31讲 立体几何 二面角·垂面法讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 二面角不是“两个面的夹角”，而是一条棱上的平面角。本讲只练：找（或作）与棱垂直的截面，把二面角搬进一个三角形。

二面角的定义只有三句话：以棱上一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成的角就是二面角的平面角。定义里“垂直于棱”出现了两次，这就是本讲的入口。

用坐标求二面角，算的是两个法向量的夹角；难的是最后一步——它可能是二面角，也可能是补角，算完还得看图定锐钝。垂面法不绕这一圈：截面与棱垂直，角画在图上，锐钝一眼可见。

本讲只练一个动作： 先找棱的垂面 。截面一落下，二面角就变成三角形里的一个角，剩下的是勾股或余弦定理。

02  识别

不是所有二面角都值得找截面。两个面都很“斜”、棱上没有任何现成的垂线时，建系反而更稳。出现下面三个信号，再动手切。

信号一 · 棱上有现成的垂足。 两个面里各有一条与棱垂直的线，而且恰好交于棱上同一点。最常见的是等腰三角形的底边中线： 时，取 的中点 ，则 。两个中点都成为垂足，前提是两个面都是以这条棱为底边的等腰三角形；只有一个面等腰时，另一个面的中线并不垂直于棱。

信号二 · 棱被一条垂线“钉住”。 题面已有一条线垂直于某个平面，而棱在这个平面内。正方体里 ，，于是 平面 ，这个对角面就是 的垂面。

信号三 · 题面给了二面角的度数。 角已知，求长度或体积，截面三角形里就多了一个已知角；把角翻译成边，往往一条正切就够。

图 1: 找棱垂面的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 圈棱：在二面角记号 里，把中间那条 圈出来。 第 2 步 找垂线：在每个面内各找一条与 垂直的线；优先等腰三角形的中线、正方形或菱形的对角线、题面给出的垂线。 第 3 步 对齐：两条垂线必须落在 上同一点；落不到同一点，就过其中一条作 的垂面。 第 4 步 量三角形：两条垂线与连接端点的线段组成三角形；用勾股或余弦定理，钝角保留负号。

03  双解对照

两条路的分岔口不在“会不会算”，而在“要不要先写两个法向量”。

例题 · 斜棱上的二面角 在四棱锥 中，，，，。求二面角 的余弦值。

先把题干里的“免费信息”读出来。 由 得 ；由 与 得 。于是 平面 ，所以 ，底面 是矩形。设 ，则 ，： 是等腰直角三角形， 是等边三角形。

常规解 · 算：求两个法向量 第一步，建系。 因为 ， 平面 ，所以 、、 两两垂直。以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴，则 第二步，求平面 的法向量。 平面 就是 ，取 。 第三步，求平面 的法向量。 ，。设 ，由 ，，取 。于是 第四步，定符号。 上式是两个平面的锐夹角。由图知二面角 是钝角，所以其余弦值为 。

图 2: 取 中点 ，两条中线都垂直于