空间向量与立体几何：二面角问题4种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量与立体几何中的二面角问题，覆盖几何法、向量法、已知二面角求参数、最值与范围四大高频考点，按方法逻辑与题型难度递进组织知识体系。通过核心知识点解析、典型例题精讲、变式训练巩固的教学流程，帮助学生系统掌握二面角求解方法，突破空间想象与逻辑推理难点。 讲义特色在于融合几何直观与代数运算，注重数学思维的培养和数学语言的规范表达。例如向量法求二面角时，通过“建系-求向量-设法向量-算夹角-判锐钝”的标准步骤训练，强化逻辑推理能力，已知二面角问题中，引导学生用方程思想建立参数关系，提升模型意识。设置分层例题与变式题，确保复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：二面角问题4种高频考点复习讲义 考点目录 几何法求二面角 二面角的向量求法 已知二面角求其他量问题 二面角的最值与范围问题 考点一 几何法求二面角 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 作出二面角平面角三种常用方法 ① 定义法：棱上取点，两面内分别作棱的垂线； ② 三垂线定理法（最常用） 过面内一点向另一平面作垂线，垂足向棱作垂线，连线形成平面角； ③ 垂面法：作垂直于棱的平面，平面与两个面交线夹角即为平面角。 1. 必备依据：面面垂直判定与性质、线面垂直； 1. 算出平面角后，放在三角形中，用勾股定理、正余弦定理求解角度。 二、解题原理 1. 核心关键：寻找棱的垂线；优先寻找面面垂直结构，方便作点到平面的垂线； 1. 作图顺序：找点→作面的垂线→作棱的垂线→连接，标出平面角； 1. 解三角形求出三角函数值； 1. 肉眼预判二面角是锐角还是钝角，确定最终角度； 1. 局限：几何体复杂、难以作出垂线时，改用空间向量。 【例题分析】 例1．（2026·湖南长沙·一模）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明：记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 【点睛】 例2．（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 例3．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明线面平行； （2）利用正方体的性质，结合已知条件，利用几何法或向量法，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得. 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，. 在中，， 则二面角的正弦值为. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点为，连接， 由，所以， 又为正三角形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）作于，作交于，根据二面角的定义可得是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）略 （2）作于，作交于， 所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，， 所以，又为正三角形， 所以，所以为的中点， 所以，所以， 又，所以，所以为的中点， 所以，又是以为斜边的直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理有： ， 所以. 变式2．（2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又// ，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故 面，又面，故面 面. (2). 【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明 面，再证面 面； （2）过 作垂足为 ，过 作垂足为 ，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）因为，故 为上靠近 的三等分点， 过 作垂足为 ，过 作垂足为 ，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故 //，又 面，故面，又面， 则，又，面，故面，又 面，故 ； 又面面，，面面， 故即为平面 与平面的夹角； 在三角形 中，因为 为上靠近 的三等分点，又// ，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面 与平面的夹角的正弦值为. 变式3．（2025·浙江·三模）如图，已知四棱台的体积为，底面为等腰梯形，，，，平面，且与相交于点E. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) 在等腰梯形中，，由等腰梯形的几何性质可知， 所以，， 因为， 由余弦定理可得， 即，可得， 故，所以，故， 又因为平面，平面，故， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求得的值，可求得的长，结合勾股定理可得出，由平面可得出，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立； （2）利用台体体积公式求出的长，取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，结合二面角的定义可知即为平面与平面的夹角，计算出、的长，即可求出的余弦值，即为所求. 【详解】（1）略 （2）设，由（1）可知，且， 故，则， 所以， ， 易知梯形梯形，且相似比为， 故， 由题可知棱台的体积为，解得. 取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，如下图所示： 因为，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 故即为平面与平面的夹角. 由等腰梯形的几何性质可知，， 因为，所以， 因为，故， 因为，所以，故，， 所以， 因为平面，平面，所以， 故，所以， 又因为，故， 因为平面，平面，所以， 则， 所以. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 考点二 二面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 平面 法向量 ，平面 法向量 1. 重要结论 · 若二面角为锐角/直角：二面角 或其补角中锐角； · 若二面角为钝角：取钝角； 👉 必须看图判断二面角实际是锐角还是钝角，不能直接照搬向量夹角！ 1. 标准步骤 ① 建空间直角坐标系； ② 分别求两个平面内两组相交向量； ③ 联立方程求出两个平面法向量； ④ 计算法向量夹角余弦； ⑤ 结合图形取舍，确定二面角余弦值。 二、解题原理 1. 适合：棱柱、棱锥、存在三条两两垂直棱的立体； 1. 求法向量技巧：自由赋值消元，只需要一组法向量； 1. 符号易错点：点积算出正数不代表二面角一定锐角，图形优先； 1. 答题规范：先算出法向量夹角，再写明“由图可知二面角为锐/钝角，故……“； 1. 区分对比： 线面角要加绝对值求正弦；二面角不直接套绝对值，依靠图像判定符号。 【例题分析】 例1．（2026·上海浦东新区·三模）如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 【答案】(1)侧面积（母线长）． 圆台高． 建系：，． 上底面圆方程为（平面）． 下底面圆方程为（平面）． 是圆的弦，，圆半径， 由． 即弦对应的圆心角为． 不妨取，． （此时，，验证正确）． 是圆台母线：母线上、下端点在两底面的对应方位角相同． 即若在圆上方位角为，则在圆上同方位角处， ，． 时，在的垂直平分面上． 中点，垂直平分面为． 在圆上且满足． 取，对应． ，． ，故．证毕． (2) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，利用向量的数量积证垂直； （2）先求出两平面的法向量，再根据面面角向量法计算可解. 【详解】（1）略 （2）是圆的直径，故与关于对称， ，． 在圆上与同方位：． 平面：三点，，均在平面上（上底面所在平面）， 故平面的法向量（竖直向上）． 平面：设其法向量为． ，． 两式相减：．代入第二式：． 取，得． 二面角的余弦：． ． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，已知. (1)已知，求异面直线与夹角的余弦值； (2)已知，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，. 因为，所以，即两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与的夹角为， 则， 即异面直线与夹角的余弦值为. （2）取，中点，，连接， 中，，， 则为等边三角形，所以. 直三棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，，则两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设平面与平面的夹角为， 则， 又，所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 例3．（2026·河北保定·三模）如图，在直三棱柱 中， P，M，N分别是 的中点.    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由直三棱柱中得到平面，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，从而得到，又利用平行的传递性得到，从而利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到. （2）建系找点坐标，求平面内向量，求解两个半平面的法向量，利用法向量夹角公式求余弦值，结合三角恒等变换求正弦值. 【详解】（1）直三棱柱中，平面， 平面， ， 又 ， ，平面，平面， 平面， 平面，， 又 ，， 由，可知是边长为的正方形，， 是的中点，是的中点，, ，，， 平面，平面，，， 平面，平面，平面， 平面，. （2）由（1）知，，， 以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是中点，， 是中点，， ，， 设平面的法向量为 ， 则，令，则，，则， ， 设平面的法向量为 ， 则，令，则，，， 设二面角的平面角为，该二面角为锐角， 则， 则.    【变式训练】 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在正四棱台中，，． (1)求； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过线面垂直得到线线垂直，结合向量的数量积，根据勾股定理进行求解； （2）将二面角转化为两个平面的法向量的夹角，结合向量的数量积和三角函数恒等式进行求解. 【详解】（1）连接分别取的中点O，，连接，以O为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，底面 ABCD， 设棱台的高为h，由，得，，，， 所以， 因为OB，底面 ABCD， 所以，， 因为，所以解得， 所以. （2）由(1)可得，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，代入可得， 令，则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，代入可， 令，则，， 所以                                     设二面角的平面角为， 则，                                                      因为，所以， 故二面角的正弦值为 变式2．（2026·甘肃白银·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，与相交于点，． (1)证明：； (2)设，且，若点到底面距离为2，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取的中点为，建立空间直角坐标系，不妨设，，根据可得，利用空间向量证明线线垂直； （2）根据题意结合（1）中坐标可得，，求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）取的中点为，连接，则， 以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，， 可得，， 设，， 则， 因为，则，可得， 即，则， 可得，所以. （2）若点到底面距离为2，则，即， 则，， 因为，即，则，解得， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. 变式3．（2026·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) 见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接、，根据题意，得平面，由线面垂直即可得到线线垂直；   （2）根据题意建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接 ，如图所示： 因为底面为菱形，所以， 且为和的中点，又为线段的中点，所以， 又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2）设的中点为，连接，， 因为底面为菱形，且，， 所以，，均为等边三角形， 所以，，又，，平面，所以平面， 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由上得，又， 所以， 又，所以 故点在平面中的投影在的延长线上， 所以，， 由，得，， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则有，取，则， 设平面的法向量， 则有，取，则， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 考点三 已知二面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 题型特征：题干给出二面角大小，反向求解：线段长度、动点坐标、参数、线段比值、点的位置。 两条解题路径： 1. 几何路径：作出二面角平面角，构造三角形建立边长方程； 2. 向量路径：将二面角的余弦作为已知条件，代入法向量夹角公式，建立含参数方程。 二、解题原理 1. 几何法：利用平面角构造 或斜三角形，设边长，使用余弦定理列等式； 1. 向量法（主流）： 设参数写出点坐标 → 求含参数法向量 → 利用已知二面角的余弦建立方程； 1. 求出参数后检验：检验动点位置是否符合几何体约束，舍去不合理解； 1. 若二面角没有指明锐钝，一般存在两组解。 【例题分析】 例1．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，四棱锥中，底面. (1)证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：在四棱锥中，由平面 平面，得 ， 由，得，则， 而平面，所以平面. (2). 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）设，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面的方向量，结合二面角的向量求法求出，再根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，可设，则， 过点作，由平面，得平面， 则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是 设平面的法向量， 则 取，得， 又，设平面 的法向量， 则 取，得， 所以，解得. 则， 易知，则， 于是， 所以， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 例2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. (1)若，，，四点共面，求的值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量共线和四点共面建立关于参数的方程并求解判断线段比例； （2）求解两个面的向量法进而求空间角的余弦值，进而建立关于的方程求解即可. 【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直. 在平面内作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，则，，，，， ，，. 又，分别为，的中点，，. 设平面的法向量为， 则,可取. 又，，共面，，即，解得. . （2），. 设平面的法向量为， 则,可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得， . 【变式训练】 变式1．（2026·河南焦作·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】(1)先证平面，结合面面垂直的判定即可证明； (2)建立空间直角坐标系，设，，再分别求出平面和平面的法向量，列方程求解即可． 【详解】（1）底面，底面， ， 又，且，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）由（1）知平面，又平面， ，，， 又底面， 故以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，，， 则， 设， 则， 设平面的法向量为，， 则，令，则， 设平面的法向量为，， 则，令，则， 平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点为靠近的三等分点． 变式2．（2026·广西南宁·二模）在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． (1)证明：平面平面． (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以， 因为四边形是菱形，所以，， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)9 【详解】（1）略 （2）设与交于点，以为原点，分别为轴，过点平行为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， 所以，取平面的法向量， 所以，解得，故. 考点四 二面角的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 取值范围：二面角 两面重合； 两面反向共面； 为直二面角（面面垂直）。 1. 常见模型 ① 一条棱固定，一个平面固定，另一个平面绕棱旋转，二面角连续变化； ② 平面内存在动点，引发二面角连续改变。 1. 向量转化思路： 把 写成关于参数的函数，借助函数值域分析角度范围。 二、解题原理 1. 几何分析：观察旋转的临界位置，找到二面角最大值、最小值； 1. 向量通用解法： 建立坐标系，设动点参数，表达出两个平面法向量，得到 ； 利用函数单调性求出 范围，结合 在 单调递减，反推出 范围； 1. 临界捕捉： 面面平行、面面垂直、动点极限位置往往是区间端点； 1. 单调性要点：，余弦越大，角度越小；余弦越小，角度越大。 【例题分析】 例1．（2026·福建·三模）如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为. (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】 （1）取中点,连接，通过几何法分别证明，，则有面，从而得到平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系,由平面平面，可得的投影在线段上，列出点坐标，分别计算出平面与平面的法向量即可求解. 【详解】（1） ，，     且 又，且， 在中， ， 在中，，即. 取中点O，连接， ，且 又底面为直角梯形，， 解得，即为四棱锥的高，面， 面， 又，面，面 又面，平面平面 （2） 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 平面平面，的投影在线段上， 结合（1）可设，，， 则，， 设面的一个法向量为， 则，即， 令，则 由（1）知，是面的一个法向量， 所以 ，当时， 有最大值为. 即平面与平面夹角余弦值的最大值为. 例2．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：// 平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为分别是和的中点，所以，且. 因为和都垂直于平面，且，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以// 平面． (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，由中位线定理及线面垂直的性质定理可得四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证得// 平面； （2）由四棱锥的体积为3，可求得点到平面的距离为.建立空间直角坐标系，设平面与平面所成的锐二面角大小为，根据面面角的向量求法将表示为的函数，结合二次函数的最值求法，可得的最大值. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 则，为． 由于平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过且垂直于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，由，得， 令，得，因此平面的一个法向量． 由于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角大小为， 则. 因为，当且仅当时，等号成立； 所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值为． 【变式训练】 变式1．（2026·山西太原·二模）如图，三棱锥中，. (1)若，求三棱锥的体积； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可证平面，结合面积公式求三棱锥的体积； （2）建系并标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角，进而分析其取值范围. 【详解】（1）因为， 则，可得， 且，即，则， 又因为，即，则， 且，平面，则平面， 又因为，且，则， 可得的面积为， 所以三棱锥的体积. （2）过点作，垂足为， 以为原点，所在直线分别为轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 可得， 过点作平面，垂足为，由直线与平面所成的角为， 可得， 设为在平面内射线从轴的非负半轴开始， 绕点按逆时针方向旋转至时的旋转角， 则， 可得，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，可得， 由题意可知：是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 令，则， 可得在上单调递增，且，， 则，即， 又因为，则， 所以平面与平面夹角的取值范围为. 变式2．（2026·云南曲靖·一模）已知棱长为的正方体，分别是线段和上的两个点，且与不同时重合. (1)证明：平面； (2)当四点共面时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明如下： 由题意可知平面平面， 又因为平面， 所以直线与平面没有交点， 所以平面； (2). 【分析】（1）根据平面平面，平面，从而可得直线与平面没有交点，即可得证； （2）利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，四点共面， 由面面平行的性质可知， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的坐标系： 则有， 因为平面， 所以取平面的法向量为, 设， 所以， 又因为且, 所以， 所以， 设平面的法向量， 则， 从而得，取，则， 设平面与平面的夹角为， 所以， 因为，所以， 所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：二面角问题4种高频考点复习讲义 考点目录 几何法求二面角 二面角的向量求法 已知二面角求其他量问题 二面角的最值与范围问题 考点一 几何法求二面角 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 作出二面角平面角三种常用方法 ① 定义法：棱上取点，两面内分别作棱的垂线； ② 三垂线定理法（最常用） 过面内一点向另一平面作垂线，垂足向棱作垂线，连线形成平面角； ③ 垂面法：作垂直于棱的平面，平面与两个面交线夹角即为平面角。 1. 必备依据：面面垂直判定与性质、线面垂直； 1. 算出平面角后，放在三角形中，用勾股定理、正余弦定理求解角度。 二、解题原理 1. 核心关键：寻找棱的垂线；优先寻找面面垂直结构，方便作点到平面的垂线； 1. 作图顺序：找点→作面的垂线→作棱的垂线→连接，标出平面角； 1. 解三角形求出三角函数值； 1. 肉眼预判二面角是锐角还是钝角，确定最终角度； 1. 局限：几何体复杂、难以作出垂线时，改用空间向量。 【例题分析】 例1．（2026·湖南长沙·一模）如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 例2．（2026·河南开封·模拟预测）如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 例3．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南浙江·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 变式2．（2026·云南昭通·二模）如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 变式3．（2025·浙江·三模）如图，已知四棱台的体积为，底面为等腰梯形，，，，平面，且与相交于点E. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 考点二 二面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式 平面 法向量 ，平面 法向量 1. 重要结论 · 若二面角为锐角/直角：二面角 或其补角中锐角； · 若二面角为钝角：取钝角； 👉 必须看图判断二面角实际是锐角还是钝角，不能直接照搬向量夹角！ 1. 标准步骤 ① 建空间直角坐标系； ② 分别求两个平面内两组相交向量； ③ 联立方程求出两个平面法向量； ④ 计算法向量夹角余弦； ⑤ 结合图形取舍，确定二面角余弦值。 二、解题原理 1. 适合：棱柱、棱锥、存在三条两两垂直棱的立体； 1. 求法向量技巧：自由赋值消元，只需要一组法向量； 1. 符号易错点：点积算出正数不代表二面角一定锐角，图形优先； 1. 答题规范：先算出法向量夹角，再写明“由图可知二面角为锐/钝角，故……“； 1. 区分对比： 线面角要加绝对值求正弦；二面角不直接套绝对值，依靠图像判定符号。 【例题分析】 例1．（2026·上海浦东新区·三模）如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，已知. (1)已知，求异面直线与夹角的余弦值； (2)已知，求平面与平面夹角的正弦值. 例3．（2026·河北保定·三模）如图，在直三棱柱 中， P，M，N分别是 的中点.    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【变式训练】 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在正四棱台中，，． (1)求； (2)求二面角的正弦值． 变式2．（2026·甘肃白银·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，与相交于点，． (1)证明：； (2)设，且，若点到底面距离为2，求二面角的正弦值． 变式3．（2026·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 考点三 已知二面角求其他量问题 【知识点解析】 一、核心知识点 题型特征：题干给出二面角大小，反向求解：线段长度、动点坐标、参数、线段比值、点的位置。 两条解题路径： 1. 几何路径：作出二面角平面角，构造三角形建立边长方程； 2. 向量路径：将二面角的余弦作为已知条件，代入法向量夹角公式，建立含参数方程。 二、解题原理 1. 几何法：利用平面角构造 或斜三角形，设边长，使用余弦定理列等式； 1. 向量法（主流）： 设参数写出点坐标 → 求含参数法向量 → 利用已知二面角的余弦建立方程； 1. 求出参数后检验：检验动点位置是否符合几何体约束，舍去不合理解； 1. 若二面角没有指明锐钝，一般存在两组解。 【例题分析】 例1．（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，四棱锥中，底面. (1)证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为为中点.求直线与平面所成角的正弦值. 例2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. (1)若，，，四点共面，求的值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【变式训练】 变式1．（2026·河南焦作·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 变式2．（2026·广西南宁·二模）在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的菱形，，平面，，且． (1)证明：平面平面． (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 考点四 二面角的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 取值范围：二面角 两面重合； 两面反向共面； 为直二面角（面面垂直）。 1. 常见模型 ① 一条棱固定，一个平面固定，另一个平面绕棱旋转，二面角连续变化； ② 平面内存在动点，引发二面角连续改变。 1. 向量转化思路： 把 写成关于参数的函数，借助函数值域分析角度范围。 二、解题原理 1. 几何分析：观察旋转的临界位置，找到二面角最大值、最小值； 1. 向量通用解法： 建立坐标系，设动点参数，表达出两个平面法向量，得到 ； 利用函数单调性求出 范围，结合 在 单调递减，反推出 范围； 1. 临界捕捉： 面面平行、面面垂直、动点极限位置往往是区间端点； 1. 单调性要点：，余弦越大，角度越小；余弦越小，角度越大。 【例题分析】 例1．（2026·福建·三模）如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为. (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值. 例2．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：// 平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【变式训练】 变式1．（2026·山西太原·二模）如图，三棱锥中，. (1)若，求三棱锥的体积； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的取值范围. 变式2．（2026·云南曲靖·一模）已知棱长为的正方体，分别是线段和上的两个点，且与不同时重合. (1)证明：平面； (2)当四点共面时，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $