精品解析：湖南岳阳六县一区2026-2027学年九年级数学上学期创新班10月联考试题

九年级创新班2026年10月学科素养测试 数学试题 分值：120分时量：120分钟 考试时间：2026年10月13日 本试卷共8页，时量120分钟，满分120分． 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不准使用涂改液，涂改胶和贴纸． 一、单选题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】需同时满足的最高次数为2、二次项系数不为0，据此列关系式求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得，即或， 由得， ∴． 2. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，，证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝，则AB的长为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，解直角三角形求出AH，再根据AB=2AH即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△ACH中， ∵∠AHC=90°，AC=2，， ∴， ∴， 在Rt△ABH中， ∵∠AHB=90°，∠B=30°， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4. 若点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：将代入， 得； 将代入， 得； ∵， ∴． 5. 小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式大于0两个条件求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和抛物线解析式知与二次函数与y轴交于同一点，据此即可求得；本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 【详解】解：在中，当时，， ∴与y轴的交点为； 在中，当时，， ∴与y轴的交点为， 则与与y轴交于同一点， 故选：D． 8. 如图，点在正方形网格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由三角形的面积可得，即得，再根据余弦的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由网格得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值计算，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意，得，根据抛物线的增减性，分类解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， 故时,n取最大值，且， 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，得； 当时，对称轴直线在其范围内， 故n的最大值为6； 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，， 故； 综上所述， 故选：D． 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式拆分后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 13. 规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么向量可以表示为：，如果与互相垂直，，那么．若与互相垂直，，，则锐角=__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的判定法结合特殊角的三角函数值进行解答． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： 是锐角， 故答案是：． 【点睛】本题考查了平面向量、点的坐标、平面向量垂直的条件，解题的关键是：理解题意，灵活运用所学知识求解． 14. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折得到，交于点，若，求的值__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，设，由，得，则，由折叠的对称性得，，，，由得，所以，推出是等腰三角形．设，则，在中利用勾股定理，解得，代入得，通过证明得到，从而解得的值． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， 设，由得， ,, 沿翻折得到， ，，，， , , ， ， 是等腰三角形． 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 在和中， ， ， ． 16. 在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先确定在竖直方向平移后的位置，再根据“临界平移点”的定义和图形确定c的取值范围即可； 先把点H的坐标代入函数解析式，进而确定的平移规律，然后分情况讨论即可． 【详解】解：当时， 向下平移 2 个单位，平移后的位置如图1所示，所以在水平方向上平移时，只有在上才满足有且只有一个公共点， 所以 ，即 ； 当点H在上时， 把代入，得点H的坐标为， 显然，当时， H不存在． 所以时，在竖直方向上只能向上平移，在水平方向上可能向左或向右平移． ①时，向右上方平移，易知当点B落在上时（如图2），点H为“临界平移点”． 设直线的解析式为，把，代入，得 解得 所以直线的解析式为． 由平移可知点的坐标为，代入解析式得 ，解得（不合题意，舍去）； ②时，向左上方平移，此时存在两种可能性：一种是先从上方离开，当点恰好落到上时（如图3），点H为“临界平移点”；另一种是先从左侧离开，当点恰好落到上时（如图4），点H为“临界平移点”； 当点恰好落到上时，满足，解得（不合题意，舍去），． 当点恰好落到上时，满足，则，显然点不在线段上，此时已经从上方离开了，故不合题意，舍去． 综上可知c的值为为或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的平移规律、一次函数、二次函数、一元二次方程的解法．能准确理解新定义，熟练运用数形结合和分类讨论思想分析问题是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共有8个大题，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明步骤） 17. 如图，在中，，，垂足为D，． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ∴． 18. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】（1） （2）解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； 【小问2详解】 略． 19. 如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， ． ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等求得，即可证明； （2）利用勾股定理求得．再根据相似三角形的性质列式计算求得，再利用直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， 是的中点， ∴， ． 在中，由勾股定理，得． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 20. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】（1）设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设涨价元，则售价为元，销量为个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设平均增长率为 ． 解得或（不合实际，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设涨价元，则售价为元，销量为个， 每个利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或， 尽可能让消费者得到实惠， ， ， 答：实际售价应定为每个元． 21. 如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． （1）求抛物线的解析式． （2）若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ （3）在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】（1） （2）米 （3）这艘船能从这座拱桥下通过 【解析】 【分析】（1）以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，可设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）求出当时，x的取值，即可求解； （3）求出当船在拱桥正中心行驶时，拱桥高出水面的高度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； 【小问3详解】 解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为________；并证明你的猜想． （3）已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2） ①. ②. ， （3）两根分别为和 【解析】 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，，直接写出式子即可； （2）①根据（1）得出的“友好方程”，解出两根即可；②分析刚才得出的原方程和“友好方程”的两根，猜想关系，利用韦达定理证明猜想：设原方程两根为，其“友好方程”两根为，​，通过比较韦达定理的表达式推导关系； （3）应用第（2）问的结论可得，“友好方程”的两根，令，则方程的解为，即可求解． 【小问1详解】 解：一元二次方程中， ， 则“友好方程”为． 故答案为． 【小问2详解】 ①的“友好方程”是， ， 十字相乘法得， 解得：或， 故答案为． ②猜测：，， 原方程， ， ， “友好方程”， ，； ，， ，是的两根， 即，． 故答案为，． 【小问3详解】 关于x的方程的两根， “友好方程”的两根， 令，则方程变形为， ， 或 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根与系数的关系（韦达定理）、新定义应用及代数证明，关键在于理解“友好方程”的定义，发现根之间的倒数关系，灵活应用韦达定理，易错点在于代换过程中符号错误． 23. 如图，在菱形中，点为边上一动点，点为边上一点，的延长线交于点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）如图3，已知，连接，平分，若，求的值．（请用含的代数式表示） 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可证明，结合得出，从而得出，即可得证； （2） 作于，设，，则， 其中，可求得，， 结合（1）得：，由勾股定理得，可得，进而根据求得， 证明，从而得出的值，即可得解； （3）过点作于， 作于， 根据角平分线的性质得出，从而设，，可证明，从而得出，， ，根据可求得，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点 作于， ∵， ∴设，，则， 其中， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∵，即， ∴（负值已舍去）， 由（1）得：， ∴，即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 过点作于， 作于， ∵平分， ∴， ， ∴， 设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知． （1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标； （2）点M是线段上方抛物线上的一个动点，点N是线段上一点，当的面积最大时，求： ①点M的坐标，说明理由； ②的最小值 ； （3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过点M作轴交于点G，连接， 设，则， ∴， ∴． ∵， ∴当时，有最大值， 此时； ② （3）存在，P点坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）①求出直线的解析式，过点M作MG∥y轴交于点G，设，则，则，当时，有最大值，此时； ②过点M作轴交于H，交于N，则，则即为所求； （3）设，分两种情况讨论：当时，过点C作轴，过点A作交于E，过点P作交于F，可证，由，可求；当时，过点A作MN⊥x轴，过点C作交于M，过点P作交于N，可证，由，可得． 【小问1详解】 解：∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 将A、B、C代入， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②过点N作轴交于H，连接， ∵， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当点三点共线，即是点到轴的垂线段时，有最小值． ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： 设， 如图2，当时， 过点C作轴，过点A作交于E，过点P作交于F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，此时， ∴； 如图3，当时，过点A作MN⊥x轴，过点C作交于M，过点P作交于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，此时， ∴． 综上所述：P点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级创新班2026年10月学科素养测试 数学试题 分值：120分时量：120分钟 考试时间：2026年10月13日 本试卷共8页，时量120分钟，满分120分． 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不准使用涂改液，涂改胶和贴纸． 一、单选题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 2. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝，则AB的长为（　　　） A. B. C. D. 4. 若点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D. 8. 如图，点在正方形网格点上，则（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 13. 规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为，那么向量可以表示为：，如果与互相垂直，，那么．若与互相垂直，，，则锐角=__________． 14. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______． 15. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折得到，交于点，若，求的值__________． 16. 在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 三、解答题（本大题共有8个大题，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明步骤） 17. 如图，在中，，，垂足为D，． （1）求的长； （2）求的正切值． 18. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 19. 如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 20. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 21. 如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． （1）求抛物线的解析式． （2）若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ （3）在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为________；并证明你的猜想． （3）已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 23. 如图，在菱形中，点为边上一动点，点为边上一点，的延长线交于点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的值； （3）如图3，已知，连接，平分，若，求的值．（请用含的代数式表示） 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知． （1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标； （2）点M是线段上方抛物线上的一个动点，点N是线段上一点，当的面积最大时，求： ①点M的坐标，说明理由； ②的最小值 ； （3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $