空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量与立体几何核心考点，系统梳理线线角、线面角、二面角的向量求法，按定义、公式、解题步骤分层构建知识体系，通过考点解析、方法指导、真题例题及变式训练，帮助学生突破空间角计算难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出步骤化解题策略与高考真题导向，如二面角求法中结合法向量方向判断与直观图形态确定角度，培养学生数学思维与空间观念。设置基础例题与变式训练分层练习，配合即时反馈，助力学生高效构建解题框架，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法复习讲义 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 【知识点解析】 考点一 线线角的向量求法 一、核心知识点 1.定义与取值范围 异面直线平移至相交形成的锐角或直角： 范围：日e0,2 π 0<0≤90） 2.向量公式 设两条异面直线方向向量：S1,S2 线线角日取向量夹角的锐角/直角： cos0=lcos(s1,5川F51s S1'S2 3.结论判定 ·cos0=0一0=90°：两直线垂直： ·算出余弦值恒非负，角度永远不取钝角。 二、解题原理（步骤） 1.在两条直线上各任取两点，求出各自方向向量S1,S2: 2027届高三数学一轮复习讲义 2.套用向量夹角公式，加上绝对值算出余弦值； 3.表示角度的余弦值，或直接写出特殊角(30°，45°，60°，90°)； 4.易错约束：无论向量夹角是锐角还是钝角，线线角一律取其补角中较小的那个（即保证结果锐角或直 角)。 2027届高三数学一轮复习讲义 【例题分析】 。(2026山东日照模拟预测)如图，在四边形4BCD中，∠1=∠C=2?B=4’D=3CD △ABD沿着BD折叠到△PBD,使得PC=2, D P(4) B (1)求证：PB⊥CD: (2)求点P到平面BCD的距离； (3)求异面直线PD与BC所成角的正弦值. 例2.(2026：广东广州三模)如图1，已知四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，点E,F分别为边AB,AD 的中点，将△AEF,△BCE,△DCF分别沿EF,CE,CF折起，使得A,B,D三点重合于点O得到三棱锥如图 2. D E 图1 图2 (1)证明：EF⊥OC: (②考E0=0F.0丽-0c,求直线O0与直线EH所成角的余弦值 2027届高三数学一轮复习讲义 例3.(2026广东中山三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AB=BC=2AD=2, AD/IBC,∠DAB=90°以AC为直径的球面分别交PB，,PC于M,N两点(M,N异于所在棱端点)· M D B (I)证明：AM⊥平面PBC: (2)求异面直线MN与CD的夹角： (3)求三棱锥C-MND的体积， 【变式训练】 变式1.(25-26高三上四川成都期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱 PA=PD=√ ABCD ,底面 )为直角梯形，其中BC1AD,4B⊥MD,D=21B=2BC=2,0为4D中点 (I)求证：PO⊥平面ABCD: (2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值， 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026江苏徐州模拟预测)如图，在三棱台 4BC-4BG中，B1L8C,平面48BM1平面48C,二面 角 -BC-A 的大小为45°，AB=2.BC=AB=A4=1 B A AA⊥ (1)求证： 平面ABC; (2)求异面直线 A与BC 成角的余弦值。 变式3.(2026·云南玉溪模拟预测)如图，在直三棱柱 BC-ABC中，D,B,F分别是 BC,BB,AA 的中点， AD⊥DC E B 1)证明：ADL平面 BCCB ； AD=BC=CC (2)若 求异面直线CE与8F。 所成角的余弦值. 2027届高三数学一轮复习讲义 2027届高三数学一轮复习讲义 考点二 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1.定义与范围 直线与其在平面内投影的夹角： 范围：0e0,2 0≤0≤90) 2.向量推导关系 设：直线方向向量S,平面法向量n 直线与平面夹角6和(s,n)互余： 0=90°-(s,n(锐角情形) 最终计算公式： sin0=lcos(s,n)=snl Isl.nl 3.特殊情况 ·sin0=0一0=0°：直线平行于平面/在平面内； ·sin0=1一0=90°：直线垂直平面。 2027届高三数学一轮复习讲义 二、解题原理（标准步骤） 1.求直线方向向量S: 2.求目标平面的法向量n: 3.计算方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，等于线面角的正弦值： 4.由sin8求出线面角大小。 【例题分析】 例1.(2026山西晋城三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E,F 分别是BC和A的中点. D B E (I)求证：EF/平面PCD., (2)求直线PB与平面EFD所成角的正弦值. 例2.(2026江西九江·模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,∠BAD=90,AB=AD=1,BC=2.将 △ABD沿BD翻折，得到空间四边形PBCD,且满足PB⊥CD. 8 2027届高三数学一轮复习讲义 E B (I)证明：平面PBD⊥平面BCD: (2)若点E为棱PD上一点，且PE=2ED,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 9 2027届高三数学一轮复习讲义 例3.(2026山东济南模拟预测)如图，在长方体 BCD-4BCD中，DA=2,DC=4,DD=5,点M为 AD 的中点，点N为MD的中点 D A,」 B B (I)证明：MD⊥平面ABN； (②)若点P为CD的中点，求直线AP与平面MCD所成角的正弦值. 【变式训练】 变式1.(2026山东济南三模)如图，在三棱台 8C-4BC中，M+平面4BC.BL4C,且 AC=2AC=2 AA=2 A B B ABC⊥ (1)证明：平面 ABC 平面 ②若4B=4,求直线4C与平面 BCCB 所成角的正弦值. 10 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026河北模拟预测)在△ABC中，AB LAC,AC=4,AB=2,D为AC的中点，M为BD中点，如 图，沿BD将△AB 翻折至△PB 的位置，使点1落到点P的位置，P℃=25 M B (I)求证：PM⊥平面ABC; (2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 变式3.(2026新疆二模)如图，在直三棱柱 BC-A8C中，ABL4CB=4C=4=1 A B A. B AC⊥ ABC (1)求证： 平面 ABC (2)设点A关于平面 的对称点为M,求直线MB与平面ABC所成角的正弦值. 11 2027届高三数学一轮复习讲义 考点三 二面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1.定义与范围 两个半平面形成的面面角：范围：6∈[0，π](0°≤0≤180°) 2.核心公式 设两个平面的法向量分别为n1,n2 二面角大小=两个法向量的夹角或其补角 n'n2 cos(m,n2)=n 3.正负判断（必考难点) ① c0s>0:法向量夹角为锐角： ②c05<0:法向量夹角为钝角： 结合二面角实际开合形态判定： ·两个法向量同时指向二面角内部/同时向外：二面角=π-(n1,n2) ·两个法向量一个朝内、一个朝外：二面角=(n1,n2) 简便应试结论：看原图二面角是锐角还是钝角，匹配余弦正负即可。 12 2027届高三数学一轮复习讲义 二、解题原理（步骤) 1.分别求出两个平面的法向量n1,n2: 2.计算两法向量夹角的余弦值： 3.观察几何体直观图，判断二面角是锐角还是钝角： 4.确定最终二面角大小：取夹角或补角。 1 13 2027届高三数学一轮复习讲义 【例题分析】 例1，(226重庆三模)如，图在多面体ABCDE中，4C1BC,4C=BC=24E=CE=V5,BD=1,且BD1平 面ABC,平面ACE⊥平面ABC, E D (I)求点D到平面ACE的距离； (2)求平面ACD与平面ACE所成角的余弦值. 例2.(2026河南鹤壁模拟预测)如图，三棱台 BC-4BC的下底面MBC是边长为6的正三角形，上底面 ABC 是边长为3的正三角形， M+平面8c,M=3 B C E B △ABC (1)证明： 为直角三角形： 2已知P为棱CC上一动点，D=2DC,若DE/平面8a4,求平面1DE与平面4BC 平面 ADE 夹角的余弦值. 14 2027届高三数学一轮复习讲义 BC-ABC中，△MBC为等边三角形， AB=2AA=2AB=2 例3.(2026河南开封·模拟预测)如图，在三棱台 BC=2AA⊥AB ，且 B 平面ABC AA (1)证明： BBC ABC (2)求平面 °与平面 夹角的余弦值. 【变式训练】 变式1.(2026·安徽合肥模拟预测)底面ABCD为正方形，侧面EAD垂直于底面ABCD且△EAD为正三角形， EFI‖ABAB=2EF=2 4 (I)若H为DE中点，求证：DE⊥平面ABH; (2)求平面ADE与平面BCF所成二面角的余弦值大小. 15 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026北京昌平·二模)如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2 的正方形，G为CD的中点，EF=1,AE=DE=5 D G B (I)求证：CF/1平面AEG: (2)求平面AEG与平面AED夹角的余弦值. 变式3.(2026·安徽宿州模拟预测)如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形4BCD是边长为2的正方形， M是DE的中点. 公 4 (I)求点F到平面MAB的距离： (2)求平面ABE与平面EBFD夹角的余弦值. 162027届高三数学一轮复习讲义 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法复习讲义 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与取值范围 异面直线平移至相交形成的锐角或直角； 范围： （） 1. 向量公式 设两条异面直线方向向量： 线线角 取向量夹角的锐角/直角： 1. 结论判定 · ：两直线垂直； · 算出余弦值恒非负，角度永远不取钝角。 二、解题原理（步骤） 1. 在两条直线上各任取两点，求出各自方向向量 ； 1. 套用向量夹角公式，加上绝对值算出余弦值； 1. 表示角度的余弦值，或直接写出特殊角（）； 1. 易错约束：无论向量夹角是锐角还是钝角，线线角一律取其补角中较小的那个（即保证结果为锐角或直角）。 【例题分析】 例1．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，将沿着折叠到，使得． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，，， 则，可得， 且，，平面，， 可得平面． 又因为平面，则． (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）根据等体积法可得，结合题意求点到面的距离； （3）建系并标点，求直线与的方向向量，利用空间向量求线线夹角. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为． 利用等体积法可得，即， 因为，，，平面，，所以平面． 且平面，则． 所以 ． 由勾股定理得，，则， 可得，解得， 所以点到平面的距离为． （3）由（1）（2），得平面，． 如图，以点为坐标原点，以为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，， 可得，， 设异面直线与所成的角为， 则， 可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为． 例2．（2026·广东广州·三模）如图1，已知四边形为菱形，且，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使得，，三点重合于点得到三棱锥如图2． (1)证明：； (2)若，，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法一：在图1中，连接交于点， 因四边形为菱形，且，点，分别为边，的中点， 则点是线段的中点，且， 折起后，在图2中有， 因，平面,平面， 因为平面，所以． 法二：依题意，不妨设菱形的边长为2，在图2中则有， 又因为，所以，在图2中有， 以作为基底， 所以， 因为， 则有，所以. （2）由（1）法二为基底，设向量与向量的夹角为， 因为，所以点是线段的中点， 在等边三角形中,，且， 又由于，则,, , ，所以 又因为 ． 所以， 所以直线与直线夹角的余弦值等于. 例3．（2026·广东中山·三模）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. (1)证明：平面； (2)求异面直线与的夹角； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明:由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面. 平面，故. 在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即. 又，平面，因此平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求坐标，运用向量数量积求解夹角； （3）转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积. 【详解】（1）略 （2） 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， 由题意得各点坐标. 由（1）可知，所以. 因为所以为的中点，得. ， 则，， 所以，解得，即. 得，. ， 故，因此异面直线与的夹角为. （3）由（2）可知，， 设平面的法向量为，则， 化简得 令，得，因此平面的一个法向量为. ，点到平面的距离，​ 又，，​， . 故， 三棱锥体积. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)由已知可得，，为中点， 所以，. 因为面底面，面底面，平面， 所以，平面. (2) 【分析】（1）根据已知可推得，然后即可根据面面垂直的性质定理，得出线面垂直； （2）根据已知证明，建立空间直角坐标系，得出的坐标，即可根据向量法得出答案. 【详解】（1）略 （2） 连接， 因为，为中点， 所以，. 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，且. 由已知，所以. 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以，， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 变式2．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，. (1)求证：平面ABC； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，取AB中点O，连结，利用梯形和平行四边形的相关性质得到，则，再利用线面垂直的判定即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求出两异面直线所在的方向向量，然后利用空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，平面平面ABC， 平面平面，平面ABC， 所以平面， 又因为，平面. 所以，，所以是二面角的平面角， 因为二面角的大小为45°， 所以. 取AB中点O，连结， 在梯形中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 从而在三角形中，，， 所以，所以，即，所以. 又因为，平面，，所以平面. （2）以О为坐标原点，OB为x轴，平面ABC内过О平行于BC的直线为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 变式3．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别是的中点，． (1)证明：平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据三棱柱是直三棱柱，得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）由（1）得到平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱， 所以面ABC，又面ABC，则， 又因为，且，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知：平面，建立如图所示空间直角坐标系： 设AD=2，则， 所以， 设异面直线与所成的角为， 所以. 考点二 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与范围 直线与其在平面内投影的夹角； 范围： （） 1. 向量推导关系 设：直线方向向量 ，平面法向量 直线与平面夹角 和 互余： · 最终计算公式： 1. 特殊情况 · ：直线平行于平面/在平面内； · ：直线垂直平面。 二、解题原理（标准步骤） 1. 求直线方向向量 ； 1. 求目标平面的法向量 ； 1. 计算方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，等于线面角的正弦值； 1. 由 求出线面角大小。 【例题分析】 例1．（2026·山西晋城·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面分别是BC和PA的中点． (1)求证：平面PCD． (2)求直线PB与平面EFD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，作辅助线，构造平行四边形，证明结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量和法向量，进而根据线面角的向量方法求出结果. 【详解】（1）如图，取PD的中点，连接， 分别是BC和PA的中点，，且， 为平行四边形，． 平面平面平面PCD． （2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以． 设平面EFD的法向量为， 则，令，则． 设直线PB与平面EFD所成的角为， ， ∴直线PB与平面EFD所成角的正弦值为． 例2．（2026·江西九江·模拟预测）如图，在直角梯形中，．将沿翻折，得到空间四边形，且满足． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由题意可得，进而可证面，进而可证结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，，所以四边形是平行四边形， 又，所以，所以， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）因为，且，所以四边形是正方形，所以， 过作平面， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 又因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以. 例3．（2026·山东济南·模拟预测）如图，在长方体中，，，，点为的中点，点为的中点.    (1)证明：平面； (2)若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)法一：几何法 如图，连接，由题意，得，，， 在中，由勾股定理可得，所以， 所以为等腰三角形， 又为中点，所以， 在长方体中，有平面， 又平面，所以， 又，所以平面. 法二：坐标法① 如图，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 所以，， 即，， 又，所以平面. 法三：坐标法② 如图，以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量， 则，不妨令，则， 又，可得， 所以平面. (2) 【分析】（1） 法一：连接，由勾股定理求解，由线面垂直的判定定理即可证明； 法二：以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，由，，即可求解； 法三：以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，由设平面的法向量，由即可证明； （2）法一：以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，由直线与平面夹角的向量求法求解即可； 法二：连接，得到为在平面上的投影，得到即为直线与平面所成角求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一：建系法 如图，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 则，不妨令，有， 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    法二：几何法 如图，连接，在长方体中，有平面， 又平面，所以， 由（1），有，又， 所以平面， 所以为在平面上的投影， 所以即为直线与平面所成角， 由题意，在中，，又，所以， 在中，，所以， 【变式训练】 变式1．（2026·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面，，且，． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 因为，所以，故平面平面. （2）当时，则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 又因为，所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 变式2．（2026·河北·模拟预测）在中，，，，为的中点，为中点，如图，沿将翻折至的位置，使点落到点的位置，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，，为的中点，故， 所以，又是中点，所以， 在中，，， 故，， 因此，， 由可得， 在中由余弦定理得：， 在中： ， 所以，又，平面， 所以平面， (2). 【分析】（1）先证明，再根据勾股定理证明，根据线面垂直判定定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再求出直线的方向向量，结合向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 向量，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，即为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 直线与平面所成角的正弦值为． 变式3．（2026·新疆·二模）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)设点A关于平面的对称点为M，求直线MB与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】(1) 在直三棱柱中，， 而，平面， 则平面，又平面，于是， 由，得矩形为正方形，因此， 又平面， 所以平面. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助点到平面的距离公式求出点坐标，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 点到平面的距离，由点A关于平面的对称点为M， 得，令，则，解得， ，而平面的法向量， 所以直线MB与平面ABC所成角的正弦值为. 考点三 二面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与范围 两个半平面形成的面面角；范围： （） 1. 核心公式 设两个平面的法向量分别为 二面角大小 = 两个法向量的夹角 或 其补角 1. 正负判断（必考难点） ① ：法向量夹角为锐角； ② ：法向量夹角为钝角； 结合二面角实际开合形态判定： · 两个法向量同时指向二面角内部/同时向外：二面角 · 两个法向量一个朝内、一个朝外：二面角 · 简便应试结论：看原图二面角是锐角还是钝角，匹配余弦正负即可。 二、解题原理（步骤） 1. 分别求出两个平面的法向量 ； 1. 计算两法向量夹角的余弦值； 1. 观察几何体直观图，判断二面角是锐角还是钝角； 1. 确定最终二面角大小：取夹角或补角。 【例题分析】 例1．（2026·重庆·三模）如图，在多面体中，，且平面，平面平面． (1)求点D到平面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）证明平面，点D到平面的距离转化为点B到平面的距离即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 由，所以， 因为平面平面，是交线，平面， 所以平面．又平面， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 则点D到平面的距离等于点B到平面的距离，即的长， 故点D到平面的距离为2． （2）取的中点，连接， 又，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 取平面的法向量． 设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值． 例2．（2026·河南鹤壁·模拟预测）如图，三棱台的下底面是边长为6的正三角形，上底面是边长为3的正三角形，平面，． (1)证明：为直角三角形； (2)已知为棱上一动点，，若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，证明为棱的中点，进而根据正三角形的性质以及线面垂直的判定定理以及性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面夹角的余弦值. 【详解】（1）由题意，平面，则可过点作交棱于点， 则平面，又平面，得， ，为棱的中点， 方法一： 又因为为等边三角形，所以， 又 ，平面 ， 又平面 ，， 又，则，所以为直角三角形； 方法二： 是边长为6的等边三角形，所以，又， ， 又平面， ，又，， ，又，得， 所以为直角三角形； （2）以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，，， 又，所以， 因为为棱上一动点，可设． 则 设平面的法向量为， 则，即. 可取． 因为平面，所以，即． 解得，得． 又， 设平面的法向量为， 则，即， 可取． 又平面的法向量可取． 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 例3．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在三棱台中，为等边三角形，，，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质及勾股定理逆定理，根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）取的中点为，则，连接，， 三棱台中，，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，， 由，为的中点，所以， 又，所以，所以，即， 又，，，平面，所以平面； （2）由（1）可知，，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， ，，   所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）底面为正方形，侧面垂直于底面且为正三角形，，. (1)若H为中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点O点，连接，可证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面. （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，进而利用向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点O点，连接，由为正三角形，得到 又侧面垂直于底面，平面平面 所以平面，如图建立空间直角坐标系 于是，，，， 所以，， 由，得到平面. （2）利用得到 在平面中，，， 设平面的一个法向量为 则得到：， 不妨设，则 又由平面与平面垂直，，平面平面， 则平面，则为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 变式2．（2026·北京昌平·二模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明如下： 在五面体中，底面是正方形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，平面平面， 所以. 因为为中点，，所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由正方形得，利用线面平行判定推出平面，再由线面平行性质得，结合中点及边长得，证出四边形为平行四边形从而，最后用线面平行判定定理证得平面. （2）利用等腰三角形和面面垂直的性质，证明两两垂直，建立空间直角坐标系.然后分别求出平面和平面的法向量，最后用向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，作，. 因为为正方形，所以. 因为，所以. 因为，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以，即两两互相垂直. 如图建立空间直角坐标系， 则. 因此，由题可知平面的一法向量为. 设平面的法向量为. 则即 令，则.于是. 设平面与平面夹角为，则 . 变式3．（2026·安徽宿州·模拟预测）如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求解即可. （2）求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）连接，由题意得，平面，连接，交于点，则过点， 又平面，所以，， 因为四边形是正方形，所以，故两两垂直. 以点为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． （2），， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为． 易得平面，则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $