广东广州东江外语实验学校2026-2027学年上学期八年级10月作业数学试题

2026-2027学年度第一学期10月限时作业 八年级数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题 1．下列长度的线段能构成三角形的是（ ） A．3，2，1 B．2，1，1 C．5，3，4 D．3，2，6 2．如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ） A．三角形两边之差小于第三边 B．三角形两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 3．如图，是的外角，若，，则（ ） A． B．50° C． D．60° 4．如图，过的顶点，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ） A． B． C． D． 6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 7．如图，已知中，分别为它的两条高线，，则（ ） A．10 B． C． D．7 8．如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为（ ） A． B．58° C．48° D．38° 9．如图，在中，分别是边的中点，且，则为（ ） A． B． C． D． 10．如图，的三边的长分别为20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题： 11．在中，，，则为___________度． 12．一个三角形的两边长分别是5和11，那么第三边长的取值范围___________． 13．如图，已知，，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：___________，使．（只写出一种即可） 14．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点在上，点和点分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为___________cm． 15．如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，5，点为上一点，若满足，则的长度为___________． 16．三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”，为“友好角”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为___________． 三、解答题： 17、在中，，比大，求的度数． 18．如图所示，，，，求证：． 19．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．延长至点，求证：平分； 20．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21．如图，在中，是边上的高． （1）作的平分线，交于点（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的面积是20，，求的长度． 22．如图，在四边形中，，为的中点，且平分．求证： （1）CO平分； （2）； 23．如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点以的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？ 24．如图（1），在中，，点是直线上一点（不与点，重合），以为一边，在的右侧作，使，连接．设． （1）求证：． （2）当点在线段上运动时， ①若，则___________°； ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明． 如图（2），当点在线段的反向延长线上运动时，猜想与之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 25．（1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 答案和解析 1．【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了三角形中三边的关系，用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形，难度适中．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知． 【解答】 解：A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选C 2．【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解答】 解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故选D 3．【答案】D 【解析】解：是的外角，， ， ， ， 故选：D 根据三角形的外角的性质进行计算即可． 本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键 4．【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了三角形的高线的画法，熟记高线的定义是解题的关键．根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，进行判断即可． 【解答】 解：由三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，可知：BC边上的高是过的顶点A画对边BC的垂线段AD， 因此，只有A选项的画法符合题意，其他选项的图形都不正确． 5．【答案】D 【解析】解：A、，又，根据AAS证明和全等，故本项正确，不符合题意； B、，又，根据SSS证明和全等，故本项正确，不符合题意； C、，又，根据ASA证明和全等，故本项正确，不符合题意； D、，又，不能证明和全等，故本项错误，符合题意； 故选：D 根据全等三角形的判定定理求解即可． 本题主要考查了全等三角形的判定方法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 6．【答案】B 【解析】【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及作图-基本作图，全等三角形的判定方法有：ASA；SAS；SSS；AAS，以及直角三角形判定全等的方法) 由作一个角等于已知角的方法得到，利用SSS可得出和全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出，即可得到两三角形全等的依据为 【解答】 解：在和中， ， ≌， 则全等的依据为 故选 7．【答案】A 【解析】解：， ， 故选A 利用三角形的面积公式列出等式即可求解． 本题主要考查了三角形的面积公式，利用三角形的面积公式列出等式是解题的关键． 8．【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，图形的翻折变换，熟练掌握三角形的内角和定理和四边形的内角和定理是解题的关键．利用三角形的内角和定理和四边形的内角和解答即可． 【解答】 解：， ， 四边形ABED的内角和为， ， ， 故选C 9．【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】 解：点E是AD的中点， ， ， ， 点F是CE的中点， 故选D 10．【答案】C 【解析】 【分析】 由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解． 此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键． 【解答】 解：过点O作于D，于E，于F， 是三角形三条角平分线的交点， ， ， ：3： 故答案为：2：3： 11．【答案】30 【解析】解：在中，， ， ， 故答案为： 根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可． 此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答． 12．【答案】 【解析】【分析】 此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【解答】 解：此三角形的两边长分别为5和11， 第三边长的取值范围是：第三边， 即：， 故答案为 13．【答案】 【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据等式的性质可得，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答． 【解答】 解：添加一个合适的条件可以是：答案不唯一 ， ， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：（答案不唯一) 14【答案】 【解析】略 15．【答案】或 【解析】如图，过点作于点． 平分， ， ． ． 若点在线段上， ， ， ． 若点在射线上，同理可得， 故答案为或． 16．【答案】或或 【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．分角是、和既不是也不是三种情况，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】 解：①角是，则友好角度数为； ②角是，则， 友好角； ③角既不是也不是， 则， 所以，， 解得， 综上所述，友好角度数为或或 故答案为或或 17．【【答案】解：比大， ， 根据三角形内角和定理得：， ， 解得：， 【解析】由于比大，得到，根据三角形内角和定理即可求得，进而求得 本题主要考查了三角形内角和定理，熟记三角形的内角和等于是解决问题的关键． 19．【答案】【答案】（1）如图，过点P作PF⊥BE于点F，PN⊥BD于点N，PM⊥AC于点M． ∵CP平分∠ACD， ∴PM=PN． ∵BP平分∠ABC， ∴PF=PN．∴PF=PM． 又∵PF⊥AE，PM⊥AC， ∴AP平分∠CAE 20．．【答案】解：（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）， ， 又， 由（1）知：， ， 【解析】（1）根据HL证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的和差关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【答案】证明：≌， ， 和分别是和的角平分线， ， ， 在和中， ， ≌， 【解析】由全等三角形的性质推出，由角平分线定义得到， ，因此，由ASA即可证明≌即可解答． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由≌，推出，由ASA证明≌ 解：（1）如图，CE即为所求． （2）过点E作于点F， 是边AC上的高， 为的平分线， 的面积是20，， ， ， 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 22．【答案】证明：（1）过点O作于E， ，AO平分， ， 点O为BD的中点， ， ， 又， 平分； （2）在和中， ， ， ， 同理求出， ， ； 【解析】本题考查了角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质． （1）过点O作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； （2）利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，同理求出，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等可得，然后证明即可． 23．【答案】解：（1）设点Q的运动速度为x，经过ts，与全等， 则cm，cm， ， ， 根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况： ①当且时，与全等，即且，解得； ②当且时，与全等，即且，解得， 故当点Q的运动速度为或能够使与全等． （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意得， 解得， 点P共运动了 又的周长为周……， 在BC边上相遇，即经过20秒，点P，Q第一次在边BC上相遇． 【解析】本题考查了全等三角形性质． （1）由于，若要与全等，只需要或，进而求出点Q的速度； （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意：，求出x即可解决问题． 24．【答案】（1）， ． 在和中， （SAS）． （2）①130 ②．证明如下： 由（1）知， ． 在中，， ． ． （3）．证明如下： ． ． 在和中， （SAS）． ． 在中，， ． ． ． 【解析】略 由知，． 在中，， ． 略 25． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 选择图2：∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴． 在△EAF与△ADC中， ， ∴， ∴． ②过点E作交的延长线于点F，如图． 由①得， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， 当点M在线段上时， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， ∴． 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴． ∵， ∴，​​​​​​​． ∵， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 学科网（北京）股份有限公司 $