微专题04 角平分线模型与全等构造2026-2027学年八年级数学上册苏教版专用

专题四角平分线模型与全等构造培优专题讲与练 一必备知识 角平分线既能把角相等转化为垂直距离相等，也能把两条等垂距转化为角相等。本专题先分 清“垂直于角边”和“垂直于角平分线”两类图，再用全等、面积分割与点的先后次序处理求长、求 角和证明。 1定义与垂直距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。若射线OP在 ∠AOB内部且∠AOP=∠POB,则OP平分∠AOB。 点到直线的距离是该点向这条直线所作垂线段的长度。图中PE⊥OA、PF⊥OB,所以两条距 离是PE与PF,不能换成任意斜线段。 本讲讨论0°<∠AOB<180°。性质中的点在角平分线上；判定中的点须在所讨论角的内部。 2性质角平分线上的点到两边等距 若点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F,则PE=PF。 E 证明 当P=O时，两条距离都为0。以下设P≠O。角的半角小于90°，所以两个垂足都在相应角边上。 在△OEP与△OFP中 ∠EOP=∠FOP ∠OEP=∠OFP=90 OP=OP △OEP兰△OFP(AAS)。 因此PE=PF,并且OE=OF。 先确定同一个点P在角平分线上，再确认比较的是两条垂距；只有一条垂线时，常补出另一垂 线。 第1页共20页 3判定等垂距确定角平分线 若点P在∠AOB内部，PE⊥直线OA于E、PF⊥直线OB于F,且PE=PF,则OP平分∠AOB。 A E 证明 先说明垂足不在顶点：若E=O,则PE=PO;由PF=PO可知F=O,这将使两条不同的角边所 在直线都垂直于OP,矛盾。F≠O同理。 在Rt△OEP与Rt△OFP中， ∠OEP=∠OFP=90 OP=OP PE=PF Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)。 因此∠EOP=∠FOP。由于P在角内部，∠AOP+∠POB<180°，至少有一个角小于90°。若另 一垂足落在角边的反向延长线上，全等得到的两个锐角相等就会使∠AOP+∠POB=180°，矛 盾。故两个垂足都在相应角边上。 于是∠AOP=∠POB,即OP平分∠AOB。 到两条相交直线等距，不一定在原内角的平分线上。讨论外角时，应写明外角的两条射线，并 确认点在这个外角内部。 第2页共20页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=6、AC=10,S△ABc=24。点D在线段BC内部，过D作DE⊥AB于E,且 DE=3。 (1)求点D到直线AC的距离； (2)求证：AD平分∠BAC。 D 分析 本题不预先给出角平分线。先从总面积扣除一块面积，算出另一条垂距，最后才运用判定得到 角相等。 解 过D作DF⊥AC于F。题目给出到AB的垂距，要判断AD是否为角平分线，应补出从同一点D到 另一角边的垂线。 先计算5。m号ABDE=63=9。 因为D在线段BC内部，SAACD=SAABC-SA ABD=24-9=15。 由15=AC~DF=号10~DF,得DF=3。所以点D到直线AC的距离为3。 现在DE=DF=3,且两者确为到两条角边的垂距。又D在∠BAC内部，根据角平分线的判定， AD平分∠BAC。 第3页共20页 三分类讲练 1共同垂距与面积分割 从角平分线上的同一点补另一条垂线，可以给不同三角形提供相等的高。测量点是中点或两条 角平分线的交点时，要先确定哪些小三角形拼成所需面积。 例1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,M为AD的中点。过M作ME⊥AB于E。已知 ME=3,BC=14,△ABC的面积为84，求△ABC的周长。 A E M B 0 C 变式1一1△ABC的两条内角平分线AI、BI交于三角形内部的点I。过I作IE⊥AB于E。已知 IE=2,BC=17,△ABC的面积为36。 (1)求证：I到BC、CA所在直线的距离均为2， (2)求AB+AC. A B 第4页共20页 变式1一2在△ABC中，延长AB至X,点序为A,B,X。∠BAC的平分线与外角∠XBC的平分线 交于J,且J与A在直线BC的两侧。过J作JE⊥直线AB于E。已知E=头，BC=13, SAABC=84,求AB+AC。 B 第5页共20页 2垂角平分线与延长构造 已有垂线垂直于角平分线时，把它延长到另一角边，常可得到一对全等三角形。新交点在边内 还是延长线上，决定最后使用线段和、线段差、面积和还是面积差。 例2在△ABC中，AB<AC,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于E,连接CE 已知SAAE=6,SABCE=4。 (1)求证：E在线段AD内部； (2)求△ABC的面积。 A 第6页共20页 变式2-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于 E。若BC=8,BE=2V5,求AB-AC。 B E D 变式2-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分外角∠CAX。过B作BE⊥ 直线AP于E。已知BC=8,BE=4V5,求AB+AC。 B E 第7页共20页 3先证等垂距再判角平分线 角平分线不是已知时，可由全等或面积关系先得到两条垂距相等。运用判定前必须确定所讨论 的角及点所在的角域。 例3在Rt△ABC中，∠ACB=90°。D、F分别为BC、AC的内点，过D作DE⊥AB于E,且E在 线段AB内部。已知BE=CF,∠AFD+∠ABC=180°。求证：AD平分∠BAC。 y E 第8页共20页 变式3-1在△ABC中，AB=10,AC=6。延长BC至D,延长BA至X,点序分别为B,C,D与 B,A,X。已知S△ABD:S△ACD=5:3。求证：AD平分外角∠CAX。 B A 第9页共20页 4双垂足与转动中的线段关系 两条相等的垂线段可以作小直角三角形的对应边。把已知角关系化成两个小三角形的锐角相 等，或反过来由线段和恢复角关系，都要保留边上各点的先后次序。 例4在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、AF内部，点序为A,E,M,B和A,N,F,C。若∠MDN+∠BAC=180°， 求证：AM+AN=2AE。 小 女店 D 第10页共20页 变式4-1在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分 别在线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段AE、FC内部，点序为A,M,E,B和A,F,N,C。若AM+AN=2AE,求证： ∠MDN+∠BAC=180。 夕 E ◇ A D F 第11页共20页 四分层练习 基础巩固 1.点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F。已知OP=5,PE=3,求PF、OF的 长。 A E B 2.点P在∠BAC的平分线上，点B、C分别在角的两边上。已知AB=6,S△ABP=18,S△AcP=30, 求AC的长。 B 第12页共20页 3.在△ABC中，∠A=64°，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,交于三角形内部的点I。求 ∠BIC的度数。 A 4.射线OB与OC反向。射线OP平分∠AOB,射线OQ平分与它相邻的外角∠AOC,且P、Q在 直线OA两侧。求∠POQ的度数。 B 第13页共20页 5.在△ABC中，AB=9,AC=12,点D在线段BC内部。已知SA ABD:SAACD=3:4。求证：AD平 分∠BAC。 B A D C 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过D作DE‖AB,交AC于E。已知AC=12、 EC=5,求DE的长。 B D E C 第14页共20页 7.在∠AOB的两边上分别取异于O的点E、F,使OE=OF。点P在∠AOB内部，且PE=PF。求 证：OP平分∠AOB。 y E 方法运用 8.在△ABC中，AB=10,AC=16,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥AD于E,连接 CE。求SABCE:S△ABE B 第15页共20页 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5。AD平分∠BAC,交BC于D。求AD的长。 D 10.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。求证：CI平分 ∠ACB。 A B C 第16页共20页 11.点P是∠AOB的平分线上异于O的点，PE⊥OA于E。点F在射线OB上，且PF=PE。求 证：PF⊥OB。 y B 迁移运用 12.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、FC内部，点序为A,E,M,B和A,F,N,C。求证： ∠MDN+∠BAC>180。 女2 A D F 第17页共20页 五综合提高 1.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。M为AI的中点。过 M作ME⊥AB于E、MG⊥BC于G。已知ME=2、MG=8、BC=14,求△ABC的周长。 A ② M B G C 第18页共20页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分∠BAC,射线AQ平分外角 ∠CAX。过B分别作BE⊥直线AP于E、BF⊥直线AQ于F。已知BE=3、BF=4,求AB、AC、 BC的长。 B F ◇ 0 第19页共20页 3.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在线 段AB、AC内部。 已知AB=9、AC=6、AE=4。点M在线段EB内部，设AM=X。求x的取值范围，使线段AF内部 存在点N满足∠MDN+∠BAC=180°；当这样的点N存在时，求AN(用含x的式子表示)。 B 以 E A 第20页共20页专题四角平分线模型与全等构造培优专题讲与练 一必备知识 角平分线既能把角相等转化为垂直距离相等，也能把两条等垂距转化为角相等。本专题先分 清“垂直于角边”和“垂直于角平分线”两类图，再用全等、面积分割与点的先后次序处理求长、求 角和证明。 1定义与垂直距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。若射线OP在 ∠AOB内部且∠AOP=∠POB,则OP平分∠AOB。 点到直线的距离是该点向这条直线所作垂线段的长度。图中PE⊥OA、PF⊥OB,所以两条距 离是PE与PF,不能换成任意斜线段。 本讲讨论0°<∠AOB<180°。性质中的点在角平分线上；判定中的点须在所讨论角的内部。 2性质角平分线上的点到两边等距 若点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F,则PE=PF。 E B 证明 当P=O时，两条距离都为0。以下设P≠O。角的半角小于90°，所以两个垂足都在相应角边 上。在△OEP与△OFP中， ∠EOP=∠FOP ∠OEP=∠OFP=90 OP=OP △OEP≌△OFP(AAS)。 因此PE=PF,并且OE=OF。 先确定同一个点P在角平分线上，再确认比较的是两条垂距；只有一条垂线时，常补出另一垂 线。 第1页共20页 3判定等垂距确定角平分线 若点P在∠AOB内部，PE⊥直线OA于E、PF⊥直线OB于F,且PE=PF,则OP平分∠AOB。 B 证明 先说明垂足不在顶点：若E=O,则PE=PO;由PF=PO可知F=O,这将使两条不同的角边所 在直线都垂直于OP,矛盾。F≠O同理。 在Rt△OEP与Rt△OFP中， ∠OEP=ㄥOFP=90 OP=OP PE=PF Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)。 因此∠EOP=∠FOP。由于P在角内部，∠AOP+∠POB<180°，至少有一个角小于90°。若 一垂足落在角边的反向延长线上，全等得到的两个锐角相等就会使∠AOP+∠POB=180°，矛 盾。故两个垂足都在相应角边上。 于是∠AOP=∠POB,即OP平分∠AOB。 到两条相交直线等距，不一定在原内角的平分线上。讨论外角时，应写明外角的两条射线，并 确认点在这个外角内部。 第2页共20页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=6、AC=10,SAABC=24。点D在线段BC内部，过D作DE⊥AB于E, 且DE=3。 (1)求点D到直线AC的距离； (2)求证：AD平分∠BAC。 D 分析 本题不预先给出角平分线。先从总面积扣除一块面积，算出另一条垂距，最后才运用判定得到 角相等。 解 过D作DF⊥AC于F。题目给出到AB的垂距，要判断AD是否为角平分线，应补出从同一点D到 另一角边的垂线。 先计算SAm号ABDE=6:3=9. 因为D在线段BC内部，SAACD=S△ABc-SAABD=24-9=15。 由15=ACDP=)10-DP,得DF=3。所以点D到直线AC的距离为3. 现在DE=DF=3,且两者确为到两条角边的垂距。又D在∠BAC内部，根据角平分线的判定， AD平分∠BAC。 第3页共20页 三分类讲练 1共同垂距与面积分割 从角平分线上的同一点补另一条垂线，可以给不同三角形提供相等的高。测量点是中点或两条 角平分线的交点时，要先确定哪些小三角形拼成所需面积。 例1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,M为AD的中点。过M作ME⊥AB于E。已知 ME=3,BC=14,△ABC的面积为84，求△ABC的周长。 A E i D C 变式1一1△ABC的两条内角平分线AI、BI交于三角形内部的点I。过I作IE⊥AB于E。已知 IE=2,BC=17,△ABC的面积为36。 (1)求证：I到BC、CA所在直线的距离均为2； (2)求AB+AC。 E 第4页共20页 变式1一2在△ABC中，延长AB至X,点序为A,B,X。∠BAC的平分线与外角∠XBC的平分线 交于，且/与A在直线BC的两侧。过作EL直线AB于E,已知E-,BC=1B, SAABC=84,求AB+AC。 A B E 第5页共20页 2垂角平分线与延长构造 已有垂线垂直于角平分线时，把它延长到另一角边，常可得到一对全等三角形。新交点在边内 还是延长线上，决定最后使用线段和、线段差、面积和还是面积差。 例2在△ABC中，AB<AC,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于E,连接 CE。已知S△ABE=6,S△BCE=4。 (1)求证：E在线段AD内部； (2)求△ABC的面积。 B A 第6页共20页 变式2-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于 E。若BC=8,BE=2V5,求AB-AC。 B E D 变式2-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分外角∠CAX。过B作BE⊥ 直线AP于E。已知BC=8,BE=4V5,求AB+AC。 B E A 第7页共20页 3先证等垂距再判角平分线 角平分线不是已知时，可由全等或面积关系先得到两条垂距相等。运用判定前必须确定所讨论 的角及点所在的角域。 例3在Rt△ABC中，∠ACB=90°。D、F分别为BC、AC的内点，过D作DE⊥AB于E,且E在 线段AB内部。已知BE=CF,∠AFD+∠ABC=180°。求证：AD平分∠BAC。 y D B 第8页共20页 变式3-1在△ABC中，AB=10,AC=6。延长BC至D,延长BA至X,点序分别为B,C,D与 B,A,X。已知S△ABD:SAACD=5:3。求证：AD平分外角∠CAX。 B A X 第9页共20页 4双垂足与转动中的线段关系 两条相等的垂线段可以作小直角三角形的对应边。把已知角关系化成两个小三角形的锐角相 等，或反过来由线段和恢复角关系，都要保留边上各点的先后次序。 例4在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、AF内部，点序为A,E,M,B和A,N,F,C。若 ∠MDN+∠BAC=180°，求证：AM+AN=2AE。 小 ⊙衣 A D 第10页共20页 变式4-1在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F 分别在线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段AE、FC内部，点序为A,M,E,B和A,F,N,C。若AM+AN=2AE,求 证：∠MDN+∠BAC=180°。 B ME ◇ A D F N'C 第11页共20页 四分层练习 基础巩固 1.点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F。已知OP=5,PE=3,求PF、OF 的长。 A B 2.点P在∠BAC的平分线上，点B、C分别在角的两边上。已知AB=6,SAAB即=18， SAACP=30,求AC的长。 B 第12页共20页 3.在△ABC中，∠A=64°，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,交于三角形内部的点I。求 ∠BIC的度数。 A B 4.射线OB与OC反向。射线OP平分∠AOB,射线OQ平分与它相邻的外角∠AOC,且P、Q在 直线OA两侧。求∠POQ的度数。 B 第13页共20页 5.在△ABC中，AB=9,AC=12,点D在线段BC内部。已知SAABD:SAACD=3:4。求证：AD平 分∠BAC。 夕 A D 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过D作DE‖AB,交AC于E。已知AC=12、 EC=5,求DE的长。 2 D E C 第14页共20页 7.在∠AOB的两边上分别取异于O的点E、F,使OE=OF。点P在∠AOB内部，且PE=PF。 求证：OP平分∠AOB。 A E 方法运用 8.在△ABC中，AB=10,AC=16,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥AD于E,连接 CE。求SABCE:S△ABE· B 第15页共20页 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5。AD平分∠BAC,交BC于D。求AD的长。 B 10.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。求证：CI平分 ∠ACB。 A B C 第16页共20页 11.点P是∠AOB的平分线上异于O的点，PE⊥OA于E。点F在射线OB上，且PF=PE。求 证：PF⊥OB。 y E 迁移运用 12.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、FC内部，点序为A,E,M,B和A,F,N,C。求证： ∠MDN+∠BAC>180。 小 女应 A D F C 第17页共20页 五综合提高 1.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。M为AI的中点。 过M作ME⊥AB于E、MG⊥BC于G。已知ME=2、MG=8、BC=14,求△ABC的周长。 M B G 第18页共20页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分∠BAC,射线AQ平分外角 ∠CAX。过B分别作BE⊥直线AP于E、BF⊥直线AQ于F。已知BE=3、BF=4,求AB、 AC、BC的长。 第19页共20页 3.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在线 段AB、AC内部。 已知AB=9、AC=6、AE=4。点M在线段EB内部，设AM=X。求x的取值范围，使线段AF内 部存在点N满足∠MDN+∠BAC=180°：当这样的点N存在时，求AN（用含x的式子表示)。 B M A 第20页共20页专题四角平分线模型与全等构造培优专题讲与练 一必备知识 角平分线既能把角相等转化为垂直距离相等，也能把两条等垂距转化为角相等。本专题先分 清“垂直于角边”和“垂直于角平分线”两类图，再用全等、面积分割与点的先后次序处理求长、求 角和证明。 1定义与垂直距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。若射线OP在 ∠AOB内部且∠AOP=∠POB,则OP平分∠AOB。 点到直线的距离是该点向这条直线所作垂线段的长度。图中PE⊥OA、PF⊥OB,所以两条距 离是PE与PF,不能换成任意斜线段。 本讲讨论0°<∠AOB<180°。性质中的点在角平分线上；判定中的点须在所讨论角的内部。 2性质角平分线上的点到两边等距 若点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F,则PE=PF。 E 证明 当P=O时，两条距离都为0。以下设P≠O。角的半角小于90°，所以两个垂足都在相应角边上。 在△OEP与△OFP中 ∠EOP=∠FOP ∠OEP=∠OFP=90 OP=OP △OEP兰△OFP(AAS)。 因此PE=PF,并且OE=OF。 先确定同一个点P在角平分线上，再确认比较的是两条垂距；只有一条垂线时，常补出另一垂 线。 第1页共23页 3判定等垂距确定角平分线 若点P在∠AOB内部，PE⊥直线OA于E、PF⊥直线OB于F,且PE=PF,则OP平分∠AOB。 A E 证明 先说明垂足不在顶点：若E=O,则PE=PO;由PF=PO可知F=O,这将使两条不同的角边所 在直线都垂直于OP,矛盾。F≠O同理。 在Rt△OEP与Rt△OFP中， ∠OEP=∠OFP=90 OP=OP PE=PF Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)。 因此∠EOP=∠FOP。由于P在角内部，∠AOP+∠POB<180°，至少有一个角小于90°。若另 一垂足落在角边的反向延长线上，全等得到的两个锐角相等就会使∠AOP+∠POB=180°，矛 盾。故两个垂足都在相应角边上。 于是∠AOP=∠POB,即OP平分∠AOB。 到两条相交直线等距，不一定在原内角的平分线上。讨论外角时，应写明外角的两条射线，并 确认点在这个外角内部。 第2页共23页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=6、AC=10,S△ABc=24。点D在线段BC内部，过D作DE⊥AB于E,且 DE=3。 (1)求点D到直线AC的距离； (2)求证：AD平分∠BAC。 D 分析 本题不预先给出角平分线。先从总面积扣除一块面积，算出另一条垂距，最后才运用判定得到 角相等。 解 过D作DF⊥AC于F。题目给出到AB的垂距，要判断AD是否为角平分线，应补出从同一点D到 另一角边的垂线。 先计算5。m号ABDE=63=9。 因为D在线段BC内部，SAACD=SAABC-SA ABD=24-9=15。 由15=AC~DF=号10~DF,得DF=3。所以点D到直线AC的距离为3。 现在DE=DF=3,且两者确为到两条角边的垂距。又D在∠BAC内部，根据角平分线的判定， AD平分∠BAC。 第3页共23页 三分类讲练 1共同垂距与面积分割 从角平分线上的同一点补另一条垂线，可以给不同三角形提供相等的高。测量点是中点或两条 角平分线的交点时，要先确定哪些小三角形拼成所需面积。 例1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,M为AD的中点。过M作ME⊥AB于E。已知 ME=3,BC=14,△ABC的面积为84，求AABC的周长。 A E M 分析 不能把ME直接当作△ABD和△ACD的高。先由中点得到半面积，再用共同垂距列式。 解答 过M作MF⊥AC于F,连接MB、MC。由角平分线的性质，MF=ME=3。 因为AM=MD,△ABM与△BDM以AM、MD为底，底相等且高相同，所以面积相等。同理， S△ACM=SACDM 因此Saw+Saw方Sa-2。 42=AB-3+号AC3,所以AB+AC=28。 故△ABC的周长为28+14=42。 第4页共23页 变式1一1△ABC的两条内角平分线AI,BI交于三角形内部的点I。过I作IE⊥AB于E。已知 IE=2,BC=17,△ABC的面积为36。 (1)求证：I到BC、CA所在直线的距离均为2， (2)求AB+AC。 E B C G 分析 由两条角平分线把两条等垂距扩成三条，再把三块面积拼成整体；这里不再使用中点与半面 积。 解答 作IF⊥AC于F、IG⊥BC于G,连接IC。 因为I在∠A的平分线上，所以IF=IE=2,因为I在∠B的平分线上，所以IG=IE=2,第（1) 问得证。 点I在三角形内部，三个三角形AB、BC.1CA恰好拼成△ABC,所以36=2(AB+BC+CA)。 因此AB+AC=36-17=19。 第5页共23页 变式1一2在△ABC中，延长AB至X,点序为A,B,X。∠BAC的平分线与外角∠XBC的平分线 F丁且J与A在直线BC的两侧。过J作E上直线AB于E。已知E=号，BC SAAB=84,求AB+AC。 y G B D 分析 等垂距仍然成立，但外部点产生的三个三角形不能直接相加成原三角形。借AJ与BC的交点分 割后，再写正确的面积关系。 解答 作F⊥直线AC于F,JG⊥直线BC于G。由AU、BJ分别平分题设两角，得F=E=JG=2L。 设AJ与BC交于D。因为J在∠BAC内且与A分居BC两侧，D在BC内部，点序为A,D,J。 分别以AD、DJ分割△ABJ与△ACJ,得到SAAB+SAAC=SAABC+S△BCJ 因此MB+AC分=4+号13分，即B+AC=16+13=29。 第6页共23页 2垂角平分线与延长构造 已有垂线垂直于角平分线时，把它延长到另一角边，常可得到一对全等三角形。新交点在边内 还是延长线上，决定最后使用线段和、线段差、面积和还是面积差。 例2在△ABC中，AB<AC,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于E,连接CE。 已知S△AE=6,SABCE=4。 (1)求证：E在线段AD内部； (2)求△ABC的面积。 D 分析 垂线垂的是角平分线，不是角边；延长现有垂线便可补出全等。只有先确定A,F,C的点序，才 可决定两块面积相加。 解答 ∠BAD<90°，所以垂足E在射线AD上。延长BE交射线AC于F。在△ABE与△AFE中， ∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF=90 △ABE兰△AFE(ASA)。 所以AF=AB、BE=EF。由AB<AC,得AF<AC,即F在线段AC内部 E是BF的中点，而F在AC内部，故E在△ABC内部。又E在射线AD上，所以E在线段AD内部。 BE=EF,以这两段为底且顶点同为A的三角形面积相等，故S△ABF=2SAAB距=12。同理， SABCF=2 SA BCE=8。 因为F在AC内部，所以SAABC=SAABF+SABCF=12+8=20。 第7页共23页 变式2-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于 E。若BC=8,BE=2V5,求AB-AC。 B D A 分析 所求边差正好是延长后的小线段CF,不必分别解出AB和AC。勾股定理用在新得到的△BCF 中。 解答 延长BE交射线AC于F。由角平分线、两个直角及公共边AE,得△ABE三△AFE(ASA),所 以AF=AB、BE=EF。 AB是Rt△ABC的斜边，所以AB>AC,从而AF>AC,点序为A,C,F。因此 CF=AF-AC=AB-AC。 BF=2BE=4V5。又BC⊥CF,在Rt△BCF中，CF2=BF2-BC2=(4V5)2-8=16。 故CF=4,即AB-AC=4。 第8页共23页 变式2-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分外角∠CAX。过B作BE⊥ 直线AP于E。已知BC=8,BE=4VS,求AB+AC。 内 分析 外角平分线改变了反射点所在的射线：现在是C,A,F依次排列，因此构造得到的是两边之和而 非两边之差。 解答 设∠BAC=a。由外角平分线可知∠BAP=90+受90，所以E在射线AP的反向延长线上。 延长BE交CA越过A的延长线于F。此时2BME=∠EAF=90-受又∠AEB=∠AEF=90、AE 公共，故△ABE兰△AFE(ASA)。 所以AF=AB,BF=2BE=8VS。按点序C,A,F,CF=CA+AF=AC+AB。 在Rt△BCF中，CF2=BF2-BC=(8V52-8=256,所以CF=16。 故AB+AC=16。 第9页共23页 3先证等垂距再判角平分线 角平分线不是已知时，可由全等或面积关系先得到两条垂距相等。运用判定前必须确定所讨论 的角及点所在的角域。 例3在Rt△ABC中，∠ACB=90°。D、F分别为BC、AC的内点，过D作DE⊥AB于E,且E在 线段AB内部。已知BE=CF,∠AFD+∠ABC=180°。求证：AD平分∠BAC。 D B 分析 先把已知补角关系换成小三角形中的对应角，第一次全等便产生两条相等的垂距。已有知识部 分证明的判定可以直接使用，不必再重复一遍HL。 解答 由点序A,F,C,，∠AFD+∠CFD=180°。与已知比较，得∠CFD=∠ABC=∠EBD。 在△BED与△FCD中， ∠EBD=∠CFD BE=FC ∠BED=∠FCD=90 △BED兰△FCD(ASA)。 所以DE=DC。因为DC⊥AC,DE与DC分别是点D到AB、AC所在直线的距离。 D在∠BAC内部，根据角平分线判定，AD平分∠BAC。 第10页共23页 变式3-1在△ABC中，AB=10,AC=6。延长BC至D,延长BA至X,点序分别为B,C,D与 B,A,X。已知SAABD:S△AcD=5:3。求证：AD平分外角∠CAX。 B A 分析 面积比先给等垂距，但结论是哪一个角的平分线，还取决于D所在角域。外点题不能沿用内角 结论。 解答 过D分别向直线AB、AC作垂线，垂足为E、F。记DE=h1、DF=h2。 SAABD:S△Acn=ABh1:ACh,=10h1:6h2=5:3,所以h1=h2,即DE=DF。 射线AX与AB反向，但所在直线相同，所以DE也是D到外角边AX所在直线的距离。 由B,C,D的点序可知，射线AD位于外角∠CAX内部。点D到这个角两边所在直线的距离相等， 由角平分线判定，AD平分∠CAX。 第11页共23页 4双垂足与转动中的线段关系 两条相等的垂线段可以作小直角三角形的对应边。把已知角关系化成两个小三角形的锐角相 等，或反过来由线段和恢复角关系，都要保留边上各点的先后次序。 例4在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、AF内部，点序为A,E,M,B和A,N,F,C。若∠MDN+∠BAC=180°， 求证：AM+AN=2AE。 分析 先把顶角的补角识别为∠EDF,再减去共同角。全等得到的是EM=FN,还需按点序转成所求 线段和。 解答 由△ADE兰△ADF(AAS),得AE=AF、DE=DF。 设∠DAE=∠FAD=a。由两个直角三角形的内角和，∠ADE=∠ADF=90°-，故 ∠EDF=180°-2a=180°-∠BAC。 因此∠MDN=∠EDF。按题设点序，射线DE、DN均在∠MDF内部；两等角同时减去 ∠EDN,得∠MDE=∠NDF。 在△DEM与△DFN中， ∠MDE=∠NDF DE=DF ∠DEM=∠DFN=90 △DEM兰△DFN(ASA)。 所以EM=FN。由点序，AM+AN=(AE+EM)+AF-FN)=AE+AF=2AE。 第12页共23页 变式4-1在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分 别在线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段AE、FC内部，点序为A,M,E,B和A,F,N,C。若AM+AN=2AE,求证： ∠MDN+∠BAC=180。 以E y D NC 分析 点序与例题不同，线段关系应写成AE-AM=AN-AF。由长度先作SAS,再把对应锐角拼回所 求夹角。 解答 由△ADE兰△ADF(AAS),得AE=AF、DE=DF。设∠DAE=∠FAD=a,则 ∠ADE=∠ADF=90°-a,所以∠EDF=180°-2=180°-∠BAC。 由AM+AN=2AE=AE+AF,得AE-AM=AN-AF。按本题点序，EM=FN。 在△DEM与△DFN中， DE=DF ∠DEM=∠DFN=90 EM=FN △DEM兰△DFN(SAS)· 所以∠EDM=∠FDN。按射线的次序，∠MDN=∠MDF+∠FDN,而 ∠EDF=∠EDM+∠MDF,所以∠MDN=∠EDF。 因此∠MDN+∠BAC=180。 第13页共23页 四分层练习 基础巩固 1.点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F。已知OP=5,PE=3,求PF、OF的 长。 A E 分析 先用角平分线得到另一垂距，再在指定直角三角形中求角边上的线段。 解答 由角平分线性质，PF=PE=3。 在Rt△OPF中，OF=VOP2-PF=V25-9=4。 2.点P在∠BAC的平分线上，点B、C分别在角的两边上。已知AB=6,SAAB即=18，S△4CP=30, 求AC的长。 E B, 分析 两个三角形有相同的垂直高，即使某个垂足落在边的延长线上，面积公式仍然成立。 解答 过P向两边所在直线作垂线，设共同垂距为h。由18=6h,得h=6。 再由30=号AC·6,得AC=10。 第14页共23页 3.在△ABC中，∠A=64°，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,交于三角形内部的点I。求 ∠BIC的度数。 分析 这一题只需角平分线的定义与内角和，不必补垂线或证明三角形全等。 解答 由三角形内角和，∠B+∠C=180°-64=116。 ∠BC+∠1CB=∠B+∠C)=58,所以∠B1C=180-58=122, 4.射线OB与OC反向。射线OP平分∠AOB,射线OQ平分与它相邻的外角∠AOC,且P、Q在 直线OA两侧。求∠POQ的度数。 B A Q 分析 两个半角相加的依据是射线位置；这里讨论相邻的内外角，不是把同一内角再平分一次。 解答 因为OB、OC反向，所以∠AOB+∠AOC=180°。 由两条角平分线及两点分居OA两侧，∠POQ=∠POA+∠AOQ=号∠AOB+号∠AOC=90°。 第15页共23页 5.在△ABC中，AB=9,AC=12,点D在线段BC内部。已知S△ABD:S△ACD=3:4。求证：AD平 分∠BAC。 E D A 分析 面积比与底边比相同，消去底边后得到两条垂距相等；最后仍须写明点在角内部。 解答 过D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足为E、F。 3:4=SAABD:S△AcD=9DE:12DF,所以DE=DF。 D在∠BAC内部，到两边所在直线的距离相等，故AD平分∠BAC。 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过D作DE‖AB,交AC于E。已知AC=12、 EC=5,求DE的长。 B 分析 没有垂线而给出平行线时，先寻找由平行关系得到的等角；本题直接得到等腰三角形，无须硬 补全等。 解答 由DE‖AB,得∠ADE=∠DAB。又AD平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAE。 因此∠ADE=∠DAE,在△ADE中，DE=AE=AC-EC=12-5=7。 第16页共23页 7.在∠AOB的两边上分别取异于O的点E、F,使OE=OF。点P在∠AOB内部，且PE=PF。求 证：OP平分∠AOB。 E B 分析 已给三组对应边时，直接用SSS最短。题中的PE、PF不必是垂线段，不能误称为角平分线的 等垂距判定。 解答 连接OP。在△OEP与△OFP中， OE=OF EP=FP OP=OP △OEP=△OFP(SSS)。 所以∠EOP=∠FOP。由于E、F分别在两条角边上，OP平分∠AOB。 第17页共23页 方法运用 8.在△ABC中，AB=10,AC=16,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥AD于E,连接 CE。求SABCE:S△ABE· B 分析 先把两个含垂足的小三角形各扩成两倍，再比较同一直线上的底边；不需要知道垂线的具体长 度。 解答 延长BE交AC于F。由△ABE兰△AFE(ASA),得AF=AB=10、BE=EF。因此 CF=16-10=6。 两条等底BE、EF分别给出S△BCF=2S△BCE,S△ABF=2 SA ABE。 △BCF与△ABF以CF、AF为底，高相同，所以SABCE:SAABE=CF:AF=6:10=3:5。 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5。AD平分∠BAC,交BC于D。求AD的长。 B 分析 同一三角形选两种底和高，可直接列出底边分段关系，不需要引用角平分线分边比例定理。 解答 由勾股定理，BC=V132-52=12。过D作DE⊥AB于E,由角平分线性质，DE=DC。 △ABD既可取AB为底，也可取BD为底，故ABDE=BDAC。代入DE=DC BD=12-DC,得13DC=5(12-DC). 解得DG=9.在△ACD中，AD-5+9P-5亚 3 第18页共23页 10.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。求证：CI平分 ∠ACB。 A F E B G 分析 不直接引用三条内角平分线交于一点，而由两次性质和一次判定完成证明。 解答 过I分别向AB、AC、BC作垂线，垂足为E、F、G。 由AI平分∠BAC,得IE=IF,由BI平分∠ABC,得IE=IG。所以IF=IG。 I在∠ACB内部，到该角两边的距离相等，故CI平分∠ACB。 11.点P是∠AOB的平分线上异于O的点，PE⊥OA于E。点F在射线OB上，且PF=PE。求 证：PF⊥OB。 F(H) B 分析 先补真正的垂足，再由斜边大于直角边说明给出的等长线段只能是垂线段；不能一开始就把任 意连线当距离。 解答 过P作PH⊥OB于H。由角平分线性质，PH=PE;结合已知，得PF=PH。 若F≠H,则在Rt△PHF中，斜边PF大于直角边PH,与PF=PH矛盾。 因此F=H,所以PF⊥OB。 第19页共23页 迁移运用 12.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M,N分别在线段EB、FC内部，点序为A,E,M,B和A,F,N,C。求证： ∠MDN+∠BAC>180。 A D F C 分析 两动点都越过垂足后，夹角由三部分相加而成，不再是例题中减去共同角的构型。 解答 由两个直角三角形的内角和及AD平分顶角，∠EDF=180°-∠BAC。 按题设点序，射线DE、DF都在∠MDN内部，因此 ∠MDN=∠MDE+∠EDF+∠FDN>∠EDF. 故∠MDN+∠BAC>180。 第20页共23页 五综合提高 1.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC,∠ABC,交于三角形内部的点I。M为AI的中点。过 M作ME⊥AB于E、MG⊥BC于G。已知ME=2、MG=8、BC=14,求△ABC的周长。 A E B GH 分析 先用中点把到角边的距离从M转移到I,再把到BC的另一条高放入面积分割。两条高不相等， 不能直接混用。 解答 过I分别向AB、AC、BC作垂线，垂足为F、K、H。由两条角平分线的性质，IF=IK=IH。 因为M是AI的中点，△ABM与△BMI以AM、M为等底且同高，故S△A=2S△ABM·换用共同底 边AB可得IF=2ME=4,于是IK=IH=4。 连接MC.MB.1C.同理，5aAaw号56设5=5.则S。m45r号5-5a S,方144=28,5a方148=56。由三角形纳部的面积分制.55-28)+56，解得 S=84。 再按点1分成三个三角形，84=4(AB+BC+CA),所以周长为42。 第21页共23页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分∠BAC,射线AQ平分外角 ∠CAX。过B分别作BE⊥直线AP于E、BF⊥直线AQ于F。已知BE=3、BF=4,求AB、AC、 BC的长。 B 分析 先由内外角平分线的垂直关系，把一条垂距转为另一小三角形的直角边，再作一次延长反射。 全程只用角关系、全等和勾股，不使用圆或特殊四边形定理。 解答 内外角互补，所以两条角平分线所在直线互相垂直。E在射线AP上，F在射线AQ的反向延长线 上。设∠BAE=a,则∠BAF=90°-a,从而∠ABF=Q。 在△AEB与△BFA中， ∠EAB=∠ABF ∠AEB=∠BFA=90 AB=BA △AEB兰△BFA(AAS)。 所以AE=BF=4。在Rt△AEB中，AB=V42+3=5。 延长BE交射线AC于K。由△ABE兰△AKE(ASA),得AK=AB=5、BK=2BE=6。因为 AB>AC,点序为A,C,K。 设AC=x、BC=y。分别在Rt△ABC与Rt△BCK中用勾股定理，得x2+y=25, 7 (5-x}+y2=36。两式相减，25-10x=11,所以x= 于是y25-贺-4因此AB=5,AC-名，-4 5 第22页共23页 3.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在线 段AB、AC内部。 已知AB=9、AC=6、AE=4。点M在线段EB内部，设AM=X。求x的取值范围，使线段AF内部 存在点N满足∠MDN+∠BAC=180°；当这样的点N存在时，求AN(用含x的式子表示)。 B M E 分析 求出候选长度还不够，要检查它是否落在要求的开线段内，并反向证明这样取得的点确实满足 角条件。x=8时点到达A,不符合“内部”。 解答 由△ADE三△ADF(AAS),得AF=AE=4、DE=DF,并由两个直角三角形的内角和得 ∠EDF=180°-∠BAC。已知M在EB内部，所以4<X<9。 若符合条件的N存在，则∠MDN=∠EDF。按点序减去公共角∠EDN,得∠MDE=∠NDF, 故△DEM兰△DFN(ASA),从而EM=FN。 于是AM+AN=AE+AF=8,即AN=8-x。因为N在AF内部，0<8-X<4,所以4<x<8。 反过来，当4<x<8时，在线段AF上取AN=8-x,则0<AN<4,所取点确实在AF内部，并有 FN=4-AN=x-4=EM。 在△DEM与△DFN中，DE=DF、EM=FN,且夹角都为90°，所以两三角形全等(SAS), ∠MDE=∠NDF。加上公共角∠EDN,得∠MDN=∠EDF,原角条件成立。 故x的取值范围为4<x<8,且AN=8-x。线段AF上到A距离为8-X的点只有一个，所求点唯 第23页共23页专题四角平分线模型与全等构造培优专题讲与练 一必备知识 角平分线既能把角相等转化为垂直距离相等，也能把两条等垂距转化为角相等。本专题先分 清“垂直于角边”和“垂直于角平分线”两类图，再用全等、面积分割与点的先后次序处理求长、求 角和证明。 1定义与垂直距离 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。若射线OP在 ∠AOB内部且∠AOP=∠POB,则OP平分∠AOB。 点到直线的距离是该点向这条直线所作垂线段的长度。图中PE⊥OA、PF⊥OB,所以两条距 离是PE与PF,不能换成任意斜线段。 本讲讨论0°<∠AOB<180°。性质中的点在角平分线上；判定中的点须在所讨论角的内部。 2性质角平分线上的点到两边等距 若点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F,则PE=PF。 E B 证明 当P=O时，两条距离都为0。以下设P≠O。角的半角小于90°，所以两个垂足都在相应角边 上。在△OEP与△OFP中， ∠EOP=∠FOP ∠OEP=∠OFP=90 OP=OP △OEP≌△OFP(AAS)。 因此PE=PF,并且OE=OF。 先确定同一个点P在角平分线上，再确认比较的是两条垂距；只有一条垂线时，常补出另一垂 线。 第1页共24页 3判定等垂距确定角平分线 若点P在∠AOB内部，PE⊥直线OA于E、PF⊥直线OB于F,且PE=PF,则OP平分∠AOB。 B 证明 先说明垂足不在顶点：若E=O,则PE=PO;由PF=PO可知F=O,这将使两条不同的角边所 在直线都垂直于OP,矛盾。F≠O同理。 在Rt△OEP与Rt△OFP中， ∠OEP=ㄥOFP=90 OP=OP PE=PF Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)。 因此∠EOP=∠FOP。由于P在角内部，∠AOP+∠POB<180°，至少有一个角小于90°。若 一垂足落在角边的反向延长线上，全等得到的两个锐角相等就会使∠AOP+∠POB=180°，矛 盾。故两个垂足都在相应角边上。 于是∠AOP=∠POB,即OP平分∠AOB。 到两条相交直线等距，不一定在原内角的平分线上。讨论外角时，应写明外角的两条射线，并 确认点在这个外角内部。 第2页共24页 二典例精讲 例题在△ABC中，AB=6、AC=10,SAAB=24。点D在线段BC内部，过D作DE⊥AB于E, 且DE=3。 (1)求点D到直线AC的距离； (2)求证：AD平分∠BAC。 D 分析 本题不预先给出角平分线。先从总面积扣除一块面积，算出另一条垂距，最后才运用判定得到 角相等。 解 过D作DF⊥AC于F。题目给出到AB的垂距，要判断AD是否为角平分线，应补出从同一点D到 另一角边的垂线。 先计算SAm号ABDE=6:3=9. 因为D在线段BC内部，SAACD=S△ABC-S△ABD=24-9=15。 由15=ACDP=)10-DP,得DF=3。所以点D到直线AC的距离为3. 现在DE=DF=3,且两者确为到两条角边的垂距。又D在∠BAC内部，根据角平分线的判定， AD平分∠BAC。 第3页共24页 三分类讲练 1共同垂距与面积分割 从角平分线上的同一点补另一条垂线，可以给不同三角形提供相等的高。测量点是中点或两条 角平分线的交点时，要先确定哪些小三角形拼成所需面积。 例1在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D,M为AD的中点。过M作ME⊥AB于E。已知 ME=3,BC=14,△ABC的面积为84，求△ABC的周长。 A E Q M B D 分析 不能把ME直接当作△ABD和△ACD的高。先由中点得到半面积，再用共同垂距列式。 解答 过M作MF⊥AC于F,连接MB、MC。由角平分线的性质，MF=ME=3。 因为AM=MD,△ABM与△BDM以AM、MD为底，底相等且高相同，所以面积相等。同理， S△ACM=S△CDM· 因此S6au+S6Gw号SAmc=42。 42=AB3+号AC3,所以AB+AC=2B。 故△ABC的周长为28+14=42。 第4页共24页 变式1-一1△ABC的两条内角平分线AI、BI交于三角形内部的点I。过I作IE⊥AB于E。已知 IE=2,BC=17,△ABC的面积为36。 (1)求证：I到BC、CA所在直线的距离均为2； (2)求AB+AC。 A E B G 分析 由两条角平分线把两条等垂距扩成三条，再把三块面积拼成整体；这里不再使用中点与半面 积。 解答 作IF⊥AC于F、IG⊥BC于G,连接IC。 因为I在∠A的平分线上，所以IF=IE=2;因为I在∠B的平分线上，所以IG=IE=2,第(1) 问得证。 点I在三角形内部，三个三角形IAB、IBC、ICA恰好拼成△ABC,所以 36=22(AB+BC+CA)· 因此AB+AC=36-17=19。 第5页共24页 变式1一2在△ABC中，延长AB至X,点序为A,B,X。∠BAC的平分线与外角∠XBC的平分线 交于J,且J与A在直线BC的两侧。过J作JE1直线AB于E。已知E-,BC=3, SAABC=84,求AB+AC。 A G E 分析 等垂距仍然成立，但外部点产生的三个三角形不能直接相加成原三角形。借AJ与BC的交点分 割后，再写正确的面积关系。 解答 作F⊥直线AC于F,JG1直线BC于C。由AJ、BJ分别平分题设两角，得F=B=JG=21 设AJ与BC交于D。因为J在∠BAC内且与A分居BC两侧，D在BC内部，点序为A,D,J。 分别以AD、DJ分割△ABJ与△ACJ,得到S△AB+SAAC=S△ABc+S△BC· 因此号AB+AC1号=84+号132号，即AB+AC=16+13=29. 第6页共24页 2垂角平分线与延长构造 已有垂线垂直于角平分线时，把它延长到另一角边，常可得到一对全等三角形。新交点在边内 还是延长线上，决定最后使用线段和、线段差、面积和还是面积差。 例2在△ABC中，AB<AC,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于E,连接 CE。已知SAABE=6,SABCE=4。 (1)求证：E在线段AD内部； (2)求△ABC的面积。 的 A D 分析 垂线垂的是角平分线，不是角边；延长现有垂线便可补出全等。只有先确定A,F,C的点序，才 可决定两块面积相加。 解答 ∠BAD<90°，所以垂足E在射线AD上。延长BE交射线AC于F。在△ABE与△AFE中， ∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF=90 △ABE≌△AFE(ASA)。 所以AF=AB、BE=EF。由AB<AC,得AF<AC,即F在线段AC内部。 E是BF的中点，而F在AC内部，故E在△ABC内部。又E在射线AD上，所以E在线段AD内部。 BE=EF,以这两段为底且顶点同为A的三角形面积相等，故SAABF=2 SAABE=12。同理， SABCF=2 SABCE=8。 因为F在AC内部，所以SAABC=SAABF+SABCF=12+8=20。 第7页共24页 变式2-1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥直线AD于 E。若BC=8,BE=2V5,求AB-AC。 B D A 分析 所求边差正好是延长后的小线段CF,不必分别解出AB和AC。勾股定理用在新得到的△BCF 中。 解答 延长BE交射线AC于F。由角平分线、两个直角及公共边AE,得△ABE≌△AFE(ASA),所 以AF=AB、BE=EF。 AB是Rt△ABC的斜边，所以AB>AC,从而AF>AC,点序为A,C,F。因此 CF=AF-AC=AB-AC。 BF=2BE=4V5。又BC⊥CF,在Rt△BCF中，CF2=BF2-BC2=(452-82=16。 故CF=4,即AB-AC=4。 第8页共24页 变式2-2在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分外角∠CAX。过B作BE⊥ 直线AP于E。已知BC=8,BE=4V5,求AB+AC。 B E 分析 外角平分线改变了反射点所在的射线：现在是C,A,F依次排列，因此构造得到的是两边之和而 非两边之差。 解答 设∠BAC=a。由外角平分线可知∠BAP=90°+g>90°，所以E在射线AP的反向延长线上。 延长BE交CA越过A的延长线于P,此时∠BAE=∠EAF=90-号，又∠AEB=∠AF=90、AE 公共，故△ABE≌△AFE(ASA)。 所以AF=AB,BF=2BE=8V5。按点序C,A,F,CF=CA+AF=AC+AB。 在Rt△BCF中，CF2=BF2-BC=(8V52-82=256,所以CF=16。 故AB+AC=16。 第9页共24页 3先证等垂距再判角平分线 角平分线不是已知时，可由全等或面积关系先得到两条垂距相等。运用判定前必须确定所讨论 的角及点所在的角域。 例3在Rt△ABC中，∠ACB=90°。D、F分别为BC、AC的内点，过D作DE⊥AB于E,且E在 线段AB内部。已知BE=CF,∠AFD+∠ABC=180°。求证：AD平分∠BAC。 B 分析 先把已知补角关系换成小三角形中的对应角，第一次全等便产生两条相等的垂距。已有知识部 分证明的判定可以直接使用，不必再重复一遍HL。 解答 由点序A,F,C,∠AFD+∠CFD=180°。与已知比较，得∠CFD=∠ABC=∠EBD。 在△BED与△FCD中， ∠EBD=∠CFD BE=FC ∠BED=∠FCD=90 △BED≌△FCD(ASA)· 所以DE=DC。因为DC⊥AC,DE与DC分别是点D到AB、AC所在直线的距离。 D在∠BAC内部，根据角平分线判定，AD平分∠BAC。 第10页共24页 变式3一1在△ABC中，AB=10,AC=6。延长BC至D,延长BA至X,点序分别为B,C,D与 B,A,X。已知SAABD:S△AcD=5:3。求证：AD平分外角∠CAX。 B A E 分析 面积比先给等垂距，但结论是哪一个角的平分线，还取决于D所在角域。外点题不能沿用内角 结论。 解答 过D分别向直线AB、AC作垂线，垂足为E、F。记DE=h1、DF=h2。 SAABD:SAACD=AB·h1:AC·h2=10h1:6h2=5:3,所以h1=h2,即DE=DF。 射线AX与AB反向，但所在直线相同，所以DE也是D到外角边AX所在直线的距离。 由B,C,D的点序可知，射线AD位于外角∠CAX内部。点D到这个角两边所在直线的距离相等， 由角平分线判定，AD平分∠CAX。 第11页共24页 4双垂足与转动中的线段关系 两条相等的垂线段可以作小直角三角形的对应边。把已知角关系化成两个小三角形的锐角相 等，或反过来由线段和恢复角关系，都要保留边上各点的先后次序。 例4在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、AF内部，点序为A,E,M,B和A,N,F,C。若 ∠MDN+∠BAC=180,求证：AM+AN=2AE。 A 分析 先把顶角的补角识别为∠EDF，再减去共同角。全等得到的是EM=FN,还需按点序转成所求 线段和。 解答 由△ADE≌△ADF(AAS),得AE=AF、DE=DF。 设∠DAE=∠FAD=C。由两个直角三角形的内角和，∠ADE=∠ADF=90°-a,故 ∠EDF=180°-2a=180-∠BAC。 因此∠MDN=∠EDF。按题设点序，射线DE、DN均在∠MDF内部；两等角同时减去 ∠EDN,得∠MDE=∠NDF. 在△DEM与△DFN中， ∠MDE=ㄥNDF DE=DF ∠DEM=∠DFN=90 △DEM≌△DFN(ASA)。 所以EM=FN。由点序，AM+AN=(AE+EM)+(AF-FN)=AE+AF=2AE。 第12页共24页 变式4-1在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F 分别在线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段AE、FC内部，点序为A,M,E,B和A,F,N,C。若AM+AN=2AE,求 证：∠MDN+∠BAC=180。 ME D 9 分析 点序与例题不同，线段关系应写成AE-AM=AN-AF。由长度先作SAS,再把对应锐角拼回 所求夹角。 解答 由△ADE≌△ADF(AAS),得AE=AF、DE=DF。设∠DAE=∠FAD=a,则 ∠ADE=∠ADF=90°-a,所以∠EDF=180°-2a=180°-∠BAC。 由AM+AN=2AE=AE+AF,得AE-AM=AN-AF。按本题点序，EM=FN。 在△DEM与△DFN中， DE=DF ∠DEM=∠DFN=90 EM=FN △DEM≌△DFN(SAS)。 所以∠EDM=∠FDN。按射线的次序，∠MDN=∠MDF+∠FDN,而 ∠EDF=∠EDM+∠MDF,所以∠MDN=∠EDF。 因此∠MDN+∠BAC=180。 第13页共24页 四分层练习 基础巩固 1.点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E、PF⊥OB于F。已知OP=5,PE=3,求PF、OF 的长。 A B 分析 先用角平分线得到另一垂距，再在指定直角三角形中求角边上的线段。 解答 由角平分线性质，PF=PE=3。 在Rt△OPF中，OF=VOP2-PF2=V25-9=4。 2.点P在∠BAC的平分线上，点B、C分别在角的两边上。已知AB=6,SAABP=18, SAACP=30,求AC的长。 B 分析 两个三角形有相同的垂直高，即使某个垂足落在边的延长线上，面积公式仍然成立。 解答 过P向两边所在直线作垂线，设共同垂距为h。由18=·6h,得h=6。 再由30=号AC6,得AC=10。 第14页共24页 3.在△ABC中，∠A=64°，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,交于三角形内部的点I。求 ∠BIC的度数。 A 分析 这一题只需角平分线的定义与内角和，不必补垂线或证明三角形全等。 解答 由三角形内角和，∠B+∠C=180-64=116。 ∠1BC+∠1CB=∠B+∠C=58,所以∠B1C=180-58=122。 4.射线OB与OC反向。射线OP平分∠AOB,射线OQ平分与它相邻的外角∠AOC,且P、Q在 直线OA两侧。求∠POQ的度数。 B A 分析 两个半角相加的依据是射线位置；这里讨论相邻的内外角，不是把同一内角再平分一次。 解答 因为OB、OC反向，所以∠AOB+∠AOC=180。 由两条角平分线及两点分居OA两侧，∠POQ=∠POA+∠A0Q=号∠AOB+号∠A0C=90°。 第15页共24页 5.在△ABC中，AB=9,AC=12,点D在线段BC内部。已知S△ABD:S△ACcD=3:4。求证：AD平 分∠BAC。 B E D 0 分析 面积比与底边比相同，消去底边后得到两条垂距相等；最后仍须写明点在角内部。 解答 过D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足为E、F。 3:4=S△ABD:S△ACD=9DE:12DF,所以DE=DF。 D在∠BAC内部，到两边所在直线的距离相等，故AD平分∠BAC。 6.在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于D。过D作DE‖AB,交AC于E。已知AC=12、 EC=5,求DE的长。 B E 分析 没有垂线而给出平行线时，先寻找由平行关系得到的等角；本题直接得到等腰三角形，无须硬 补全等。 解答 由DE‖AB,得∠ADE=∠DAB。又AD平分∠BAC,所以∠DAB=∠DAE。 因此∠ADE=∠DAE,在△ADE中，DE=AE=AC-EC=12-5=7。 第16页共24页 7.在∠AOB的两边上分别取异于O的点E、F,使OE=OF。点P在∠AOB内部，且PE=PF。 求证：OP平分∠AOB。 E 分析 已给三组对应边时，直接用SSS最短。题中的PE、PF不必是垂线段，不能误称为角平分线的 等垂距判定。 解答 连接OP。在△OEP与△OFP中， OE=OF EP=FP OP=OP △OEP≌△OFP(SSS)。 所以∠EOP=∠FOP。由于E、F分别在两条角边上，OP平分∠AOB。 第17页共24页 方法运用 8.在△ABC中，AB=10,AC=16,AD平分∠BAC,交BC于D。过B作BE⊥AD于E,连接 CE。求SA BCE:S△ABE0 分析 先把两个含垂足的小三角形各扩成两倍，再比较同一直线上的底边；不需要知道垂线的具体长 度。 解答 延长BE交AC于F。由△ABE≌△AFE(ASA),得AF=AB=10、BE=EF。因此 CF=16-10=6。 两条等底BE、EF分别给出SABCF=2S△BCE、S△ABF=2S△ABE· △BCF与△ABF以CF、AF为底，高相同，所以S△BCE:S△AE=CF:AF=6:10=3:5。 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5。AD平分∠BAC,交BC于D。求AD的长。 B 分析 同一三角形选两种底和高，可直接列出底边分段关系，不需要引用角平分线分边比例定理。 解答 由勾股定理，BC=132-52=12。过D作DE⊥AB于E,由角平分线性质，DE=DC。 △ABD既可取AB为底，也可取BD为底，故AB·DE=号BD·AC。代入DE=DC、 BD=12-DC,得13DC=5(12-DC)。 第18页共24页 解得DC-号.在△ACD中，AD-5+碧F-5亚 3 第19页共24页 10.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。求证：CI平分 ∠ACB。 AF T下9 B G 分析 不直接引用三条内角平分线交于一点，而由两次性质和一次判定完成证明。 解答 过I分别向AB、AC、BC作垂线，垂足为E、F、G。 由AI平分∠BAC,得IE=IF;由BI平分∠ABC,得IE=IG。所以IF=IG。 I在∠ACB内部，到该角两边的距离相等，故CI平分∠ACB。 11.点P是∠AOB的平分线上异于O的点，PE⊥OA于E。点F在射线OB上，且PF=PE。求 证：PF⊥OB。 E F(H) B 分析 先补真正的垂足，再由斜边大于直角边说明给出的等长线段只能是垂线段；不能一开始就把任 意连线当距离。 解答 过P作PH⊥OB于H。由角平分线性质，PH=PE;结合已知，得PF=PH。 若F≠H,则在Rt△PHF中，斜边PF大于直角边PH,与PF=PH矛盾。 因此F=H,所以PF⊥OB。 第20页共24页 迁移运用 12.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在 线段AB、AC内部。 点M、N分别在线段EB、FC内部，点序为A,E,M,B和A,F,N,C。求证： ∠MDN+∠BAC>180。 y D F 分析 两动点都越过垂足后，夹角由三部分相加而成，不再是例题中减去共同角的构型。 解答 由两个直角三角形的内角和及AD平分顶角，∠EDF=180°-∠BAC。 按题设点序，射线DE、DF都在∠MDN内部，因此 ∠MDN=∠MDE+∠EDF+∠FDN>∠EDF。 故∠MDN+∠BAC>180。, 第21页共24页 五综合提高 1.在△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC,交于三角形内部的点I。M为AI的中点。 过M作ME⊥AB于E、MG⊥BC于G。已知ME=2、MG=8、BC=14,求△ABC的周长。 E B GH 分析 先用中点把到角边的距离从M转移到I,再把到BC的另一条高放入面积分割。两条高不相等， 不能直接混用。 解答 过I分别向AB、AC、BC作垂线，垂足为F、K、H。由两条角平分线的性质，IF=IK=IH。 因为M是AI的中点，△ABM与△BMI以AM、MI为等底且同高，故S△AB=2S△ABM·换用共同底 边AB可得IF=2ME=4,于是IK=IH=4。 连接MC、MB.C.同理，SNM-·设5ac=S,则5。Aat+SawS-SA: 5四号144=28,5号148=56。由三角形纳都的面积分制.5-5-28)+56，解得 S=84。 再按点I分成三个三角形，84=子4(AB+BC+CA),所以周长为42。 第22页共24页 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°。延长BA至X,射线AP平分∠BAC,射线AQ平分外角 ∠CAX。过B分别作BE⊥直线AP于E、BF⊥直线AQ于F。已知BE=3、BF=4,求AB、 AC、BC的长。 B 分析 先由内外角平分线的垂直关系，把一条垂距转为另一小三角形的直角边，再作一次延长反射。 全程只用角关系、全等和勾股，不使用圆或特殊四边形定理。 解答 内外角互补，所以两条角平分线所在直线互相垂直。E在射线AP上，F在射线AQ的反向延长线 上。设∠BAE=a,则∠BAF=90°-a,从而∠ABF=a。 在△AEB与△BFA中， ∠EAB=∠ABF ∠AEB=∠BFA=90 AB=BA △AEB≌△BA(AAS)。 所以AE=BF=4。在Rt△AEB中，AB=√42+32=5。 延长BE交射线AC于K。由△ABE≌△AKE(ASA),得AK=AB=5、BK=2BE=6。因为 AB>AC,点序为A,C,K。 设AC=X、BC=y。分别在Rt△ABC与Rt△BCK中用勾股定理，得x+y2=25, (5-x+y2=36。两式相减，25-10x=11,所以x=5 于是y=25碧告因此AB=5,AC-号Bc=4 5 第23页共24页 3.在△ABC中，AD平分∠BAC,D在BC上。作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F,E、F分别在线 段AB、AC内部。 已知AB=9、AC=6、AE=4。点M在线段EB内部，设AM=x。求x的取值范围，使线段AF内 部存在点N满足∠MDN+∠BAC=180°：当这样的点N存在时，求AN(用含x的式子表示)。 B M E 分析 求出候选长度还不够，要检查它是否落在要求的开线段内，并反向证明这样取得的点确实满足 角条件。X=8时点到达A,不符合“内部”。 解答 由△ADE≌△ADF(AAS),得AF=AE=4、DE=DF,并由两个直角三角形的内角和得 ∠EDF=180°-∠BAC。已知M在EB内部，所以4<x<9。 若符合条件的N存在，则∠MDN=∠EDF。按点序减去公共角∠EDN,得∠MDE=∠NDF, 故△DEM≌△DFN(ASA),从而EM=FN. 于是AM+AN=AE+AF=8,即AN=8-X。因为N在AF内部，0<8-x<4,所以4<x<8。 反过来，当4<x<8时，在线段AF上取AN=8-x,则0<AN<4,所取点确实在AF内部，并有 FN=4-AN=X-4=EM。 在△DEM与△DFN中，DE=DF、EM=FN,且夹角都为90°，所以两三角形全等(SAS), ∠MDE=∠NDF。加上公共角∠EDN,得∠MDN=∠EDF,原角条件成立。 故x的取值范围为4<x<8,且AN=8-X。线段AF上到A距离为8-X的点只有一个，所求点唯 第24页共24页