期中（第1-2章）练习卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册（江苏省南京市）

江苏省南京市期中（第1-2章）练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共6小题） 1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．y＝x2+x﹣2 C． D．x2﹣x﹣2＝0 2．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜6 B．k＜6且k≠2 C．k＞6 D．k≤6且k≠2 3．已知反比例函数图象上有两个点A（a，b）和点C（c，d），且满足a＜c，b＜d，则（　　） A．a＜c＜0 B．a＞c＞0 C．a＜0＜c D．c＜0＜a 4．深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为160万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．48（1+x）＝160 B．48（1+x）2＝160 C．48（1﹣x）2＝160 D．48（1+x）3＝160 5．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．10min B．11min C．15min D．18min 6．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，则四边形MAOB的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 二．填空题（共10小题） 7．将方程3x2+1＝5x化成一般式为_______________ ． 8．若函数y是反比例函数，则m＝_____ ． 9．已知方程2x2﹣6x+3＝0的两个根为x1，x2，则_____ ． 10．若反比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的k的值______________ ． 11．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了56份礼物，则参加聚会的人有_____ 人． 12．在平面直角坐标系中，函数y＝x﹣3与y（x＞0）的图象交于点P（a，b）．则代数式的值为___________________ ． 13．若m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，多项式n2﹣mn+3m的值是_______ ． 14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地上修筑两条同样宽的道路，两条道路与矩形的边分别平行，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，若设道路的宽为xm，则可列方程为：____________________ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝_______ ． 16．如图在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°．若函数y（x＞0）的图象经过点D，且△OAB与△BCD的面积之差为3，则k＝_____ ． 三．解答题（共11小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）2x2+5x+2＝0． 18．在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs，当W为定值时，S与F之间的函数关系如图所示． （1）当力F为10N时，求F所做的功W； （2）写出S关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于125m，求力的范围． 19．已知关于x的方程有两个不相等实数根． （1）求n的取值范围； （2）是否存在实数n，使得方程两根的倒数之和等于3？若存在，求出n；不存在，请说明理由． 20．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求△AOB的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式kx﹣b的解集． 21．某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 22．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）若关于x的一元二次方程4x2+2bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 23．一次函数yx+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A（2，a）在直线BC上，过点A作反比例函数y的图象． （1）求出a，k的值； （2）在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，请求出点D坐标． 24．某蛋糕店推出一款蛋糕盲盒，盲盒设计精美，且一人量蛋糕不浪费，深受青年购买者喜爱．蛋糕盒顶部设计如图所示，盒子顶部长为25cm，宽为20cm，装饰罗纹带的带宽相同，横竖两条罗纹带相互垂直，在交叉处粘贴一块正方形的祝福卡片，卡片的边长是罗纹带带宽的5倍，蛋糕盒顶部空白部分（罗纹带和祝福卡片覆盖之外的部分）的面积为440cm2． （1）求罗纹带的带宽． （2）已知该款蛋糕盲盒每个的成本为60元，当每个的售价为100元时，每天能销售20个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，商家决定降价促销．若要使每天销售获利1200元，并且要尽可能多地卖出蛋糕，则每个蛋糕盲盒的售价应降低多少元？ 25．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积． 26．如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘B与支撑点M的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到下表： 托盘B与点M的距离x（cm） 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y（g） 30 20 15 12 10 （1）把上表（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点坐标，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； （2）当砝码质量为60g时，求托盘B与点M的距离； （3）当托盘B向左移动5cm时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 27．在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点A（x1，y1）移动到点B（x2，y2）满足y2﹣y1＝p（x2﹣x1）（p是常数，且p≠0），则称点A，B是“p瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有_______ ．（填序号） ①点（2，﹣1）与（1，3）；②点（﹣3，3）与（﹣1，7）；③点（0，4）与（﹣2，0）． （2）如图1，直线y＝kx+4与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“﹣1瞬移点”． ①求k的值； ②求△AOB的面积． （3）如图2，已知C（0，﹣3），D为反比例函数上一点．若M（1，t）且﹣3＜t＜0，E为平面内一点，若四边形CDEM为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 江苏省南京市期中（第1-2章）练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．y＝x2+x﹣2 C． D．x2﹣x﹣2＝0 【专题】一元二次方程及应用；模型观念． 【解答】解：A、ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，故不符合题意； B、y＝x2+x﹣2中含两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、x32中含有分式，不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、x2﹣x﹣2＝0是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 2．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜6 B．k＜6且k≠2 C．k＞6 D．k≤6且k≠2 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：由一元二次方程的定义可知k﹣2≠0，即k≠2， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣2）＞0， 解得k＜6． ∴k的取值范围是k＜6且k≠2． 故选：B． 3．已知反比例函数图象上有两个点A（a，b）和点C（c，d），且满足a＜c，b＜d，则（　　） A．a＜c＜0 B．a＞c＞0 C．a＜0＜c D．c＜0＜a 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：∵反比例函数图象上有两个点A（a，b）和点C（c，d）， ∴ab＝k＞0，cd＝k＞0， ∴a与b同号，c与d同号， 若a、c同号， ∵a＜c，b＜d， ∴，即b＞d，与已知b＜d矛盾， ∴a、c异号， ∴b、d异号， ∵b＜d， ∴b＜0＜d， ∴a＜0＜c． 故选：C． 4．深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为160万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．48（1+x）＝160 B．48（1+x）2＝160 C．48（1﹣x）2＝160 D．48（1+x）3＝160 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【解答】解：根据题意得：48（1+x）2＝160． 故选：B． 5．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　） A．10min B．11min C．15min D．18min 【专题】反比例函数及其应用；应用意识；生活情境． 【解答】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3＝24km， ∵最高车速为120km/h， ∴在最高车速120km/h下的行驶时间t0.2（h）， 同理可得，在最低车速90km/h下的行驶时间为t0.27（h）， ∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在12min﹣16min之间． ∵12＜15＜16， ∴C选项符合题意． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，则四边形MAOB的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：设MA交x轴于C，MB交y轴于D，如图， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵M（﹣3，2）， ∴S矩形MCOD＝3×2＝6， ∴S四边形MAOB＝S△AOC+S△OBD+S矩形MCOD＝2+2+6＝10． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 7．将方程3x2+1＝5x化成一般式为　3x2﹣5x+1＝0　 ． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【解答】解：由题意得，原方程化成一般式为3x2﹣5x+1＝0， 故答案为：3x2﹣5x+1＝0． 8．若函数y是反比例函数，则m＝　3　 ． 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：∵函数y是反比例函数， ∴m﹣2＝1， ∴m＝3． 故答案为：3． 9．已知方程2x2﹣6x+3＝0的两个根为x1，x2，则　2　 ． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：由题知， 因为方程2x2﹣6x+3＝0的两个根为x1，x2， 所以，， 所以． 故答案为：2． 10．若反比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的k的值　﹣1（答案不唯一）　 ． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【解答】解：因为反比例函数的图象经过第一、三象限， 所以k+2＞0， 解得k＞﹣2， 所以符合条件的k的值为﹣1． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 11．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了56份礼物，则参加聚会的人有　8　 人． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【解答】解：设有x人参加这次聚会， 依题意得x（x﹣1）＝56， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， 参加聚会的人有8人． 故答案为：8． 12．在平面直角坐标系中，函数y＝x﹣3与y（x＞0）的图象交于点P（a，b）．则代数式的值为　　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：将P（a，b）代入，得，变形得ab＝4， 将P（a，b）代入y＝x﹣3，得b＝a﹣3，变形得b﹣a＝﹣3， ∴． 故答案为：． 13．若m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，多项式n2﹣mn+3m的值是　11　 ． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【解答】解：由题意得：n2﹣3n﹣1＝0，m+n＝3，mn＝﹣1， ∴n2＝3n+1， ∴n2﹣mn+3m ＝3n+1﹣mn+3m ＝3（m+n）﹣mn+1 ＝3×3﹣（﹣1）+1 ＝11， 故答案为：11． 14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地上修筑两条同样宽的道路，两条道路与矩形的边分别平行，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，若设道路的宽为xm，则可列方程为：　（32﹣x）（20﹣x）＝540　 ． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【解答】解：设路宽为xm， 则矩形田地的长应该为（32﹣x）m，宽应该为（20﹣x）m； 根据面积公式可得：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D， ∵AC＝AO， ∴CD＝DO， ∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵S△ABC＝12， ∴S△AOC6， ∴S△AODS△AOC|k|， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 16．如图在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB＝∠BCD＝90°．若函数y（x＞0）的图象经过点D，且△OAB与△BCD的面积之差为3，则k＝　6　 ． 【专题】反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【解答】解：∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝45°，AB＝OA，BC＝CD ∴点B在函数y＝x上， 设OA＝AB＝a，BC＝CD＝b， ∴D（a+b，a﹣b）， ∵函数y（x＞0）的图象经过点D， ∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， ∵△OAB与△BCD面积的差为3， ∴3， ∴a2﹣b2＝6， ∴k＝6． 故答案为：6． 三．解答题（共11小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）2x2+5x+2＝0． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝7+4， （x﹣2）2＝11， 或， ，； （2）2x2+5x+2＝0， （2x+1）（x+2）＝0， 2x+1＝0或x+2＝0， x1＝﹣2，． 18．在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs，当W为定值时，S与F之间的函数关系如图所示． （1）当力F为10N时，求F所做的功W； （2）写出S关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于125m，求力的范围． 【专题】函数思想；反比例函数及其应用． 【解答】解：（1）由图象，当 F＝10 时，s＝50， W＝Fs＝10×50＝500， 答：当力F为10 N时，F所做的功W＝500 J； （2）因为W是定值，即 W＝500， 所以 Fs＝500，∴， 又 F 是力，F＞0， 答：s 关于 F 的函数解析式为 （F＞0）； （3）由题意 s＜125，即， ∵F＞0， ∴F＞4， 答：要使物体在力的方向上的位移小于125 m，力F应满足F＞4 N． 19．已知关于x的方程有两个不相等实数根． （1）求n的取值范围； （2）是否存在实数n，使得方程两根的倒数之和等于3？若存在，求出n；不存在，请说明理由． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：（1）当n＝0时，原方程为2x＝0，解得x＝0，即原方程只有一个实数根，不符合题意； 当n≠0时，原方程为一元二次方程， ∵原方程有两个不相等实数根， ∴， ∴n2﹣4n+4﹣n2＞0， ∴n＜1， ∴n＜1且n≠0； 综上所述，n＜1且n≠0； （2）不存在，理由如下： 设方程的两根为x1，x2， 由根与系数的关系得，， 由题意得，代入得，解得n＝8， 由（1）知方程有两个不相等实根需满足n＜1且n≠0，8＞1不符合条件，故不存在这样的实数n． 20．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）求△AOB的面积； （3）结合完整的函数图象，请直接写出不等式kx﹣b的解集． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【解答】解：（1）由条件可得：，即m＝6， ∴， 将B（3，n）代入得， ∴B（3，2）， 将A（1，6）、B（3，2）代入y＝kx+b得， 解得， ∴y＝﹣2x+8； （2）由条件可得C（4，0）， ∴OC＝4， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ＝12﹣4 ＝8； （3）即， 作y＝﹣2x﹣8及的图象如下： 可知不等式的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0． 21．某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：（1）设该商场投入资金的月平均增长率为x， 由题意得：20×（1+x）2＝24.2， 整理得，20x2+40x﹣4.2＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率10%； （2）依题意，24.2×（1+10%）＝24.2×1.1＝26.62（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元． 22．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）若关于x的一元二次方程4x2+2bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”，理由： x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+2bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+2bc+c＝0， ∵c≠0， ∴4c+2b+1＝0， ∴2b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+2b＝（b+1）2﹣1， ∵（b+1）2≥0， ∴当b＝﹣1时，b2﹣4c﹣1有最小值，是﹣1． 23．一次函数yx+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A（2，a）在直线BC上，过点A作反比例函数y的图象． （1）求出a，k的值； （2）在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，请求出点D坐标． 【专题】代数几何综合题；几何直观；应用意识． 【解答】解：（1）∵点A（2，a）在直线BC的解析式为yx+2， ∴a2+2＝3， ∴A（2，3）， ∵反比例函数y经过点A（2，3）， ∴3， ∴k＝6， 即a＝3，k＝6； （2）当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作AD∥y轴交x轴于点D1， 则∠BOA＝∠OAD1， 此时点D（2，0）， 当点D'在x轴负半轴上时，如图，设AD'与y轴交于点E（0，n）， 由（1）知a＝3， ∴A（2，3）， ∵∠BOA＝∠OAD， ∴AE＝OE， ∴（2﹣0）2+（3﹣n）2＝n2， ∴n， ∴E（0，）， 设直线AE的解析式为y＝sx， ∵A（2，3）， ∴3＝2s， ∴s， ∴直线AE的解析式为yx， 令y＝0，得0x， ∴x， ∴D'（，0）， 综上所述，点D的坐标为（2，0）或（，0）． 24．某蛋糕店推出一款蛋糕盲盒，盲盒设计精美，且一人量蛋糕不浪费，深受青年购买者喜爱．蛋糕盒顶部设计如图所示，盒子顶部长为25cm，宽为20cm，装饰罗纹带的带宽相同，横竖两条罗纹带相互垂直，在交叉处粘贴一块正方形的祝福卡片，卡片的边长是罗纹带带宽的5倍，蛋糕盒顶部空白部分（罗纹带和祝福卡片覆盖之外的部分）的面积为440cm2． （1）求罗纹带的带宽． （2）已知该款蛋糕盲盒每个的成本为60元，当每个的售价为100元时，每天能销售20个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，商家决定降价促销．若要使每天销售获利1200元，并且要尽可能多地卖出蛋糕，则每个蛋糕盲盒的售价应降低多少元？ 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【解答】解：（1）设罗纹带的带宽为xcm，则正方形祝福卡片的边长为5xcm， 根据题意得：25×20﹣（5x）2﹣（25﹣5x）x﹣（20﹣5x）x＝440， 整理得：15x2+45x﹣60＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴5x＝5×1＝5，满足图形尺寸要求， 答：罗纹带的带宽为1cm； （2）设每个蛋糕盲盒的售价应降低y元，则每个蛋糕盲盒的利润为（100﹣60﹣y）元，每天销量为（20+2y）个， 根据题意得：（100﹣60﹣y）（20+2y）＝1200， 整理得：y2﹣30y+200＝0， 解得：y1＝20，y2＝10（不符合题意，舍去）， 答：每个蛋糕盲盒的售价应降低20元． 25．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积． 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【解答】解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A（m，2）， ∴点A（m，2）在正比例函数图象上， ∴， 解得m＝4， ∴A（4，2）， ∵A（4，2）在反比例函数图象上， ∴k＝8， ∴． （2）把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令x＝0，则y＝3， ∴记直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴B（2，4）， 由题意得：BD∥AO， ∴△AOB，△AOD同底等高， ∴． 26．如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘B与支撑点M的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到下表： 托盘B与点M的距离x（cm） 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y（g） 30 20 15 12 10 （1）把上表（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点坐标，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； （2）当砝码质量为60g时，求托盘B与点M的距离； （3）当托盘B向左移动5cm时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【解答】解：（1）由图可得，y是x的反比例函数， 设， 代入x＝10，y＝30，则 ， 解得k＝300， ∴； （2）中，令y＝60，则， 解得x＝5， ∴当砝码质量为60g时，托盘B与点M的距离为5cm； （3）当托盘B向左移动5cm时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，由题意可得： ， 将代入， 则， 解得x＝10， 当x＝10时，， 答：在移动前托盘B中的砝码质量为30g． 27．在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点A（x1，y1）移动到点B（x2，y2）满足y2﹣y1＝p（x2﹣x1）（p是常数，且p≠0），则称点A，B是“p瞬移点”． （1）下列各组点中，是“2瞬移点”的有　②③　 ．（填序号） ①点（2，﹣1）与（1，3）；②点（﹣3，3）与（﹣1，7）；③点（0，4）与（﹣2，0）． （2）如图1，直线y＝kx+4与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“﹣1瞬移点”． ①求k的值； ②求△AOB的面积． （3）如图2，已知C（0，﹣3），D为反比例函数上一点．若M（1，t）且﹣3＜t＜0，E为平面内一点，若四边形CDEM为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 【专题】平面直角坐标系；反比例函数及其应用；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【解答】解：（1）∵y2﹣y1＝p（x2﹣x1）， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； 故答案为：②③； （2）①设B（x2，y2），A（x1，y1）， ∵A，B在直线y＝kx+4上， ∴ ∴y2﹣y1＝k（x2﹣x1）， ∵A，B是“﹣1瞬移点”， ∴y2﹣y1＝﹣（x2﹣x1）， ∴k＝﹣1， ∴直线AB的表达式为y＝﹣x+4； ②联立 消去y得，x2﹣4x+m＝0， ∴x1x2＝m，x1+x2＝4， ∴16﹣4m， ∵有交点，则Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4m＞0，即m＜4， 又∵B在A的右侧，则x2＞x1， ∴， 如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则m＞0， ∴， ∵S△AOC+S梯形ACDB＝S△AOB+S△BOD ∴ ； （3）∵C（0，﹣3），M（1，t）， ①当时， 解得：t＝﹣1，满足﹣3＜t＜0， 此时M（1，﹣1）， 当D在第三象限时，如图所示， 过点D作x轴的垂线交CN于点K，过点C作y轴的垂线交x＝1于点N， ∴N（1，﹣3），∠DKC＝∠CNM＝90°， ∴MN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，CN＝1， ∵四边形CDEM为正方形， ∴CD＝CM，∠DCM＝90°， ∴∠DCK＝90°﹣∠MCN＝∠CMN， ∴△DCK≌△CNM（AAS）， ∴KC＝MN＝2，DK＝CN＝1， ∴D（﹣2，﹣2）， ∴m＝（﹣2）×（﹣2）＝4； 当D在第四象限时， 设D（a，b），则D（a，b）与（﹣2，﹣2）关于C（0，﹣3）对称， ∴， 解得：b＝﹣4，a＝2， ∴D（2，﹣4）， ∴m＝2×（﹣4）＝﹣8； ②当时， 解得：t＝﹣1，满足﹣3＜t＜0，结论同①， ∵CM不能为对角线，且﹣3＜t＜0，不存在其他情形， 综上所述，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”，m＝4或﹣8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $