精品解析：甘肃省兰州市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026—2027 学年第一学期高一年级月考 数学学科 考试时长：120 分钟 满分：150 分 命题老师：刘慧荣 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，，则. 2. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由的图象可得， 故. 3. 不等式 的解集是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项通分，将分式不等式化为整式不等式求解． 【详解】，即，即， 等价于 ，即 且 ， 解得 ． 4. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 5. 已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用被开方数恒非负，即二次函数的最小值不小于零即可求解． 【解答】已知函数 的定义域为 ，则对任意实数成立， 所以 ，即 ，解得 ， 实数 的取值范围是，故D正确. 6. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 7. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 8. 给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由空集的性质判断①②，由集合元素的互异性判断③，由集合的表示判断④. 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错误选项得 0 分．） 9. 以下四个命题中，是真命题的有 （ ） A. 若 ，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. ， D. 已知 ，，则 是 的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【详解】根据不等式的性质、含量词命题的否定、二次式的符号、充分必要条件的推理逐项判定即可． 【解答】对于A，取 ，，则 ，，， 不成立，故A错误； 对于B，含量词命题的否定应保持条件中的范围不变，即应为“，”，故B错误； 对于C，由于恒成立，故C正确； 对于D，，， 而 不能推出 ，所以 是 的必要不充分条件，故D正确． 10. 已知函数的值域是，则的定义域可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定函数的定义域是的子集，且含有，至少有一个端点值，对比选项得到答案. 【详解】函数的值域是，，， 故函数的定义域是的子集，且含有，且至少有一个端点值， 对比选项知：ACD满足条件. 故答案为：ACD 11. 下列说法正确的是 （ ） A. 与 表示同一个函数 B. 若函数 的定义域为 ，则函数的定义域为 C. 关于的方程有两正根的充要条件是 D. 设正实数满足，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同一函数的条件判断A；根据抽象函数的定义域判断B；根据方程有两正根的条件建立不等式并求解判断C；根据基本不等式判断D. 【详解】A项： 与 的对应关系不同，不是同一函数，错误； B项：的定义域为，则，即的定义域为 ； 由 得，函数的定义域为，正确； C项：关于的方程有两正根， 可得：， 解得或，错误； D项：正实数满足，由基本不等式可得：，当且仅当 时取等号，正确． 三、填空题（每题 5 分，共 15 分．） 12. 满足条件的集合的个数有______个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，可对于集合进行一一列举，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合满足， 根据集合的表示方法，可得集合可能为：，共有4个， 故答案为4个. 【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的包含关系的应用，其中解答中熟练应用集合的包含关系，准确列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13. 已知，则的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 14. 已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15. （1）设已知，，，试比较与的大小，并说明理由； （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）由． 因为，所以，且， 所以，即 ． （2）由，所以 ， 又，所以， 即，所以， 又，两边同乘（不等号方向改变）得． 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可比较大小； （2）先比较分母的大小，再利用不等式左右两边同时乘时不等号方向改变即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念，求出结果即可； （2）根据集合的包含关系，判断集合B的情况，进行分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，可得，， 所以，. 【小问2详解】 分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 18. 已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若不等式的解集为，求实数、的值； （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）， （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解为. 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数在上的增减性，可得出函数的最大值； （2）分析可知，方程的两个根分别为、，利用韦达定理可求得、的值； （3）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 当时，，函数的对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 所以当或时，取最大值， 因为，， 故当时，函数的最大值为. 【小问2详解】 不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为、， 由韦达定理可得，解得. 【小问3详解】 因为，所以不等式即为，即. 当时，不等式为，解得； 当时，，解原不等式得； 当时，不等式为，解得； 当时，，解原不等式得或； 当时，，解原不等式得或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解为. 19. 三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： （1）当时，求最小值； （2）当时，求最大值； （3）且，证明：. 【答案】（1）3 （2） （3） 因为， 所以，当且仅当即时取等号. 所以， 同理，. 所以. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号. 【解析】 【分析】（1）将函数化成，再利用三元均值不等式求和的最小值. （2）将函数化成，再利用三元均值不等式求积的最大值. （3）先利用得到，同理得到类似的式子，各式相加，再利用三元均值不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，三元均值不等式即可证明. 当且仅当即时取等号. 【小问2详解】 当时，， 当且仅当即时取等号. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年第一学期高一年级月考 数学学科 考试时长：120 分钟 满分：150 分 命题老师：刘慧荣 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，函数的图象如图所示，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 3. 不等式 的解集是 （ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 7. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错误选项得 0 分．） 9. 以下四个命题中，是真命题的有 （ ） A. 若 ，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. ， D. 已知 ，，则 是 的必要不充分条件 10. 已知函数的值域是，则的定义域可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是 （ ） A. 与 表示同一个函数 B. 若函数 的定义域为 ，则函数的定义域为 C. 关于的方程有两正根的充要条件是 D. 设正实数满足，则的最大值为 三、填空题（每题 5 分，共 15 分．） 12. 满足条件的集合的个数有______个. 13. 已知，则的最小值为_______. 14. 已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15. （1）设已知，，，试比较与的大小，并说明理由； （2）已知，，．求证：． 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 18. 已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若不等式的解集为，求实数、的值； （3）若，解关于的不等式． 19. 三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： （1）当时，求最小值； （2）当时，求最大值； （3）且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $