精品解析：江苏南京师范大学附属中学树人学校2026～2027学年度第一学期九年级数学期中练习卷

九年级数学期中练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项：是整式方程，仅含一个未知数，且未知数最高次数为2，符合要求． B选项未知数最高次数为3， C选项未知数最高次数为1， D选项是分式方程且含2个未知数，均不符合要求． 2. 函数的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过整体代换将原函数转化为标准反比例函数，利用其对称中心性质求解. 【详解】解：反比例函数（为自变量）的对称中心为. 令，则原函数化为. ∴ 该函数的对称中心满足，. 由得，解得. ∴ 原函数的对称中心为. 3. 在同一个圆中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧相等得出弦相等，推出，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，将三等分，分点为、，连接、、、， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即， 即． 4. 如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 5. 平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先确定直线的方程，设出抛物线上点的坐标，分别表示出点到直线的距离和的长度，根据题意列等式化简，即可求出的值． 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 6. 如图，经过正方形的两个顶点A，B，且与边相切，切点为E．记正方形的周长为a，的周长为b，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．作于点M，连接，，设正方形的边长为，圆的半径是x，在中，根据勾股定理求得，再根据正方形周长公式和圆的周长公式求解，比较即可求得． 【详解】解：作于点M，连接，，设正方形的边长为，圆的半径是x， ∵是的切线， ∴， ∵正方形， ∴， ∴三点共线， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题（共20分） 7. 二次函数的图象的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 8. 某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为381万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：． 9. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得 ． 【详解】解：如图，连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 【答案】 【解析】 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 12. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 整理得， ∴． ∴， 令，由，得，，代入： ， ∵， ∴的最小值为． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 14. 如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出扇形的圆心角，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长． 【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，设， 根据题意得， 解得 ， ∴， ∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为． 15. 设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用反比例函数的对称性，结合特殊四边形的判定定理，通过反证法逐一判断每个结论即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点成中心对称， ∴过原点作任意两条直线，分别交图象于A和C，B和D，可得，， ∴四边形是平行四边形，故①正确． 假设四边形是菱形，则，对角线交点为原点，设，由， 根据勾股定理得， 代入坐标，得， 化简得，方程无实数解，因此不存在这样的菱形，故②错误． ∵反比例函数关于直线对称，可找到四个点满足， 例如，四个点都在函数图象上， 此时四边形是矩形， 因此四边形可以是矩形，故③正确． ∵正方形是特殊的菱形，已经证明四边形不可能是菱形， ∴四边形不可能是正方形，故④正确． 综上，正确结论为①③④． 16. 如图，O为正六边形内部任意一点，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，正多边形的面积，掌握三角形的一条中线将面积分为相等的两部分是解题的关键． 延长交于点P，构造等边，用含有将的面积表示出来，即可求解． 【详解】解：如图，分别将延长，交于点P， 是正六边形的边， ， ， 是等边三角形， ， 是的中线， ， 同理， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共78分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 18. 如图，为的直径，为上一点，证明：． 【答案】 证明：是的直径， ， ∴为直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理．由圆周角定理得到，由勾股定理即可求解． 【详解】略 19. 解不等式：．（m为常数） 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【详解】解：当时，即， 此时不等式的解集为； 当时， 可化为：， 对应的两根为，， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 当时，即， 整理得：，此时不等式无解． 20. 某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【小问1详解】 解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 21. 已知二次函数． （1）一次函数（为常数，且）与二次函数的图像有且仅有一个公共点，求的函数表达式； （2）对于二次函数上的每一点都有一条经过它的直线且与二次函数有且仅有一个公共点．设这条直线的函数表达式为，请写出的变化规律并作简要说明． 【答案】（1）或 （2）解：的变化规律为：（其中为直线与二次函数公共点的横坐标），即随公共点横坐标的增大而均匀增大，公共点横坐标每增加，的值增加． 简要说明： 设直线与二次函数的公共点横坐标为，则该点坐标为， ∵直线经过该点， ∴，即， 联立， 整理得：， ∵直线与二次函数有且仅有一个公共点， ∴， 将代入上式，得： ， 整理得：， ∴， ∴的变化规律为：（其中为直线与二次函数公共点的横坐标），随的增大而均匀增大，公共点横坐标每增加，的值增加． 【解析】 【分析】（1）（2）根据函数图像相交的意义将问题转化为由两函数的解析式联立构成方程组，方程组的解即为两函数图像的交点坐标，再根据“有且仅有一个公共点”进一步转化为利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：联立与的解析式： ， 整理得：， ∵一次函数与二次函数的图像有且仅有一个公共点， ∴， 解得：或， ∴的函数表达式为或； 【小问2详解】 略． 22. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 23. 某校九年级开展了“手工文创作品掐丝珐琅书签制作·模拟营销”的项目式学习活动．经过几天的制作，同学们共准备了500个书签准备售卖，所有书签的平均成本为10元/个．根据大数据分析预测，当书签售价为13元/个时，能把书签刚好卖完；售价每涨1元，销量减少20个．市场规定售价不得高于平均成本的3倍． （1）每个书签的售价定为多少元时，总利润最大？最大的总利润是多少？ （2）要想保证总利润不低于3900元，应将售价定在什么范围？（售价为元，不写过程，直接写出的取值范围） 【答案】（1）售价定为24元时总利润最大，最大总利润为3920元 （2） 【解析】 【分析】（1）设售价为元（），根据“利润单个利润销量”列出函数关系式解答即可； （2）由，结合二次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：设售价定为元，（），则销量为个， ∵市场规定售价不得高于平均成本的3倍， ∴， ∵售价基础为13元，且销量不能为负， ∴，解得， ∴； 根据题意可得，总利润， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，最大（符合规定），元． 答：售价定为24元时总利润最大，最大总利润为3920元． 【小问2详解】 解：令，则，即， 解得：或， 则当时，． 24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 【答案】（1） 证明：如图1，设交于点， 是的直径，是的中点， ，， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，由是的直径，是的中点，得，，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 25. 已知点P为内一点，请用两种方法尺规作图：作弦，，使，且与所夹锐角为，交点为P．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】如图，弦，即为所求； 方法一：如图1，连接，分别以点O，P为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线交于点A，B，作直线交于点C，D，连接，； 方法二：如图2，连接，分别以点O，P为圆心，为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点J，以点O为圆心，为半径画弧，分别交，于点M，N，作直线交于点A，B，作直线交于点C，D，连接，． 【解析】 【分析】略 【详解】解：作图略； 如图1，连接，，过点O作于点Q，过点O作于点I， 由作图得， ∴，都是等边三角形 ∴ ∴ ∴，即与所夹锐角为； ∵， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴，即 同理可得， ∴，即； 如图2，连接，， 同上可得，，是等边三角形 由作图得， ∴ 同理可得， ∴，即与所夹锐角为； 同理可证，． 26. 已知抛物线． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【小问1详解】 解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． 【小问2详解】 解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）略 27. 如图，正方形区域是边长为的城市公园，其中边是步行道．距、的距离分别为和，距、的距离分别为和．有一个圆形跑道经过、两点，记圆形跑道圆心为，周长为． （1）当为直径时． ①求圆形跑道的半径； ②小明操纵无人机沿着跑道飞行，求出无人机到、两点距离之和的最大值； （2）若该圆形跑道不能超过步行道（可以重合），写出“的值”或“求的思路”． 【答案】（1）①（即）；②最大值为（约）． （2）的值不唯一；：为直径时取最小值，圆与步行道相切时取最大值； 求的思路：圆心在的垂直平分线上，半径随圆心位置变化；跑道不越过公园边界，要求圆心到各边的距离都不小于半径，这就给半径定了上限；半径最大时圆与步行道相切，由列方程解出，再由得的范围． 【解析】 【分析】（1）①过作的垂线、过作的平行线，构造直角三角形，用“点到边的距离”算出两条直角边，再由勾股定理求； ②取的中点，用勾股定理把化成，再由与估计出的上界，最后说明圆的最左端点使两处等号同时成立； （2）圆心在的垂直平分线上，半径随圆心位置连续变化，所以不唯一；跑道不越过公园边界时半径有上限，上限在圆与步行道相切时取到，用与相似三角形求出这个半径． 【小问1详解】 解：①过作于，过作交的延长线于（如图）． 点到的距离为，点到的距离为， ，点到的距离为， ． 点到的距离为，点到的距离为， 点到的距离为， ． 在中，， ． 是圆形跑道的直径， ． 答：圆形跑道的半径为（即）． ②取的中点，连接（如图）． 设点到、的距离分别为、，则 ，，， ． ， ， ． 点、到的距离分别为、， 圆心到的距离为； 点、到的距离分别为、， 圆心到的距离为． 点在上，到的距离为， ， ． ， ， ． 当在圆的最左端点时，、、三点共线，且， 此时，，两处等号同时成立， 此时． 答：无人机到、两点距离之和的最大值为（约）． 【小问2详解】 解：设的中点为，，设圆形跑道与步行道相切于． 过作的垂线，过作的平行线，两线交于点（如图）． ， ，． 在中，． 点、到的距离分别为、， 点到的距离为； ， 点到的距离为， 点到的距离比点的多． ，，，， ． ，，， ， ， ． 点在过的的垂线上， 点到的距离等于点到的距离，为， ． 由（1）①知，， ， ． ， 整理，得， ． 正方形边长只有，而，半径大于的圆放不进公园，不合题意， ． ，， 点到、、的距离、、都大于， 圆全部在公园内． 当为直径时，圆也不越过公园的边界， ， ，即． 答：的值不唯一；为直径时最小，为；圆与步行道相切时最大，为． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形与圆的性质；第（1）问的关键是把“点到边的距离”当作线段长，用勾股定理求，再用完全平方把“距离之和”化成关于的不等式，最后说明圆的最左端点使两处等号同时成立；第（2）问的关键是抓住“圆与步行道相切”这个临界位置，用“圆心到切线的距离等于半径”与相似三角形把半径和圆心的位置连起来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（共12分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的对称中心是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一个圆中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，经过正方形的两个顶点A，B，且与边相切，切点为E．记正方形的周长为a，的周长为b，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（共20分） 7. 二次函数的图象的顶点坐标是_____． 8. 某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为381万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为______． 9. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 12. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为______． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____． 14. 如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______． 15. 设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形可以是平行四边形；②四边形可以是菱形；③四边形可以是矩形；④四边形不可能是正方形．其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 16. 如图，O为正六边形内部任意一点，，，，则______． 三、解答题（共78分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，为的直径，为上一点，证明：． 19. 解不等式：．（m为常数） 20. 某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． （1）把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； （2）在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 21. 已知二次函数． （1）一次函数（为常数，且）与二次函数的图像有且仅有一个公共点，求的函数表达式； （2）对于二次函数上的每一点都有一条经过它的直线且与二次函数有且仅有一个公共点．设这条直线的函数表达式为，请写出的变化规律并作简要说明． 22. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 23. 某校九年级开展了“手工文创作品掐丝珐琅书签制作·模拟营销”的项目式学习活动．经过几天的制作，同学们共准备了500个书签准备售卖，所有书签的平均成本为10元/个．根据大数据分析预测，当书签售价为13元/个时，能把书签刚好卖完；售价每涨1元，销量减少20个．市场规定售价不得高于平均成本的3倍． （1）每个书签的售价定为多少元时，总利润最大？最大的总利润是多少？ （2）要想保证总利润不低于3900元，应将售价定在什么范围？（售价为元，不写过程，直接写出的取值范围） 24. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 25. 已知点P为内一点，请用两种方法尺规作图：作弦，，使，且与所夹锐角为，交点为P．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 26. 已知抛物线． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 27. 如图，正方形区域是边长为的城市公园，其中边是步行道．距、的距离分别为和，距、的距离分别为和．有一个圆形跑道经过、两点，记圆形跑道圆心为，周长为． （1）当为直径时． ①求圆形跑道的半径； ②小明操纵无人机沿着跑道飞行，求出无人机到、两点距离之和的最大值； （2）若该圆形跑道不能超过步行道（可以重合），写出“的值”或“求的思路”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $