换为白球后，红球的个数为，则，故； 因此，由全概率公式： （3）当时，袋中红白球， 第一次摸换后的可能取值为，其中（摸出红球换为白球），（摸出白球换为红球）. 第二次摸换后的可能取值为： , 故的分布列为： 因此，数学期望。 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 因此比赛成绩不少于5分的概率. （2）记事件“该队成绩为0分”，事件“甲第一阶段被淘汰”，则， ，于是所求为. （3）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩、的所有可能取值为0，5，10，15，则 ，， ，    ， 则，同理有， 所以. 因为，，则， 故应该由甲参加第一阶段比赛. 6．（25-26高三上·上海杨浦·期末）AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 【详解】（1）作原假设：购买AI手机与顾客的性别无关，取，， 因为，所以否定原假设，即有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）. （3）法1：可取值， 而，， ，， ， 故的分布为， 期望. 法2：设第次抽中奖金为，由题设可得的分布为， 从而，而相互独立，故. 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）略 8．（2025·上海浦东新·三模）申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量. (1)兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下： n 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 请求出变量和之间的线性相关系数： (2)若，求； (3)已知，在的条件下，求的概率. 【详解】（1）由表可知： ， ，，， 代入相关系数的公式可得：. （2）由题可知的所有可能取值为，，，， 表示三次均向正方向行走，故； 表示两次选择正方向，一次选择负方向行走，故； 表示一次选择正方向，两次选择负方向行走，故； 表示三次均选择负方向行走，故， 所以. （3）设为事件A，为事件，， 其中，， ，故. 9．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 【详解】（1）由题得，随机变量，故. （2）由题可得，，其中. 则，，，. 故随机变量的分布列为，故. 故，所以. （3）设事件：解答第个问题出现幻觉，则. 由全概率公式知，. 代入，整理得，其中，. 依次计算得，，，. 因此，，即第1个问题出现AI幻觉的概率比第5个问题出现AI幻觉的概率大. 10．（24-25高三下·上海·阶段检测）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)是否有95%的把握认为社区的市民喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）有95%的把握认为喜欢网上买菜与年龄有关. ， 查表得临界值3.841，由于，认为喜欢网上买菜与年龄有关； （2） ； （3）喜欢网上买菜的概率，， 则 对于，利用线性变换性质： . 11．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 【详解】（1）当时，每局比赛乙队获胜的概率为， 采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况：胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率； 采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况：胜、胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率， 而，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率. （2）①当时，甲队最终获胜的事件为，五局三胜制下甲获胜分三种情况：胜、胜和胜， ， 比赛恰好进行了四局的事件为，则， 所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为. ②甲队得分的所有可能取值为， ，即乙以或胜甲，； ，即乙以胜甲，； ，即甲以胜乙，； ，即甲以或胜乙，， 所以的分布为 0 1 2 3 期望. 12．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【详解】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 随机变量及其分布 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 知识点3 二项分布 知识点4 超几何分布 知识点5 正态分布 题型破译 (含超链接） 题型1 离散型随机变量分布列与数字特征 题型2 二项分布及其应用 题型3 超几何分布 题型4 正态分布 题型5 概率统计综合解答题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 随机变量及其分布 秋考第8题 秋考第6题 / 考情分析 填空小题主要考查：①给定分布列直接求期望/方差；②分布列含参问题（利用性质 Σpᵢ=1 与期望公式联立求解）。难度较低，属于必得分题。 二项分布（n重伯努利）、超几何分布（不放回抽样）、正态分布（对称性与3σ原则）是高频考点。 复习目标 1.理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌握分布列的两条基本性质（非负性、规范性）。 2.掌握离散型随机变量数学期望 E(X) 与方差 D(X) 的定义、计算公式及性质（线性变换性质）。 3.熟练掌握三大特殊分布：二项分布 X~B(n,p)、超几何分布 X~H(N,M,n)、正态分布 X~N(μ,σ²) 的分布特征与数字特征公式。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 自主检测 1.在财务审计中， 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的数字是这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字， 则 . 则根据本 • 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为________ (保留至整数). 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 1.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 2.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 自主检测 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____. 知识点3 二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 自主检测 3．（2026·上海·三模）已知服从二项分布，则________． 知识点4 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 自主检测 4.在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为____________（结果精确到0.01）． 知识点5 正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 自主检测 5．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量服从正态分布，则________． 题●型●破●译 题型1 离散型随机变量分布列与数字特征 例1-1（2026·上海金山·二模）已知随机变量的分布为，则期望__________． 例1-2（25-26高三上·上海·阶段检测）马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，____． 例1-3（2026·上海·模拟预测）甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 方法技巧 技巧1：分布列先定取值，再算概率，最后验证。求分布列时分三步走：①确定 X 的所有可能取值（不遗漏、不重复）；②逐个计算 P(X=xᵢ)（常用古典概型、排列组合、互斥/独立事件公式）；③验证 Σpᵢ=1，若不等于1说明计算有误。 技巧2：含参问题双条件联立。当分布列含未知参数时，利用规范性 Σpᵢ=1和已知期望/方差条件列方程组求解。 技巧3：方差计算优先用展开式。D(X)=E(X²)−[E(X)]² 比定义式 Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ 计算量更小，尤其当 E(X) 为非整数时，展开式可避免繁琐的小数平方运算。 技巧4：期望的线性可加性。若 X = X₁ + X₂ + … + Xₙ（无论 Xᵢ 是否独立），都有 E(X)=ΣE(Xᵢ)。在复杂问题中，可将一个随机变量拆分为若干简单随机变量之和，分别求期望后相加，大幅简化计算（如比赛得分可拆为各局得分之和）。 【变式训练1-1】（2026·上海·模拟预测）已知随机变量服从分布 ，则__________． 【变式训练1-2】（2026·上海虹口·三模）已知随机变量服从分布，则_____________． 【变式训练1-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）现有5个大小、质地相同的球，分别标上数字1，2，3，4，5． (1)从中任取三个球，求1号球被取到的概率． (2)从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，求的数学期望． 题型2 二项分布及其应用 例2-1（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为___________． 例2-2（2026·上海·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 方法技巧 技巧1：识别二项分布的三个标志。①每次试验只有两种结果（成功/失败）；②各次试验相互独立；③每次成功概率 p 不变。典型场景：有放回抽样、射击命中、产品合格率、比赛胜负（每局独立）。若题目出现不放回则不是二项分布，而是超几何分布。 技巧2：期望方差直接套公式，无需算分布列。一旦确认 X~B(n,p)，期望 E(X)=np、方差 D(X)=np(1−p) 可直接写出，无需逐个计算分布列再求和，节省大量时间。 技巧3：比赛赛制问题锁定终止条件。五局三胜制中，甲以 3:1 获胜 = 前3局甲胜2局负1局 且 第4局甲胜，即 P = C(3,2)·p²·(1−p)·p = C(3,2)·p³·(1−p)。关键：最后一局一定是获胜方赢，前面的局数用组合数计算。 【变式训练2-1】（2026·上海杨浦·二模）已知随机变量服从二项分布，若，则______. 【变式训练2-2】（2026·上海·三模）混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． (1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； (2)请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，） 【变式训练2-3】（2026·上海黄浦·二模）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 题型3 超几何分布 例3-1在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 例3-2（25-26高三上·上海·开学考试）据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 跟团游 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； (2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 方法技巧 技巧1：不放回是超几何分布的身份证。看到不放回抽样、一次性抽取 n 件、从有限总体中抽取等关键词，立即联想到超几何分布。与二项分布的核心区别：二项分布是有放回（或总体极大近似有放回），超几何分布是不放回。 技巧2：k 的取值范围双边界确定。下界 k ≥ max(0, n−(N−M))：抽取的 n 件中，正品最多 N−M 件，所以次品至少 n−(N−M) 件；上界 k ≤ min(n, M)：次品数不超过抽取数也不超过总体次品数。确定范围后逐个计算概率。 【变式训练3-1】莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____． 【变式训练3-2】（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 【变式训练3-3】（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 题型4 正态分布 例4-1（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 例4-2（2026·上海·三模）已知连续型随机变量服从正态分布，则的值约等于____________． （注：若，则，） 方法技巧 技巧1：对称性是正态分布的灵魂。P(X ≤ μ−a) = P(X ≥ μ+a) = 0.5 − P(μ < X ≤ μ+a)。利用对称轴 x=μ，将任意区间概率转化为 μ 一侧的概率，再利用已知的 1σ/2σ/3σ 区间求解。如已知 P(X ≤ 80)=0.2 且 μ=90，则 P(X ≥ 100)=P(X ≤ 80)=0.2（关于 μ=90 对称）。 技巧2：补集思想处理尾部概率。P(|X−μ| > a) = 1 − P(|X−μ| ≤ a) = 1 − P(μ−a ≤ X ≤ μ+a)。当所求区间在尾部时，用 1 减去中间对称区间的概率，避免分别计算两侧。 技巧3：参数 μ、σ 的确定。μ 是均值（也是中位数、众数），由题目直接给出或通过对称性确定；σ 是标准差，若题目给出方差需先开方。注意区分 σ（标准差）和 σ²（方差），写分布时 X~N(μ, σ²)，第二个参数是方差而非标准差。 【变式训练4-1】（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（    ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【变式训练4-2】（2025·上海嘉定·二模）已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【变式训练4-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，满足，若，则__________． 题型5 概率统计综合解答题 例5-1（2025·上海松江·二模）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 例5-2（2026·上海闵行·二模）某学校举办“乐动体育”比赛活动，高三年级共有50名学生报名参加“小球类项目”，其中参加乒乓球项目的有28人，参加羽毛球项目的有22人，赛前进行了一道比赛通用规则判断题测试，答对得5分，答错得0分，统计结果加下表： 乒乓球项目 羽毛球项目 答对人数 19 16 答错人数 9 6 根据上述数据，回答下列问题： (1)求这50名学生的平均得分； (2)从这50名学生中随机选取2人做裁判.设随机变量表示两名裁判的最高得分，求； (3)是否有的把握认为该题的测试成绩与比赛项目有关？（附：） 方法技巧 技巧1：先读题尾，再读题干。综合题题干较长，先看末尾的问题，明确需要什么数据，再有针对性地回到题干中提取，避免反复阅读浪费时间。同时圈出关键数字（样本量、比例、分组区间等）。 技巧2：统计量计算用组中值代表每组。频率分布表/直方图中求平均数时，用每组的组中值（区间中点）代表该组数据，乘以该组频率后求和：x̄=Σ(组中值×频率)。注意：这是估计值，不是精确值。 技巧3：回归方程牢牢抓住样本中心点。线性回归方程 ŷ = bx + a 必过样本中心点 (x̄, ȳ)，所以 a = ȳ − b·x̄。若已求出斜率 b，代入样本中心点即可快速得截距 a。预测时将 x 代入回归方程得 ŷ。 技巧4：独立性检验三步走。①根据列联表计算卡方统计量 ；②与题目给出的临界值比较；③下结论：若 χ² > 临界值，则有 95% 把握认为两个变量有关；否则认为没有充分证据表明有关。 技巧5：分布列解答题规范书写拿满分。解答题中求分布列必须：①列出 X 的所有取值；②逐个写出 P(X=k) 的计算过程（不能只写结果）；③用表格形式呈现分布列；④验证 Σpᵢ=1；⑤最后写出 E(X)、D(X) 的计算。步骤完整才能避免过程分丢失。 【变式训练5-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 【变式训练5-2】（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【变式训练5-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． (1)求：该厂商生产口罩质量指标值的平均数； (2)若从这批口罩中抽取质量排名前40%的优质口罩送往医院，求：这批口罩中质量指标值的最小值； (3)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求：的分布列及方差； 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 2．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 3．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如果随机变量，那么等于（    ）． A．1 B． C．2 D．6 2．全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 3．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买．设各车主购买保险相互独立，用X表示该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的数学期望． 4．一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率． 5．（1）下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列． X −1 0 1 P 试说明该同学的计算结果是否正确． （2）设是一个离散型随机变量，其分布列为： −1 0 1 P ①求q的值； ②求，． 6．鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同．捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算： (1)其中有1条鲤鱼的概率； (2)4条都是鲤鱼的概率． 7．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数． (1)求获一等奖的概率； (2)求． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·上海静安·三模）随机变量X的分布列如下：则________． X 1 2 P 3．（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从正态分布，若，则______________． 4．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 5．（2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 6．（2026·上海·三模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 7．（25-26高三上·上海·期末）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 (1)若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 8．（2026·上海崇明·二模）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时）                频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 (1)从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； (2)依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 9．（2026·上海徐汇·二模）为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研.数据显示，居民主要选择商业健身场馆（如健身房､体育中心）和社区公共运动场（如小区健身点､街心公园）两类场所.为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年组（岁且岁）和中老年组（岁），从该区随机抽取170名成年居民进行调查，得到如下不完整的列联表： 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 社区公共运动场 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并根据表中数据判断能否有的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关； (2)用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 青壮年 中老年 合计 商业健身场馆 60 40 100 社区公共运动场 20 50 70 合计 80 90 170 因为， 因此有95%的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关. 重难·创新演练 1．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 3．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 4．（2026·上海黄浦·三模）现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． (1)求和； (2)求； (3)当时，求随机变量的分布列和数学期望． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (3)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 6．（25-26高三上·上海杨浦·期末）AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； (3)为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 8．（2025·上海浦东新·三模）申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量. (1)兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下： n 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 请求出变量和之间的线性相关系数： (2)若，求； (3)已知，在的条件下，求的概率. 9．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 10．（24-25高三下·上海·阶段检测）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)是否有95%的把握认为社区的市民喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 10.828 11．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 12．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $