精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校2026-2027学年高二上学期十月考试数学试题

高二10月月考数学试卷 一、单选题（每小题4分，共计40分） 1. 已知点，，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角. 【详解】点，，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可. 【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切. 故选：C 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案. 【详解】将化成标准方程为， 圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：D. 5. 直线关于点对称的直线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 6. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 7. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内的点与点构成的向量与垂直来逐一判断. 【详解】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 8. 已知点，且点是圆上的动点，，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意列方程求解即可. 【详解】设，则， 又， 解得，，则或， 则或， 所以直线的方程为或， 即或. 故选：B. 9. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当时，，即，解得或. 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 10. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 二、填空题（每小题5分，共计25分） 11. 若 则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量坐标运算先写出坐标，再求模即可. 【详解】 , 故答案为3. 【点睛】本题考查空间向量坐标运算及模长计算，属于基础题. 12. 动直线与一点.当点到直线的距离最大时，直线的方程为__________（填一般式）. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程转化为交点直线系方程，联立直线方程即可求得定点坐标；当定点与点点构成的直线与垂直时，则点到直线的距离最大时，则问题得解. 【详解】因为， 即， 故直线恒过定点为直线与直线的交点， 联立方程解得直线恒过定点； 当点与定点构成的直线与垂直时，点到直线的距离最大， 此时必有，即，解得. 则，解得， 故直线的方程为：. 故答案为：. 13. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，当垂直与直线时，最短，利用勾股定理可得出此时切线长最小，求出此时的切线长即可. 【详解】解：根据题意画出图形， 当垂直与直线时，最短，此时， 由圆的方程得：圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则切线长的最小值. 故答案为：. 【点睛】此题考查了圆的切线方程，以及点到直线的距离公式，根据题意画出相应的图形是解本题的关键. 14. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，已知，，则点D到平面的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解. 【详解】在直三棱柱中，由，得， 则，而底面，于是直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 所以到平面的距离. 15. 正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据动点在线段上运动，设，用表示，根据向量数量积的运算律，及数量积的定义求得的取值范围. 【详解】由题可设，则. 所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. 故答案是：. 三、解答题（共计85分） 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） 证明：因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线线平行可证线面平行； （2）先证明平面，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，平面， 所以平面，底面为正方形，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 17. 已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出圆的半径，进而求出圆的标准方程. （2）利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【小问1详解】 由圆的圆心为，且过点，得圆半径， 所以圆的方程为 【小问2详解】 由直线与圆相切，得，解得， 所以的值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为PC中点，在棱PB上． （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）在平面内，求线段的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算平面与平面的法向量即可求解； （2）设，由，即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，， 所以，所以， 所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， 所以，令，所以，，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以，，所以， 由于，所以， 即平面与平面互相垂直，所以面与平面的夹角为， 从而平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 因为，，， 设平面的法向量为， 所以，令，所以，，所以， 设， ，，， 所以， 因为平面的法向量为，在平面内， 所以，所以，即，所以， 所以，所以， 所以线段的长为. 19. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 20. 已知直线：． （1）求直线所过的定点的坐标； （2）求证：不论取什么实数，直线与圆都相交于两点． （3）已知圆经过定点，，，求圆的方程． 【答案】（1） （2）已知圆的圆心为，半径， 定点到圆心的距离为：， 因为，说明定点在圆的内部， 因为直线恒过圆内定点，所以不论取什么实数，直线与圆都必相交于两点. （3） 【解析】 【分析】（1）将直线方程按参数整理，令的系数与常数项同时为建立方程组，即可求出定点的坐标； （2）求出已知圆的圆心和半径，计算定点到圆心的距离，若距离小于半径，则定点在圆内，过圆内定点的直线必与圆相交于两点； （3）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，解方程组求出参数即可. 【小问1详解】 将直线方程展开并整理，得：， ，要使该方程对任意实数恒成立， 需满足：，解得.所以直线所过的定点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设圆的一般方程为， 因为圆经过三点， 代入坐标得： 化简得： 由得： ， 由得：， 将代入上式得： ，则. 将代入①得： . 所以圆的方程为，即. 21. 已知正四棱柱中，，． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为四棱柱是正四棱柱，所以两两垂直， 以为原点建立空间直角坐标系， 由，可得， 则，，因为， 所以，即； （2）设存在点满足条件，设，其中， 则，， 所以，则，， 设平面的法向量，， 则，即，令，则， 设平面的法向量，， 则，即，令，则， 根据面面垂直得到，即，解得， 故存在点，，故当时，平面平面. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出和的坐标，利用数量积为即可证明垂直； （2）设存在点满足，得到的坐标，再分别求平面的法向量和平面的法向量，根据面面垂直得到解得参数，即得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月月考数学试卷 一、单选题（每小题4分，共计40分） 1. 已知点，，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆和圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 5. 直线关于点对称的直线方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，且点是圆上的动点，，则直线的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每小题5分，共计25分） 11. 若 则 ______ ． 12. 动直线与一点.当点到直线的距离最大时，直线的方程为__________（填一般式）. 13. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______ 14. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，已知，，则点D到平面的距离为_____． 15. 正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是__________. 三、解答题（共计85分） 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17. 已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为PC中点，在棱PB上． （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）在平面内，求线段的长． 19. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 20. 已知直线：． （1）求直线所过的定点的坐标； （2）求证：不论取什么实数，直线与圆都相交于两点． （3）已知圆经过定点，，，求圆的方程． 21. 已知正四棱柱中，，． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $