第32讲 空间向量及其应用讲义- 2027届高三数学一轮复习

第32讲 空间向量及其应用 内 容 导 航 知识点1 空间向量的概念与线性运算 知识点2 空间向量基本定理 知识点3 空间向量及其坐标运算的表示 知识点4 空间向量的应用 知识点5 空间向量的线性运算与基本定理 知识点6 空间向量数量积及其应用 知识点7 空间向量的坐标运算与法向量 知识点8 空间位置关系的向量证明 知识点9 空间角的向量求法 知识点10 空间距离的向量求法 知识点11 立体几何中的向量方法综合应用 题型1 空间向量的加减运算 题型2 空间向量的数乘及线性运算 题型3 空间向量的共线与共面 题型4 空间向量的数量积运算 题型5 空间向量基本定理及空间向量的基底 题型6 空间向量基底表示空间向量 题型7 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 题型8 空间直角坐标系 题型9 空间两点间的距离公式 题型10 空间向量线性运算的坐标表示 题型11 空间向量数量积的坐标表示 题型12 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 题型13 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 题型14 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 题型15 空间中点到平面的距离 题型16 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 题型17 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 题型18 空间向量的夹角与距离求解公式 题型19 空间向量法求解直线与平面所成的角 题型20 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 知 识 点 通 关 知识点1 空间向量的概念与线性运算 一、空间向量的有关概念 1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 3.表示法 (1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示; (2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或. 【解读】 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相 对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来 解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算及运算律 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 【解读】 利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识. 三、向量共线定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb . 四、共面向量定理 1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. 2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x,y),使p=xa 【解读】 1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行. 2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使成立; (2)对空间任一点O,有(t∈R); (3)对空间任一点O,有(x+y=1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【解读】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代 入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入向量的数量积公式进行运算求解. 3.求空间两个向量的夹角的方法 (1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围; (2)先求a·b,再利用公式求cos〈a,b〉,最后确定〈a,b〉. 4.求两条异面直线所成的角的步骤 (1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量); (2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题; (3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值; (4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加 上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小. 知识点2 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc  .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 2.基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向 量应注意: (1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知 向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底. 3.用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 二、空间向量的正交分解 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3 空间向量及其坐标运算的表示 一、空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度   建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴    .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. 二、空间点的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk  .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 三、空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z)    . 四、空间向量常用结论的坐标表示 设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0,λ∈R) a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0,b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0) cos〈a,b〉＝ 五、 证明两直线平行的步骤: 1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标; 2.求出直线的方向向量; 3.证明两向量共线; 4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤: 1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; 2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标; 3.计算两直线方向向量的数量积为0; 4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤 1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2); 2.利用公式cos<a,b>= 求解; 3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|. 知识点4 空间向量的应用 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条 件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即.进一步地,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使③ ta(i),将=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式. 3.空间平面的向量表示式 取定空间中的任意一点O,可以得到点P在平面ABC内的充要条件是存在实数使得，该式称为空间平面的向量表示式。 二、平面的法向量求法 设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 三、用向量证明空间中的平行关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. 2.设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v＝xv1＋yv2. 3.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. 4.设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2. 【解读】用向量证明直线与平面平行,可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,当然,直线要在平面外．用向量证明直线和平面垂直,可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直,也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行． 四、用向量证明空间中的垂直关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. 2.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u. 3.设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 【解读】利用空间向量证明面面垂直的基本方法：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 五、两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0,π] 求法 cosθ＝ cosβ＝ 【解答】要求异面直线AG与CE所成角的余弦值,可利用向量的数量积,求出·及||和||的值,再套用公式cos〈,〉＝求得与所成角的余弦值,但上述结果并不一定是异面直线所成的角,由于异面直线所成角的取值范围为,所以,若求得的余弦值为负值,则取其绝对值． 六、直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ＝|cosβ|＝. 【解读】利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法： ①通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角； ②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)． 注意：直线与平面所成角的取值范围是. 七、求二面角的大小 1.如图①,AB,CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈,〉． 2.如图②③,n1,n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 八、利用空间向量求点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为||＝. 知识点5 空间向量的线性运算与基本定理 方法技巧 1. 用基底表示向量：选定一组基底，把目标向量沿“首尾相接”的路径拆成若干基向量的线性组合，注意向量方向，逆方向取负号。 2. 共面判断：三个向量p、q、r共面⇔存在x、y使r=xp+yq；四点P、A、B、C共面⇔向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC 且 x+y+z=1。 3. 中点、重心结论要熟练：中点向径为两端点向径的平均；三角形重心向径为三顶点向径的平均。 易错分析 1. 向量减法方向出错，向量 AB 应是“终点减起点”； 2. 共面向量定理要求两个基底向量不共线，使用前先确认； 3. 表示向量时漏掉隐含的某条棱，建议画出路径逐一核对。 知识点6 空间向量数量积及其应用 方法技巧 1. 数量积三大应用：证垂直（a·b=0）、求长度（|a|²=a·a）、求夹角（cos=a·b/(|a||b|)）。 2. 几何体中用向量证垂直，先选一组两两垂直的向量作基底，把目标向量表示为基向量的线性组合，再算数量积。 3. 求模长先求模的平方，展开后利用数量积，最后开方。 易错分析 1. 数量积不满足结合律与消去律，不能由 a·b=a·c 推出 b=c； 2. 求异面直线夹角时忘记取绝对值，得到钝角； 3. 展开 (a+b)² 时漏掉交叉项 2a·b。 知识点7 空间向量的坐标运算与法向量 方法技巧 1. 坐标运算“先求向量、再套公式”：平行看坐标成比例，垂直看数量积为 0。 2. 求法向量用待定系数法：取平面内两个不共线向量，列两个方程，对第三个变量自由赋值，取最简整数解。 3. 建系原则：尽量使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，让坐标中出现更多的 0。 易错分析 1. 坐标成比例时，分母为 0 要单独处理（对应分量也为 0）； 2. 法向量方程只有两个、未知量三个，必须赋一个值，不能直接令其为 0； 3. 求错向量坐标，牢记“终点减起点”。 知识点8 空间位置关系的向量证明 方法技巧 1. 线线平行（垂直）看方向向量共线（数量积为0）；线面、面面关系转化为方向向量与法向量的关系。 2. 证线面垂直两条路：① 证明方向向量与平面法向量共线；② 证明方向向量垂直于平面内两条相交直线。 3. 证面面垂直只需证两平面法向量数量积为0；证面面平行只需证两法向量共线。 易错分析 1. 证线面平行时，除 a·n=0 外，还要说明直线不在该平面内； 2. 法向量方向不影响垂直判断，但影响二面角锐钝，不能混用； 3. 建系时未证明三条轴两两垂直，坐标系不成立。 知识点9 空间角的向量求法 方法技巧 1. 异面角：两方向向量夹角余弦取绝对值，得锐角或直角。 2. 线面角：sinθ=|方向向量·法向量|/(|方向向量||法向量|)，用正弦、取绝对值。 3. 二面角：先求两半平面法向量夹角的余弦，再结合图形确定正负号；求“两平面夹角”直接取绝对值。 4. 建系后写出各点坐标，方向向量、法向量“对棱、对面”各取两个不共线向量。 易错分析 1. 线面角误用余弦，公式中是正弦；异面角、线面角忘记取绝对值； 2. 二面角不看图形，直接把法向量夹角当成二面角，锐钝颠倒； 3. 法向量算错（叉乘顺序、符号），导致全盘皆错。 知识点10 空间距离的向量求法 方法技巧 1. 点面距 d=|PQ·n|/|n|：Q 是平面内任一点，关键是求对法向量。 2. 线面距、面面距都转化为点面距，取“面上任一点”。 3. 等体积法是求点面距的重要补充：换底后用 V=(1/3)Sh 列方程。 易错分析 1. 公式中向量 PQ 必须连接平面外一点与平面内一点，不能两点都在平面外； 2. 忘记除以法向量的模； 3. 等体积法中底面积与高不对应，换底后高要垂直于新底面。 知识点11 立体几何中的向量方法综合应用 方法技巧 1. 动点问题：设动点参数（如 F 在棱上设 F=P+t向量PC），把平行、垂直条件转化为含参数的方程求解，并验证参数在允许范围内。 2. 折叠问题：折叠前后同一平面内的线段长度、垂直关系不变，抓住“折痕”两侧仍垂直于折痕的线段确定二面角。 3. 开放条件题：分别检验各条件能否唯一确定几何体，选定后再按标准流程求解。 4. 向量法解题“四步走”：建系 → 求点坐标与方向向量、法向量 → 代入公式 → 结合几何意义作答。 易错分析 1. 动点参数未检验取值范围（如 t∈[0,1]），把棱外的点当作解； 2. 折叠后误把折前的空间关系照搬，忽略垂直关系是否被折痕保持； 3. 综合题中第(1)问的结论未用于第(2)问，重复建系、增加运算量。 考 点 演 练 题型1 空间向量的加减运算 【典例1】已知，，，则的坐标为（　　） A．（10，3，1） B．（﹣9，﹣3，0） C．（0，2，﹣1） D．（9，3，0） 【答案】A 【解答】解：已知，，， 则． 故选：A． 【变式1】已知空间向量，则下列结论正确的是（　　） A．向量在向量上的投影向量是 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在上的投影， 与同向的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量是，故A正确； ， 则，故B错误； 因为，所以与不垂直，故C错误； ，故D错误． 故选：A． 题型2 空间向量的数乘及线性运算 【典例1】定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（　　） A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，﹣1）∈Ω C．（1，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω 【答案】C 【解答】解：由题意知共面， 易知（0，0，0），（1，0，0），（0，0，1）三个向量共面，则当（0，0，0），（1，0，0）∈Ω无法推出（0，0，1）∉Ω，故A错误； 易知（﹣1，0，﹣1），（1，0，0），（0，0，1）三个向量共面，则当（﹣1，0，﹣1），（1，0，0）∈Ω，无法推出（0，0，1）∉Ω，故B错误； 易知（1，1，0），（1，0，0），（0，0，1）三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则当（1，1，0），（1，0，0）∈Ω，能推出（0，0，1）∉Ω，故C正确； 易知（0，0，﹣1），（1，0，0），（0，0，1）三个向量共面，则当（0，0，﹣1），（1，0，0）∈Ω无法推出（0，0，1）∉Ω，故D错误； 故选：C． 【变式1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段AC1上的一点，且AP＝2PC1，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据条件：． 故选：C． 题型3 空间向量的共线与共面 【典例1】已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解答】解：因为M，A，B，C四点共面，， 所以由共面定理可得，x+y﹣1＝1，即x+y＝2， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，即最小值为． 故选：C． 【变式1】已知四点共面，则xy的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：已知四点共面， 由题可知，存在实数λ，μ，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 故选：A． 题型4 空间向量的数量积运算 【典例1】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1＝CB＝4，AC⊥CB，且D为AB的中点，，则DE的长为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【解答】解：以C为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（4，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4），D（2，2，0）， 因为点E满足，所以E（0，3，4）， 从而． 故选：B． 【变式1】已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，若点P满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，已知正四面体O﹣ABC的棱长为1， 则，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝60°， 所以， 同理， 因为点P满足， 所以 ， 所以，故C正确． 故选：C． 题型5 空间向量基本定理及空间向量的基底 【典例1】已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解答】解：对于A，假设存在实数λ，μ，使得， 则，方程无解，即不存在实数λ，μ使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A选项正确； 对于B，假设存在实数λ，μ，使得， 则，解得，即存在实数λ，μ使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B选项错误； 对于C，假设存在实数λ，μ，使得， 则，解得，即存在实数λ，μ使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C选项错误； 对于D，假设存在实数λ，μ，使得， 则，解得，即存在实数λ，μ使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D选项错误． 故选：A． 【变式1】若和都为基底，则不可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于和都为基底，故和都为不共面向量， 当时，不能作为基底， 当时，，故，无解，故A错误； 当时，，故，无解，故B错误； 当时，，故，故C正确； 当时，，故，故D错误． 故选：C． 题型6 空间向量基底表示空间向量 【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接BD， ∵E为PD的中点， 若，，， 则 ． 故选：C． 【变式1】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，，，则可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据三棱柱的性质，． 故选：A． 题型7 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 【典例1】已知，，表示共面的三个单位向量，⊥，那么（）•（）的取值范围是（　　） A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[1，1] D．[1，1] 【答案】D 【解答】解：由⊥，则0， 又，为单位向量，则||， 则（）•（）（） ＝（）1＝||cos1cos1， 由﹣1≤cos1， 则（）•（）的取值范围是[1，1]． 故选：D． 【变式1】已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：（aybz﹣azby）（azbx﹣axbz）（axby﹣aybx）（，，），其中行列式计算表示为，若向量，则（　　） A．（﹣4，﹣8，﹣1） B．（﹣1，4，﹣8） C．（﹣2，8，﹣1） D．（﹣1，﹣4，﹣8） 【答案】C 【解答】解：由题意得：（1×2﹣4×1）（4×3﹣2×2）（2×1﹣1×3）28（﹣2，8，﹣1）， 故选：C． 题型8 空间直角坐标系 【典例1】在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中任意一点P（x，y，z），则下列叙述错误的是（　　） A．点P关于x轴的对称点是P1（x，﹣y，﹣z） B．点P关于平面yOz的对称点是P2（﹣x，y，z） C．点P关于y轴的对称点是P3（x，﹣y，z） D．点P关于原点的对称点是P4（﹣x，﹣y，﹣z） 【答案】C 【解答】解：对空间中任意一点P（x，y，z），点P关于x轴的对称点是P1（x，﹣y，﹣z），点P关于平面yOz的对称点是P2（﹣x，y，z），点P关于y轴的对称点是P3（﹣x，y，﹣z），点P关于原点的对称点是P4（﹣x，﹣y，﹣z）． 故选：C． 【变式1】在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6） 【答案】D 【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z）， 则x＝1，y＝﹣3，z＝﹣6， 所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）． 故选：D． 题型9 空间两点间的距离公式 【典例1】坐标空间中有一点A（6，8，﹣8），试问在x轴、y轴、z轴这三条坐标轴上，总共有几个点与点A的距离等于10？（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 E．6 【答案】B 【解答】解：点A（6，8，﹣8） 设x轴上点P（x，0，0），则|PA|10， 整理得（x﹣6）2＝﹣28， 无实数解，∴x轴上不存在满足条件的点； 设y轴上点Q（0，y，0），则|QA|10， 整理得（y﹣8）2＝0，解得y＝8， 满足条件的点只有1个； 设z轴上点M（0，0，z），则|MA|10， 整理得（z+8）2＝0，解得z＝﹣8， 满足条件的点只有1个． 综上，在x轴、y轴、z轴这三条坐标轴上，总共有2个点与点A的距离等于10． 故选：B． 【变式1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：作出示意图如下： 设BD的中点为O，连接PO（P不与点B重合）， |PB|＝|PB|，|OB|＝|NB|，∠DBD1＝∠C1BD1， 所以△BOP≌△BNP，所以|PN|＝|PO|， 把平面BDD1B1与平面BC1B1展开并摊平，如图： 在平面图形中连接ON，交BB1于点M，交D1B于点P，此时△PMN的周长取得最小值ON， 在△BON中利用余弦定理可得|ON|， 所以△PMN的周长的最小值为． 故选：A． 题型10 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】已知空间向量，满足（1，2，3），（0，﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：（1，2，3），（0，﹣2，1）， 则||2﹣||2＝（）0﹣4+3＝﹣1． 故选：D． 【变式1】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，点P满足，则下列说法正确的是（　　） A．若λ＝1，μ＝0，则三棱锥P﹣BEC外接球的表面积为 B．若，则异面直线CP与B1F所成角的余弦值为 C．若λ+μ＝1，则△PEF面积的最小值为 D．若存在实数x，y使得，则D1P的最小值为 【答案】AD 【解答】解：对于A：由题意，P与B1重合， 故三棱锥P﹣BEC的外接球与以BB1，BE，BC为长宽高的长方体的外接球相同， 故半径，表面积为，故A对； 对于B：以D为原点建系，C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），，， 由，所以， ，， cos，故B错； 对于D：由 得P（1﹣μ，λ，1），，，， 由可得， 所以，，， 当时，，故D正确； 对于C：由λ+μ＝1得，P在线段B1D1上运动，设P在底面ABCD的投影为Q，连接QE，QF， 由于QE＝QF，所以，故PE＝PF， 连接EF，BD相交于M，连接MP， ，当Q，M重合时取等号，故C错． 故选：AD． 题型11 空间向量数量积的坐标表示 【典例1】人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0（x0，y0，z0），且以（a，b，c）（abc≠0）为法向量，设P（x，y，z）是平面α内的任意一点，由，可得a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x+2y+z﹣7＝0，直线l的方向向量为（1，2，﹣2），则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为平面α的方程为2x+2y+z﹣7＝0， 所以平面α的一个法向量为（2，2，1）， 直线l的方向向量为（1，2，﹣2）， 设直线l与平面α所成角为θ， 则sinθ＝|cos，|． 故选：B． 【变式1】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝2，C1B1＝1，点P为线段BC1上一动点，则的最小值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）， 设点， 即（a﹣1，b﹣2，c）＝λ（﹣1，0，2）， 则，即P（﹣λ+1，2，2λ）， 所以， 则， 所以当时取得最小值，最小值为． 故答案为：． 题型12 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 【典例1】已知向量，，（﹣m，3m，m﹣3），平面ABC的法向量，若⊥，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：设平面ABC的法向量， 则，即， 令x＝1，则y＝z＝1，所以． 因为，所以，即﹣m+3m+m﹣3＝0， 解得m＝1． 故选：A． 【变式1】已知向量，，若，则实数x+y＝　 　 ． 【答案】﹣9． 【解答】解：因为向量，， 若，则2x+2y+18＝0，即x+y＝﹣9． 故答案为：﹣9． 题型13 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 【典例1】经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量 的直线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x﹣2y﹣5＝0 D．2x+3y﹣5＝0 【答案】D 【解答】解：根据题意，，解可得，即两直线的交点为（1，1），设A（1，1）， 设直线上任意一点为M，其坐标为（x，y）， 直线的一个方向向量，则∥， 则有4（x﹣1）＝﹣6（y﹣1），即4x+6y﹣10＝0，变形可得2x+3y﹣5＝0， 故要求直线的方程为2x+3y﹣5＝0． 故选：D． 【变式1】下列说法正确的有（　　） A．直线x+2y﹣1＝0的一个方向向量为 B．两个平面的夹角的范围是[0，π] C．数据25，32，33，40，45的第70百分位数为40 D．用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果时，R2越大，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越好 【答案】AC 【解答】解：对于A，直线x+2y﹣1＝0的一个方向向量为，故A正确； 对于B，两个平面的夹角的范围是[0，]，故B错误； 对于C，5×70%＝3.5， ∴数据25，32，33，40，45的第70百分位数为40，故C正确； 对于D，用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果时， R2越大，表示残差平方和越小，即模型拟合效果越好，故D错误． 故选：AC． 题型14 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 【典例1】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点，则（　　） A．MN//D1C1 B．D1N⊥CM C．点P在正方形A1B1C1D1内，当DP//平面B1MN时，P点轨迹长度为 D．点P在棱DD1所在直线上，当BP⊥平面B1MN时，四面体P﹣DCN的外接球表面积为 【答案】BCD 【解答】解：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 正方体棱长为1，各点坐标为D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）， A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），，． 选项A：因为，， 两向量坐标不成比例，故MN与D1C1不平行，故A错误． 选项B：，， ， 故D1N⊥CM，故B正确； 选项C：取A1D1中点，C1D1中点，连接DE，EF，DF．， ，，，，，． 可得与共面，与共面，． 因为DE∥平面B1MN，DF∥平面B1MN，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面B1MN．点P在正方形A1B1C1D1内且DP∥平面B1MN， 故P点轨迹为线段EF，则，故C正确； 选项D：，， 设平面B1MN的一个法向量为， 则，则，即， 令z＝1，得x＝y＝﹣2，即． 设P（0，0，t），． 由BP⊥平面B1MN得， 即，解得，即． 四面体P﹣DCN的顶点为D（0，0，0），C（0，1，0），，， 该四面体的外接球等价于以DC，DN，DP为邻边的长方体的外接球， 长方体的长宽高分别为，外接球直径， 外接球半径，表面积，故D正确． 故选：BCD． 【变式1】在△ABC中，∠ACB，AC＝4，BC＝2，M为AC的中点，如图，沿BM将△CMB翻折至△DMB位置，满足DA． （1）证明：平面DMB⊥平面ABM； （2）线段AB上是否存在点P，使得P在平面DAM内的射影恰好落在直线DM上．若存在，求出AP的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB＝16+4﹣212， 所以， 所以AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC， 因为M为AC的中点， 所以， 取BM的中点O，连接OD，OA，则OD⊥BM，OD， 在△AMO中，∠AMO＝120°， 由余弦定理得，OA2＝AM2+OM2﹣2AM•OMcos∠AMO＝4+1﹣2×2×1×（）＝7， 因为DA， 所以DA2＝OD2+OA2，即OD⊥OA， 又BM∩OA＝O，BM、OA⊂平面ABM， 所以OD⊥平面ABM， 而OD⊂平面DMB， 所以平面DMB⊥平面ABM． （2）． 【解答】（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB＝16+4﹣212， 所以， 所以AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC， 因为M为AC的中点， 所以， 取BM的中点O，连接OD，OA，则OD⊥BM，OD， 在△AMO中，∠AMO＝120°， 由余弦定理得，OA2＝AM2+OM2﹣2AM•OMcos∠AMO＝4+1﹣2×2×1×（）＝7， 因为DA， 所以DA2＝OD2+OA2，即OD⊥OA， 又BM∩OA＝O，BM、OA⊂平面ABM， 所以OD⊥平面ABM， 而OD⊂平面DMB， 所以平面DMB⊥平面ABM． （2）解：由题意知，△BCM是等边三角形， 连接OC，则OC⊥BM， 由（1）知OD⊥平面ABM， 故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，B（1，0，0），M（﹣1，0，0），，D（0，0，）， 所以（﹣1，，0），，（3，，0）， 记P在DM上的射影点为Q， 设λ（3，，0），μμ（1，0，），λ，μ∈[0，1]， 则μ（1，0，）﹣（﹣1，，0）﹣λ（3，，0）＝（μ+1﹣3λ，，）， 若P在平面DAM内的射影恰好落在直线DM上， 则，即，解得，μ， 所以（3，，0）， 所以存在P符合题意，且AP． 题型15 空间中点到平面的距离 【典例1】在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则点P到平面OBC的距离为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE， 则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线l1， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线l2，则l1与l2的交点即为球心O， 在正△ABC中，，， 得， 又PA＝2PQ＝2，即PQ＝1， 则，， 由余弦定理得， 则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由BC⊥AE，BC⊥PA， 因为PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE， 又BC⊂平面PBC，则平面PBC⊥平面PAE， 又平面PAE∩平面PBC＝PE，OG⊂平面PAE，因此OG⊥平面PBC， 在Rt△POG中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥O﹣PBC的体积为， 而， 设点P到平面OBC的距离为h， 由VO﹣PBC＝VP﹣OBC， 得， 解得， 则点P到平面OBC的距离为． 故选：C． 【变式1】已知三棱锥P﹣ABC各个顶点都在半径为的球O的球面上，且PA＝PB＝PC，，∠ABC＝90°，则球心O到平面ABC的距离为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解答】解：设点P在底面ABC上的射影为H， 因为PA＝PB＝PC，所以点H为△ABC的外心， 又，∠ABC＝90°，所以点H为AC的中点， 连接PH，BH，则三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O必在PH上， 连接CO，则，CO， 在Rt△COH中，， 因为OH⊥平面ABC， 所以球心O到平面ABC的距离为． 故选：A． 题型16 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【典例1】空间内有三点P（4，0，﹣4），E（3，0，1），F（2，1，2），则点P到直线EF的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可得， 所以1+5＝6，||，||， 所以点P到直线EF的距离为： ． 故选：B． 【变式1】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则点D到直线C1E的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点， 所以建系如图： 则D（0，0，0），C1（0，2，2），E（2，1，2）， 所以，， 所以点D到直线C1E的距离为． 故选：D． 题型17 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 【典例1】正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（　　） A．直线AE与CF是异面直线 B．平面ABF⊥平面ABE C．该几何体的体积为 D．平面ABE与平面DCF间的距离为 【答案】D 【解答】解：∵A，E，C，F四点共面，直线AE与CF是共面的；故A错误； 取AB中点O，连接EO，FO，EF， 棱长为2的正八面体中，则△ABE和△ABF都是边长为2的等边三角形， ∴EO⊥AB，FO⊥AB，∴∠EOF是二面角E﹣AB﹣F的平面角， EO＝FO，EF＝2， ∴cos∠EOF， ∴平面ABF与平面ABE不垂直，故B错误； V4×2，∴故C错误； 连接AC、BD设交于G，则G﹣ABE为正三棱锥，其底边长为2， ∴三角形ABE外接圆的半径为r， 侧棱长为，所以G到平面ABE的距离， ∴平面ABE与平面DCF间的距离为，故D正确． 故选：D． 【变式1】已知平面α1，α2，α3，α4分别过正四面体的四个顶点，且平面α1，α2，α3，α4相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则d＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设该正四面体为ABCD，根据正四面体的对称性，不妨取AB＝3d， 记过点C的平面与AD，AB分别交于点P，Q， 过点D的平面与BC，AB分别交于点M，N， 因为相邻两个平面之间的距离均相等，所以AQ＝QN＝NB， 可得P，M分别为AD，BC的中点， 设AB的中点为O，连接OC，以O为坐标原点，OC，OB所在直线分别为x轴和y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），， ，，， 则，，， 记平面QPC的法向量为， 则， 取x＝1，可得，所以， 所以． 故答案为：． 题型18 空间向量的夹角与距离求解公式 【典例1】设平面α与长方体的六个面的夹角分别为θi（i＝1，2，…，6），则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：建立如图的空间坐标系D﹣xyz， 取α的法向量为，长方体相邻三个面的法向量为， ∴ ． 故选：A． 【变式1】已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解答】解：对于A，向量，，， 所以，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误． 故选：BC． 题型19 空间向量法求解直线与平面所成的角 【典例1】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过点A且与A1C垂直的平面为α，则AC1与平面α成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设正方体棱长为1，以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），A1（0，0，1），C（1，1，0），C1（1，1，1）， 所以，， 因为平面α过点A且与A1C垂直， 所以就是平面α的法向量， 设AC1与平面α所成角为θ， 所以， 所以． 故选：D． 【变式1】已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，高为，点M为棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正切值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，BD交于点O，连接PO， 由正四棱锥的性质可知PO⊥AC，， 取OC的中点M1，连接BM1，MM1， ∵M是PC中点，M1是OC中点， ∴MM1∥PO， ∵PO⊥底面ABCD，故MM1⊥底面ABCD， ∴BM1是BM在底面的射影，∠MBM1是直线BM与底面ABCD所成角， 则，，， ， ∵MM1⊥底面ABCD，BM1⊂底面ABCD， ∴MM1⊥BM1，即△MM1B是直角三角形， ∴． 故选：A． 题型20 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 【典例1】如图，已知点A、B、C、D在表面积为12π的球O的球面上，且O∈BD，OA⊥平面BCD，点E为BC中点，当二面角A﹣BC﹣D的大小为时，则有（　　） A．异面直线AE和CD所成角的大小为 B．直线EA与平面ABD所成角的大小为 C． D．△BED的面积为 【答案】D 【解答】解：设球O的半径为r，因为球的表面积为12π，可得4πr2＝12π，可得， 因为O和E分别为BD，BC的中点，所以OE∥CD，所以OE⊥BC， 又因为OA⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥OA， 因为OA∩OE＝O，且OA，OE⊂平面AOE，所以BC⊥平面AOE， 又因为AE⊂平面AOE，所以BC⊥AE， 所以∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，所以， 在直角△AOE中，可得，， 对于A，由OE∥CD，可得异面直线AE和CD所成角，即为直线AE和OE所成角， 因为，所以异面直线AE和CD所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点E作EF⊥BD，垂足为F， 因为OA⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，所以EF⊥OA， 又因为OA∩BD＝O，且OA，BD⊂平面ABD，所以EF⊥平面ABD， 所以∠EAF即为直线EA与平面ABD所成角， 在直角△BOE中，，OE＝1，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角△ABE中，AE＝2，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由△BED的面积为，所以D正确． 故选：D． 【变式1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为PB的中点． （1）求证：BD⊥平面PAD； （2）求平面ACE与平面PCD夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接BD，∵AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝2， ∴，∠DBA＝45°． 又∵AB＝4，∴， ∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥平面PAD． （2）． 【解答】（1）证明：连接BD，∵AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝2， ∴，∠DBA＝45°． 又∵AB＝4，∴， ∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥平面PAD． （2）解：∵PA＝PD＝2，，∴PA⊥PD． 如图，以D为坐标原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴，平面PAD内过点D且与DA垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz． 则D（0，0，0），，，，， ∵E为PB的中点，∴， ∴，， 设平面ACE的一个法向量为， ∴，即， 令x1＝1，则y1＝3，z1＝﹣3，∴． 同理，平面PCD的一个法向量为 设平面ACE与平面PCD的夹角为θ， 则． 过 关 验 收 1．如图，在三棱锥A﹣BCD中，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由向量的线性运算可得． 故选：C． 2．如图，在四面体O﹣ABC中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接ON，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在四面体O﹣ABC中，，，， ∴． 故选：C． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，，，若D1，E，F，G四点共面，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示，以A1为原点，以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，根据条件得出以下几个点的坐标： ， 所以， 因为D1，E，F，G四点共面，所以， 得到，解得． 故选：A． 4．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解： 由正八面体的性质可得BF＝AD，BF∥AD，则， ＝1． 故选：A． 5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M为A1C1的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 又，， 所以 ． 故选：A． 6．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由基底定义可知，空间中三个不共面的向量可以作为空间向量的一组基底， 选项A，零向量与任一向量共线，故不能与构成空间向量的一组基底； 选项B，设，可得（0，0，1）＝x（1，0，0，）+y（0，1，0），此式无解， 故能与构成空间向量的一组基底； 选项C，显然，故，，共面，不能构成空间向量的一组基底； 选项D，显然，故，，共面，不能构成空间向量的一组基底． 故选：B． 7．△ABC中，D为AB边的中点，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC中，D为AB边的中点，，，， 则（） ． 故选：B． 8．空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则点P关于x轴对称的点的坐标为　 　 ． 【答案】（2，﹣4，﹣7）． 【解答】解：因为P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7）， 所以点P的坐标为（2，4，7）， 所以点P关于x轴对称的点的坐标为（2，﹣4，﹣7）． 故答案为：（2，﹣4，﹣7）． 9．在棱长为8的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，F为线段BD1上的一个动点，则|EF|的最小值为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（8，8，0），D1（0，0，8）， 可得， 设， 则， 即F（8﹣8λ，8﹣8λ，8λ）， 可得， 当时，EF取到最小值． 故选：D． 10．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，SA＝AC＝2，AB＝1，，，过点M，P的平面与AC交于点N，NP⊥BS，则MN＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：法一（几何法）：由SA⊥平面ABC，NP⊂平面ABC知NP⊥SA， 由NP⊥BS，SA∩SB＝S，SA⊂平面SAB，SB⊂平面SAB， 所以NP⊥平面SAB，由AB⊂平面SAB得NP⊥AB，取BC上一点Q使得QA⊥AB， 由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2×AB×AC×cosA＝1+4+2＝7，， ，可得， 由平行线分线段成比例知CN＝2NA，故， 故． 法二（坐标法）：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，，，S（0，0，2），M（0，1，1）， 由，AC＝2得N（0，2λ，0）， 由NP⊥BS得， 即，得，则， 则． 故答案为：． 11．已知向量（﹣2，﹣3，1），（2，0，4），（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（　　） A．， B．∥， C．∥， D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：∵（﹣2，﹣3，1），（2，0，4），（﹣4，﹣6，2）， ∴，， ∴，． 故选：C． 12．点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是 　 　 ． 【答案】 【解答】解：由题意，点A（2，1，1）和P（1，2，0），可得，且， 所以点P（1，2，0）到直线l的距离是． 故答案为：． 13．在空间直角坐标系中，平面α经过点P0（1，2，1），且以为法向量，则平面α内任意一点P（x，y，z）满足（　　） A．2x+y+z﹣5＝0 B．x+2y+z﹣5＝0 C．2x+y+z﹣7＝0 D．x+y+2z﹣7＝0 【答案】A 【解答】解：根据题意，平面α经过点P0（1，2，1），平面α内任意一点P（x，y，z）， 则（x﹣1，y﹣2，z﹣1）， 该平面的法向量为，则有•2（x﹣1）+1（y﹣2）+1（z﹣1）＝0，即2x+y+z﹣5＝0， 故平面α内任意一点P（x，y，z）满足2x+y+z﹣5＝0． 故选：A． 14．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A，B，C，D为该正方体的顶点，AA1，BB1，CC1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面α．若平面ABC与平面α平行，且直绳索AA1的长度为米，则点D到平面α的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解答】解：由正方体的性质知，点B到平面ACD的距离为2，， 所以△ABC的面积S△ABC2， 设点D到平面ABC的距离为d， 因为VD﹣ABC＝VB﹣ACD， 所以， 所以d， 即点D到平面ABC的距离为米， 又因为平面ABC与平面α平行，且直绳索AA1的长度为米， 所以点D到平面α的距离为米． 故选：D． 15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，AB＝AA1＝4． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （3）求直线A1B到平面ADC1的距离． 【答案】（1）证明过程请见解答；（2）证明过程请见解答；（3）． 【解答】（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O是A1C的中点， 因为D是BC的中点， 所以OD∥A1B， 又OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1． （2）证明：因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点， 所以AD⊥BC， 由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC， 因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD， 又BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1， 因为AD⊂平面ADC1， 所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． （3）解：由（1）知A1B∥平面ADC1， 所以直线A1B到平面ADC1的距离等价于点B到平面ADC1的距离， 由（2）知AD⊥平面BCC1B1， 所以点A到平面BDC1的距离为AD， 因为AA1∥平面BDC1，所以点A1到平面BDC1的距离也为AD， 而AD•DC12，BD•CC14， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以d•AD•，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 16．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为向量， 可得1×6+0×6+0×6＝6，||＝1，||6， 可得cos，． 故选：C． 17．如图，AB为圆柱OO1的一条母线，BC是下底面圆的直径，弦DE与BC交于点M．已知圆柱的高为1，侧面积为．若，且M恰为DE的中点，则直线AM与平面ABE所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：以B为坐标原点，平面BEM内过点B且与BC垂直的直线为x轴，BC所在直线为y轴，AB所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A（0，0，1），，，0）， ∴，，，﹣1）， 设平面ABE的法向量为（x，y，z）， 则，即， 则z＝0，取y＝﹣1，得，0）， 设直线AM与平面ABE所成角为θ， 则sinθ， 即直线AM与平面ABE所成角的正弦值为． 故选：A． 18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且CA＝CB＝6，，若直线CC1与平面ABC所成的角为60°，则的最小值为　 　 ． 【答案】8． 【解答】解：因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形， 且CA＝CB＝6，，直线CC1与平面ABC所成的角为60°， 所以， ＝32． 因为直线CC1与平面ABC所成的角为60°， 故C1在平面ABC内的投影P满足：， 即投影点P在底面以C为圆心，半径为的圆上，故的竖直分量垂直于平面ABC， 因此，等价于投影向量，其中，， 根据向量性质，， 当且仅当与同向时取得最大值24， 故． 故答案为：8． 19．已知菱形ABCD的边长为1，，将△ACD沿AC折起，得到三棱锥D′﹣ABC，当平面ABD′⊥平面BCD′时，平面ABC与平面ACD′所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：作出示意图如下： 取BD′中点F，则又题意可得BD′⊥AF，BD′⊥CF，又AF∩CF＝F， 所以BD′⊥平面ACF， 所以当又平面ABD′⊥平面BCD′时，∠AFC＝90°， 因为菱形ABCD的边长为1，， 所以三角形ABC与三角形ADC为等边三角形 所以AC＝1，所以易得AF＝CF，又AD′＝1， 所以D′F，所以BD′＝2D′F， 取AC中点E，连接D′E，BE，则易得AC⊥D′E，AC⊥BE， 所以∠D′EB即为二面角B﹣AC﹣D′的平面角， 又D′E＝BE， 所以cos∠D′EB， 所以平面ABC与平面ACD′所成角的余弦值为． 故选：B． 20．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO＝λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α1，α2，α3，α4，则下列各式为常数的是（　　） ①cotα1+cotα2 ②cotα1+cotα3 ③cotα2+cotα3 ④cotα2+cotα4 A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【解答】解：过O点作MN⊥BC，又顶点S在底面内的射影O，SO⊥平面ABCD， 则SO⊥BC，SO∩MN＝O，SO，MN⊂平面SMN，所以BC⊥平面SMN， 所以BC⊥SM，则OM，ON分别为SM，SN在底面ABCD上的射影， 则∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角， 因此∠SMO＝α1，∠SNO＝α3， 故，， 则，即cotα1+cotα3为定值， 同理可得cotα2+cotα4为定值． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 空间向量及其应用 内 容 导 航 知识点1 空间向量的概念与线性运算 知识点2 空间向量基本定理 知识点3 空间向量及其坐标运算的表示 知识点4 空间向量的应用 知识点5 空间向量的线性运算与基本定理 知识点6 空间向量数量积及其应用 知识点7 空间向量的坐标运算与法向量 知识点8 空间位置关系的向量证明 知识点9 空间角的向量求法 知识点10 空间距离的向量求法 知识点11 立体几何中的向量方法综合应用 题型1 空间向量的加减运算 题型2 空间向量的数乘及线性运算 题型3 空间向量的共线与共面 题型4 空间向量的数量积运算 题型5 空间向量基本定理及空间向量的基底 题型6 空间向量基底表示空间向量 题型7 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 题型8 空间直角坐标系 题型9 空间两点间的距离公式 题型10 空间向量线性运算的坐标表示 题型11 空间向量数量积的坐标表示 题型12 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 题型13 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 题型14 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 题型15 空间中点到平面的距离 题型16 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 题型17 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 题型18 空间向量的夹角与距离求解公式 题型19 空间向量法求解直线与平面所成的角 题型20 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 知 识 点 通 关 知识点1 空间向量的概念与线性运算 一、空间向量的有关概念 1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 3.表示法 (1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示; (2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或. 【解读】 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相 对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来 解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算及运算律 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算． ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间向量的数乘运算 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb； ③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)． 【解读】 利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识. 三、向量共线定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb . 四、共面向量定理 1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. 2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x,y),使p=xa 【解读】 1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行. 2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使成立; (2)对空间任一点O,有(t∈R); (3)对空间任一点O,有(x+y=1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【解读】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代 入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入向量的数量积公式进行运算求解. 3.求空间两个向量的夹角的方法 (1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围; (2)先求a·b,再利用公式求cos〈a,b〉,最后确定〈a,b〉. 4.求两条异面直线所成的角的步骤 (1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量); (2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题; (3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值; (4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加 上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小. 知识点2 空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc  .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 2.基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向 量应注意: (1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知 向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底. 3.用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 二、空间向量的正交分解 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3 空间向量及其坐标运算的表示 一、空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度   建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴    .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分. 二、空间点的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk  .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 三、空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z)    . 四、空间向量常用结论的坐标表示 设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0,λ∈R) a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0,b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0) cos〈a,b〉＝ 五、 证明两直线平行的步骤: 1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标; 2.求出直线的方向向量; 3.证明两向量共线; 4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤: 1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; 2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标; 3.计算两直线方向向量的数量积为0; 4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤 1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2); 2.利用公式cos<a,b>= 求解; 3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|. 知识点4 空间向量的应用 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条 件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即.进一步地,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使③ ta(i),将=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式. 3.空间平面的向量表示式 取定空间中的任意一点O,可以得到点P在平面ABC内的充要条件是存在实数使得，该式称为空间平面的向量表示式。 二、平面的法向量求法 设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 三、用向量证明空间中的平行关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. 2.设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v＝xv1＋yv2. 3.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. 4.设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2. 【解读】用向量证明直线与平面平行,可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,当然,直线要在平面外．用向量证明直线和平面垂直,可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直,也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行． 四、用向量证明空间中的垂直关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. 2.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u. 3.设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 【解读】利用空间向量证明面面垂直的基本方法：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 五、两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0,π] 求法 cosθ＝ cosβ＝ 【解答】要求异面直线AG与CE所成角的余弦值,可利用向量的数量积,求出·及||和||的值,再套用公式cos〈,〉＝求得与所成角的余弦值,但上述结果并不一定是异面直线所成的角,由于异面直线所成角的取值范围为,所以,若求得的余弦值为负值,则取其绝对值． 六、直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ＝|cosβ|＝. 【解读】利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法： ①通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角； ②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)． 注意：直线与平面所成角的取值范围是. 七、求二面角的大小 1.如图①,AB,CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈,〉． 2.如图②③,n1,n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 八、利用空间向量求点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为||＝. 知识点5 空间向量的线性运算与基本定理 方法技巧 1. 用基底表示向量：选定一组基底，把目标向量沿“首尾相接”的路径拆成若干基向量的线性组合，注意向量方向，逆方向取负号。 2. 共面判断：三个向量p、q、r共面⇔存在x、y使r=xp+yq；四点P、A、B、C共面⇔向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC 且 x+y+z=1。 3. 中点、重心结论要熟练：中点向径为两端点向径的平均；三角形重心向径为三顶点向径的平均。 易错分析 1. 向量减法方向出错，向量 AB 应是“终点减起点”； 2. 共面向量定理要求两个基底向量不共线，使用前先确认； 3. 表示向量时漏掉隐含的某条棱，建议画出路径逐一核对。 知识点6 空间向量数量积及其应用 方法技巧 1. 数量积三大应用：证垂直（a·b=0）、求长度（|a|²=a·a）、求夹角（cos=a·b/(|a||b|)）。 2. 几何体中用向量证垂直，先选一组两两垂直的向量作基底，把目标向量表示为基向量的线性组合，再算数量积。 3. 求模长先求模的平方，展开后利用数量积，最后开方。 易错分析 1. 数量积不满足结合律与消去律，不能由 a·b=a·c 推出 b=c； 2. 求异面直线夹角时忘记取绝对值，得到钝角； 3. 展开 (a+b)² 时漏掉交叉项 2a·b。 知识点7 空间向量的坐标运算与法向量 方法技巧 1. 坐标运算“先求向量、再套公式”：平行看坐标成比例，垂直看数量积为 0。 2. 求法向量用待定系数法：取平面内两个不共线向量，列两个方程，对第三个变量自由赋值，取最简整数解。 3. 建系原则：尽量使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，让坐标中出现更多的 0。 易错分析 1. 坐标成比例时，分母为 0 要单独处理（对应分量也为 0）； 2. 法向量方程只有两个、未知量三个，必须赋一个值，不能直接令其为 0； 3. 求错向量坐标，牢记“终点减起点”。 知识点8 空间位置关系的向量证明 方法技巧 1. 线线平行（垂直）看方向向量共线（数量积为0）；线面、面面关系转化为方向向量与法向量的关系。 2. 证线面垂直两条路：① 证明方向向量与平面法向量共线；② 证明方向向量垂直于平面内两条相交直线。 3. 证面面垂直只需证两平面法向量数量积为0；证面面平行只需证两法向量共线。 易错分析 1. 证线面平行时，除 a·n=0 外，还要说明直线不在该平面内； 2. 法向量方向不影响垂直判断，但影响二面角锐钝，不能混用； 3. 建系时未证明三条轴两两垂直，坐标系不成立。 知识点9 空间角的向量求法 方法技巧 1. 异面角：两方向向量夹角余弦取绝对值，得锐角或直角。 2. 线面角：sinθ=|方向向量·法向量|/(|方向向量||法向量|)，用正弦、取绝对值。 3. 二面角：先求两半平面法向量夹角的余弦，再结合图形确定正负号；求“两平面夹角”直接取绝对值。 4. 建系后写出各点坐标，方向向量、法向量“对棱、对面”各取两个不共线向量。 易错分析 1. 线面角误用余弦，公式中是正弦；异面角、线面角忘记取绝对值； 2. 二面角不看图形，直接把法向量夹角当成二面角，锐钝颠倒； 3. 法向量算错（叉乘顺序、符号），导致全盘皆错。 知识点10 空间距离的向量求法 方法技巧 1. 点面距 d=|PQ·n|/|n|：Q 是平面内任一点，关键是求对法向量。 2. 线面距、面面距都转化为点面距，取“面上任一点”。 3. 等体积法是求点面距的重要补充：换底后用 V=(1/3)Sh 列方程。 易错分析 1. 公式中向量 PQ 必须连接平面外一点与平面内一点，不能两点都在平面外； 2. 忘记除以法向量的模； 3. 等体积法中底面积与高不对应，换底后高要垂直于新底面。 知识点11 立体几何中的向量方法综合应用 方法技巧 1. 动点问题：设动点参数（如 F 在棱上设 F=P+t向量PC），把平行、垂直条件转化为含参数的方程求解，并验证参数在允许范围内。 2. 折叠问题：折叠前后同一平面内的线段长度、垂直关系不变，抓住“折痕”两侧仍垂直于折痕的线段确定二面角。 3. 开放条件题：分别检验各条件能否唯一确定几何体，选定后再按标准流程求解。 4. 向量法解题“四步走”：建系 → 求点坐标与方向向量、法向量 → 代入公式 → 结合几何意义作答。 易错分析 1. 动点参数未检验取值范围（如 t∈[0,1]），把棱外的点当作解； 2. 折叠后误把折前的空间关系照搬，忽略垂直关系是否被折痕保持； 3. 综合题中第(1)问的结论未用于第(2)问，重复建系、增加运算量。 考 点 演 练 题型1 空间向量的加减运算 【典例1】已知，，，则的坐标为（　　） A．（10，3，1） B．（﹣9，﹣3，0） C．（0，2，﹣1） D．（9，3，0） 【变式1】已知空间向量，则下列结论正确的是（　　） A．向量在向量上的投影向量是 B． C． D． 题型2 空间向量的数乘及线性运算 【典例1】定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（　　） A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，﹣1）∈Ω C．（1，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω 【变式1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段AC1上的一点，且AP＝2PC1，设，则（　　） A． B． C． D． 题型3 空间向量的共线与共面 【典例1】已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D．9 【变式1】已知四点共面，则xy的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 题型4 空间向量的数量积运算 【典例1】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1＝CB＝4，AC⊥CB，且D为AB的中点，，则DE的长为（　　） A． B． C． D．5 【变式1】已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，若点P满足，则（　　） A． B． C． D． 题型5 空间向量基本定理及空间向量的基底 【典例1】已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1】若和都为基底，则不可以为（　　） A． B． C． D． 题型6 空间向量基底表示空间向量 【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则用基底表示向量为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，，，则可表示为（　　） A． B． C． D． 题型7 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 【典例1】已知，，表示共面的三个单位向量，⊥，那么（）•（）的取值范围是（　　） A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[1，1] D．[1，1] 【变式1】已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：（aybz﹣azby）（azbx﹣axbz）（axby﹣aybx）（，，），其中行列式计算表示为，若向量，则（　　） A．（﹣4，﹣8，﹣1） B．（﹣1，4，﹣8） C．（﹣2，8，﹣1） D．（﹣1，﹣4，﹣8） 题型8 空间直角坐标系 【典例1】在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中任意一点P（x，y，z），则下列叙述错误的是（　　） A．点P关于x轴的对称点是P1（x，﹣y，﹣z） B．点P关于平面yOz的对称点是P2（﹣x，y，z） C．点P关于y轴的对称点是P3（x，﹣y，z） D．点P关于原点的对称点是P4（﹣x，﹣y，﹣z） 【变式1】在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6） 题型9 空间两点间的距离公式 【典例1】坐标空间中有一点A（6，8，﹣8），试问在x轴、y轴、z轴这三条坐标轴上，总共有几个点与点A的距离等于10？（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 E．6 【变式1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型10 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】已知空间向量，满足（1，2，3），（0，﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1 【变式1】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，点P满足，则下列说法正确的是（　　） A．若λ＝1，μ＝0，则三棱锥P﹣BEC外接球的表面积为 B．若，则异面直线CP与B1F所成角的余弦值为 C．若λ+μ＝1，则△PEF面积的最小值为 D．若存在实数x，y使得，则D1P的最小值为 题型11 空间向量数量积的坐标表示 【典例1】人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0（x0，y0，z0），且以（a，b，c）（abc≠0）为法向量，设P（x，y，z）是平面α内的任意一点，由，可得a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x+2y+z﹣7＝0，直线l的方向向量为（1，2，﹣2），则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1＝C1D1＝2，C1B1＝1，点P为线段BC1上一动点，则的最小值为　 　 ． 题型12 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 【典例1】已知向量，，（﹣m，3m，m﹣3），平面ABC的法向量，若⊥，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知向量，，若，则实数x+y＝　 　 ． 题型13 空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 【典例1】经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量 的直线方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x﹣2y﹣5＝0 D．2x+3y﹣5＝0 【变式1】下列说法正确的有（　　） A．直线x+2y﹣1＝0的一个方向向量为 B．两个平面的夹角的范围是[0，π] C．数据25，32，33，40，45的第70百分位数为40 D．用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果时，R2越大，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越好 题型14 空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 【典例1】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点，则（　　） A．MN//D1C1 B．D1N⊥CM C．点P在正方形A1B1C1D1内，当DP//平面B1MN时，P点轨迹长度为 D．点P在棱DD1所在直线上，当BP⊥平面B1MN时，四面体P﹣DCN的外接球表面积为 【变式1】在△ABC中，∠ACB，AC＝4，BC＝2，M为AC的中点，如图，沿BM将△CMB翻折至△DMB位置，满足DA． （1）证明：平面DMB⊥平面ABM； （2）线段AB上是否存在点P，使得P在平面DAM内的射影恰好落在直线DM上．若存在，求出AP的长度；若不存在，请说明理由． 题型15 空间中点到平面的距离 【典例1】在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则点P到平面OBC的距离为（　　） A．5 B． C． D． 【变式1】已知三棱锥P﹣ABC各个顶点都在半径为的球O的球面上，且PA＝PB＝PC，，∠ABC＝90°，则球心O到平面ABC的距离为（　　） A． B． C．3 D． 题型16 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 【典例1】空间内有三点P（4，0，﹣4），E（3，0，1），F（2，1，2），则点P到直线EF的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则点D到直线C1E的距离为（　　） A． B． C． D． 题型17 空间中两平行平面间的距离及平行于平面的直线到平面的距离 【典例1】正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（　　） A．直线AE与CF是异面直线 B．平面ABF⊥平面ABE C．该几何体的体积为 D．平面ABE与平面DCF间的距离为 【变式1】已知平面α1，α2，α3，α4分别过正四面体的四个顶点，且平面α1，α2，α3，α4相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则d＝　 　 ． 题型18 空间向量的夹角与距离求解公式 【典例1】设平面α与长方体的六个面的夹角分别为θi（i＝1，2，…，6），则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 题型19 空间向量法求解直线与平面所成的角 【典例1】已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过点A且与A1C垂直的平面为α，则AC1与平面α成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，高为，点M为棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正切值为（　　） A． B． C．1 D． 题型20 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 【典例1】如图，已知点A、B、C、D在表面积为12π的球O的球面上，且O∈BD，OA⊥平面BCD，点E为BC中点，当二面角A﹣BC﹣D的大小为时，则有（　　） A．异面直线AE和CD所成角的大小为 B．直线EA与平面ABD所成角的大小为 C． D．△BED的面积为 【变式1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝PD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为PB的中点． （1）求证：BD⊥平面PAD； （2）求平面ACE与平面PCD夹角的余弦值． 过 关 验 收 1．如图，在三棱锥A﹣BCD中，（　　） A． B． C． D． 2．如图，在四面体O﹣ABC中，，，，且，，则（　　） A． B． C． D． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，，，若D1，E，F，G四点共面，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 4．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M为A1C1的中点，，则（　　） A． B． C． D． 6．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（　　） A． B． C． D． 7．△ABC中，D为AB边的中点，，，，则（　　） A． B． C． D． 8．空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则点P关于x轴对称的点的坐标为　 　 ． 9．在棱长为8的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，F为线段BD1上的一个动点，则|EF|的最小值为（　　） A． B．2 C．4 D． 10．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，，SA＝AC＝2，AB＝1，，，过点M，P的平面与AC交于点N，NP⊥BS，则MN＝　 　 ． 11．已知向量（﹣2，﹣3，1），（2，0，4），（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（　　） A．， B．∥， C．∥， D．以上都不对 12．点A（2，1，1）是直线l上一点，（1，0，0）是直线l的一个方向向量，则点P（1，2，0）到直线l的距离是 　 　 ． 13．在空间直角坐标系中，平面α经过点P0（1，2，1），且以为法向量，则平面α内任意一点P（x，y，z）满足（　　） A．2x+y+z﹣5＝0 B．x+2y+z﹣5＝0 C．2x+y+z﹣7＝0 D．x+y+2z﹣7＝0 14．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A，B，C，D为该正方体的顶点，AA1，BB1，CC1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面α．若平面ABC与平面α平行，且直绳索AA1的长度为米，则点D到平面α的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，AB＝AA1＝4． （1）求证：A1B∥平面ADC1； （2）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1； （3）求直线A1B到平面ADC1的距离． 16．已知向量，则（　　） A． B． C． D． 17．如图，AB为圆柱OO1的一条母线，BC是下底面圆的直径，弦DE与BC交于点M．已知圆柱的高为1，侧面积为．若，且M恰为DE的中点，则直线AM与平面ABE所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且CA＝CB＝6，，若直线CC1与平面ABC所成的角为60°，则的最小值为　 　 ． 19．已知菱形ABCD的边长为1，，将△ACD沿AC折起，得到三棱锥D′﹣ABC，当平面ABD′⊥平面BCD′时，平面ABC与平面ACD′所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 20．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO＝λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α1，α2，α3，α4，则下列各式为常数的是（　　） ①cotα1+cotα2 ②cotα1+cotα3 ③cotα2+cotα3 ④cotα2+cotα4 A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 学科网（北京）股份有限公司 $