精品解析：湖南省岳阳市湘阴县洞庭四校2025-2026学年九年级上学期11月期中调研数学试题

湘阴县洞庭四校2025-2026学年上学期期中调研 九年级数学 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若直线，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 6. 已知，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 如图，在中，点在上，连接交对角线于点，若，的面积为9，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 27 8. 某商品的原价是324元/件，因为热销，该商品提价两次后，现售价为400元/件，并且两次提价的百分率相同，若设该商品每次提价的百分率为x，则根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是______． 13. 若非零实数a，满足，，则 的值为____． 14. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为___． 15. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为___________． 16. 若方程有一根是1，则另一根是______． 17. 设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________. 18. 如图，直线与坐标轴相交于点、点，，且，双曲线过点，则_____． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 21. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为5，求的值； （2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 22. 如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表： （元） 180 260 280 300 （间） 100 60 50 40 （1）请求出与的函数关系式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 24. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”． 25. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当与矩形的对角线平行时，求t的值； （3）若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； （4）直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘阴县洞庭四校2025-2026学年上学期期中调研 九年级数学 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的识别．根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，本选项不符合题意； B、是反比例函数，本选项符合题意； C、不是反比例函数，本选项不符合题意； D、是正比例函数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是整理后形如其中的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入，解得，所以，再将各个选项的点逐个代入检验是否满足反比例函数的表达式即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 函数解析式为，将各点代入得： A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误； 故选：C． 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 5. 如图，若直线，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．直接根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解：直线，且， ， 又， ， 故选：C． 6. 已知，则值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a，b，c；先设，a，b，c分别用k表示出来，即可解决问题； 【详解】解：由题可设：， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，点在上，连接交对角线于点，若，的面积为9，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，由可得出，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求的的面积． 【详解】四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ， ． ∵，的面积为9， ． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8. 某商品的原价是324元/件，因为热销，该商品提价两次后，现售价为400元/件，并且两次提价的百分率相同，若设该商品每次提价的百分率为x，则根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该商品每次提价的百分率为x，据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设该商品每次提价的百分率为x，根据题意得， 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，故符合题意； D、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 10. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解． 【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB， ∴△ABC的面积等于△ABO的面积， 连接OA、OB，如下图所示： 则 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出的长即可．熟练运用“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 13. 若非零实数a，满足，，则 的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到a，b为方程的解，利用根与系数的关系求出，的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得到a，b为方程的解， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH=1，AF= ，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP=RQ，则点R与点M重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果． 【详解】解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示： 则四边形ABEH是矩形， ∴HE=AB=1，AH=BE=BC+CE=2+4=6， ∵四边形CEFG是矩形， ∴FG//CE，EF=CG=2， ∴∠RFP=∠RCQ，∠RPF=∠RQC，FH=EF-HE=2-1=1， 在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF=， 在△RFP和△RCQ中， ， ∴△RFP≌△RCQ（ASA）， ∴RP=RQ， ∴点R与点M重合， ∵点N是AC的中点， ∴MN是△CAF的中位线， ∴MN=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 15. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 16. 若方程有一根是1，则另一根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．设方程的另一根为n，根据根与系数的关系列出关于另一根n的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：方程有一根是1， 设方程的另一根为n， ∴， 解得：， 故答案为：2． 17. 设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________. 【答案】 【解析】 【分析】此题实际上求的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可． 【详解】设t=a2+b2，则由原方程，得 t（t+1）=12， 整理，得 （t+4）（t-3）=0， 解得t=3或t=-4（舍去）． 则a2+b2=3， ∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长， ∴这个直角三角形的斜边长为． 故答案是：． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键． 18. 如图，直线与坐标轴相交于点、点，，且，双曲线过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴与，构造，根据求出C点的横坐标，再根据与垂直，求出直线的比例系数，再利用B点坐标求出一次函数的解析式，将C点横坐标代入解析式，即可求出C点的纵坐标，将C点横坐标代入反比例函数解析式即可得到的值． 【详解】作轴与 因为的解析式为，则A点坐标为，B点坐标为， ∵， 即 ∴， 可知，C点横坐标为 设解析式为， ∵， ∴，得到函数解析式为 将代入解析式得，， 则的解析式为 C点横坐标代入得， 故C点坐标为， 代入得， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、相互垂直的直线的比例系数的关系、待定系数法求反比例函数解析式，注意通过解方程组求出交点坐标，同时要注意运用数形结合的思想． 三、解答题（共7小题，共66分） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：由， 得， 配方得，， 直接开平方得，， 或， ，． 【小问2详解】 解：由， 得， ， 或， 解得，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）点坐标为或； （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出反比例函数表达式，再将代入反比例函数表达式求出的值，得到点坐标，将、坐标代入中求解，即可解题； （2）设点坐标为，联立与直线，求出其交点，再结合的面积为21，建立方程求解，即可解题； （3）根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量取值范围． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． ， 反比例函数表达式为， 则当时，， ， 将，代入中， 有， 解得， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：设点坐标为， 当时，， 即与直线的交点为， 的面积为21， ， 解得或， 点坐标为或； 【小问3详解】 解：，， 则结合图象可知，不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求函数的解析式，以及根据函数图象求不等式解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为5，求的值； （2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】（1） （2），平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5， ∴把代入，得 解得：； 【小问2详解】 解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 22. 如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，即可得出结论； （2）先由勾股定理求出，再结合相似三角形的性质得出比例式，再代入相关数值即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，证明是解答本题的关键． 23. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表： （元） 180 260 280 300 （间） 100 60 50 40 （1）请求出与的函数关系式； （2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 【答案】（1） （2）当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式； （2）设房价为元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入当日支出”列出方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 把，分别代入解析式， 得， 解得， 所以与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意可知：， 整理得：， 解得． 答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元， 24. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）首先确定、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该“快乐方程”的“快乐数”； （2）首先确定、、的表达式，然后求得判别式，根据的取值范围即可确定判别式的取值范围，由判别式是完全平方数可进一步确定判别式的取值，进而求得的值及、、的值，然后根据“快乐数”的定义即可求出该方程的“快乐数”． 【小问1详解】 解：对于“快乐方程”， ，，， 其“快乐数”为： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于关于的一元二次方程， ，，， ， ， ， 是完全平方数， 或， 若，则， 若，则（与为整数相矛盾，故舍去）， ， ，，， 该一元二次方程变为：， 该方程的“快乐数”为： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的四则混合运算，一元二次方程根的判别式，完全平方公式，计算单项式乘多项式，合并同类项，不等式的性质，完全平方数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当与矩形的对角线平行时，求t的值； （3）若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； （4）直接写出点B关于直线的对称点落在边上时t的值． 【答案】（1）当时，，当时，； （2）的值为或； （3）的值为或或； （4）点关于直线的对称点落在边上时的值为或． 【解析】 【分析】（1）由题意得，，则当时，，当时，； （2）分两种情况讨论，一是当时，，则，所以，求得，二是当时，，则，可证明，则，求得； （3）由点为的中点，求得，再分四种情况讨论，一是当，且时，则，二是当，且时，则，三是当，且时，则，四是当，且时，则解方程求出相应的符合题意的值即可； （4）当点落在上时，由勾股定理求得，则，于是得(，求得． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点与点重合时，则， 解得：， 当点与点重合时，则， ∵当点到达点时，两点同时停止运动， 当时，， 当时，； 【小问2详解】 解：当时，如图1，，则， ， ， 解得：， 当时，如图2，则， ， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：∵点为的中点，， ， ， 当，且时，如图3， 则， 解得：， 当，，且时，如图4， 则， ， 解得：， 当，，且时，如图5， 则 解得：， 当，且时，如图6， 则， ， 解得：不符合题意，舍去， 综上所述，的值为或或． 【小问4详解】 解：当点落在上时，如图7， ，，， ， ， ， ， 解得：， 当点落在上时，如图8， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上，点关于直线的对称点落在边上时的值为或． 【点睛】此题重点考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握数形结合与分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $