精品解析：河北邯郸市丛台区永安学校2026-2027学年上学期第一次学情自测九年级数学试题

永安中学2026-2027学年素养测试九年级数学试卷 本卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 11. 小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 12. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不正确 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 13. 关于的一元二次方程的解为___________． 14. 关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 15. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为21，则a的值为________． 16. 已知抛物线（m为常数），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）A、B两点之间的距离为_______； （2）若该抛物线在的范围内与x轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________． 三、解答题 17. 解方程 （1） （2） （3） （4） 18. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 19. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解根号下含有未知数的方程：， 通过两边同时平方转化为，解得：，， ∵且． ∴不是原方程的解． ∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解方程：． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为，，且满足，求的值． 21. 第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． （1）在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）若售价不低于90元，不高于100元，降多少元利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永安中学2026-2027学年素养测试九年级数学试卷 本卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程）逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、原方程整理得，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：， 其顶点坐标为． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先整理方程为一般式，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：原方程变形为， 这里，，， 则， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：令，将其代入二次函数中， 解得， 所以，当时，， 即二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 5. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法可得，进而求得m、n值，然后代入中求解即可． 【详解】解：由得 ∴，则， ∴，， ∴． 6. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后整体代入求解． 【详解】解：∵，是方程的两根 ∴， ∴ ∴ ． 7. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】增长率问题，一般用“增长后的量增长前的量（1+增长率）”进行计算．如果游客人数的年平均增长率为x，根据2015年约为12万人次，则2016年约为万人次，2017年约为万人次，结合“2017年约为17万人次”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意，可得． 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 9. 将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将抛物线向下平移个单位，得到， 再向右平移个单位，得到． 10. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 11. 小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，c＜0，故此选项正确； ②由函数图象开口向上可知，a＞0，由①知，c＜0， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=-＞0，故b＜0，故abc＞0；故此选项正确； ③把x=-1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=-1时，y＞0即a-b+c＞0；故此选项正确； ④因为函数的对称轴为x=-=，故2a=-3b，即2a+3b=0；故此选项错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c=2×（-3b）+2b+c=c-4b， 而点（2，c-4b）在第一象限， ∴⑤c-4b＞0，故此选项正确． 其中正确信息的有①②③⑤． 故选A． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 12. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴公式和待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标，再分两种情况：点P在y轴上和点P在x轴上，分别求出两种情况下点P的坐标和的值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点，∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为， ； 的周长，且是定值， ∴只需最小即可． 如图1，当点P在y轴上时，过点M作关于y轴对称的点，则，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴该直线的解析式为． 在中，当时，，即， 由轴对称的性质可得， ∴； 同理，如图2，当点P在x轴上时，过点M作关于x轴对称的点，则，连接，与x轴的交点即为所求的点 同理可得直线的解析式为， 在中，时，， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴； ∵， ∴当点P的坐标为时，的周长最小． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 13. 关于的一元二次方程的解为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据两个数的乘积为0，那么这两个数中至少有一个是0，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 14. 关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 【答案】1或2 【解析】 【分析】分两种情况：①当该函数是一次函数时，；②当该函数是二次函数时，，，据此可求出a的值． 【详解】解：∵函数与轴只有一个交点， ∴①当该函数是一次函数时，可得， 解得； ②当该函数是二次函数时，，且， 解得， 综上，a的值是1或2． 15. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为21，则a的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当x≥2时，y随x的增大而增大，即可得到a的正负情况，最后根据当-2≤x≤1时，y的最大值为21和二次函数的性质，可以求得a的值． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3=a（x+1）2+3a2-a+3（其中x是自变量）， ∴该函数的对称轴为直线x=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， 又∵当-2≤x≤1时，y的最大值为21， ∴x=1时，y=21， 即21=a（1+1）2+3a2-a+3， 解得，a1=-3（舍去），a2=2， 由上可得，a的值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16. 已知抛物线（m为常数），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （1）A、B两点之间的距离为_______； （2）若该抛物线在的范围内与x轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】（1）求出时x的值即可得到答案； （2）分两种情况：①当点A在区间内，点B在区间外时，②当点B在区间内，点A在区间外时，分别建立不等式组求解即可． 【详解】解：（1）令，则， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）①当点A在区间内，点B在区间外时， ； ②当点B在区间内，点A在区间外时， ； 综上所述，m的取值范围为或． 三、解答题 17. 解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： ，， ∴ 解得，； 【小问3详解】 解： 解得，； 【小问4详解】 解： 或 解得，． 18. 已知二次函数（h为常数）的图象经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 19. 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解根号下含有未知数的方程：， 通过两边同时平方转化为，解得：，， ∵且． ∴不是原方程的解． ∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】仿照例题求解即可． 【详解】解： 方程两边同时平方得， ∴，即， 解得或， ∵且， ∴不是原方程的解， ∴原方程的解为． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出根的判别式，再判断其正负即可证明结论； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵已知关于的一元二次方程的两根为，， ∴由根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，解得． 21. 第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． （1）在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 【答案】（1） （2）能射入球门 【解析】 【分析】（1）设抛物线对应的函数表达式为，再将点代入得出答案； （2）将代入关系式求出，再根据判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线过点，顶点． 设抛物线对应的函数表达式为， 将代入得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：能射入球门． 在中，令，则． ∵， ∴此次射门足球能直接飞入球门． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价元时，每天可销售________件，每件盈利________元；（用的代数式表示） （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）若售价不低于90元，不高于100元，降多少元利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元 （3）降价20元利润最大，最大利润为1200元 【解析】 【分析】（1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据“每件盈利每件售价每件成本”，即可解得每件的盈利； （2）根据“总利润单件利润数量”，列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设每天的利润为元，根据“总利润单件利润数量”，列出关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，该款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，每件童装降价1元，那么平均可多售出2件， 设每件童装降价元时，每天可销售（件）， 每件盈利（元）； 【小问2详解】 解：根据题意，可得 ， 整理可得 ， ∴， 解得，， ∵要求尽快减少库存， ∴选降价多的，即每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元； 【小问3详解】 解：设每天的利润为元， 根据题意，可得， ∵， ∴抛物线的开口向下，且对称轴为， ∵售价不低于90元，不高于100元，即， ∴， ∴当时，可获得最大利润，最大利润为（元）， 即降价20元利润最大，最大利润1200元． 23. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 【答案】（1）； （2）的面积最大值为，． 【解析】 【分析】先求出，，再利用待定系数法即可求解； 先求出直线解析式为，过作轴，交于点，设，则，则，所以的面积为，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大，为， 此时的纵坐标为， ∴． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． （1）___________，___________（用含t的代数式表示） （2）记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】（1）， （2）①是，；② 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $