精品解析：甘肃省天水一中高一级双师班2026-2027学年度第一学期第一学段考试数学试题

天水一中高一级双师班 2026—2027 学年度第一学期 第一学段考试数学试题 命题：刘金卫　　审核：王彦焜 （满分：150 分　　时间：120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 3. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由常数代换以及基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 4. 不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】移项、通分，把分式不等式化为整式不等式，注意分母不能为零． 【解答】由 得，即，故， 它等价于 且 ，解得， 故原不等式的解集为 . 5. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 6. 已知，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差得到，可得，从而得到结果. 【详解】， 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差后配成完全平方式，判断符号，属于基础. 7. “”是“命题，为假命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题之间的关系、一元二次不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】因为命题，为假命题， 所以该命题的否定为真命题，即，为真命题， 当时，，该命题为真命题； 当时，则有，所以， 显然当能推出，但是由不一定能推出， 所以“”是“命题，为假命题”的充分不必要条件. 8. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 时，的最小值是 D. 时，的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，成立的条件是，题目没有限定，故A错误； 对选项B，由，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对选项C，因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对选项D，， 又，则，当且仅当，即时等号成立， 所以， ，即的最大值是，故D正确. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 关于 的不等式 解集为______． 【答案】或 【解析】 【详解】原不等式即 ，即 ，解得 或 ， 故解集为或 ． 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】将代数式变形，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3． 14. 已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先因式分解化简不等式，再讨论的大小解出不等式即可. 【详解】可化简为， 当时，不等式不成立； 当时，不等式可化简为， 若，则不等式解得，无两个实数解， 若，则不等式解得，要使得整数解恰有2个，那么， 若，则不等式变为，无实数解； 当时，则不等式可化简为， 解得或，整数解有无穷多个，不符合题意， 综上所述，的取值范围为，即的一个取值为4. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，． （1）求 ； （2）求 ． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 由 得 ， 由 得 或 ， 或 ， 所以． 【小问2详解】 因为 或 ，所以 ， 所以 ． 16. 已知集合，或. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集为实数集的几何意义，结合数轴列不等式组求解； （2）将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，分情况列不等式求解； 【小问1详解】 集合，或. 由可得，解得； 因此实数的取值范围为； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则 ， 当完全包含于的左半区间时，满足，解得； 当完全包含于的右半区间时，满足，解得； 综上，实数的取值范围为. 17. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价； 【答案】污水池长为30米、宽为米时，最低造价为56000元； 【解析】 【分析】设污水池的长为米，总造价为元，宽为米，得到函数求解. 【详解】设污水池的长为米，总造价为元，则宽为米． ， 当且仅当，即时等号成立． 所以设计污水池长为30米，宽为米时，总造价最低为56000元． 18. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . 【小问2详解】 ，，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【小问3详解】 ，，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 19. 从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： （1）若，求的最小值； （2）求函数的最大值； （3）若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，构造柯西不等式完成计算； （2）直接构造柯西不等式完成计算； （3）将问题转化为“”，利用柯西不等式求解出，则的取值范围可求. 【小问1详解】 由柯西不等式可得：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 的定义域为， 因为 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 当且仅当，即(符合定义域)时取等号， 所以的最大值为. 【小问3详解】 因为，，所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； 由柯西不等式可得：， 因为，所以，令， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时取等号(满足条件)， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中高一级双师班 2026—2027 学年度第一学期 第一学段考试数学试题 命题：刘金卫　　审核：王彦焜 （满分：150 分　　时间：120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 3. 已知实数、，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 4. 不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 6. 已知，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“命题，为假命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（ ） A. 64 B. 65 C. 102 D. 103 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 时，的最小值是 D. 时，的最大值是 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 关于 的不等式 解集为______． 13. 已知，则的最小值为______． 14. 已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，． （1）求 ； （2）求 ． 16. 已知集合，或. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价； 18. 已知. （1）若不等式的解集为，求的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） （3）若，，，求的最小值. 19. 从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： （1）若，求的最小值； （2）求函数的最大值； （3）若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $