精品解析：四川成都市高新技术产业开发区成都高新区银都紫藤初中学校2026-2027学年 八年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年上学期10月练习题 八年级数学学科 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 13 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 的立方根是 C. 若，则 D. 两个无理数的和还是无理数 4. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 4米 8. 如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 4的平方根是______． 10. 若实数x，y满足，则的值为______． 11. 比较大小：________． 12. 如图，以的三边为直径向外作半圆，其面积分别为、、，若，，则_____． 13. 如图，是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为______． 三、解答题（共48分） 14. 计算 （1）； （2）． 15. 将下列各数的序号填入相应的括号内： ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦； ⑧（每两个2之间依次增加一个1）；⑨6；⑩． 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 正有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 16. 如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，求长． 17. 如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 18. 如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有． （1）如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． （2）如图2，连接，若的值为　 　． （3）运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． B卷 一、填空题（共5小题，每小题4分） 19. 已知，则代数式的值为______． 20. 如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是________cm． 21. 如图，数轴上点A对应的数为1，与数轴垂直，，则P所对应的数是______． 22. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接，．若，，则的面积为___________________． 23. 如图，在△ABC中，，点P在上： ①若点P为的中点，且，则m的值为______； ②若边上有2026个不同的点，，…，，且相应的有，，…，，则的值为______． 二、解答题（共3小题） 24. 一个正数的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求的值； （2）若是的整数部分，求的算术平方根． 25. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则、、这三个点中是关于点的勾股点的有______（填“、、”）； 【问题探究】 （2）如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点； 【拓展应用】 （3）是长方形内一点，且点是关于点的勾股点， ①如图4，若，，则的度数为______． ②若，，当是以为腰的等腰三角形时，此时的长为______． 26. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE． （1）求证：AE⊥BE； （2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠ABE＝30°，求CE的长； （3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期10月练习题 八年级数学学科 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 2. 在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算出斜边长为13． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数与数轴上的点一一对应 B. 的立方根是 C. 若，则 D. 两个无理数的和还是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】优先判断易计算的立方根选项，再逐一验证其余选项． 【详解】解：A选项：实数与数轴上的点一一对应，有理数不满足一一对应，故A错误； B选项：∵， ∴的立方根是，故B正确； C选项：∵， ∴ 举反例：，但，故C错误； D选项：举反例：，是有理数，故两个无理数的和不一定是无理数，D错误． 4. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解： 、∵，，， ∴， ∴该组数不是勾股数，不符合题意； 、∵，是分数， ∴该组数不是勾股数，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴该组数是勾股数，符合题意； 、∵是无理数， ∴该组数不是勾股数，不符合题意． 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负的条件列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 7. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 4米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，求出即可． 【详解】解：如图所示：作 由题意得： ∴ ∴ 即：木马上升的高度为1米 故选：A 8. 如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高． 【详解】解：四边形DEFA是正方形，面积是4； △ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1． △BCE的面积是：1×1． 则△ABC的面积是：4﹣1﹣1． 在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC． 设AC边上的高线长是x．则AC•xx， 解得：x． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 4的平方根是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根为． 10. 若实数x，y满足，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】算术平方根与绝对值均为非负数，两个非负数的和为0时，两项各自的取值均为0，据此求出x、y的值，再计算的结果． 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴， 解得， ∴ 11. 比较大小：________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，算术平方根，熟练应用平方法比较大小是解题的关键．利用平方法分别计算，，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 12. 如图，以的三边为直径向外作半圆，其面积分别为、、，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的面积公式及勾股定理，设，根据，及勾股定理求出，从而可求． 【详解】设， 则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照示意图中的计算顺序计算即可． 【详解】第一步：取算术平方根，， 第二步：回来再取算术平方根，得， 第三步：按要求输出． 三、解答题（共48分） 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得或． 15. 将下列各数的序号填入相应的括号内： ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦； ⑧（每两个2之间依次增加一个1）；⑨6；⑩． 整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 正有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 【答案】；；； 【解析】 【分析】根据相关定义进行分类即可． 【详解】解：由题意得，整数集合有：0，，6，即； 负分数集合有：，，，即； 正有理数集合有：，，6，即； 无理数集合有：，（每两个2之间依次增加一个1），即． 16. 如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质可得，可得，再根据折叠可得，即可求出； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 解：在长方形中，， ， 根据折叠可得， ； 【小问2详解】 解：在长方形中，， 设，则， 根据折叠可得， 根据勾股定理可得， 即， 解得， 则． 17. 如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ∴； 【小问2详解】 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 18. 如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有． （1）如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． （2）如图2，连接，若的值为　 　． （3）运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）82 （3）米 【解析】 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，可得出，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （3）在的外侧作，使，连接，就可以得出，就有，由勾股定理就可以求出的值，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在的外侧作，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系是解决问题的关键． B卷 一、填空题（共5小题，每小题4分） 19. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 20. 如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解答中涉及勾股定理，求一个数的算术平方根，解题的关键是将平面展开，构造一个直角三角形．将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理即可求出最短路径． 【详解】解：如图，将正方体的右侧面与前面展开，构成一个长方形，过B作于C， 由题意得：，， 由勾股定理，得． 故答案为：． 21. 如图，数轴上点A对应的数为1，与数轴垂直，，则P所对应的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，如图，利用勾股定理求出，可得，再根据数轴上两点间距离公式，可得答案． 【详解】解：如图， 点A对应的数为1，点C对应的数为， ， 与数轴垂直，， ， ， P所对应的数是：， 故答案为：． 22. 如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接，．若，，则的面积为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等． 先证明，可得，过点E作于点H，则，，再证明，可得，根据，可得，即有，解得，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过点E作于点H，则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 23. 如图，在△ABC中，，点P在上： ①若点P为的中点，且，则m的值为______； ②若边上有2026个不同的点，，…，，且相应的有，，…，，则的值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 8104 【解析】 【分析】①利用等腰三角形“三线合一”性质及勾股定理，可得，，即可获得答案；②过点A作于点D，利用等腰三角形“三线合一”性质及勾股定理，将转化为，将利用平方差公式转化为，从而发现m为定值． 【详解】解：如下图， ∵，P为的中点， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； ②过点A作于点D，如下图， ∵， ∴， 对于边上任意一点（不妨设在B、D之间，若在D、C之间或重合推导类似）， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，即对于边上任意一点，m的值均为4， ∴． 二、解答题（共3小题） 24. 一个正数的两个平方根分别是与，的立方根是． （1）求的值； （2）若是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出，根据立方根的定义求出即可； （）估算的取值范围得到整数部分，再求出代数式的值，最后根据算术平方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得 ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴的算术平方根为． 25. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则、、这三个点中是关于点的勾股点的有______（填“、、”）； 【问题探究】 （2）如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点； 【拓展应用】 （3）是长方形内一点，且点是关于点的勾股点， ①如图4，若，，则的度数为______． ②若，，当是以为腰的等腰三角形时，此时的长为______． 【答案】（1）； （2）证明：∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P为关于点D的勾股点． （3）①，②， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行计算，再判断即可． （2）证明，得出，，证明，则结论得证． （3）①由长方形性质得，可得；根据勾股数得，又因为，即得．设，根据和，结合，可用α表示的三个内角，利用三角形内角和为等量关系列方程，即求出α进而求出． ②由条件“点C是关于点A的勾股点”仍可得，作为条件使用．结合是以为腰的等腰三角形，需分2种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求的长． 【详解】解：（1）如图，连接， ∴，，， ∴， 连接， ∵，， ∴， 连接， ∴，，， ∴， ∴、、这三个点中是关于点的勾股点的有． （2）略 （3）①∵点C是关于点A的勾股点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②∵长方形中，，， ∴，， ∵点C是关于点A的勾股点， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， 如图，若，则， 过点E作于点M，交于点N ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， 设，则， ∵中，；中，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴中，． 如图，若，则E在的垂直平分线上， 过点E作于点P，交于点Q， ∴，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴中，， ∴， ∴中，． 综上所述，是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了对新概念的理解，首先根据题干理解勾股点的定义，同时考查了长方形的判定与性质、三角形内角和定理，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的定义与性质等知识点，是综合性很强的一道题． 26. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE． （1）求证：AE⊥BE； （2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠ABE＝30°，求CE的长； （3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积． 【答案】（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴， ∵， ， ， ∴． （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可； （2）如图2，过点C作CF⊥CE于点F，设AC交BE于J，证明，是等腰直角三角形，可得结论； （3）分两种情况：如图3-1中，当点E在直线AB的下方时，过点C作CG⊥BE于G，CF⊥CE交BE于F，如图3-2中，当点E在直线AB的上方时，过点C作CG⊥BE于点G，CF⊥CE交EB的延长线于F，分别利用（2）中结论求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，设AC交BE于J， ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ 在中， ∴ ； （3）如图3-1中，当点E在直线AB的下方时，过点C作CG⊥BE于G，CF⊥CE交BE于F， 由（2）可知，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图3-2中，当点E在直线AB的上方时，过点C作CG⊥BE于点G，CF⊥CE交EB的延长线于F， 同法可得，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意做出相应的辅助线求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $